資源簡介

1.4　隨機事件的運算
學習目標 1.了解隨機事件的并、交的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng). 2.理解互斥事件、對立事件的概念，并理清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng).
任務一　交事件與并事件
問題1.在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，若事件：C＝“點數(shù)為2”；E1＝“點數(shù)為1或2”；E2＝“點數(shù)為2或3”；借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？
提示：C＝{2}和E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.即E1∩E2＝C.
問題2.在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，若事件：D＝“點數(shù)不大于3”；E1＝“點數(shù)為1或2”；E2＝“點數(shù)為2或3”；借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？
提示：D＝{1，2，3}和E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.即E1∪E2＝D.
隨機事件的運算
事件的運算 交事件 并事件
定義 一般地，由事件A與事件B都發(fā)生所構成的事件，稱為事件A與事件B的交事件(或積事件) 一般地，由事件A和事件B至少有一個發(fā)生(即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A，B都發(fā)生)所構成的事件，稱為事件A與事件B的并事件(或和事件)
符號 A∩B(或AB) A∪B(或A＋B)
圖示
含義 A與B同時發(fā)生 A與B至少有一個發(fā)生
[微思考]　“事件A與B至少有一個發(fā)生”的含義是什么？
提示：(1)事件A發(fā)生事件B不發(fā)生；(2)事件A不發(fā)生事件B發(fā)生；(3)事件A和事件B同時發(fā)生.
(鏈教材P192例4)盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}.
求：(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？
(2)事件C與A的交事件是什么事件？
(3)設事件E＝{3個紅球}，事件F＝{3個球中至少有一個白球}，那么事件C與B，E分別是什么運算關系？C與F的交事件是什么事件？
解：(1)對于事件D，可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球或2個紅球、1個白球，故D＝A∪B.
(2)對于事件C，可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球或2個紅球、1個白球或3個均為紅球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能結(jié)果有1個紅球、2個白球，2個紅球、1個白球，3個紅球三種情況，故B C，E C，而事件F包括的可能結(jié)果有1個白球、2個紅球，2個白球、1個紅球，3個白球，所以C∩F＝{1個紅球、2個白球，2個紅球、1個白球}＝D.
事件間的運算方法
1.利用事件間運算的定義：列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進行事件間的運算.
2.利用Venn圖：借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進行運算.
對點練1.(1)向上拋擲一枚均勻的骰子兩次，事件A表示兩次點數(shù)之和小于8，事件B表示兩次點數(shù)之和既能被2整除又能被3整除，則事件A∩B用樣本點表示為(　　)
A.{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}
B.{(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}
C.{(1，5)，(2，4)，(3，3)}
D.{(1，5)，(2，4)}
(2)(多選題)對空中移動的目標連續(xù)射擊兩次，設A＝{兩次都擊中目標}，B＝{兩次都沒擊中目標}，C＝{恰有一次擊中目標}，D＝{至少有一次擊中目標}，下列關系正確的是(　　)
A.A D B.A∪C＝B∪D
C.A∪C＝D D.B∪C＝D
答案：(1)A　(2)AC
解析：(1)根據(jù)題意，事件A∩B表示兩次點數(shù)和為6，因此事件A∩B用樣本點表示為{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.故選A.
(2)對于A，事件D包含恰好一次擊中目標或兩次都擊中目標，所以A D，故A正確；對于B、C，A∪C＝D表示至少有一次擊中目標，B∪D＝Ω為樣本空間，故B錯誤，C正確；對于D，事件B∪C包含的事件為至多一次擊中目標，故D錯誤.故選AC.
任務二　互斥事件與對立事件
問題3.在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，用集合的形式表示事件C3＝“點數(shù)為3”和事件C4＝“點數(shù)為4”，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這兩個事件之間的聯(lián)系嗎？
提示：C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝ .
問題4.在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，用集合的形式表示事件F＝“點數(shù)為偶數(shù)”，事件G＝“點數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這兩個事件之間的聯(lián)系嗎？
提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.F∪G＝Ω，F(xiàn)∩G＝ .
互斥事件與對立事件
事件 的關系 定義 圖形表示 符號表示
互斥 事件 一般地，不能同時發(fā)生的兩個事件A與B(A∩B＝ )稱為互斥事件.它可以理解為A，B同時發(fā)生這一事件是不可能事件 A∩B＝
對立 事件 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，則稱事件A與事件B互為對立事件，事件A的對立事件記作 A∩B＝ ， 且A∪B ＝Ω
[微思考]　命題“事件A與B為互斥事件”與命題“事件A與B為對立事件”之間是什么關系？(指充分性與必要性)
提示：根據(jù)互斥事件和對立事件的概念可知，“事件A與B為互斥事件”是“事件A與B為對立事件”的必要不充分條件.
(鏈教材P192例4)從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數(shù)從1～10各4張)中，任取一張.
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”.
判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.
解：(1)是互斥事件，不是對立事件.
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件.
(2)既是互斥事件，又是對立事件.
理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件.
(3)不是互斥事件，也不是對立事件.
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得牌點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件.
