資源簡介

正弦定理
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·第二冊》，正弦定理第一課時，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。
根據(jù)實際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應(yīng)用。學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察——實驗——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。
二、學(xué)情分析
對普高高二的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。
三、設(shè)計思想：
本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。
四、教學(xué)目標(biāo)：
1．讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā), 通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。
2．通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。
3．通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
4．培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
五、教學(xué)重點與難點
教學(xué)重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用。
教學(xué)難點：正弦定理的猜想提出過程。
教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計算器，直尺，量角器。
六、教學(xué)過程：
（一）結(jié)合實例，激發(fā)動機
師生活動：
教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？
學(xué)生：思考提出測量角A，C
教師：若已知測得， ，要計算A、B兩地距離，你
有辦法解決嗎？ （圖1）
學(xué)生：思考交流，畫一個三角形，使得為6cm，，
，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為
490m。
老師：對，很好，在初中，我們學(xué)過相似三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？
師生：共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。
。 教師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？
學(xué)生：思考，交流，得出過作于如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，學(xué)生闡述，教師板書。
解：過作于
在中，
，
在中，
教師：表示對學(xué)生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，，能否用、、表示呢？
教師：引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過程。
學(xué)生：發(fā)現(xiàn)，
教師：引導(dǎo) ，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？
學(xué)生：發(fā)現(xiàn)即然有，那么也有，。
教師：引導(dǎo) ，，，我們習(xí)慣寫成對稱形式，，，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？
設(shè)計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學(xué)生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結(jié)論——猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。
（二）數(shù)學(xué)實驗，驗證猜想
教師：給學(xué)生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，對應(yīng)角的正弦值分別為，，，引導(dǎo)學(xué)生考察，，的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等）
（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對應(yīng)角的正弦值分別為，，1；（學(xué)生回答它們相等）
（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：：2，對應(yīng)角的正弦值分別為，，1。（學(xué)生回答它們相等）（圖3）
（圖3）
教師：對于呢？
學(xué)生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,
則有，，又,
則
從而在直角三角形ABC中，
教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實驗報告單，讓學(xué)生閱讀實驗報告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生動手計算，附實驗報告單。）
學(xué)生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過實驗數(shù)據(jù)計算，比較、、的近似值。
教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、、值仍然保持相等。
我們猜想：==
設(shè)計意圖：讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)實驗，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進行實驗，體會到數(shù)學(xué)實驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。
（三）證明猜想，得出定理
師生活動：
教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗，多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進行敘述）
學(xué)生：思考得出
①在中，成立，如前面檢驗。
②在銳角三角形中，如圖5設(shè)，，
作：，垂足為
在中，
在中，
同理，在中，
③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，，，
作交的延長線于
在中，
在中，
同銳角三角形證明可知
教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
還有其它證明方法嗎？
學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意△ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：，
而由圖中可以看出：，，
=
=
等式中均除以后可得，
即。
教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時板書證明過程。
在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式
學(xué)生：
得到三角形面積公式
教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、、都等于同一個比值，那么它們也相等，這個到底有沒有什么特殊幾何意義呢？
學(xué)生：在前面的檢驗中，中，，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。
證明：連續(xù)并延長交圓于
，
在中，
即
同理可證：，
教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學(xué)過，這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？
學(xué)生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出：
在銳角三角形中，，作單位向量垂直于，
即
同理：
對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。
教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索。
設(shè)計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。
（四）利用定理，解決引例
師生活動：
教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。
學(xué)生：馬上得出
在中，
（五）了解解三角形概念
設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識的完整性
教師：一般地，把三角形的三個角、、和它們的對邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。
設(shè)計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。
（六）運用定理，解決例題
師生活動：
教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；
②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。
師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補充交流
學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書第5頁的練習(xí)）
用實物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。
設(shè)計意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力，使學(xué)生體驗到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動學(xué)習(xí)。
（七）嘗試小結(jié)：
教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。
學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。
師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時補充，要體現(xiàn)：
（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。
（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。
（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。
設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達能力。
（八）作業(yè)設(shè)計
作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第1、2題。
思考題：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無解的原因。
課外鏈接：課后通過查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜索，了解關(guān)于正弦定理的發(fā)展及應(yīng)用（相關(guān)網(wǎng)址：www.）
七、設(shè)計思路：
本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生積極主動參與一個個相關(guān)聯(lián)的探究活動過程，通過“觀察——實驗——歸納——猜想——證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識形成的過程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。其次，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。
結(jié)合實例，激發(fā)動機
數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實，從學(xué)生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等進行計算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問題中發(fā)現(xiàn)新知識，提出猜想，使學(xué)生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。
2、數(shù)學(xué)實驗，驗證猜想
通過特例檢驗，讓學(xué)生動手實驗，提高了學(xué)生實驗操作、分析思考和抽象概括的能，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲望，體會到數(shù)學(xué)實驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。
3、證明猜想，得出定理
引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從角度進行證明定理，展示自己的知識，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，增強學(xué)習(xí)的興趣，愛好，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，培養(yǎng)推理的意識。
附一：
實驗報告單
組長: 組員：
試驗?zāi)康?研究三角形中各邊和它對角的正弦值的比(，，)是否相等。
實驗器材 計算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統(tǒng)一發(fā)）
實驗方法 畫一個任意三角形，量取三邊和三個角的值，并計算。
實驗內(nèi)容 三邊：a= b= c= 三角：A= B= C= 計算：= = = （精確到小數(shù)點后兩位）
結(jié)論：

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