資源簡介

§3　用樣本估計總體的分布
3.1　從頻數到頻率
3.2　頻率分布直方圖
學習目標 1.了解頻數與頻率的概念，會用頻數、頻率知識解決實際問題.　2.學會用頻率分布表，畫頻率分布直方圖表示樣本數據，培養直觀想象的核心素養.　3.會用頻率分布直方圖或頻率折線圖估計總體分布，培養數據分析的核心素養.
任務一　從頻數到頻率
問題1.某工廠生產一批產品，經調查只有10個不合格品；與某工廠生產一批產品，經調查產品不合格率為1％，哪種情況能更好地反映工廠的生產情況？
提示：“生產了100個產品有10個不合格品”與“生產了1 000個產品有10個不合格品”，雖然都是10個不合格品，但是工廠生產的產品數量大不相同，因此只知道頻數是不夠的，需要用頻率來刻畫.頻率能更好地反映樣本和總體的相應特征.
頻數與頻率
名稱 概念 聯系 區別
頻數 將樣本按照一定的方法分成若干組，每組內含有的個體數目 都可以客 觀地反映 總體分布 如果總體容量比較小，頻數也可以較客觀地反映總體分布
頻率 頻數與總數的比值 頻率反映了相對總數而言的相對強度，其所攜帶的總體信息遠超過頻數，當總體容量較大時，頻率就更能客觀地反映總體分布
[微提醒]　在統計中，經常用樣本數據的頻率去估計總體中相應的頻率，即對總體分布進行估計，注意頻率的取值范圍.
(鏈教材P162例2)某中學記載了2020～2024年學生高考本科上線人數及相應比例如下表，請根據表中數據說明頻數與頻率的不同之處.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
本科上 線人數 1 013 1 092 1 154 1 187 1 223
比例 69.5％ 71.3％ 75.1％ 77.2％ 79.5％
解：從2020年到2024年本科上線人數逐年遞增，從頻數來看，2021年較上一年增加了79人，2022年較上一年增加了62人，2023年較上一年增加了33人，2024年較上一年增加了36人，容易得到2020年到2021年增加的人數最多，2022年到2023年以及2023年到2024年增加的人數較少，但從這五年的頻率來看，2020年到2021年的頻率增長了1.8％，是增長最少的，2021年到2022年的頻率增長了3.8％，是增長最大的，這說明只從頻數一個角度分析實際問題是遠遠不夠的，實際過程中，應從頻數和頻率兩方面參考.
　　頻率反映了相對總數而言的相對強度，其攜帶的總體信息要超過頻數，頻數受總體數量影響較大，所以頻率能客觀地反映總體分布，在生活中，經常用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布.
對點練1.(1)工廠對某車間某一天生產的產品采用隨機抽樣的方法抽到一個容量為40的樣本數據，分組后，各組的頻數如下表：
分組 (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70]
頻數 4 6 x 10 y 4
已知樣本數據在(20，40]范圍內的頻率為0.35，則樣本數據在(50，60]范圍內的頻率為(　　)
A.0.70 B.0.50
C.0.25 D.0.20
(2)(多選題)肥胖不僅影響個人形象，還會增加各種疾病發生的幾率，近幾年，減肥行業風生水起.為了了解運動健身減肥的效果，某健身房跟蹤調查了20名肥胖者，把健身前后他們的體重(單位：kg)制成如下表格.
調查日期 2024年9月1日
體重區間 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
頻率 0 30％ 50％ 20％
調查日期 2025年1月1日
體重區間 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
頻率 10％ 40％ 50％ 0
對比健身前后，關于這20名肥胖者，下面結論正確的是(　　)
A.健身后，體重在區間[90，100)內的頻數增加值為2
B.健身后，原來體重在區間[110，120]內的肥胖者體重都有減少
C.原來體重在區間[80，90)和[90，100)內的人減肥失敗
D.原來體重在區間[100，110)內的人減肥沒有效果
答案：(1)D　(2)AB
解析：(1)由題意得＝0.35，解得x＝8，所以y＝40－4－6－8－10－4＝8，所以樣本數據在(50，60]范圍內的頻率為＝0.20.故選D.
(2)原來體重在區間[90，100)內的頻數為20×30％＝6，健身后體重在此區間內的頻數為20×40％＝8，頻數增加值為2，故A正確；原來體重在區間[110，120]內的頻數為20×20％＝4，而健身后在此區間內的頻數為0，說明原本體重在區間[110，120]內的肥胖者體重都有減少，故B正確；健身后體重在區間[100，110)內的頻數沒有變化，但是并不能說原來體重在區間[100，110)內的人減肥沒有效果，因為健身前后這個區間的人不一定是相同的，同理，也不能說原來體重在[80，90)和[90，100)內的人減肥失敗，故C、D均不正確.故選AB.
任務二　頻率分布直方圖
問題2.假如通過抽樣調查，獲得100位居民的月均用水量如下表(單位：t)：
9.0　13.6　14.9　5.9　4.0　7.1　6.4　5.4　19.4　2.0　2.2　8.6　13.8　5.4　
10.2　4.9　6.8　14.0　2.0　10.5　2.1　5.7　5.1　16.8　6.0　11.1　1.3　11.2　
7.7　4.9　2.3　10.0　16.7　12.0　12.4　7.8　5.2　13.6　2.6　22.4　3.6　7.1　8.8　
25.6　3.2　18.3　5.1　2.0　3.0　12.0　22.2　10.0　5.5　2.0　24.3　9.9　3.6　
5.6　4.4　7.9　5.1　24.5　6.4　7.5　4.7　20.5　5.5　15.7　2.6　5.7　5.5　6.0　
16.0　2.4　9.5　3.7　17.0　3.8　4.1　2.3　5.3　7.8　8.1　4.3　13.3　6.8　1.3　
7.0　4.9　1.8　7.1　28.0　10.2　13.8　17.9　10.1　5.5　4.6　3.2　21.6
上述100個數據中的最大值和最小值分別是多少？由此說明樣本數據的變化范圍是什么？
提示：最大值是28.0，最小值是1.3，樣本觀測數據的變化范圍為26.7 t.
