資源簡介

高三數(shù)學微專題（1）——抽象函數(shù)的性質(zhì)
專題介紹;本專題的指導思想是立足教材典題、研做高考真題，認真落實考教銜接.每個專題分四部分：回歸教材、知識梳理、研做高考、跟蹤練習”
【回歸教材】
1、人教A版數(shù)學必修一P214綜合運用第15題：已知函數(shù)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，若，求的值.
2、人教B版數(shù)學必修一P115練習B第3題：已知函數(shù)的定義域關于原點對稱，判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）；（2）；（3）.
3、人教B版數(shù)學必修一P115練習B第5題：已知函數(shù)的定義域為，且函數(shù)圖象關于對稱，在區(qū)間上是增函數(shù)，判斷在上的單調(diào)性.
4、北師大版數(shù)學必修一P65B組第4題：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，下列函數(shù)在區(qū)間上是否一定單調(diào)遞增？
（1）； （2）； （3）； （4）.
5、北師大版數(shù)學必修一P73C組第2題：若函數(shù)的定義域是，且對于任意的，都有，試判斷的奇偶性.
6、人教B版數(shù)學必修一P115練習B第1題：求證：二次函數(shù)的圖象關于直線對稱.
7、人教B版數(shù)學必修一P117練習3-1C第3題：求證：函數(shù)的圖象關于點對稱.
【知識梳理】
抽象函數(shù)的性質(zhì)
1.周期性：；；
；（為常數(shù)）；
2.對稱性：
對稱軸：或者 關于對稱；
對稱中心：或者 關于對稱；
3.如果同時關于對稱，又關于對稱，則的周期
4.單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結合解不等式問題
①在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有；
在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有；
②在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有（不變號加絕對值）；在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有（變號加絕對值）；
③關于對稱，且單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有；
關于對稱，且單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有；
④關于對稱，且在單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有（不變號加絕對值）；關于對稱，且在單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有（不變號加絕對值）；
【研做高考】
1、2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學第11題：（多選）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）．
A. B.
C. 是偶函數(shù) D. 為的極小值點
2、2022年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學第12題：（多選）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
3、2022年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學第8題：已知函數(shù)的定義域為R，且，則（ ）
A. B. C. 0 D. 1
4．(2021年高考全國甲卷理科)設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則 (　　)
A． B． C． D．
5、(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅱ卷理科)設函數(shù)的定義域為，滿足，且當
時，．若對任意，都有，則的取值范圍是 (　　)
A． B． C． D．
6．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷（理）)已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則 (　　)
A． B．0 C．2 D．50
7．(2014高考數(shù)學課標1理科·第3題)設函數(shù),的定義域都為R,且是奇函數(shù),是偶函數(shù),則下列結論正確的是(　　)
A．是偶函數(shù) B．||是奇函數(shù)
C．||是奇函數(shù) D．||是奇函數(shù)
8．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第12題)已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，則 (　　)
A． B． C． D．
9、2023年新課標全國數(shù)學Ⅱ卷第4題：若為偶函數(shù)，則（ ）．
A. B. 0 C. D. 1
10、2023年新課標全國甲卷數(shù)學第13題：若為偶函數(shù)，則________．
【跟蹤練習】
一、單選題
1．（24-25高三上·福建泉州·階段練習）若對任意的，函數(shù)滿足，則（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
2．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）已知是定義在上的函數(shù)，且，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河北石家莊·階段練習）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù)對任意實數(shù)，都滿足，且，，則函數(shù)是（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)
6．（23-24高三下·河南洛陽·期末）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）
A． B． C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)
7．（2024·山西·一模）已知函數(shù)是定義在上不恒為零的函數(shù)，若，則（ ）
A． B．
C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)
二、多選題
1．（24-25高三上·江蘇常州·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，對任意的實數(shù)，滿足，且，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．為上的減函數(shù) D．為奇函數(shù)
2．（24-25高三上·河北滄州·階段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．
C． D．在上單調(diào)遞增
3．（24-25高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，且，若對，都有，則（ ）
A． B．
C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為增函數(shù)
三、填空題
1．（24-25高三上·陜西咸陽·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)定義域為 ．
2．（23-24高三上·遼寧遼陽·期中）已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且，，則 ．
3．（24-25高三上·北京·期中）寫出同時滿足以下兩個條件的一個函數(shù) .
①，，；②，且，.
