資源簡介

§3　頻率與概率
學習目標 1.了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，會用頻率估計概率，培養數學運算的核心素養.　2.理解概率的意義，會用概率的意義解釋生活中的實例，培養數學抽象的核心素養.
任務一　頻率與概率的概念
問題1.利用計算機模擬拋擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數為20，100，500時各做5組試驗，得到事件A＝“一個正面朝上，一個反面朝上”發生的頻數nA和頻率fn(A)，結果如表所示：
序號 n＝20 n＝100 n＝500
頻數 頻率 頻數 頻率 頻數 頻率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
你能計算出A事件的概率嗎？頻率與概率有什么關系？
提示：拋擲兩枚硬幣的可能結果為(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，則事件A的概率為＝0.5.
(1)試驗次數n相同，頻率fn(A)可能不同，這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性.
(2)從整體來看，頻率在概率0.5附近波動.當試驗次數較少時，波動幅度較大；當試驗次數較大時，波動幅度較小，但試驗次數多的波動幅度并不全都比次數少的小，只是波動幅度小的可能性更大.
問題2.頻率和概率可以相等嗎？
提示：頻率和概率在某些情況下可以相等，但通常它們是不相等的.頻率具有隨機性，而概率是一個具體的值，隨著試驗次數的增加，頻率穩定在概率附近；常用頻率估計概率.
頻率與概率
頻率 概率
性質 具有穩定性 是一個常數
范圍 [0，1]
關系 在相同條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發生的頻率通常會在某個常數附近擺動，即隨機事件A發生的頻率具有穩定性.這時，把這個常數叫作隨機事件A的概率，記作P(A)
通常用頻率來估計概率
[微提醒]　頻率與概率的區別與聯系：(1)頻率本身是隨機的，是一個變量；而概率是一個確定的值，與每次試驗無關.(2)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率.(3)若A是隨機事件，則0≤P(A)≤1.
(多選題)下列說法不正確的是(　　)
A.某醫院治療某種疾病的治愈率為20％，前8人沒有治愈，則后兩個人一定治愈
B.甲乙兩人進行乒乓球比賽，乙獲勝的概率為，則比賽5場，乙勝2場
C.用某種藥物對患有咳嗽的400名病人進行治療，結果有300人有明顯效果.現對咳嗽的病人服用此藥，則估計會有明顯療效的可能性為75％
D.隨機試驗的頻率與概率相等
答案：ABD
解析：對于A，某醫院治療某種疾病的治愈率為20％，是說明有多大把握治愈，而不是具體的多少人能夠治愈，故A錯誤；對于B，概率是說明事件發生的可能性大小，其發生具有隨機性，雖然乙獲勝的概率為，但是比賽5場，乙勝2場的說法不符合定義，故B錯誤；對于C，估計會有明顯療效的可能性為＝0.75＝75％，故C正確；對于D，頻率和概率是兩個不同的概念，故D錯誤.故選ABD.
正確理解頻率與概率
1.概率是隨機事件發生的可能性大小的度量，是隨機事件A的本質屬性，隨機事件A發生的概率是大量重復試驗中事件A發生的頻率的穩定值.
2.隨機事件A在一次試驗中發生與否是隨機的，但隨機中含有規律性，而概率就是其規律性在數量上的反映.
對點練1.(1)下列三個命題：①任何事件的概率P(A)均滿足0＜P(A)＜1；②做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現正面，因此出現正面的概率是；③隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率.其中正確的有(　　)
A.0個 B.1個
C.2個 D.3個
(2)(多選題)下述關于頻率與概率的說法中，錯誤的是(　　)
A.設有一大批產品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品
B.利用隨機事件發生的頻率估計隨機事件的概率，即使隨機試驗的次數超過10 000，所估計出的概率也不一定很準確
C.頻率與概率的意義不一樣，但數值相等
D.做5次拋硬幣的試驗，結果2次出現反面，因此，拋一枚硬幣出現反面的概率是
答案：(1)A　(2)ACD
解析：(1)對于①，任何事件的概率P(A)均滿足0＜P(A)＜1為假命題，因為不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，故①錯誤；對于②，做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現正面，因此出現正面的概率是為假命題，因為是出現正面的頻率，故②錯誤；對于③，隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率為假命題，因為大量重復試驗，隨機事件頻率的穩定值才可以作為概率的估計值，故③錯誤.因此正確的說法是0個.故選A.
