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問題條件小改動,面積計算大不同
定積分的幾何意義是:在區間[a,b]上曲線與x軸所圍成的圖形的面積的代數和(即x軸上方的面積減去x軸下方的面積).那么,如何利用定積分的幾何意義,計算有關幾何圖形的面積呢 看完下面這幾個問題你就明白了.
問題.求曲線y=x2與直線y=2x所圍成的圖形的面積.
解析:作出函數y=x2與y=2x的圖像,顯然,曲線y=x2與直線y=2x相交于點O(0,0)和A(2,4).
由定積分的幾何意義可知,在區間[0,2]上,曲線y=x2與x軸所圍成的圖形的面積為S1=,直線y=2x與x軸所圍成的圖形的面積為S2=.結合圖象,可得曲線y=x2與直線y=2x所圍成的圖形的面積S=S2S1==(2202)()=.
變式1.求曲線y=x2與直線y=2x+1所圍成的圖形的面積.
分析:仿照上面的解法,要求曲線y=x2與直線y=2x+1所圍成的圖形的面積,首先要作出函數y=x2與y=2x+1的圖像,再進一步計算出曲線y=x2與直線y=2x+1的交點,即積分下限與積分上限,然后利用定積分的幾何意義,將所求圖形的面積用定積分表示后再進行計算求解.
解:根據題意,作出函數y=x2與y=2x+1的圖像,
計算可得,曲線y=x2與直線y=2x+1相交于點A(1,32)和B(1+,3+2).
由定積分的幾何意義可知,在區間[1,1+]上,曲線y=x2與x軸所圍成的圖形的面積為S1=EQ \I\in(1,1+, x2)dx,直線y=2x+1與x軸所圍成
的圖形的面積為S2=EQ \I\in(1,1+,(2x+1))dx.
結合圖象,可知曲線y=x2與直線y=2x+1所圍成的圖形的面積S=S2S1=EQ \I\in(1,1+,(2x+1))dx
EQ \I\in(1,1+, x2)dx=[(1+)2+(1+)(1)2(1)][eq \f((1+)3,3)eq \f((1)3,3)]=.
變式2.求曲線y=x2+1與直線y=2x+1所圍成的圖形的面積.
解析:同樣地,我們可以利用上述方法將曲線y=x2+1與直線y=2x+1所圍成的圖形的面積用定積分來表示,再進一步計算求解.
但是作出圖像不難發現,將曲線y=x2+1與直線y=2x+1分別向下平移1個單位后,就得到曲線y=x2與直線y=2x的圖像,而在平移前后,曲線與直線所圍成的圖形面積不變,即曲線y=x2+1與直線y=2x+1所圍成的圖形面積也就等于曲線y=x2與直線y=2x所圍成的圖形面積.
變式3.求曲線y=x21與直線y=2x+1所圍成的圖形的面積.
分析:定積分的幾何意義是在區間[a,b]上曲線與x軸所圍成的圖形的面積的代數和,即x軸上方的面積減去x軸下方的面積,而此題中曲線y=x21與直線y=2x+1所圍成的圖形一部分位于x軸上方,一部分位于x軸下方,故應分別求解.
但是,這樣求解的話,計算相當繁瑣.于是我們可以考慮將曲線
y=x21與直線y=2x+1分別向上平移1個單位,從而得到曲線y=x2與直線y=2x+2的圖像,顯然在平移前后,曲線與直線所圍成的圖形面積不變,即曲線y=x21與直線y=2x+1所圍成的圖形面積也就等于曲線y=x2與直線y=2x+2所圍成的圖形面積.
解:根據題意,作出函數y=x2與y=2x+2的圖像,
計算可得,曲線y=x21與直線y=2x+1相交于點A(1,42)和B(1+,4+2),
由定積分的幾何意義可知,在區間[1,1+]上,曲線y=x2與x軸所圍成的圖形的面積為S1=EQ \I\in(1,1+, x2)dx,直線y=2x+2與x軸所圍成的圖形的面積為S2=EQ \I\in(1,1+, (2x+2))dx,
結合圖象,可知曲線y=x2與直線y=2x+2所圍成的圖形的面積為S=S2S1=EQ \I\in(1,1+, (2x+2))dx
EQ \I\in(1,1+, x2)dx=[(1+)2+2(1+)(1)22(1)][eq \f((1+)3,3)eq \f((1)3,3)]=.
以上幾個例題,給大家介紹了利用定積分計算幾何圖形面積的方法,而對于一些比較復雜的面積計算問題,我們則可以巧妙地通過圖象平移簡化計算.正所謂:問題條件小改動,面積計算大不同.

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