問題3.樣本數據中的最大值和最小值的差稱為極差，如果將上述100個數據按組距為3進行分組，那么這些數據共分為9組，試列出頻率分布表并畫出頻率分布直方圖.
提示：
分組 頻數累計 頻數 頻率
[1.2，4.2) 23 0.23
[4.2，7.2) 32 0.32
[7.2，10.2) 14 0.14
[10.2，13.2) 8 0.08
[13.2，16.2) 9 0.09
[16.2，19.2) 正 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合計 100 1.00
1.頻率分布直方圖
圖中每個小矩形的底邊長是該組的組距，每個小矩形的高是該組的頻率與組距的比，從而每個小矩形的面積等于該組的頻率，即每個小矩形的面積＝組距×＝頻率.我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖.頻率分布直方圖以面積的形式反映了數據落在各個小組的頻率的大小.
2.畫頻率分布直方圖的步驟
3.頻率折線圖
在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區間，從所加的左邊區間的中點開始，用線段依次連接各個矩形的頂端中點，直至右邊所加區間的中點，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖.有時也用它來估計總體的分布情況.
隨著樣本容量的增大，所劃分的區間數也可以隨之增多，而每個區間的長度則會相應隨之減小，相應的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線.
[微提醒]　(1)頻率分布表能比較準確地反映樣本的頻率分布，而頻率分布直方圖則能清楚直觀地顯示各組頻率分布情況及各組頻率之間的差別.(2)當考慮數據落在若干個組內的頻率之和時，可以用相應矩形面積之和來表示.(3)對于同一組數據，不同的組距決定不同的組數，得到的頻率分布直方圖也會不同.
(鏈教材P163例3)某高校對2024年該校自主招生的數據做了新的研究，從考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下：
組號 分組 頻數 頻率
第1組 [160，165) 5 0.05
第2組 [165，170) ① 0.35
第3組 [170，175) 30 ②
第4組 [175，180) 20 0.20
第5組 [180，185] 10 0.10
合計 100 1.00
(1)請先求出頻率分布表中①②處應填寫的數據，并在下面的坐標平面內畫頻率分布直方圖與頻率折線圖；
(2)如果在筆試成績的第3，4，5組中用分層隨機抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，求第3，4，5組每組各應抽取多少名學生進入第二輪面試.
解：(1)由題意可知，第2組的頻數為0.35×100＝35，第3組的頻率為＝0.30，故①處填35，②處填0.30.
頻率分布直方圖與頻率折線圖如圖所示.
(2)因為第3，4，5組共有60名學生，所以利用分層隨機抽樣在60名學生中抽取6名學生，抽樣比為＝，故第3組應抽取30×＝3(名)學生，第4組應抽取20×＝2(名)學生，第5組應抽取10×＝1(名)學生，所以第3，4，5組應抽取的學生人數分別為3，2，1.
繪制頻率分布直方圖的注意點
1.在坐標平面內畫頻率分布直方圖時，x＝樣本數據，y＝，這樣每一組的頻率可以用該組的組距為底、為高的小矩形的面積來表示.其中，矩形的高＝＝×頻數.
2.組距和組數的確定沒有固定的標準，將數據分組時，組數力求合適，縱使數據的分布規律能較清楚地呈現出來，組數太多或太少，都會影響我們了解數據的分布情況，若樣本容量不超過120，按照數據的多少常分為5～12組，一般樣本容量越大，所分組數越多.
對點練2.有一容量為50的樣本，數據的分組及各組的數據如下：[10，15)，4；[30，35)，9；[15，20)，5；[35，40)，8；[20，25)，10；[40，45]，3；[25，30)，11.
(1)列出樣本頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖及頻率折線圖.
解：(1)由所給的數據，不難得出以下樣本的頻率分布表.
數據段 頻數 頻率
[10，15) 4 0.08
[15，20) 5 0.10
[20，25) 10 0.20
[25，30) 11 0.22
[30，35) 9 0.18
[35，40) 8 0.16
[40，45] 3 0.06
合計 50 1
(2)頻率分布直方圖如圖①所示，頻率折線圖如圖②折線部分所示.
任務三　頻率分布直方圖的應用
為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12.
(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？
(2)若次數在110以上(含110次)為達標，則樣本中高一年級學生的達標率約是多少？
解：(1)頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數據落在各小組內的頻率大小的，
因此第二小組的頻率為
＝0.08.
因為第二小組的頻率＝，
所以樣本容量＝＝＝150.
(2)由頻率分布直方圖可得樣本中高一年級學生的達標率約為
×100％＝88％.
1.頻率分布直方圖中的性質
(1)因為小矩形的面積＝組距×＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率.這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小；
(2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1；
(3)＝樣本容量；
(4)在頻率分布直方圖中，各矩形的面積之比等于頻率之比，各矩形的高度之比也等于頻率之比.
2.頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內的頻率，可近似地估計總體在這一范圍內的可能性.
對點練3.(1)(多選題)供電部門對某社區100位居民6月份人均用電情況進行統計后，按人均用電量分為[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則有關這100位居民，下列說法正確的是(　　)
A.6月份人均用電量人數最多的一組有40人
B.6月份人均用電量在[30，40)內的有30人
C.6月份人均用電量不低于20度的有50人
D.在這100位居民中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取10位居民協助收費，抽到的居民用電量在[20，30)一組的人數為3
(2)(雙空題)某中職學校為了解全校學生國慶小長假期間閱讀古典名著的時間的情況，抽查了1 000名學生，將他們的閱讀時間進行分組：[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12].抽樣結果繪成的頻率分布直方圖如圖所示.則實數a＝　　　　.這1 000名學生閱讀古典名著的時間不少于8小時的人數為　　　　.
答案：(1)ACD　(2)0.14　380
解析：(1)對于A，根據頻率分布直方圖知，6月份人均用電量人數最多的一組是[10，20)，有100×0.04×10＝40(人)，故A正確；對于B，6月份人均用電量在[30，40)內的人數為100×0.01×10＝10，故B錯誤；對于C，6月份人均用電量不低于20度的頻率是(0.03＋0.01＋0.01)×10＝0.5，有100×0.5＝50(人)，故C正確；對于D，用電量在[20，30)內的有0.03×10×100＝30(人)，所以在這100位居民中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取10位居民協助收費，抽到的居民用電量在[20，30)一組的人數為×10＝3，故D正確.故選ACD.