(2)對于A，從中任取100件，可能有10件是次品，故A錯誤；對于B，10 000次的界定沒有科學依據，“不一定很準確”的表達正確，試驗次數越多，頻率越穩定在概率值附近，但并非試驗次數越多，頻率就等于概率，故B正確；對于C，頻率與概率的意義不一樣，但數值近似相等，故C錯誤；對于D，做5次拋硬幣的試驗，結果2次出現反面，因此，拋一枚硬幣出現反面的頻率是，不是概率為，故D錯誤.故選ACD.
任務二　用頻率估計概率
國家乒乓球比賽的用球有嚴格標準，下面是有關部門對某乒乓球生產企業某批次產品的抽樣檢測，結果如表所示：
抽取球數目 50 100 200 500 1 000 2 000
優等品數目 45 92 194 470 954 1 902
優等品頻率
(1)計算表中優等品的各個頻率；
(2)從這批產品中任取一個乒乓球，質量檢測為優等品的概率約是多少？
解：(1)如表所示：
抽取球數目 50 100 200 500 1 000 2 000
優等品數目 45 92 194 470 954 1 902
優等品頻率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)根據頻率與概率的關系，可以認為從這批產品中任取一個乒乓球，質量檢測為優等品的概率約是0.95.
用頻率估計概率時的關注點
1.在實際問題中，常用事件發生的頻率作為概率的估計值.
2.通過頻率＝計算出頻率，再由頻率估算概率.
3.在用頻率估計概率時，要注意試驗次數n不能太小，只有當n很大時，頻率才會呈現出規律性，即在某個常數附近波動，則這個常數就是概率.
對點練2.(1)從某自動包裝機包裝的奶粉中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量分別為(單位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
用頻率估計概率，該包裝機包裝的袋裝奶粉質量在497.5 g～501.5 g之間的概率約為(　　)
A.0.1 B.0.15
C.0.25 D.0.5
(2)(多選題)某校為了解學校餐廳中午的用餐情況，分別統計了食用大米套餐和面食的人次數，剩下的為食用米線、漢堡等其它食品(每人只選一種)，結果如表所示：
總人次數 大米套餐人次數 面食人次數
1 000 550 260
假設隨機抽取一位同學，記中午吃大米套餐為事件M，吃面食為事件N，吃米線、漢堡等其他食品為事件H，若用頻率估計事件發生的概率，則(　　)
A.P(M)＝0.55 B.P(N)＝0.26
C.P(H)＝0.19 D.P(N∪H)＝0.65
答案：(1)C　(2)ABC
解析：(1)在所給的數據中，在497.5 g～501.5 g之間的數據有498，501，500，501，499共5個，所以數據在497.5 g～501.5 g之間的頻率為＝0.25.用頻率估計概率，則所求概率為0.25.故選C.
(2)用頻率估計概率得，P(M)＝＝0.55，P(N)＝＝0.26，P(H)＝＝0.19，故A、B、C正確；P(N∪H)表示事件N發生或事件H發生，且N與H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D錯誤.故選ABC.
任務三　概率在實際問題中的應用
假設甲、乙兩種品牌的同類產品在某地區市場上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現從這兩種品牌的產品中分別隨機抽取100個進行測試，統計結果如圖所示：
(1)估計甲品牌產品壽命小于200 h的概率；
(2)這兩種品牌產品中，某個產品已使用了200 h，試用頻率估計該產品是甲品牌的概率.