4．（24-25高三上·河北邢臺·期末）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .高三數(shù)學微專題（1）——抽象函數(shù)的性質(zhì)
專題介紹;本專題的指導思想是立足教材典題、研做高考真題，認真落實考教銜接.每個專題分四部分：回歸教材、知識梳理、研做高考、跟蹤練習”
【回歸教材】
1、人教A版數(shù)學必修一P214綜合運用第15題：已知函數(shù)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，若，求的值.
【答案】
2、人教B版數(shù)學必修一P115練習B第3題：已知函數(shù)的定義域關于原點對稱，判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)。
3、人教B版數(shù)學必修一P115練習B第5題：已知函數(shù)的定義域為，且函數(shù)圖象關于對稱，在區(qū)間上是增函數(shù)，判斷在上的單調(diào)性.
【答案】減函數(shù)
4、北師大版數(shù)學必修一P65B組第4題：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，下列函數(shù)在區(qū)間上是否一定單調(diào)遞增？
（1）； （2）； （3）； （4）.
【答案】（1）不確定；（2）增函數(shù)；（3）不確定；（4）不確定。
5、北師大版數(shù)學必修一P73C組第2題：若函數(shù)的定義域是，且對于任意的，都有，試判斷的奇偶性.
【答案】奇函數(shù)；
6、人教B版數(shù)學必修一P115練習B第1題：求證：二次函數(shù)的圖象關于直線對稱.
7、人教B版數(shù)學必修一P117練習3-1C第3題：求證：函數(shù)的圖象關于點對稱.
【知識梳理】
抽象函數(shù)的性質(zhì)
1.周期性：；；
；（為常數(shù)）；
2.對稱性：
對稱軸：或者 關于對稱；
對稱中心：或者 關于對稱；
3.如果同時關于對稱，又關于對稱，則的周期
4.單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結合解不等式問題
①在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有；
在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有；
②在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有（不變號加絕對值）；在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有（變號加絕對值）；
③關于對稱，且單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有；
關于對稱，且單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有；
④關于對稱，且在單調(diào)遞增 若解不等式 ，則有（不變號加絕對值）；關于對稱，且在單調(diào)遞減 若解不等式 ，則有（不變號加絕對值）；
【研做高考】
1、2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學第11題：（多選）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）．
A. B.
C. 是偶函數(shù) D. 為的極小值點
【答案】ABC
【解析】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤
方法二：因為，對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.
2、2022年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學第12題：（多選）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】因為，均為偶函數(shù)，所以，即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數(shù)可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.
3、2022年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學第8題：已知函數(shù)的定義域為R，且，則（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．
3．(2021年高考全國甲卷理科)設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．，
，所以．
思路二：從周期性入手，由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．
4、(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅱ卷理科)設函數(shù)的定義域為，滿足，且當
時，．若對任意，都有，則的取值范圍是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵時，，，∴，即右移個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼谋叮鐖D所示：當時，，令，整理得：，∴（舍），∴，，∴時，成立，即，∴，故選B ．
5．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷（理）)已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則 (　　)
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
【解析】因為是定義域為的奇函數(shù)，且滿足，所以，即，所以，，因此是周期函數(shù)且．
又，
且，所以，
所以，故選C．
6．(2014高考數(shù)學課標1理科·第3題)設函數(shù),的定義域都為R,且是奇函數(shù),是偶函數(shù),則下列結論正確的是(　　)
A．是偶函數(shù) B．||是奇函數(shù)
C．||是奇函數(shù) D．||是奇函數(shù)
【答案】 C
【解析】設,則,∵是奇函數(shù),是偶函數(shù),
∴,為奇函數(shù),選C．
7．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第12題)已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的圖像的對稱中心為又函數(shù)滿足，所以圖像的對稱中心為，所以，故選Ｂ
8、2023年新課標全國數(shù)學Ⅱ卷第4題：若為偶函數(shù)，則（ ）．
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【解析】因為 為偶函數(shù)，則 ，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關于原點對稱.，故此時為偶函數(shù).
9、2023年新課標全國甲卷數(shù)學第13題：若為偶函數(shù)，則________．
【答案】2
【解析】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.
【跟蹤練習】
一、單選題
1．（24-25高三上·福建泉州·階段練習）若對任意的，函數(shù)滿足，則（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】D
【分析】利用賦值法即可求解.
【詳解】令，則，解得，令，則，故，
故選：D
2．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）已知是定義在上的函數(shù)，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助賦值法令可得，即可得，再借助賦值法計算可得函數(shù)周期，利用所得周期計算即可得解.