(2)根據頻率分布直方圖的幾何意義，坐標系內的所有矩形的高度之和乘以組距為定值1，所以(0.04＋0.05＋0.12＋a＋0.15)×2＝1，得a＝0.14，閱讀時間不少于8小時的人數為(0.05＋0.14)×2×1 000＝380.
任務 再現 1.從頻數到頻率.2.繪制頻率分布直方圖和頻率折線圖
方法 提煉 圖表識別、數據分析
易錯 警示 頻率分布直方圖中小矩形的高以及小矩形的面積代表的意義易錯
1.頻率分布直方圖中，小長方形的面積等于(　　)
A.組距 B.頻率
C.組數 D.頻數
答案：B
解析：根據小長方形的寬及高的意義，可知小長方形的面積為一組樣本數據的頻率.故選B.
2.一個容量100的樣本，其數據的分組與各組的頻數如下表：
分組 (0，10] (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70]
頻數 12 13 24 15 16 13 7
則樣本數據落在(0，40]內的頻率為(　　)
A.0.39 B.0.42
C.0.52 D.0.64
答案：D
解析：由頻數分布表知：樣本數據落在(0，40]內的頻率為＝0.64.故選D.
3.某校為了了解學生的體能情況，于6月中旬在全校進行體能測試，統計得到所有學生的體能測試成績均在[70，100]內.現將所有學生的體能測試成績按[70，80)，[80，90)，[90，100]分成三組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若根據體能測試成績采用按比例分層隨機抽樣的方法抽取20名學生作為某項活動的志愿者，則體能測試成績在[70，80)內的被抽取的學生人數為(　　)
A.4 B.6
C.8 D.10
答案：A
解析：根據題意得，體能測試成績在[70，80)內的被抽取的學生人數為20×＝4.故選A.
4.從某小區抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發現他們的月用電量都在50～350 kW·h之間，進行適當分組后(每組為左閉右開的區間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，在被調查的用戶中，月用電量落在區間[100，300)內的戶數為　　　　.
答案：82
解析：由頻率分布直方圖可得(0.001 2＋0.002 4＋0.002 4＋0.003 6＋a＋0.006 0)×50＝1，解得a＝0.004 4，所以月用電量落在區間[100，300)的頻率為(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4＋0.002 4)×50＝0.82，所以在被調查的用戶中，月用電量落在區間[100，300)內的戶數為100×0.82＝82.
課時分層評價39　從頻數到頻率　頻率分布直方圖
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.對某班60名同學的一次數學成績進行統計，如果80～90這一組的頻數是18，那么這個班的學生這次數學測驗，成績在80～90分之間的頻率是(　　)
A.18 B.0.4
C.0.35 D.0.3
答案：D
解析：根據題意，成績在80～90分之間的頻率是＝0.3.故選D.
2.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.頻率分布直方圖中每個小矩形的高就是該組的頻率
B.頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和等于1
C.頻率分布直方圖中各個小矩形的寬一樣大
D.頻數分布直方圖中每個長方形的高就是該組的頻數
答案：BCD
解析：對于A，頻率分布直方圖中每個小矩形的高是該組的頻率與組距的比值，故A錯誤；對于B，頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和，是頻率和為1，故B正確；對于C，頻率分布直方圖中各個小矩形的寬是組距，一樣大，故C正確；對于D，頻數分布直方圖中每個長方形的高就是該組的頻數，故D正確.故選BCD.
3.某中學為了解本校移動支付與共享單車的普及情況，隨機調查了100位學生，其中使用過移動支付或共享單車的學生共90位，使用過移動支付的學生共有80位，使用過共享單車的學生且使用過移動支付的學生共有60位，則該校使用共享單車的學生人數與該校學生總數比值的估計值為(　　)
A.0.5 B.0.6
C.0.7 D.0.8
答案：C
解析：根據題意使用過移動支付、共享單車的人數用韋恩圖表示如圖，由圖可知，使用過共享單車但沒使用過移動支付的學生有90－80＝10(人)；所以使用過共享單車的學生有60＋10＝70(人)；因此，該校使用共享單車的學生人數與該校學生總數比值的估計值為＝0.7.故選C.
4.在樣本的頻率分布直方圖中，共有7個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他6個小長方形的面積和的，且樣本量為80，則中間一組的頻數為(　　)
A.0.25 B.16
C.20 D.0.5
答案：B
解析：設中間一組的頻數為x，依題意有＝，解得x＝16.故選B.
5.李華統計了他爸爸2024年5月的手機通話明細清單，發現他爸爸該月共通話60次，他按每次通話時間長短進行分組(每組為左閉右開的區間)，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.則每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的次數為(　　)
A.18 B.21
C.24 D.27
答案：B
解析：觀察頻率分布直方圖，得每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的頻率為1－5(0.06＋0.03＋0.02＋0.02)＝0.35，則60×0.35＝21，所以每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的次數為21.故選B.
6.(多選題)某學校為了調查學生某次研學活動中的消費支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在50元到60元之間的學生有60人，則(　　)
A.樣本中消費支出在50元到60元之間的頻率為0.3
B.樣本中消費支出不少于40元的人數為132
C.n的值為200
D.若該校有2 000名學生參加研學，則約有20人消費支出在20元到30元之間
答案：ABC
解析：根據頻率分布直方圖面積之和為1可得50元到60元之間的頻率為1－10×(0.01＋0.024＋0.036)＝0.3，故A正確；容量n＝＝200，消費支出不少于40元的人數為200×(0.036×10＋0.3)＝132，故B、C正確；根據頻率分布直方圖可知消費支出在20元到30元之間的頻率為0.1，則2 000名參加研學的學生中消費支出在20元到30元之間的約為200人，故D錯誤.故選ABC.
7.將一個容量為m的樣本分成3組，已知第一組的頻數為10，第二、三組的頻率分別為0.32和0.48，則m＝　　　　.
答案：50
解析：因為第二、三組的頻率分別為0.32和0.48，所以第一組的頻率為1－0.32－0.48＝0.2，因為第一組的頻數為10，所以m＝＝50.