互斥事件和對立事件的判斷方法
1.判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試驗中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件.
2.判斷兩個事件是否為對立事件，主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生.如果這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件.只要有一個條件不成立，這兩個事件就不是對立事件.
對點練2.(1)某飲料生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定中獎機會的新飲料.甲、乙、丙三名同學都購買了這種飲料，設事件A為“甲、乙、丙三名同學都中獎”，則與A互為對立事件的是(　　)
A.甲、乙、丙三名同學恰有兩人中獎
B.甲、乙、丙三名同學都不中獎
C.甲、乙、丙三名同學至少有一人不中獎
D.甲、乙、丙三名同學至多有一人不中獎
(2)(多選題)不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有(　　)
A.2張卡片都不是紅色
B.2張卡片恰有一張藍色
C.2張卡片至少有一張為紅色
D.2張卡片都為綠色
答案：(1)C　(2)ABD
解析：(1)事件“甲、乙、丙三名同學都中獎”的對立事件是“甲、乙、丙三名同學至少有一人不中獎”.故選C.
(2)6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有“2張都為紅色”、“2張都為綠色”、“2張都為藍色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍色”、“1張為綠色1張為藍色”，選項中給出的四個事件中與“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件是“2張卡片都不是紅色”，“2張卡片恰有一張藍色”，“2張卡片都為綠色”，其中“2張卡片至少有一張為紅色”包含事件“2張卡片都為紅色”，二者并非互斥.故選ABD.
任務三　事件運算的綜合應用
(鏈教材P192例5)一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球(標號為1和2)，2個綠球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩個球顏色相同”，N＝“兩個球顏色不同”.
(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；
(2)寫出事件R與G，M與N之間的關系；
(3)寫出事件R與事件G的并事件與事件M的關系.
解：(1)用數(shù)組(x1，x2)表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，
所以試驗的樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，
事件R＝{(1，2)，(2，1)}，事件G＝{(3，4)，(4，3)}，事件M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
事件N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}.
(2)由(1)知，R∩G＝ ，而R∪G≠Ω，所以事件R，G互斥，不對立；
M∩N＝ ，M∪N＝Ω，所以事件M，N互為對立事件.
(3)由(1)知，R∪G＝M，所以事件M是事件R與事件G的并事件.
事件運算應注意的兩個問題
1.進行事件運算時，一要緊扣運算定義，二要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時借助Venn圖進行數(shù)學直觀分析.
2.互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系.在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不可能兩個都發(fā)生；而兩個對立事件必有一個發(fā)生，但是不可能兩個事件同時發(fā)生，也不可能兩個事件都不發(fā)生.
對點練3.(1)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設事件A表示“兩彈都擊中飛機”，事件B表示“兩彈都沒擊中飛機”，事件C表示“恰有一彈擊中飛機”，事件D表示“至少有一彈擊中飛機”，下列關系不正確的是(　　)
A.A∩D＝A B.B∩D＝
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
(2)(多選題)如圖，一個電路中有甲、乙、丙三個電子元件，設A＝“甲元件故障”，B＝“乙元件故障”，C＝“丙元件故障”，則能表示電路是通路的事件是(　　)
A.∩ B.∪
C.∩ D.∪
答案：(1)D　(2)ACD
解析：(1)“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，所以A∪B≠B∪D.故選D.
(2)對于A，由題意得，＝“甲元件正?！保珺C＝“乙、丙元件同時故障”，＝“乙元件和丙元件至少有一個正常”，故∩表示電路是通路；對于B，AB＝“甲、乙元件同時故障”，＝“甲元件和乙元件至少有一個正?！?，AC＝“甲、丙元件同時故障”，＝“甲元件和丙元件至少有一個正常”，∪不能得到甲元件一定正常，故不能表示電路是通路；對于C，＝ “甲元件正?！?，＝ “乙元件正?！?，＝ “丙元件正?！?，∪＝“乙元件和丙元件至少有一個正?！?，故∩表示電路是通路；對于D，＝“甲、乙元件均正?！?，＝“甲、丙元件均正?！?，故∪表示電路是通路.故選ACD.
任務 再現(xiàn) 1.交事件與并事件.2.互斥事件與對立事件
方法 提煉 列舉法、Venn圖法
易錯 警示 未弄清事件之間的關系，導致互斥、對立事件判斷錯誤
1.把電影院的4張電影票隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號”是(　　)
A.對立事件 B.不可能事件
C.互斥事件 D.以上答案都不對
答案：C
解析：“甲分得4排1號”與“乙分得4排1號”是互斥事件.故選C.
2.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設事件A＝“點數(shù)為大于2小于5”，B＝“點數(shù)為偶數(shù)”，則A∩B表示的事件為(　　)
A.“點數(shù)為4” B.“點數(shù)為3或4”
C.“點數(shù)為偶數(shù)” D.“點數(shù)為大于2小于5”
答案：A
解析：A＝“點數(shù)為大于2小于5”＝{3，4}，B＝“點數(shù)為偶數(shù)”＝{2，4，6}，則A∩B＝{4}，故A∩B表示的事件為“點數(shù)為4”.故選A.