解：(1)甲品牌產品壽命小于200 h的頻率為＝，用頻率估計概率，所以甲品牌產品壽命小于200 h的概率為.
(2)根據抽樣結果，壽命大于200 h的產品共有75＋70＝145(個)，其中甲品牌產品是75個，
所以在樣本中，壽命大于200 h的產品是甲品牌的頻率是＝，
用頻率估計概率，所以已使用了200 h的該產品是甲品牌的概率為.
概率的實際應用
　　由于概率體現了隨機事件發生的可能性，所以在現實生活中我們可以根據隨機事件概率的大小去預測事件能否發生.從而對某些事情作出決策.當某隨機事件的概率未知時，可用樣本出現的頻率去近似估計總體中該事件發生的概率.
對點練3.對一批西裝進行了多次抽檢，并記錄結果如下表：
抽取件數 50 100 200 300 400 500
檢出次品 的件數 5 6 5 6 8 10
檢出次品 的頻率 0.1
(1)根據表中數據，計算并填寫每次抽檢中檢出次品的頻率；
(2)從這批西裝中任抽一件，抽到次品的頻率是多少？
(3)如果要銷售2 000件西裝，至少需額外準備多少件正品西裝供買到次品的顧客調換？
解：(1)檢出次品的頻率＝，填表如下：
抽取件數 50 100 200 300 400 500
檢出次品 的件數 5 6 5 6 8 10
檢出次品 的頻率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02
(2)抽取的件數總和為50＋100＋200＋300＋400＋500＝1 550，
檢出次品的件數總和為5＋6＋5＋6＋8＋10＝40，
故從這批西裝中任抽一件，抽到次品的頻率是＝≈0.026.
(3)如果要銷售2 000件西裝，則次品西裝的件數約為2 000×0.026＝52(件)，
所以至少需額外準備52件正品西裝供買到次品的顧客調換.
任務 再現 1.頻率與概率的意義.2.用頻率估計概率以及概率的應用
方法 提煉 數據分析
易錯 警示 概率的意義理解錯誤
1.已知某醫院治療一種疾病的治愈率為10％，下列說法正確的是(　　)
A.患此疾病的病人被治愈的可能性為10％
B.醫院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C.如果前9位病人都沒有治愈，第10位病人一定能被治愈
D.醫院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
答案：A
解析：某醫院治療一種疾病的治愈率為10％，對于A，患此疾病的病人被治愈的可能性為10％，故A正確；對于B，醫院接收10位患此疾病的病人，每個人被治愈的可能性為10％，不一定有一位病人被治愈，故B錯誤；對于C，如果前9位病人都沒有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C錯誤；對于D，醫院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D錯誤.故選A.
2.將兩枚質地均勻的骰子同時投擲，設事件A＝“兩枚骰子擲出點數均為偶數”，若連續投擲100次，則事件A發生的頻數為(　　)
A.20 B.25
C.50 D.無法確定
答案：D
解析：任意一次隨機試驗中，隨機事件的發生具有隨機性，即頻率(頻數與試驗次數的比值)具有隨機性，而隨試驗次數的增加，事件發生的頻率逐漸穩定于概率，具有穩定性，則投擲100次的試驗中，事件A發生的頻率有隨機性，故無法確定.故選D.
3.拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果連續拋擲2 025次，那么第2 024次出現正面朝上的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由概率的性質得無論試驗多少次，概率始終不變，故第2 024次出現正面朝上的概率是，故D正確.故選D.
4.為了調查秦嶺野生動物保護區內某種野生動物的數量，調查人員某天逮到這種動物400只，作好標記后放回，經過一星期后，又逮到這種動物500只，其中作過標記的有25只，按概率的方法估算，保護區內約有　　　　只該種動物.
答案：8 000
解析：根據題意，設保護區內約有x只這種動物，則有＝，解得x＝8 000，則保護區內約有8 000只這種動物.