8.為了解體育鍛煉情況，隨機統計了n名學生在某個時間段內的體育鍛煉時間，所得數據都在區間[50，150]中，其頻率分布直方圖如圖所示.若在區間[50，75)中的頻數為30，則n的值是　　　　.
答案：300
解析：由頻率分布直方圖可知在[50，75)之間的頻率為p＝0.004×25＝0.1，又因為p＝＝0.1，所以n＝300.
9.某校為了解學生的學習情況，抽查了100名同學，統計他們暑假期間每天平均學習時間，繪成頻率分布直方圖(如圖).則x＝　　　　.
答案：0.15
解析：由頻率分布直方圖知：(0.04＋0.12＋x＋0.14＋0.05)×2＝1，所以x＝0.15.
10.(10分)某校高一某班的某次數學測試成績(滿分100分，單位：分)由低到高排列如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79，，90，95，由于保存不利，其中[80，90)內的成績被墨水覆蓋.根據該數據繪制的頻率分布直方圖(如圖)也被墨水覆蓋了部分區域.
(1)求成績在區間[50，60)內的頻率及抽樣人數；
(2)求成績在區間[80，90)內的頻數，并計算頻率分布直方圖中區間[80，90)對應的小長方形的高.
解：(1)易知成績在區間[50，60)內的頻率為0.008×10＝0.08，成績在區間[50，60)內的頻數為2，所以抽樣人數為＝25.
(2)成績在區間[80，90)內的頻數為25－21＝4；頻率分布直方圖中區間[80，90)對應的小長方形的高為÷10＝0.016.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.(多選題)已知小王2024年5月份總收入10 000元，總支出5 000元，他的各項收入與支出占比情況如下表：
工資 兼職 理財 其他
收入占比 50％ 20％ 8％ 22％
衣 食 住 行 其他
支出占比 8％ 32％ 28％ 8％ 24％
則下列判斷中正確的是(　　)
A.小王2024年5月份的收入主要來源是工資
B.小王2024年5月份的兼職收入低于食的支出
C.小王2024年5月份的最大支出為食
D.小王2024年5月份的工資剛好夠支出
答案：ACD
解析：對于A，小王2024年5月份的收入來源中工資占比為50％，占比最大，故A正確；對于B，小王2024年5月份的兼職收入為10 000×20％＝2 000，食的支出為5 000×32％＝1 600，故小王2024年5月份的兼職收入高于食的支出，故B錯誤；對于C，小王2024年5月份的支出中食占比為32％，占比最大，故C正確；對于D，小王2024年5月份的工資收入為10 000×50％＝5 000，剛好夠支出，故D正確.故選ACD.
12.如圖是某高校土木工程系大三年級55名學生期末考試專業成績的頻率折線圖，其中組距為10，且本次考試中最低分為50分，最高分為100分.根據圖中所提供的信息，判斷下列說法正確的是(　　)
A.成績是75分的有20人
B.成績是100分的人數比成績是50分的人數多
C.成績落在70～90分的有35人
D.成績落在75～85分的有35人
答案：C
解析：A錯誤，成績落在70～80分的人數為10××55＝20，但不能說成績是75分的有20人；B錯誤，由頻率折線圖看不出成績是100分的人數比成績是50分的人數多，只能看出成績落在50～60分的人數和成績落在90～100分的人數相等；C正確，成績落在70～90分的有×55＝35(人)；D錯誤，無法判斷成績落在75～85分的人數.故選C.
13.下表是某生活超市2024年第四季度各區域營業收入占比和凈利潤占比統計表：
生鮮區 熟食區 乳制品區 日用品區 其它區
營業收 入占比 48.6％ 15.8％ 20.1％ 10.8％ 4.7％
凈利潤 占比 65.8％ －4.3％ 16.5％ 20.2％ 1.8％
該生活超市本季度的總營業利潤率為32.5％(營業利潤率是凈利潤占營業收入的百分比)，給出下列四個結論：
①本季度此生活超市營業收入最低的是熟食區；
②本季度此生活超市的營業凈利潤超過一半來自生鮮區；
③本季度此生活超市營業利潤率最高的是日用品區；
④本季度此生活超市生鮮區的營業利潤率超過40％.
其中所有正確結論的序號是　　　　.
答案：②③④
解析：由題中數據知，其它區營業收入占比4.7％，為最低的，故①錯誤；生鮮區的凈利潤占比65.8％＞50％，故②正確；生鮮區的營業利潤率為×32.5％≈44％＞40％，故④正確；熟食區的營業利潤率為×32.5％＜0；乳制品區的營業利潤率為×32.5％≈26.68％；其他區的營業利潤率為×32.5％≈12.45％；日用品區的營業利潤率為×32.5％≈60.79％，最高，故③正確.故答案為②③④.
14.(10分)某校高二年級期末統一測試，隨機抽取一部分學生的數學成績，分組統計如下表.
分組 頻數 頻率
[0，30) 3 0.03
[30，60) 3 0.03
[60，90) 37 0.37
[90，120) m n
[120，150] 15 0.15
合計 M N
(1)求出表中m，n，M，N的值，并根據表中所給數據在給出的坐標系中畫出頻率分布直方圖；
(2)若全校參加本次考試的學生有600人，試估計這次測試中全校成績在90分以上的人數.
解：(1)由頻率分布表得M＝＝100，
所以m＝100－(3＋3＋37＋15)＝42，n＝＝0.42，N＝0.03＋0.03＋0.37＋0.42＋0.15＝1，
頻率分布直方圖如圖所示.
(2)由題意，知全校成績在90分以上的學生的人數約為×600＝342.
15.(5分)對某種燈泡隨機地抽取200個樣品進行使用壽命調查，結果如下：
壽命/天 頻數 頻率
[100，200) 20 0.10
[200，300) 30 y
[300，400) 70 0.35
[400，500) x 0.15
[500，600] 50 0.25
合計 200 1
規定：使用壽命大于或等于500天的燈泡是優等品，小于300天的是次品，其余的是正品.現從燈泡樣品中隨機地抽取n(n∈N＋)個，若這n個燈泡的等級分布情況恰好與從這200個樣品中按三個等級分層抽樣所得的結果相同，則n的最小值為(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：C
解析：由頻率分布表，得x＝200×0.15＝30，故燈泡樣品中優等品有50個，正品有100個，次品有50個，優等品、正品、次品的比為50∶100∶50＝1∶2∶1.按分層抽樣方法，抽取燈泡的個數n＝k＋2k＋k＝4k(k∈N＋)，故n的最小值為4.故選C.