3.某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥而不對立的事件是(　　)
A.“恰有一名男生”和“全是男生”
B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C.“至少有一名男生”和“全是男生”
D.“至少有一名男生”和“全是女生”
答案：A
解析：對于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，故A正確；對于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同時發(fā)生，即一名男生和一名女生的事件，故B錯誤；對于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同時發(fā)生，全是男生的事件，故C錯誤；對于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，故D錯誤.故選A.
4.打靶3次，事件Ai＝“擊中i發(fā)”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示　　　　　.
答案：至少擊中1發(fā)
解析：根據(jù)并事件的定義可知，A＝A1∪A2∪A3表示A1，A2，A3至少有一個發(fā)生，所以A＝A1∪A2∪A3表示至少擊中1發(fā).
課時分層評價43　隨機事件的運算
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.甲、乙兩個元件構成一串聯(lián)電路，設E：甲元件故障，F(xiàn)：乙元件故障，則表示電路故障的事件為(　　)
A.E∪F B.E∩F
C.E∩ D.∩
答案：A
解析：因為是串聯(lián)電路，所以甲故障或乙故障都會導致電路故障，則表示電路故障的事件為E∪F.
2.擲一枚骰子，設事件A＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于3}，B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，則(　　)
A.A∩B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}
B.A∪B＝Ω
C.事件A與B是互斥事件
D.事件A與B是對立事件
答案：A
解析：由題意得，事件A表示出現(xiàn)的點數(shù)是1或2或3；事件B表示出現(xiàn)的點數(shù)是2或4或6.故A∩B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}.故選A.
3.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點數(shù)是1或5”為事件B，則(　　)
A.A＝B
B.A∪B表示向上的點數(shù)是1或3
C.A∪B表示向上的點數(shù)是1或3或5
D.A∩B表示向上的點數(shù)是1或5
答案：C
解析：由題可知，“向上的點數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點數(shù)是1或5”為事件B，所以事件B不等于事件A，故A錯誤；事件A∪B表示“向上的點數(shù)是1或3或5”，故C正確，B錯誤；事件A∩B表示“向上的點數(shù)是1”，故D錯誤.故選C.
4.某省新高考將實行“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式.已知某同學已選了物理，記事件A＝“他選擇政治和地理”，事件B＝“他選擇化學和地理”，則事件A與事件B(　　)
A.是互斥事件，不是對立事件
B.是對立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是對立事件
D.既不是互斥事件，也不是對立事件
答案：A
解析：事件A＝“他選擇政治和地理”，事件B＝“他選擇化學和地理”，則事件A與事件B不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故事件A和B是互斥事件，但不是對立事件，故A正確.故選A.
5.從裝有10個紅球和10個白球的罐子里任取2球，下列情況中是互斥而不對立的兩個事件是(　　)
A.至少有一個紅球；至少有一個白球
B.恰有一個紅球；都是白球
C.至少有一個紅球；都是白球
D.至多有一個紅球；都是紅球
答案：B
解析：對于A，“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球，“至少有一個白球”可能為一個白球、一個紅球，故兩事件可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；對于B，“恰有一個紅球”，則另一個必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取2個球還有都是紅球的情形，故兩事件不是對立事件；對于C，“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”是對立事件；對于D，“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對立事件.故選B.
6.(多選題)拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：Ci＝“點數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“點數(shù)不大于2”，D2＝“點數(shù)大于2”，D3＝“點數(shù)大于4”.下列結(jié)論判斷正確的是(　　)
A.C1與C2互斥
B.D1∪D2＝Ω，D1D2＝
C.D3 D2
D.C2，C3為對立事件
答案：ABC
解析：對于A，由題意C1與C2不可能同時發(fā)生，它們互斥，故A正確；對于B，D1中點數(shù)為1或2，D2中點數(shù)為3，4，5或6，因此D1∪D2是必然事件，但它們不可能同時發(fā)生，因此D1D2為不可能事件，故B正確；對于C，D3發(fā)生時，D2一定發(fā)生，但D2發(fā)生時，D3可能不發(fā)生，因此D3 D2，故C正確；對于D，C2與C3不可能同時發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，故C2與C3互斥不對立，故D錯誤.故選ABC.
7.(開放題)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A＝{(正，反)}，寫出事件A的一個互斥事件　　　　(用集合表示，寫出一個即可).
答案：{(正，正)}(答案不唯一)
解析：同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所有可能的結(jié)果為：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，其中事件{(正，正)}，{(反，正)}，{(反，反)}與事件A都不可能同時發(fā)生，所以事件A的一個互斥事件可以是：{(正，正)}(答案不唯一).
8.拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點數(shù)分別為x，y，樣本空間為Ω＝{(x，y)｜x，y∈N*，x，y≤6}，點數(shù)之和為X，事件P＝“X＝4”，事件Q＝{(1，3)}，則事件P與事件Q的關系是　　　　.
答案：Q P
解析：事件P＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}，事件Q＝{(1，3)}，所以Q P.
