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人教版2024·八年級上冊
13.2.1 三角形的邊
第十三章 三角形
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1
2
3
探索并掌握三角形的三邊關(guān)系，能運用該關(guān)系判斷三條線段能否組成三角形，或已知兩邊求第三邊的取值范圍.
通過實驗操作，理解三角形穩(wěn)定性的原理，能解釋其在生活中的應(yīng)用.
在探究過程中，經(jīng)歷觀察、猜想、驗證的數(shù)學(xué)活動，發(fā)展推理能力與幾何直觀，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.
1.填空 如右圖：
線段 ， ， 是三角形的邊； 點 ， ， 是三角形的頂點；
， ， 是三角形的角.
A
B
C
a
b
c
AB
BC
CA
A
B
C
∠A
∠B
∠C
復(fù)習(xí)引入
路線1：從點B到點A，再從點A到點C，長度：BA+AC.
路線2：從點B直接到點C，長度：BC.
BA+AC和BC的大小關(guān)系如何？
任意畫一個△ABC，從點B出發(fā)，沿三角形的邊到點C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？
在從點B到點C的線路中，由點B先到點A再到點C的線路，比由點B直接到點C的線路長，即BA+AC＞BC.
從B到A呢？有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關(guān)系？
A
C
B
新知探究
A
C
B
這利用了在小學(xué)我們學(xué)過的“三角形兩邊的和大于第三邊”的結(jié)論.
你能推理證明嗎？
證明：
對于任意一個△ABC，如果把其中任意兩個頂點(例如B，C )看成定點，由“兩點之間，線段最短”，可得
AB+AC＞BC ①
同理可得， AC+BC＞AB ②
AB+BC＞AC ③
你能得出什么結(jié)論呢？
結(jié)論：三角形兩邊的和大于第三邊.
新知探究
思考：對不等式②③進(jìn)行移項，你還能得出什么結(jié)論？
AC+BC＞AB ②
AB+BC＞AC ③
BC＞AB-AC
BC＞AC-AB
你又能得出什么結(jié)論呢？
結(jié)論：三角形兩邊的差小于第三邊.
A
C
B
總結(jié)：
第三邊取值范圍：_________＜第三邊＜_________.
兩邊之差
兩邊之和
新知探究
思考：上面的結(jié)論表明了三角形三邊之間的關(guān)系.反過來，對于三條線段，當(dāng)它們滿足什么條件時，這三條線段能組成三角形
一般地，如果三條線段中任意兩條線段的和大于第三條線段，那么這三條線段能組成三角形;如果三條線段中有兩條線段的和小于或等于第三條線段，那么這三條線段不能組成三角形.
新知探究
分析：(1) 6+9＞3，9-6=3；
6+3=9，6-3＜9；
3+9＞6，9-3=6.
不能組成三角形.
1.下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？
(1) 6 cm、9 cm、3 cm； (2) 4 cm、5 cm、3 cm.
(2) 4+5＞3，5-4＜3；
5+3＞4，5-3＜4；
4+3＞5，4-3＜5.
能組成三角形.
小試牛刀
例 用一條長為18 cm 的細(xì)繩圍成一個等腰三角形.
(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少
(2)能圍成有一邊的長是4 cm 的等腰三角形嗎 為什么
分析：(1)主要考查等腰三角形兩條腰相等.
解：(1)設(shè)底邊長為x cm,則腰長為2x cm，則
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以，三角形三邊的長分別為3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.
典例精析
例 用一條長為18 cm 的細(xì)繩圍成一個等腰三角形.
(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少
(2)能圍成有一邊的長是4 cm 的等腰三角形嗎 為什么
分析：(2)邊長是4 cm的這條邊有可能是底邊，也有可能是腰，所以，需要分情況討論.
解：(2)①如果4 cm長的邊為底邊，設(shè)腰長為x cm, 則
4+2x=18.
解得 x=7.