16.(15分)已知某工廠一區生產車間與二區生產車間均生產某種型號的零件，這兩個生產車間生產的該種型號的零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示(每組區間均為左開右閉).
尺寸大于M的零件用于大型機器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型機器制造.
(1)若M＝60，試分別估計該工廠一區生產車間生產的500個該種型號的零件和二區生產車間生產的500個該種型號的零件中用于大型機器制造的零件個數；
(2)若M∈(60，70]，現有足夠多的來自一區生產車間與二區生產車間的零件，分別用于大型機器、小型機器各1 000臺的制造，每臺機器僅使用一個該種型號的零件.現將一區生產車間生產的零件都用于大型機器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型機器制造，每臺會使得工廠損失200元；將二區生產車間生產的零件都用于小型機器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型機器制造，每臺會使得工廠損失100元.求工廠損失費用的估計值H(M)(單位：元)的取值范圍.
解：(1)由頻率分布直方圖可知，一區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為10×(0.02＋0.024＋0.02＋0.02)＝0.84，
所以一區生產車間生產的500個該種型號的零件中用于大型機器制造的零件個數為500×0.84＝420，
二區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為10×(0.024＋0.016)＝0.4，
所以二區生產車間生產的500個該種型號的零件中用于大型機器制造的零件個數為500×0.4＝200.
(2)頻率分布直方圖求出一區生產車間生產的零件尺寸小于或等于M的頻率為10×0.004＋10×0.012＋0.02(M－60)＝0.02M－1.04，
二區生產車間生產的零件尺寸大于M的頻率為0.024(70－M)＋0.016×10＝1.84－0.024M，
所以H(M)＝(0.02M－1.04)×1 000×200＋(1.84－0.024M)×1 000×100
＝4 000M－208 000＋184 000－2 400M＝1 600M－24 000，
因為M∈(60，70]，所以72 000＜1 600M－24 000≤88 000，
即72 000＜H(M)≤88 000.
故H(M)的取值范圍為(72 000，88 000].
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3.1　從頻數到頻率
3.2　頻率分布直方圖
　
第六章　§3　用樣本估計總體的分布
學習目標
1.了解頻數與頻率的概念，會用頻數、頻率知識解決實際問題.　
2.學會用頻率分布表，畫頻率分布直方圖表示樣本數據，培養直觀想象的核心素養.　
3.會用頻率分布直方圖或頻率折線圖估計總體分布，培養數據分析的核心素養.
任務一　從頻數到頻率
問題1.某工廠生產一批產品，經調查只有10個不合格品；與某工廠生產一批產品，經調查產品不合格率為1％，哪種情況能更好地反映工廠的生產情況？
提示：“生產了100個產品有10個不合格品”與“生產了1 000個產品有10個不合格品”，雖然都是10個不合格品，但是工廠生產的產品數量大不相同，因此只知道頻數是不夠的，需要用頻率來刻畫.頻率能更好地反映樣本和總體的相應特征.
問題導思
頻數與頻率
新知構建
名稱 概念 聯系 區別
頻數 將樣本按照一定的方法分成若干組，每組內含有的個體數目 都可以客
觀地反映
總體分布 如果總體容量________，頻數也可以較客觀地反映總體分布
頻率 ______與總數的比值 頻率反映了相對總數而言的相對強度，其所攜帶的總體信息遠超過______，當總體容量較大時，頻率就更能客觀地反映總體分布
比較小
頻數
頻數
在統計中，經常用樣本數據的頻率去估計總體中相應的頻率，即對總體分布進行估計，注意頻率的取值范圍.
微提醒
(鏈教材P162例2)某中學記載了2020～2024年學生高考本科上線人數及相應比例如下表，請根據表中數據說明頻數與頻率的不同之處.
典例
1
年份 2020 2021 2022 2023 2024
本科上線人數 1 013 1 092 1 154 1 187 1 223
比例 69.5％ 71.3％ 75.1％ 77.2％ 79.5％
解：從2020年到2024年本科上線人數逐年遞增，從頻數來看，2021年較上一年增加了79人，2022年較上一年增加了62人，2023年較上一年增加了33人，2024年較上一年增加了36人，容易得到2020年到2021年增加的人數最多，2022年到2023年以及2023年到2024年增加的人數較少，但從這五年的頻率來看，2020年到2021年的頻率增長了1.8％，是增長最少的，2021年到2022年的頻率增長了 3.8％，是增長最大的，這說明只從頻數一個角度分析實際問題是遠遠不夠的，實際過程中，應從頻數和頻率兩方面參考.
　　頻率反映了相對總數而言的相對強度，其攜帶的總體信息要超過頻數，頻數受總體數量影響較大，所以頻率能客觀地反映總體分布，在生活中，經常用樣本的頻率分布去估計總體的頻率 分布.
規律方法
對點練1.(1)工廠對某車間某一天生產的產品采用隨機抽樣的方法抽到一個容量為40的樣本數據，分組后，各組的頻數如下表：
已知樣本數據在(20，40]范圍內的頻率為0.35，則樣本數據在(50，60]范圍內的頻率為
A.0.70 B.0.50 C.0.25 D.0.20
分組 (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70]
頻數 4 6 x 10 y 4
√
(2)(多選題)肥胖不僅影響個人形象，還會增加各種疾病發生的幾率，近幾年，減肥行業風生水起.為了了解運動健身減肥的效果，某健身房跟蹤調查了20名肥胖者，把健身前后他們的體重(單位：kg)制成如下表格.