課時分層評價46　頻率與概率
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.隨著互聯網的普及，網上購物已逐漸成為消費時尚，為了解消費者對網上購物的滿意情況，某公司隨機對4 500名網上購物消費者進行了調查(每名消費者限選一種情況回答)，統計結果如表：
滿意情況 不滿意 比較滿意 滿意 非常滿意
人數 200 n 2 100 1 000
根據表中數據，估計在網上購物的消費者群體中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由題意知，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以對網上購物“比較滿意”或“滿意”的人數為1 200＋2 100＝3 300，由頻率估計概率可得對網上購物“比較滿意”或“滿意”的概率為＝.故選C.
2.某煙花爆竹廠從20萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發現其中有5件不合格，那么請你估計該廠這20萬件產品中合格產品約有(　　)
A.17萬件 B.18萬件
C.19萬件 D.20萬件
答案：C
解析：因為某煙花爆竹廠從20萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發現其中有5件不合格，所以合格的有95件，所以合格率為95÷100＝95％，所以估計該廠這20萬件產品中合格產品約有20×95％＝19萬件.故選C.
3.投擲硬幣試驗，設A＝“正面朝上”，則下列論述正確的是(　　)
A.投擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發生的概率為
B.投擲10次硬幣，事件A發生的次數一定是5
C.投擲硬幣20次，事件A發生的頻率等于事件A發生的概率
D.投擲硬幣1萬次，事件A發生的頻率接近0.5
答案：D
解析：對于A，投擲2次硬幣，試驗結果有“兩個正面朝上，一個正面且一個反面朝上，一個反面且一個正面朝上和兩個反面朝上”四種情況，故事件“一個正面，一個反面”發生的概率為0.5，故A錯誤；對于B，每次投擲硬幣，事件A發生的概率都是0.5，事件A發生的次數可以是0，1，2，…，10中的任何一個，故B錯誤；對于C，投擲硬幣20次，事件A發生的概率都是0.5，而事件A發生的頻率根據試驗結果得到，只能說趨近于0.5，故C錯誤；對于D，投擲硬幣1萬次，事件A發生的頻率接近于事件A發生的概率0.5，故D正確.故選D.
4.某同學做立定投籃訓練，共做3組，每組投籃次數和命中的次數如下表：
第一組 第二組 第三組 合計
投籃次數 100 200 300 600
命中的次數 68 124 174 366
命中的頻率 0.68 0.62 0.58 0.61
根據表中的數據信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，則使誤差較小、可能性大的估計值是(　　)
A.0.58 B.0.61
C.0.62 D.0.68
答案：B
解析：由題可知，試驗次數越多，頻率越接近概率，對可能性的估計誤差越小，可能性越大，所以合計列對應的頻率最為合適.故選B.
5.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多種類，在我國的云南及周邊各省都有分布，春暖花開的時候是放蜂的好時節，養蜂人甲在某地區放養了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，養蜂人乙在同一地區放養了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中學生物小組在上述地區捕獲了1只黑小蜜蜂，假設每箱中蜜蜂的數量相同，那么，該生物小組的同學認為放養這只黑小蜜蜂的養蜂人可能性較大的是(　　)
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.不能確定
答案：B
解析：由題意可知，捕獲的黑小蜜蜂是養蜂人甲放養的概率為，是養蜂人乙放養的概率為，所以認為放養這只黑小蜜蜂的養蜂人可能性較大的是乙.故選B.
6.(多選題)某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：
投籃次數 投中兩分球的次數 投中三分球的次數
100 55 18
記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是(　　)
A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18
C.P(C)＝0.27 D.P(B＋C)＝0.55
答案：ABC
解析：根據題意，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，顯然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，則P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是A、B、C都正確，D不正確.故選ABC.
7.某社區為了解居民的受教育程度，隨機抽取了1 000名居民進行調查，其結果如下：
受教育程度 研究生 本科及以下
人數 100 900
現從該社區中隨機抽取一人，根據表中數據，估計此人具有研究生學歷的概率為　　　　.