【詳解】因為，所以當時，，又，所以．又由，可得，
所以，，故函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，所以．故選：C．
3．（24-25高三上·河北石家莊·階段練習）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的奇偶性求出，再利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式即可；
【詳解】因為①，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
則，即②，由①②可得，
因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，
由，可得，解得.因此，不等式的解集是.
故選：A.
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，求出的單調(diào)區(qū)間，由奇函數(shù)性質(zhì)分段求解不等式即可得出答案.
【詳解】在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，且，
，當時，，當時，，
由，得或或，解得或或，因此或，所以滿足的的取值范圍是.
故選：D
5．（24-25高三上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù)對任意實數(shù)，都滿足，且，，則函數(shù)是（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)
【答案】B
【分析】用賦值法，先令求得，再令求解后即可判斷．
【詳解】在中，令，則，又，所以，
令得，所以，所以是偶函數(shù)，故選：B．
6．（23-24高三下·河南洛陽·期末）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）
A． B． C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)
【答案】D
【分析】對于A，令，可求出進行判斷，對于B，令，可求出進行判斷，對于CD，令，可求出，從而可求出，進而可判斷其奇偶性.
【詳解】對于A， 令，則，得，所以或，
當時，不恒成立，所以，所以A錯誤，對于B，令，則，得，所以，或，由選項A可知，所以，所以B錯誤，對于CD，令，則，由選項A可知，所以，所以，令，則，所以為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，所以C錯誤，D正確，故選：D
7．（2024·山西·一模）已知函數(shù)是定義在上不恒為零的函數(shù)，若，則（ ）
A． B．
C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，令、取特殊值逐一驗證四個選項即可.
【詳解】令，則，故，A選項錯誤；令，則，故，B選項錯誤；令，則，故為偶函數(shù)，C選項正確；因為為偶函數(shù)，又函數(shù)是定義在上不恒為零的函數(shù)，D選項錯誤.故選：C
二、多選題
1．（24-25高三上·江蘇常州·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，對任意的實數(shù)，滿足，且，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．為上的減函數(shù) D．為奇函數(shù)
【答案】ABD
【分析】由，利用賦值法求解.
【詳解解：依題意，且，令，得，故A選項正確.令，則，，即，故B選項正確由于，故C選項錯誤.令，得，，即，即所以為奇函數(shù)，故D選項正確.故選：ABD
2．（24-25高三上·河北滄州·階段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．
C． D．在上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【分析】分別賦值可判斷AB，令可判斷C，利用定義判斷單調(diào)性，再由奇偶性判斷D.
【詳解】令，再令，得（1），
即，所以，故B正確；令，得，由（1）得，故A正確；令，即，故C不正確；設，則，則由的分析及題意可得，即在上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故D正確，故選：ABD.
3．（24-25高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，且，若對，都有，則（ ）
A． B．
C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為增函數(shù)
【答案】AC
【分析】利用賦值法可判斷A；令，結合A的分析可判斷C；再利用賦值法即可判斷B；由，用代換x，可判斷D.
【詳解】對于A，令，則，結合，可得，
令，則，即，而，故，A正確；
對于C，令，則，即，該函數(shù)為奇函數(shù)，C正確；
對于B，結合C的分析，令，則，B錯誤；對于D，由于，用代換x，可得，該函數(shù)為減函數(shù)，D錯誤，故選：AC
三、填空題
1．（24-25高三上·陜西咸陽·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)定義域為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法列不等式得到，然后解不等式即可.
【詳解】中，令，則，所以中，
解得或.故選：D.
2．（23-24高三上·遼寧遼陽·期中）已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且，，則 ．
【答案】14
【分析】由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得為定值，可以設，則，又由，可得的解析式求.
【詳解】，，是定義在上的單調(diào)函數(shù)，則為定值，設，則，，解得，得，所以.
故答案為：14.
3．（24-25高三上·北京·期中）寫出同時滿足以下兩個條件的一個函數(shù) .
①，，；②，且，.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)條件可知二次函數(shù)可以滿足其要求.
【詳解】令,則,滿足條件①；
，且，,滿足條件②；故答案為：（答案不唯一）
4．（24-25高三上·河北邢臺·期末）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設，把轉(zhuǎn)化成，再結合函數(shù)的奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化成，再結合的單調(diào)性，得到，分離參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】令，則，由，可得，即，.因為是定義在上的減函數(shù)，所以也是定義在上的減函數(shù)，故，即.因為，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B

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