對比健身前后，關于這20名肥胖者，下面結論正確的是
A.健身后，體重在區間[90，100)內的頻數增加值為2
B.健身后，原來體重在區間[110，120]內的肥胖者體重都有減少
C.原來體重在區間[80，90)和[90，100)內的人減肥失敗
D.原來體重在區間[100，110)內的人減肥沒有效果
調查日期 2024年9月1日
體重區間 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
頻率 0 30％ 50％ 20％
調查日期 2025年1月1日
體重區間 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
頻率 10％ 40％ 50％ 0
√
√
原來體重在區間[90，100)內的頻數為20×30％＝6，健身后體重在此區間內的頻數為20×40％＝8，頻數增加值為2，故A正確；原來體重在區間[110，120]內的頻數為20×20％＝4，而健身后在此區間內的頻數為0，說明原本體重在區間[110，120]內的肥胖者體重都有減少，故B正確；健身后體重在區間[100，110)內的頻數沒有變化，但是并不能說原來體重在區間[100，110)內的人減肥沒有效果，因為健身前后這個區間的人不一定是相同的，同理，也不能說原來體重在[80，90)和[90，100)內的人減肥失敗，故C、D均不正確.故選AB.
調查日期 2024年9月1日
體重區間 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
頻率 0 30％ 50％ 20％
調查日期 2025年1月1日
體重區間 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
頻率 10％ 40％ 50％ 0
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任務二　頻率分布直方圖
問題2.假如通過抽樣調查，獲得100位居民的月均用水量如下表(單位：t)：
9.0　13.6　14.9　5.9　4.0　7.1　6.4　5.4　19.4　2.0　2.2　8.6　13.8　5.4　
10.2　4.9　6.8　14.0　2.0　10.5　2.1　5.7　5.1　16.8　6.0　11.1　1.3　11.2　
7.7　4.9　2.3　10.0　16.7　12.0　12.4　7.8　5.2　13.6　2.6　22.4　3.6　7.1　
8.8　25.6　3.2　18.3　5.1　2.0　3.0　12.0　22.2　10.0　5.5　2.0　24.3　9.9　
3.6　5.6　4.4　7.9　5.1　24.5　6.4　7.5　4.7　20.5　5.5　15.7　2.6　5.7　5.5
6.0　16.0　2.4　9.5　3.7　17.0　3.8　4.1　2.3　5.3　7.8　8.1　4.3　13.3　6.8　
1.3　7.0　4.9　1.8　7.1　28.0　10.2　13.8　17.9　10.1　5.5　4.6　3.2　21.6
上述100個數據中的最大值和最小值分別是多少？由此說明樣本數據的變化范圍是什么？
提示：最大值是28.0，最小值是1.3，樣本觀測數據的變化范圍為26.7 t.
問題導思
問題3.樣本數據中的最大值和最小值的差稱為極差，如果將上述100個數據按組距為3進行分組，那么這些數據共分為9組，試列出頻率分布表并畫出頻率分布直方圖.
提示：
分組 頻數累計 頻數 頻率
[1.2，4.2) 23 0.23
[4.2，7.2) 32 0.32
[7.2，10.2) 14 0.14
[10.2，13.2) 8 0.08
[13.2，16.2) 9 0.09
[16.2，19.2) 正 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合計 100 1.00
新知構建
頻率
2.畫頻率分布直方圖的步驟
頻率
面
積
1
3.頻率折線圖
在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區間，從所加的左邊區間的______開始，用線段依次連接各個矩形的__________，直至右邊所加區間的______，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖.有時也用它來估計總體的分布情況.
隨著樣本容量的增大，所劃分的區間數也可以隨之______，而每個區間的長度則會相應隨之______，相應的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線.
中點
頂端中點
中點
增多
減小
(1)頻率分布表能比較準確地反映樣本的頻率分布，而頻率分布直方圖則能清楚直觀地顯示各組頻率分布情況及各組頻率之間的差別.(2)當考慮數據落在若干個組內的頻率之和時，可以用相應矩形面積之和來表示.(3)對于同一組數據，不同的組距決定不同的組數，得到的頻率分布直方圖也會不同.
微提醒
(鏈教材P163例3)某高校對2024年該校自主招生的數據做了新的研究，從考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下：
典例
2
組號 分組 頻數 頻率
第1組 [160，165) 5 0.05
第2組 [165，170) ① 0.35
第3組 [170，175) 30 ②
第4組 [175，180) 20 0.20
第5組 [180，185] 10 0.10
合計 100 1.00
(1)請先求出頻率分布表中①②處應填寫的數據，并在下面的坐標平面內畫頻率分布直方圖與頻率折線圖；
(2)如果在筆試成績的第3，4，5組中用分層隨機抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，求第3，4，5組每組各應抽取多少名學生進入第二輪面試.
組號 分組 頻數 頻率
第1組 [160，165) 5 0.05
第2組 [165，170) ① 0.35
第3組 [170，175) 30 ②
第4組 [175，180) 20 0.20
第5組 [180，185] 10 0.10
合計 100 1.00
規律方法
對點練2.有一容量為50的樣本，數據的分組及各組的數據如下：[10，15)，4；[30，35)，9；[15，20)，5；[35，40)，8；[20，25)，10；[40，45]，3；[25，30)，11.
(1)列出樣本頻率分布表；
解：由所給的數據，不難得出以下樣本的頻率分布表.
數據段 頻數 頻率
[10，15) 4 0.08
[15，20) 5 0.10
[20，25) 10 0.20
[25，30) 11 0.22
[30，35) 9 0.18
[35，40) 8 0.16
[40，45] 3 0.06
合計 50 1
(2)畫出頻率分布直方圖及頻率折線圖.
解：頻率分布直方圖如圖①所示，頻率折線圖如圖②折線部分所示.
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任務三　頻率分布直方圖的應用
為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12.
(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？
典例
3
規律方法
2.頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內的頻率，可近似地估計總體在這一范圍內的可能性.