答案：
解析：由題意知，根據樣本頻率估計概率，則估計此人具有研究生學歷的概率為＝.
8.下表是某種植物的種子在相同條件下發芽率試驗的結果.
種子個數n 100 400 900 1 500 2 500 4 000
發芽種子個數m 92 352 818 1 336 2 251 3 601
發芽種子頻率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根據表中的數據，可估計該植物的種子發芽的概率為　　　　(精確到0.1).
答案：0.9
解析：在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率總是接近于某個數，在它附近擺動，這個常數就是事件A的概率；觀察表格得到某種植物發芽的頻率穩定在0.9附近，所以估計該植物的種子發芽的概率為0.9.
9.一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的9個紅球，3個白球，若干個綠球，每次搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，經過大量重復試驗后，發現摸到綠球的頻率穩定在0.4，則袋中約有綠球　　　　　個.
答案：8
解析：因為通過大量重復的摸球試驗后，發現摸到綠球的頻率穩定在0.4，所以摸到綠球的概率為0.4，設不透明的袋中有x個綠球，因為袋中有9個紅個球，3個白球，所以＝0.4，解得x＝8.
10.(10分)如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查，調查結果如下：
所用時間(分鐘) [10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
選擇L1的人數 6 12 18 12 12
選擇L2的人數 0 4 16 16 4
(1)試用頻率估計概率，估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；
(2)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內趕到火車站，試用頻率估計概率，通過計算說明他們應如何選擇各自的路徑.
解：(1)調查的100人，其中40分鐘內不能趕到火車站有12＋12＋16＋4＝44(人)，因此40分鐘內不能趕到火車站的頻率為0.44，
用頻率估計概率，所以40分鐘內不能趕到火車站的概率為0.44.
(2)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內趕到火車站；
B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內趕到火車站，
根據題意，P(A1)＝＋＋＝0.6，
P(A2)＝＋＝0.5，
由P(A1)＞P(A2)，得甲應選擇路徑L1；
P(B1)＝＋＋＋＝0.8，
P(B2)＝＋＋＝0.9，
由P(B1)＜P(B2)，得乙應選擇路徑L2，
所以甲應選擇路徑L1，乙應選擇路徑L2.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.眾所周知，長時間玩手機可能影響視力.據調查，某校學生大約40％的人近視，而該校大約有30％的學生每天玩手機超過2 h，這些人的近視率約為50％.現從每天玩手機不超過2 h的學生中任意調查一名學生，則該名學生近視的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：設該校有a名同學，則由題意可得：約有0.4a的學生近視，約有0.3a的學生每天玩手機超過2 h，約有0.7a的學生每天玩手機不超過2 h.因為該校大約有30％的學生每天玩手機超過2 h，這些人的近視率約為50％，所以每天玩手機超過2 h的學生中近視的學生人數為0.3a×0.5＝0.15a，則每天玩手機不超過2 h的學生中有0.4a－0.15a＝0.25a的學生近視，所以從每天玩手機不超過2 h的學生中任意調查一名學生，該名學生近視的概率為P＝＝.故選B.
12.(多選題)第二次世界大戰中，英軍急需找到空戰中飛機的危險區域并加固鋼板.美國數理統計學家瓦爾德(Abraham Wald)研究了返航轟炸機的中彈情況.他畫了飛機的輪廓，并標示出彈孔位置.圖中的小黑點表示返航的轟炸機機身上所受到的德軍防空炮火的襲擊標記.根據這張圖，可以確定戰機需要加強防護的主要部位是(　　)
A.機頭部分 B.機翼部分
C.機腹部分 D.尾翼部分
答案：AC
解析：因為飛機每一部分在空中中彈情況都是等可能的，而飛回來的飛機的機頭和機腹部分鮮有彈孔，說明機頭和機腹部分較為危險，只要中彈就回不來了，機翼和尾翼部分彈孔密集，說明這兩部分危險性較小，比較耐打.故應該加強機頭和機腹部分.故選AC.