9.(雙空題)甲、乙兩人破譯同一個密碼，記甲、乙破譯出密碼分別為事件A，B，則B∪A表示的含義是　　　　　　　，事件“密碼被破譯”可表示為　　　　　　　.
答案： 只有一人破譯出密碼　B∪A∪AB
解析：由題意代表甲沒有破譯出密碼，代表乙沒有破譯出密碼，則B表示甲沒有破譯同時乙破譯了，A表示甲破譯同時乙沒有破譯，所以B∪A的含義是只有一人破譯出密碼，事件“密碼被破譯”可以分為甲沒有破譯同時乙破譯了或甲破譯同時乙沒有破譯或甲乙都破譯了，所以可表示為B∪A∪AB.
10.(10分)骰子(tóu zi)，中國傳統(tǒng)民間娛樂用來投擲的博具.早在戰(zhàn)國時期就有.通常作為桌上游戲的小道具，最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個孔(或數(shù)字)，其相對兩面之數(shù)字和必為七.中國的骰子習慣在一點和四點漆上紅色.骰子是容易制作和取得的亂數(shù)產(chǎn)生器.骰經(jīng)常會被錯誤念成“shǎi”.現(xiàn)甲、乙兩人玩擲骰子(質(zhì)地均勻)游戲，每人擲同一枚骰子各一次，若兩人擲出的點數(shù)和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.
(1)記A＝“甲、乙兩人擲出的點數(shù)和為6”，寫出事件A包含的樣本點；
(2)現(xiàn)連玩三次，記B＝“甲至少贏一次”，C＝“乙至少贏兩次”，試問：B與C是否為互斥事件？為什么？
解：(1)用x，y表示甲、乙兩人擲出的點數(shù)，則(x，y)表示這個試驗的一個樣本點，
所以該試驗的樣本空間為S＝{(x，y)｜x∈N*，y∈N*，1≤x≤6，1≤y≤6}，共有36個樣本點，
事件A包含的樣本點共5個，即A＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)B與C不是互斥事件，由于連玩三次，
則事件B與C可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意，
所以事件B與C不是互斥事件.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：C1＝“點數(shù)不大于3”，C2＝“點數(shù)大于3”，C3＝“點數(shù)大于5”；D＝“點數(shù)為奇數(shù)”；Ei＝“點數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6.下列結(jié)論正確的是(　　)
A.C1∩D＝D B.D＝E1∪E3∪E5
C.C2與C3互斥 D.E1與E2對立
答案：B
解析：因為事件D含有“點數(shù)為5”的基本事件，而事件C1不含這個基本事件，故A不正確；事件D含有3個基本事件：“點數(shù)為1”，“點數(shù)為3”，“點數(shù)為5”，即D＝E1∪E3∪E5，故B正確；事件C2與C3都含有“點數(shù)為6”的基本事件，C2與C3不互斥，故C不正確；事件E1與E2不能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，E1與E2不對立，故D不正確.故選B.
12.(多選題)某飲料廠商開發(fā)了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎”“二等獎”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”，甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲中獎”，則(　　)
A.事件A和事件B是對立事件
B.事件A和事件C是對立事件
C.B∪C＝C
D.BC＝C
答案：BC
解析：因為A∪B表示“甲沒有中獎或甲獲得一等獎”，但甲可能獲得二等獎，即事件A和事件B不是對立事件，故A錯誤；事件A表示“甲沒有中獎”，事件C表示“甲中獎”，則事件A和事件C是互斥事件且和事件為必然事件，則事件A和事件C是對立事件，故B正確；因為B C，所以B∪C＝C，故C正確；BC＝B，故D錯誤.故選BC.
13.某人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多一次中靶”的對立事件為　　　　　　　.
答案：“兩次都中靶”
解析：因為連續(xù)射擊兩次可能有兩次都沒中靶，恰有一次中靶，兩次都中靶，所以事件“至多一次中靶”的對立事件為“兩次都中靶”.
14.(10分)連續(xù)擲一顆骰子兩次，觀察擲得的點數(shù).設A：第一次擲得的點數(shù)為1，Aj：第一次擲得的點數(shù)為1，第二次擲得的點數(shù)為j，其中j＝1，2，3，4，5，6，B：兩次擲得的點數(shù)之和為6，C：第二次擲得的點數(shù)比第一次的大3.
(1)寫出下列事件的對應集合：①A，B至少有一個發(fā)生；②A，B同時發(fā)生.
(2)分別判斷A與B，A與C，B與C是否為互斥事件.
(3)討論Aj與A的關系.
解：(1)①根據(jù)和事件的定義可得，A，B至少有一個發(fā)生為A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}；
②根據(jù)積事件的定義可得，A，B同時發(fā)生為A∩B＝{(1，5)}.
(2)因為A∩B＝{(1，5)}，A∩C＝{(1，4)}，故A與B不互斥，A與C不互斥，
又B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}，
所以B∩C＝ ，所以B與C互斥.