規律方法
對點練3.(1)(多選題)供電部門對某社區100位居民6月
份人均用電情況進行統計后，按人均用電量分為[0，
10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五組，
整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則有關這100
位居民，下列說法正確的是
A.6月份人均用電量人數最多的一組有40人
B.6月份人均用電量在[30，40)內的有30人
C.6月份人均用電量不低于20度的有50人
D.在這100位居民中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取10位居民協助收費，抽到的居民用電量在[20，30)一組的人數為3
√
√
√

(2)(雙空題)某中職學校為了解全校學生國慶小長假期間
閱讀古典名著的時間的情況，抽查了1 000名學生，將
他們的閱讀時間進行分組：[2，4)，[4，6)，[6，8)，
[8，10)，[10，12].抽樣結果繪成的頻率分布直方圖如
圖所示.則實數a＝________.這1 000名學生閱讀古典名著的時間不少于8小時的人數為________.
0.14
380
根據頻率分布直方圖的幾何意義，坐標系內的所有矩形的高度之和乘以組距為定值1，所以(0.04＋0.05＋0.12＋a＋0.15)×2＝1，得a＝0.14，閱讀時間不少于8小時的人數為(0.05＋0.14)×2×1 000＝380.
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課堂小結
任務
再現 1.從頻數到頻率.2.繪制頻率分布直方圖和頻率折線圖
方法
提煉 圖表識別、數據分析
易錯
警示 頻率分布直方圖中小矩形的高以及小矩形的面積代表的意義易錯
隨堂評價
1.頻率分布直方圖中，小長方形的面積等于
A.組距 B.頻率
C.組數 D.頻數
√
根據小長方形的寬及高的意義，可知小長方形的面積為一組樣本數據的頻率.故選B.
2.一個容量100的樣本，其數據的分組與各組的頻數如下表：
則樣本數據落在(0，40]內的頻率為
A.0.39 B.0.42
C.0.52 D.0.64
√
分組 (0，10] (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70]
頻數 12 13 24 15 16 13 7
3.某校為了了解學生的體能情況，于6月中旬在全校進
行體能測試，統計得到所有學生的體能測試成績均在
[70，100]內.現將所有學生的體能測試成績按[70，80)，
[80，90)，[90，100]分成三組，繪制成如圖所示的頻率
分布直方圖.若根據體能測試成績采用按比例分層隨機抽樣的方法抽取20名學生作為某項活動的志愿者，則體能測試成績在[70，80)內的被抽取的學生人數為
A.4 B.6 C.8 D.10
√
4.從某小區抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發現他們的月用電量都在50～350 kW·h之間，進行適當分組后(每組為左閉右開的區間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，在被調查的用戶中，月用電量落在區間[100，300)內的戶數為____.
82
由頻率分布直方圖可得(0.001 2＋0.002 4＋0.002 4＋0.003 6＋a＋0.006 0)×50＝1，解得a＝0.004 4，所以月用電量落在區間[100，300)的頻率為(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4＋0.002 4)×50＝0.82，所以在被調查的用戶中，月用電量落在區間[100，300)內的戶數為100×0.82＝82.
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課時分層評價
1.對某班60名同學的一次數學成績進行統計，如果80～90這一組的頻數是18，那么這個班的學生這次數學測驗，成績在80～90分之間的頻率是
A.18 B.0.4
C.0.35 D.0.3
√
2.(多選題)下列說法正確的是
A.頻率分布直方圖中每個小矩形的高就是該組的頻率
B.頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和等于1
C.頻率分布直方圖中各個小矩形的寬一樣大
D.頻數分布直方圖中每個長方形的高就是該組的頻數
√
對于A，頻率分布直方圖中每個小矩形的高是該組的頻率與組距的比值，故A錯誤；對于B，頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和，是頻率和為1，故B正確；對于C，頻率分布直方圖中各個小矩形的寬是組距，一樣大，故C正確；對于D，頻數分布直方圖中每個長方形的高就是該組的頻數，故D正確.故選BCD.
√
√
3.某中學為了解本校移動支付與共享單車的普及情況，隨機調查了100位學生，其中使用過移動支付或共享單車的學生共90位，使用過移動支付的學生共有80位，使用過共享單車的學生且使用過移動支付的學生共有60位，則該校使用共享單車的學生人數與該校學生總數比值的估計值為
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
√

√
5.李華統計了他爸爸2024年5月的手機通話明細清
單，發現他爸爸該月共通話60次，他按每次通話
時間長短進行分組(每組為左閉右開的區間)，畫出
了如圖所示的頻率分布直方圖.則每次通話時長不
低于5分鐘且小于15分鐘的次數為
A.18 B.21 C.24 D.27
√
觀察頻率分布直方圖，得每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的頻率為1－5(0.06＋0.03＋0.02＋0.02)＝0.35，則60×0.35＝21，所以每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的次數為21.故選B.
6.(多選題)某學校為了調查學生某次研學活動中的消費支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在50元到60元之間的學生有60人，則
A.樣本中消費支出在50元到60元之間的頻率為0.3
B.樣本中消費支出不少于40元的人數為132
C.n的值為200
D.若該校有2 000名學生參加研學，則約有20人消費
支出在20元到30元之間
√
√
√

7.將一個容量為m的樣本分成3組，已知第一組的頻數為10，第二、三組的頻率分別為0.32和0.48，則m＝______.
50
8.為了解體育鍛煉情況，隨機統計了n名學生在某個時間段內的體育鍛煉時間，所得數據都在區間[50，150]中，其頻率分布直方圖如圖所示.若在區間[50，75)中的頻數為30，則n的值是_______.
300
9.某校為了解學生的學習情況，抽查了100名同學，統計他們暑假期間每天平均學習時間，繪成頻率分布直方圖(如圖).則x＝_______.
由頻率分布直方圖知：(0.04＋0.12＋x＋0.14＋0.05)×2＝1，所以x＝0.15.
0.15
10.(10分)某校高一某班的某次數學測試成績(滿分100分，單位：分)由低到高排列如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79， ，90，95，由于保存不利，其中[80，90)內的成績被墨水覆蓋.根據該數據繪制的頻率分布直方圖(如圖)也被墨水覆蓋了部分區域.