13.天氣預報預測在今后的三天中，每天下雨的概率都為60％.現采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用計算機產生了10組隨機數為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.據此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為　　　　.
答案：
解析：10組隨機數中，表示三天中恰有兩天下雨的有417，386，196，206，故這三天中恰有兩天下雨的概率近似為＝.
14.(10分)某地區為了實現產業的轉型發展，利用當地旅游資源豐富多樣的特點，決定大力發展旅游產業，一方面對現有旅游資源進行升級改造，另一方面不斷提高旅游服務水平.為此該地區旅游部門對所推出的報團游和自助游項目進行了深入調查，如表是該部門從去年某月到該地區旅游的游客中，隨機抽取的100位游客的滿意度調查表.
滿意度 老年人 中年人 青年人
報團游 自助游 報團游 自助游 報團游 自助游
滿意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不滿意 1 1 6 2 3 2
(1)由表中的數據分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報團游？
(2)為了提高服務水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的自助游游客中，隨機抽取2人征集改造建議，求這2人中有老年人的概率；
(3)若你朋友要到該地區旅游，根據表中的數據，你會建議他選擇哪種旅游項目？
解：(1)由表中數據可得老年人、中年人和青年人選擇報團游的頻率分別為P1＝＝，P2＝＝，P3＝＝，
因為P1＞P2＞P3，所以老年人更傾向于選擇報團游.
(2)由題意得滿意度為“不滿意”的自助游人群中，老年人有1人，記為a，中年人有2人，記為b，c，青年人有2人，記為d，e，從中隨機抽取2人，基本事件共10個，分別為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，
其中這2人中有老年人包含的基本事件有4個，分別為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，
所以這2人中有老年人的概率為P＝＝.
(3)根據表中的數據，得到：報團游的滿意率為P4＝＝，
自助游的滿意率為P5＝＝，
因為P4＞P5，所以建議他選擇報團游.
15.(5分)(新角度)對敏感性問題調查的關鍵是要設法消除被調查者的顧慮，使他們能如實回答問題.為調查學生是否有在校使用手機的情況時，某校設計如下調查方案：調查者在沒有旁人的情況下，獨自從一個箱子中隨機抽一只球，看過顏色后即放回，若抽到白球，則回答問題A，抽到紅球，則回答問題B，且箱子中只有白球和紅球.
問題A：你的生日的月份是否為偶數？(假設生日的月份為偶數的概率為)
問題B：你是否有在校使用手機？
已知該校在一次實際調查中，箱子中放有白球2個，紅球3個，調查結束后共收到1 000張有效答卷，其中有270張回答“是”，如果以頻率估計概率，估計該校學生有在校使用手機的概率是(精確到0.01)(　　)
A.0.09 B.0.12
C.0.20 D.0.27
答案：B
解析：由題意可知，回答問題A的學生人數為1 000×＝400，其中問題A回答“是”的人數為400×＝200，回答問題B的學生人數為1 000×＝600，其中問題B回答“是”的人數為270－200＝70，因此，估計該校學生有在校使用手機的概率是P＝≈0.12.故選B.
16.(15分)某地要舉辦一年一度為期一個月(30天)的大型商業峰會，一商店每天要訂購相同數量的一種食品，每個該食品的進價為0.6元，售價為1元，當天賣不完的食品按進價的半價退回，食品按每箱100個包裝.根據往年的銷售經驗，每天對該食品的需求量和當天到會的人數有關，為了確定訂購計劃，統計了往年的到會人數與需求量和到會人數與天數的有關數據如下：
到會人 數/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
需求 量/箱 400 450 500 550 600
天數 5 6 8 7 4
以到會人數位于各區間的頻率估計到會人數位于各區間的概率.