典例精析
例 用一條長為18 cm 的細(xì)繩圍成一個等腰三角形.
(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少
(2)能圍成有一邊的長是4 cm 的等腰三角形嗎 為什么
解：(2)②如果4 cm長的邊為腰，設(shè)底邊長為y cm, 則
2×4+y=18.
解得 y=10.
因為4+4＜10,不符合“三角形兩邊的和大于第三邊”,所以不能圍成腰 長是4 cm的等腰三角形.
由以上討論可知，可以圍成底邊長是4 cm的等腰三角形.
這里運用了數(shù)學(xué)中的什么思想？
分類討論
典例精析
在日常生活中，三角形的形狀隨處可見，并且工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，如圖的屋頂鋼架結(jié)構(gòu)等，其中的道理是什么
探究 如圖，將三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？
不會
你能得到什么性質(zhì)呢？
可以發(fā)現(xiàn)，三角形木架的形狀不會改變，這就是說，三角形是具有穩(wěn)定性的圖形.
新知探究
三角形的穩(wěn)定性有著廣泛的應(yīng)用，下圖表示其中一些例子.你能再舉一些例子嗎
新知探究
1.下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm
2.用一根小木棒與兩根長度分別為3 cm、5 cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以是（　　）
A．9 cm B．7 cm C．2 cm D．1 cm
B
D
分析：1.考查三角形的三邊關(guān)系.
2.考查三角形第三邊的取值范圍.
隨堂檢測
3.若一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則第三邊的長可能是( )
A．2 B．4 C．6 D．2或4
B
分析：考查等腰三角形的概念及三角形的三邊關(guān)系.
隨堂檢測
4.在日常生活中，我們通常采用如圖的方法（斜釘上一塊木條）來修理一張搖晃的椅子，請用數(shù)學(xué)知識說明這樣做的依據(jù)是：　 ．
三角形具有穩(wěn)定性
隨堂檢測
5.有長為9 cm，6 cm，4 cm，3 cm 的四根木條，選其中三根組成三角形，則選擇方法有( )
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
分析：分情況討論，
①6 cm，4 cm，3 cm
②9 cm，4 cm，3 cm
③9 cm，6 cm，3 cm
④9 cm，6 cm，4 cm
B
隨堂檢測
1.已知三角形兩邊的長分別為7和4，第三邊的長是整數(shù)，這個三角形周長的最小值是______.
15
分析：先求出第三邊的取值范圍，根據(jù)兩邊之差＜第三邊＜兩邊之和，
可得，3＜第三邊＜11.
∵第三邊的長是整數(shù),
∴第三邊的長可以為：4、5、6、7、8、9、10.
∵三角形的周長最小,
∴第三邊取最小值4.
拓展提升
1.三角形三邊的關(guān)系：
三角形兩邊的和_____第三邊.
三角形兩邊的差_____第三邊.
第三邊取值范圍：_________＜第三邊＜_________.
2.三角形具有 .
小于
兩邊之差
兩邊之和
大于
穩(wěn)定性
課堂小結(jié)
1.如圖，要使五邊形木架不變形，需要再釘上木條的根數(shù)至少為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
B
分析：如圖，構(gòu)成三角形，利用三角的穩(wěn)定性.
課后作業(yè)
2.若三角形的兩邊長分別是3和8，第三邊長為奇數(shù)，求第三邊的長.
解：設(shè)第三邊長為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可得
8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11．
又因為x為奇數(shù)，所以x=7或9，
即第三邊的長為7或9.
課后作業(yè)
1.已知a、b、c為三角形的三邊長，化簡：|b+c-a|+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|.
解：∵a、b、c為三角形三邊的長，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a．
∴原式=|(b+c)-a|+|b-(c+a)|-|c-(a+b)|-|(a+c)-b|
=b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c
=2c-2a．
培優(yōu)作業(yè)
你還有其他方法嗎？
感謝聆聽!

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