(3)由題意，A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
15.(5分)(多選題)甲、乙兩人參加某商場舉行的抽獎活動，中獎名額不限，設事件A為“甲中獎”，事件B為“乙中獎”，事件C為“甲、乙中至少有一人中獎”，則(　　)
A.A與B為互斥事件
B.B與C為對立事件
C.A∩B與為互斥事件
D.∩與C為對立事件
答案：CD
解析：因為事件A為“甲中獎”，事件B為“乙中獎”，事件C為“甲、乙中至少有一人中獎”，對于A，事件A與B可能同時發(fā)生，故A錯誤；對于B，事件C的對立事件為甲乙都不中獎，故B錯誤；對于C，由事件A∩B表示甲乙都中獎，事件表示甲乙都不中獎，所以不可能同時發(fā)生，所以A∩B與為互斥事件，故C正確；對于D，由事件∩表示甲乙都不中獎，事件C表示甲乙至少有一人中獎，所以∩與C為對立事件，故D正確.故選CD.
16.(15分)某班要進行一次辯論比賽，現(xiàn)有4名男生和2名女生隨機分成甲、乙兩個辯論小組，每組3人.考慮甲組的人員組成情況，記事件Ak＝“甲組有k名女生”，其中k＝0，1，2.
(1)事件A1含有多少個樣本點？
(2)若事件B＝“甲組至少有一名女生”，則事件B與事件Ak有怎樣的運算關系？
(3)判斷事件A2與事件∪A0是什么關系？
解：(1)用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因為事件A1＝“甲組有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含12個樣本點.
(2)事件B＝“甲組至少有一名女生”，其含義是甲組有一名女生或甲組有兩名女生，
所以B＝A1∪A2.
(3)因為A2與A0∪A1是對立事件，所以＝A0∪A1，所以∪A0＝A0∪A1，
所以事件A2與事件∪A0是對立事件.
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1.4　隨機事件的運算
　
第七章　§1　隨機現(xiàn)象與隨機事件
學習目標
1.了解隨機事件的并、交的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
2.理解互斥事件、對立事件的概念，并理清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng).
任務一　交事件與并事件
問題1.在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，若事件：C＝“點數(shù)為2”；E1＝“點數(shù)為1或2”；E2＝“點數(shù)為2或3”；借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？
提示：C＝{2}和E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.即E1∩E2＝C.
問題2.在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，若事件：D＝“點數(shù)不大于3”；E1＝“點數(shù)為1或2”；E2＝“點數(shù)為2或3”；借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)
系嗎？
提示：D＝{1，2，3}和E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.即E1∪E2＝D.
問題導思
隨機事件的運算
新知構建
事件的運算 交事件 并事件
定義 一般地，由事件A與事件B________所構成的事件，稱為事件A與事件B的交事件(或積事件) 一般地，由事件A和事件B______有一個發(fā)生(即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A，B都發(fā)生)所構成的事件，稱為事件A與事件B的并事件(或和事件)
符號 ________(或AB) __________________
都發(fā)生
至少
A∩B
A∪B(或A＋B)
事件的運算 交事件 并事件
圖示

含義 A與B同時發(fā)生 A與B至少有一個發(fā)生
“事件A與B至少有一個發(fā)生”的含義是什么？
提示：(1)事件A發(fā)生事件B不發(fā)生；(2)事件A不發(fā)生事件B發(fā)生；(3)事件A和事件B同時發(fā)生.
微思考
(鏈教材P192例4)盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}.
求：(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？
解：對于事件D，可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球或2個紅球、1個白球，故D＝A∪B.
典例
1
(2)事件C與A的交事件是什么事件？
解：對于事件C，可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球或2個紅球、1個白球或3個均為紅球，故C∩A＝A.
(3)設事件E＝{3個紅球}，事件F＝{3個球中至少有一個白球}，那么事件C與B，E分別是什么運算關系？C與F的交事件是什么事件？
解：由事件C包括的可能結(jié)果有1個紅球、2個白球，2個紅球、1個白球，3個紅球三種情況，故B C，E C，而事件F包括的可能結(jié)果有1個白球、2個紅球，2個白球、1個紅球，3個白球，所以C∩F＝{1個紅球、2個白球，2個紅球、1個白球}＝D.
事件間的運算方法
1.利用事件間運算的定義：列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進行事件間的運算.
2.利用Venn圖：借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進行運算.
規(guī)律方法
對點練1.(1)向上拋擲一枚均勻的骰子兩次，事件A表示兩次點數(shù)之和小于8，事件B表示兩次點數(shù)之和既能被2整除又能被3整除，則事件A∩B用樣本點表示為
A.{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}
B.{(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}
C.{(1，5)，(2，4)，(3，3)}
D.{(1，5)，(2，4)}
√
根據(jù)題意，事件A∩B表示兩次點數(shù)和為6，因此事件A∩B用樣本點表示為{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.故選A.
(2)(多選題)對空中移動的目標連續(xù)射擊兩次，設A＝{兩次都擊中目標}，B＝{兩次都沒擊中目標}，C＝{恰有一次擊中目標}，D＝{至少有一次擊中目標}，下列關系正確的是
A.A D B.A∪C＝B∪D
C.A∪C＝D D.B∪C＝D
√
√
對于A，事件D包含恰好一次擊中目標或兩次都擊中目標，所以A D，故A正確；對于B、C，A∪C＝D表示至少有一次擊中目標，B∪D＝Ω為樣本空間，故B錯誤，C正確；對于D，事件B∪C包含的事件為至多一次擊中目標，故D錯誤.故選AC.