(1)求成績在區間[50，60)內的頻率及抽樣人數；
11.(多選題)已知小王2024年5月份總收入10 000元，總支出5 000元，他的各項收入與支出占比情況如下表：
則下列判斷中正確的是
A.小王2024年5月份的收入主要來源是工資
B.小王2024年5月份的兼職收入低于食的支出
C.小王2024年5月份的最大支出為食
D.小王2024年5月份的工資剛好夠支出
√
工資 兼職 理財 其他
收入占比 50％ 20％ 8％ 22％
衣 食 住 行 其他
支出占比 8％ 32％ 28％ 8％ 24％
√
√
對于A，小王2024年5月份的收入來源中工資占比為50％，占比最大，故A正確；對于B，小王2024年5月份的兼職收入為10 000×20％＝ 2 000，食的支出為5 000×32％＝1 600，故小王2024年5月份的兼職收入高于食的支出，故B錯誤；對于C，小王2024年5月份的支出中食占比為32％，占比最大，故C正確；對于D，小王2024年5月份的工資收入為10 000×50％＝5 000，剛好夠支出，故D正確.故選ACD.
工資 兼職 理財 其他
收入占比 50％ 20％ 8％ 22％
衣 食 住 行 其他
支出占比 8％ 32％ 28％ 8％ 24％
12.如圖是某高校土木工程系大三年級55名學生期末考試專業成績的頻率折線圖，其中組距為10，且本次考試中最低分為50分，最高分為100分.根據圖中所提供的信息，判斷下列說法正確的是
A.成績是75分的有20人
B.成績是100分的人數比成績是50分的人數多
C.成績落在70～90分的有35人
D.成績落在75～85分的有35人
√

13.下表是某生活超市2024年第四季度各區域營業收入占比和凈利潤占比統計表：
生鮮區 熟食區 乳制品區 日用品區 其它區
營業收入占比 48.6％ 15.8％ 20.1％ 10.8％ 4.7％
凈利潤占比 65.8％ －4.3％ 16.5％ 20.2％ 1.8％
該生活超市本季度的總營業利潤率為32.5％(營業利潤率是凈利潤占營業收入的百分比)，給出下列四個結論：
①本季度此生活超市營業收入最低的是熟食區；
②本季度此生活超市的營業凈利潤超過一半來自生鮮區；
③本季度此生活超市營業利潤率最高的是日用品區；
④本季度此生活超市生鮮區的營業利潤率超過40％.
其中所有正確結論的序號是__________.
②③④

生鮮區 熟食區 乳制品區 日用品區 其它區
營業收入占比 48.6％ 15.8％ 20.1％ 10.8％ 4.7％
凈利潤占比 65.8％ －4.3％ 16.5％ 20.2％ 1.8％
14.(10分)某校高二年級期末統一測試，隨機抽取一部分學生的數學成績，分組統計如下表.
分組 頻數 頻率
[0，30) 3 0.03
[30，60) 3 0.03
[60，90) 37 0.37
[90，120) m n
[120，150] 15 0.15
合計 M N
(1)求出表中m，n，M，N的值，并根據表中所給數據在給出的坐標系中畫出頻率分布直方圖；
分組 頻數 頻率
[0，30) 3 0.03
[30，60) 3 0.03
[60，90) 37 0.37
[90，120) m n
[120，150] 15 0.15
合計 M N
15.(5分)對某種燈泡隨機地抽取200個樣品進行使用壽命調查，結果如下：
規定：使用壽命大于或等于500天的燈泡是優等品，小于300天的是次品，其余的是正品.現從燈泡樣品中隨機地抽取n(n∈N＋)個，若這n個燈泡的等級分布情況恰好與從這200個樣品中按三個等級分層抽樣所得的結果相同，則n的最小值為
A.2 B.3 C.4 D.5
壽命/天 頻數 頻率
[100，200) 20 0.10
[200，300) 30 y
[300，400) 70 0.35
[400，500) x 0.15
[500，600] 50 0.25
合計 200 1
√
由頻率分布表，得x＝200×0.15＝30，故燈泡樣品中優等品有50個，正品有100個，次品有50個，優等品、正品、次品的比為50∶100∶50＝1∶2∶1.按分層抽樣方法，抽取燈泡的個數n＝k＋2k＋k＝4k(k∈N＋)，故n的最小值為4.故選C.
壽命/天 頻數 頻率
[100，200) 20 0.10
[200，300) 30 y
[300，400) 70 0.35
[400，500) x 0.15
[500，600] 50 0.25
合計 200 1
16.(15分)已知某工廠一區生產車間與二區生產車間均生產某種型號的零件，這兩個生產車間生產的該種型號的零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示(每組區間均為左開右閉).
尺寸大于M的零件用于大型機器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型機器 制造.
(1)若M＝60，試分別估計該工廠一區生產車間生產的500個該種型號的零件和二區生產車間生產的500個該種型號的零件中用于大型機器制造的零件個數；
解：由頻率分布直方圖可知，一區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為10×(0.02＋0.024＋0.02＋0.02)＝0.84，
所以一區生產車間生產的500個該種型號的
零件中用于大型機器制造的零件個數為500
×0.84＝420，
二區生產車間生產的零件尺寸大于60的頻率為10×(0.024＋0.016)＝0.4，
所以二區生產車間生產的500個該種型號的零件中用于大型機器制造的零件個數為500×0.4＝200.
(2)若M∈(60，70]，現有足夠多的來自
一區生產車間與二區生產車間的零件，
分別用于大型機器、小型機器各1 000
臺的制造，每臺機器僅使用一個該種
型號的零件.現將一區生產車間生產的零件都用于大型機器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型機器制造，每臺會使得工廠損失200元；將二區生產車間生產的零件都用于小型機器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型機器制造，每臺會使得工廠損失100元.求工廠損失費用的估計值H(M)(單位：元)的取值范圍.
解：頻率分布直方圖求出一區生產車間生產的零件尺寸小于或等于M的頻率為10×0.004＋10×0.012＋0.02(M－60)＝0.02M－1.04，
二區生產車間生產的零件尺寸大于M的
頻率為0.024(70－M)＋0.016×10＝1.84
－0.024M，
所以H(M)＝(0.02M－1.04)×1 000×200
＋(1.84－0.024M)×1 000×100
＝4 000M－208 000＋184 000－2 400M＝1 600M－24 000，
因為M∈(60，70]，所以72 000＜1 600M－24 000≤88 000，
即72 000＜H(M)≤88 000.
故H(M)的取值范圍為(72 000，88 000].
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