(1)估計商業峰會期間，該商店一天這種食品的需求量不超過500箱的概率；
(2)設商業峰會期間一天這種食品的銷售利潤為Y(單位：元)，當商業峰會期間這種食品一天的進貨量為550箱時，寫出Y的所有可能值，并估計Y不超過15 000元的概率.
解：(1)由表中數據可知商業峰會期間30天內，該商店一天這種食品的需求量不超過500箱的天數為5＋6＋8＝19，
所以估計商業峰會期間該商店一天這種食品的需求量不超過500箱的概率為.
(2)當峰會期間這種食品一天的進貨量為550箱時，
若到會人數位于區間(8 000，9 000]內，
則Y＝400×100×(1－0.6)＋150×100×(0.3－0.6)＝11 500元；
若到會人數位于區間(9 000，10 000]內，
則Y＝450×100×(1－0.6)＋100×100×(0.3－0.6)＝15 000元；
若到會人數位于區間(10 000，11 000]內，
則Y＝500×100×(1－0.6)＋50×100×(0.3－0.6)＝18 500元；
若到會人數超過11 000，則Y＝550×100×(1－0.6)＝22 000元.
即Y的所有可能值為11 500，15 000，18 500，22 000，
Y不超過15 000元，意味著到會人數不超過10 000，
到會人數不超過10 000的頻率為＝，
所以Y不超過15 000元的概率的估計值為.
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§3　頻率與概率
　
第七章　概率
學習目標
1.了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，會用頻率估計概率，培養數學運算的核心素養.　
2.理解概率的意義，會用概率的意義解釋生活中的實例，培養數學抽象的核心素養.
任務一　頻率與概率的概念
問題1.利用計算機模擬拋擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數為20，100，500時各做5組試驗，得到事件A＝“一個正面朝上，一個反面朝上”發生的頻數nA和頻率fn(A)，結果如表所示：
你能計算出A事件的概率嗎？頻率與概率有什么關系？
問題導思
序號 n＝20 n＝100 n＝500
頻數 頻率 頻數 頻率 頻數 頻率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
問題2.頻率和概率可以相等嗎？
提示：頻率和概率在某些情況下可以相等，但通常它們是不相等的.頻率具有隨機性，而概率是一個具體的值，隨著試驗次數的增加，頻率穩定在概率附近；常用頻率估計概率.
頻率與概率
新知構建
頻率 概率
性質 具有穩定性 是一個常數
范圍 [0，1]
關系 在相同條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發生的頻率通常會在__________附近擺動，即隨機事件A發生的頻率具有________.這時，把這個常數叫作隨機事件A的概率，記作P(A)
通常用頻率來估計概率
某個常數
穩定性
頻率與概率的區別與聯系：(1)頻率本身是隨機的，是一個變量；而概率是一個確定的值，與每次試驗無關.(2)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率.(3)若A是隨機事件，則0≤P(A)≤1.
微提醒
√
典例
1
√
√

正確理解頻率與概率
1.概率是隨機事件發生的可能性大小的度量，是隨機事件A的本質屬性，隨機事件A發生的概率是大量重復試驗中事件A發生的頻率的穩定值.
2.隨機事件A在一次試驗中發生與否是隨機的，但隨機中含有規律性，而概率就是其規律性在數量上的反映.
規律方法
√
√
√
√

返回
任務二　用頻率估計概率
國家乒乓球比賽的用球有嚴格標準，下面是有關部門對某乒乓球生產企業某批次產品的抽樣檢測，結果如表所示：
(1)計算表中優等品的各個頻率；
典例
2
抽取球數目 50 100 200 500 1 000 2 000
優等品數目 45 92 194 470 954 1 902
優等品頻率
解：如表所示：
抽取球數目 50 100 200 500 1 000 2 000
優等品數目 45 92 194 470 954 1 902
優等品頻率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)從這批產品中任取一個乒乓球，質量檢測為優等品的概率約是多少？
解：根據頻率與概率的關系，可以認為從這批產品中任取一個乒乓球，質量檢測為優等品的概率約是0.95.