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任務二　互斥事件與對立事件
問題3.在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，用集合的形式表示事件C3＝“點數(shù)為3”和事件C4＝“點數(shù)為4”，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這兩個事件之間的聯(lián)系嗎？
提示：C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝ .
問題4.在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件，用集合的形式表示事件F＝“點數(shù)為偶數(shù)”，事件G＝“點數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這兩個事件之間的聯(lián) 系嗎？
提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.F∪G＝Ω，F(xiàn)∩G＝ .
問題導思
互斥事件與對立事件
新知構建
事件
的關系 定義 圖形表示 符號表示
互斥
事件 一般地，______________的兩個事件A與B(A∩B＝ )稱為互斥事件.它可以理解為A，B同時發(fā)生這一事件是不可能事件 A∩B＝
不能同時發(fā)生
事件
的關系 定義 圖形表示 符號表示
對立
事件 A∩B＝____，
且A∪B＝____

Ω
命題“事件A與B為互斥事件”與命題“事件A與B為對立事件”之間是什么關系？(指充分性與必要性)
提示：根據(jù)互斥事件和對立事件的概念可知，“事件A與B為互斥事件”是“事件A與B為對立事件”的必要不充分條件.
微思考
(鏈教材P192例4)從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數(shù)從1～10各4張)中，任取一張.
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
解：是互斥事件，不是對立事件.
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立 事件.
典例
2
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
解：既是互斥事件，又是對立事件.
理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件.
(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”.
判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明 理由.
解：不是互斥事件，也不是對立事件.
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得牌點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件.
互斥事件和對立事件的判斷方法
1.判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試驗中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件.
2.判斷兩個事件是否為對立事件，主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生.如果這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件.只要有一個條件不成立，這兩個事件就不是對立事件.
規(guī)律方法
對點練2.(1)某飲料生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定中獎機會的新飲料.甲、乙、丙三名同學都購買了這種飲料，設事件A為“甲、乙、丙三名同學都中獎”，則與A互為對立事件的是
A.甲、乙、丙三名同學恰有兩人中獎
B.甲、乙、丙三名同學都不中獎
C.甲、乙、丙三名同學至少有一人不中獎
D.甲、乙、丙三名同學至多有一人不中獎
√
事件“甲、乙、丙三名同學都中獎”的對立事件是“甲、乙、丙三名同學至少有一人不中獎”.故選C.
(2)(多選題)不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有
A.2張卡片都不是紅色 B.2張卡片恰有一張藍色
C.2張卡片至少有一張為紅色 D.2張卡片都為綠色
√
√
√
6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有“2張都為紅色”、“2張都為綠色”、“2張都為藍色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍色”、“1張為綠色1張為藍色”，選項中給出的四個事件中與“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件是“2張卡片都不是紅色”，“2張卡片恰有一張藍色”，“2張卡片都為綠色”，其中“2張卡片至少有一張為紅色”包含事件“2張卡片都為紅色”，二者并非互斥.故選ABD.
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任務三　事件運算的綜合應用
(鏈教材P192例5)一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球(標號為1和2)，2個綠球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩個球顏色相同”，N＝“兩個球顏色不同”.
(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；
解：用數(shù)組(x1，x2)表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，
所以試驗的樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，
事件R＝{(1，2)，(2，1)}，事件G＝{(3，4)，(4，3)}，事件M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
事件N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}.
典例
3
(2)寫出事件R與G，M與N之間的關系；
解：由(1)知，R∩G＝ ，而R∪G≠Ω，所以事件R，G互斥，不對立；
M∩N＝ ，M∪N＝Ω，所以事件M，N互為對立事件.
(3)寫出事件R與事件G的并事件與事件M的關系.
解：由(1)知，R∪G＝M，所以事件M是事件R與事件G的并事件.
事件運算應注意的兩個問題
1.進行事件運算時，一要緊扣運算定義，二要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時借助Venn圖進行數(shù)學直觀分析.
2.互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系.在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不可能兩個都發(fā)生；而兩個對立事件必有一個發(fā)生，但是不可能兩個事件同時發(fā)生，也不可能兩個事件都不發(fā)生.
規(guī)律方法
對點練3.(1)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設事件A表示“兩彈都擊中飛機”，事件B表示“兩彈都沒擊中飛機”，事件C表示“恰有一彈擊中飛機”，事件D表示“至少有一彈擊中飛機”，下列關系不正確的是
A.A∩D＝A B.B∩D＝
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
√
“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，所以A∪B≠B∪D.故選D.
√
√
√

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課堂小結(jié)
任務
再現(xiàn) 1.交事件與并事件.2.互斥事件與對立事件
方法
提煉 列舉法、Venn圖法
易錯
警示 未弄清事件之間的關系，導致互斥、對立事件判斷錯誤
隨堂評價
1.把電影院的4張電影票隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號”是
A.對立事件 B.不可能事件
C.互斥事件 D.以上答案都不對
√
“甲分得4排1號”與“乙分得4排1號”是互斥事件.故選C.
2.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設事件A＝“點數(shù)為大于2小于5”，B＝“點數(shù)為偶數(shù)”，則A∩B表示的事件為
A.“點數(shù)為4” B.“點數(shù)為3或4”
C.“點數(shù)為偶數(shù)” D.“點數(shù)為大于2小于5”
√
A＝“點數(shù)為大于2小于5”＝{3，4}，B＝“點數(shù)為偶數(shù)”＝{2，4，6}，則A∩B＝{4}，故A∩B表示的事件為“點數(shù)為4”.故選A.
3.某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥而不對立的事件是
A.“恰有一名男生”和“全是男生”
B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C.“至少有一名男生”和“全是男生”
D.“至少有一名男生”和“全是女生”
√
對于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，故A正確；對于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同時發(fā)生，即一名男生和一名女生的事件，故B錯誤；對于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同時發(fā)生，全是男生的事件，故C錯誤；對于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，故D錯誤.故選A.
4.打靶3次，事件Ai＝“擊中i發(fā)”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示____________.
至少擊中1發(fā)
根據(jù)并事件的定義可知，A＝A1∪A2∪A3表示A1，A2，A3至少有一個發(fā)生，所以A＝A1∪A2∪A3表示至少擊中1發(fā).
返回
課時分層評價
√
因為是串聯(lián)電路，所以甲故障或乙故障都會導致電路故障，則表示電路故障的事件為E∪F.
2.擲一枚骰子，設事件A＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于3}，B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，則
A.A∩B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}
B.A∪B＝Ω
C.事件A與B是互斥事件
D.事件A與B是對立事件
√
由題意得，事件A表示出現(xiàn)的點數(shù)是1或2或3；事件B表示出現(xiàn)的點數(shù)是2或4或6.故A∩B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}.故選A.
3.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點數(shù)是1或5”為事件B，則
A.A＝B
B.A∪B表示向上的點數(shù)是1或3
C.A∪B表示向上的點數(shù)是1或3或5
D.A∩B表示向上的點數(shù)是1或5
√
由題可知，“向上的點數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點數(shù)是1或5”為事件B，所以事件B不等于事件A，故A錯誤；事件A∪B表示“向上的點數(shù)是1或3或5”，故C正確，B錯誤；事件A∩B表示“向上的點數(shù)是1”，故D錯誤.故選C.
4.某省新高考將實行“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式.已知某同學已選了物理，記事件A＝“他選擇政治和地理”，事件B＝“他選擇化學和地理”，則事件A與事件B
A.是互斥事件，不是對立事件 B.是對立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是對立事件 D.既不是互斥事件，也不是對立事件
√
事件A＝“他選擇政治和地理”，事件B＝“他選擇化學和地理”，則事件A與事件B不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故事件A和B是互斥事件，但不是對立事件，故A正確.故選A.
5.從裝有10個紅球和10個白球的罐子里任取2球，下列情況中是互斥而不對立的兩個事件是
A.至少有一個紅球；至少有一個白球
B.恰有一個紅球；都是白球
C.至少有一個紅球；都是白球
D.至多有一個紅球；都是紅球
√
對于A，“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球，“至少有一個白球”可能為一個白球、一個紅球，故兩事件可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；對于B，“恰有一個紅球”，則另一個必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取2個球還有都是紅球的情形，故兩事件不是對立事件；對于C，“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”是對立事件；對于D，“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對立事件.故選B.
6.(多選題)拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：Ci＝“點數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“點數(shù)不大于2”，D2＝“點數(shù)大于2”，D3＝“點數(shù)大于4”.下列結(jié)論判斷正確的是
A.C1與C2互斥 B.D1∪D2＝Ω，D1D2＝
C.D3 D2 D.C2，C3為對立事件
√
對于A，由題意C1與C2不可能同時發(fā)生，它們互斥，故A正確；對于B，D1中點數(shù)為1或2，D2中點數(shù)為3，4，5或6，因此D1∪D2是必然事件，但它們不可能同時發(fā)生，因此D1D2為不可能事件，故B正確；對于C，D3發(fā)生時，D2一定發(fā)生，但D2發(fā)生時，D3可能不發(fā)生，因此D3 D2，故C正確；對于D，C2與C3不可能同時發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，故C2與C3互斥不對立，故D錯誤.故選ABC.
√
√
7.(開放題)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A＝{(正，反)}，寫出事件A的一個互斥事件________________________(用集合表示，寫出一個即可).
同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所有可能的結(jié)果為：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，其中事件{(正，正)}，{(反，正)}，{(反，反)}與事件A都不可能同時發(fā)生，所以事件A的一個互斥事件可以是：{(正，正)}(答案不唯一).
{(正，正)}(答案不唯一)
8.拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點數(shù)分別為x，y，樣本空間為Ω＝{(x，y)｜x，y∈N*，x，y≤6}，點數(shù)之和為X，事件P＝“X＝4”，事件Q＝{(1，3)}，則事件P與事件Q的關系是__________.
事件P＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}，事件Q＝{(1，3)}，所以Q P.
Q P
只有一人破譯出密碼
10.(10分)骰子(tóu zi)，中國傳統(tǒng)民間娛樂用來投擲的博具.早在戰(zhàn)國時期就有.通常作為桌上游戲的小道具，最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個孔(或數(shù)字)，其相對兩面之數(shù)字和必為七.中國的骰子習慣在一點和四點漆上紅色.骰子是容易制作和取得的亂數(shù)產(chǎn)生器.骰經(jīng)常會被錯誤念成“shǎi”.現(xiàn)甲、乙兩人玩擲骰子(質(zhì)地均勻)游戲，每人擲同一枚骰子各一次，若兩人擲出的點數(shù)和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.
(1)記A＝“甲、乙兩人擲出的點數(shù)和為6”，寫出事件A包含的樣本點；
解：用x，y表示甲、乙兩人擲出的點數(shù)，則(x，y)表示這個試驗的一個樣本點，
所以該試驗的樣本空間為S＝{(x，y)｜x∈N*，y∈N*，1≤x≤6，1≤y≤6}，共有36個樣本點，
事件A包含的樣本點共5個，即A＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)現(xiàn)連玩三次，記B＝“甲至少贏一次”，C＝“乙至少贏兩次”，試問：B與C是否為互斥事件？為什么？
解：B與C不是互斥事件，由于連玩三次，
則事件B與C可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意，
所以事件B與C不是互斥事件.
11.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：C1＝“點數(shù)不大于3”，C2＝“點數(shù)大于3”，C3＝“點數(shù)大于5”；D＝“點數(shù)為奇數(shù)”；Ei＝“點數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6.下列結(jié)論正確的是
A.C1∩D＝D B.D＝E1∪E3∪E5
C.C2與C3互斥 D.E1與E2對立
√
因為事件D含有“點數(shù)為5”的基本事件，而事件C1不含這個基本事件，故A不正確；事件D含有3個基本事件：“點數(shù)為1”，“點數(shù)為3”，“點數(shù)為5”，即D＝E1∪E3∪E5，故B正確；事件C2與C3都含有“點數(shù)為6”的基本事件，C2與C3不互斥，故C不正確；事件E1與E2不能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，E1與E2不對立，故D不正確.故選B.
12.(多選題)某飲料廠商開發(fā)了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎”“二等獎”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”，甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲中獎”，則
A.事件A和事件B是對立事件 B.事件A和事件C是對立事件
C.B∪C＝C D.BC＝C
√
因為A∪B表示“甲沒有中獎或甲獲得一等獎”，但甲可能獲得二等獎，即事件A和事件B不是對立事件，故A錯誤；事件A表示“甲沒有中獎”，事件C表示“甲中獎”，則事件A和事件C是互斥事件且和事件為必然事件，則事件A和事件C是對立事件，故B正確；因為B C，所以B∪C＝C，故C正確；BC＝B，故D錯誤.故選BC.
√
13.某人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多一次中靶”的對立事件為________________.
“兩次都中靶”
因為連續(xù)射擊兩次可能有兩次都沒中靶，恰有一次中靶，兩次都中靶，所以事件“至多一次中靶”的對立事件為“兩次都中靶”.
14.(10分)連續(xù)擲一顆骰子兩次，觀察擲得的點數(shù).設A：第一次擲得的點數(shù)為1，Aj：第一次擲得的點數(shù)為1，第二次擲得的點數(shù)為j，其中j＝1，2，3，4，5，6，B：兩次擲得的點數(shù)之和為6，C：第二次擲得的點數(shù)比第一次的大3.
(1)寫出下列事件的對應集合：①A，B至少有一個發(fā)生；②A，B同時發(fā)生.
解：①根據(jù)和事件的定義可得，A，B至少有一個發(fā)生為A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}；
②根據(jù)積事件的定義可得，A，B同時發(fā)生為A∩B＝{(1，5)}.
(2)分別判斷A與B，A與C，B與C是否為互斥事件.
解：因為A∩B＝{(1，5)}，A∩C＝{(1，4)}，故A與B不互斥，A與C不互斥，
又B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}，
所以B∩C＝ ，所以B與C互斥.
(3)討論Aj與A的關系.
解：由題意，A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
√
√
16.(15分)某班要進行一次辯論比賽，現(xiàn)有4名男生和2名女生隨機分成甲、乙兩個辯論小組，每組3人.考慮甲組的人員組成情況，記事件Ak＝“甲組有k名女生”，其中k＝0，1，2.
(1)事件A1含有多少個樣本點？
解：用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因為事件A1＝“甲組有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含12個樣本點.
(2)若事件B＝“甲組至少有一名女生”，則事件B與事件Ak有怎樣的運算關系？
解：事件B＝“甲組至少有一名女生”，其含義是甲組有一名女生或甲組有兩名女生，
所以B＝A1∪A2.
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