抽取球數目 50 100 200 500 1 000 2 000
優等品數目 45 92 194 470 954 1 902
優等品頻率
規律方法
對點練2.(1)從某自動包裝機包裝的奶粉中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量分別為(單位：g)：
用頻率估計概率，該包裝機包裝的袋裝奶粉質量在497.5 g～501.5 g之間的概率約為
A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5
√
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499

(2)(多選題)某校為了解學校餐廳中午的用餐情況，分別統計了食用大米套餐和面食的人次數，剩下的為食用米線、漢堡等其它食品(每人只選一種)，結果如表所示：
假設隨機抽取一位同學，記中午吃大米套餐為事件M，吃面食為事件N，吃米線、漢堡等其他食品為事件H，若用頻率估計事件發生的概率，則
A.P(M)＝0.55 B.P(N)＝0.26
C.P(H)＝0.19 D.P(N∪H)＝0.65
總人次數 大米套餐人次數 面食人次數
1 000 550 260
√
√
√

總人次數 大米套餐人次數 面食人次數
1 000 550 260
返回
任務三　概率在實際問題中的應用
典例
3
概率的實際應用
　　由于概率體現了隨機事件發生的可能性，所以在現實生活中我們可以根據隨機事件概率的大小去預測事件能否發生.從而對某些事情作出決策.當某隨機事件的概率未知時，可用樣本出現的頻率去近似估計總體中該事件發生的概率.
規律方法
對點練3.對一批西裝進行了多次抽檢，并記錄結果如下表：
(1)根據表中數據，計算并填寫每次抽檢中檢出次品的頻率；
抽取件數 50 100 200 300 400 500
檢出次品的件數 5 6 5 6 8 10
檢出次品的頻率 0.1
抽取件數 50 100 200 300 400 500
檢出次品的件數 5 6 5 6 8 10
檢出次品的頻率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02
抽取件數 50 100 200 300 400 500
檢出次品的件數 5 6 5 6 8 10
檢出次品的頻率 0.1
(3)如果要銷售2 000件西裝，至少需額外準備多少件正品西裝供買到次品的顧客調換？
解：如果要銷售2 000件西裝，則次品西裝的件數約為2 000×0.026＝52(件)，
所以至少需額外準備52件正品西裝供買到次品的顧客調換.
抽取件數 50 100 200 300 400 500
檢出次品的件數 5 6 5 6 8 10
檢出次品的頻率 0.1
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課堂小結
任務
再現 1.頻率與概率的意義.2.用頻率估計概率以及概率的應用
方法
提煉 數據分析
易錯
警示 概率的意義理解錯誤
隨堂評價
1.已知某醫院治療一種疾病的治愈率為10％，下列說法正確的是
A.患此疾病的病人被治愈的可能性為10％
B.醫院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C.如果前9位病人都沒有治愈，第10位病人一定能被治愈
D.醫院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
√
某醫院治療一種疾病的治愈率為10％，對于A，患此疾病的病人被治愈的可能性為10％，故A正確；對于B，醫院接收10位患此疾病的病人，每個人被治愈的可能性為10％，不一定有一位病人被治愈，故B錯誤；對于C，如果前9位病人都沒有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C錯誤；對于D，醫院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D錯誤.故選A.
2.將兩枚質地均勻的骰子同時投擲，設事件A＝“兩枚骰子擲出點數均為偶數”，若連續投擲100次，則事件A發生的頻數為
A.20 B.25
C.50 D.無法確定
√
任意一次隨機試驗中，隨機事件的發生具有隨機性，即頻率(頻數與試驗次數的比值)具有隨機性，而隨試驗次數的增加，事件發生的頻率逐漸穩定于概率，具有穩定性，則投擲100次的試驗中，事件A發生的頻率有隨機性，故無法確定.故選D.
√
4.為了調查秦嶺野生動物保護區內某種野生動物的數量，調查人員某天逮到這種動物400只，作好標記后放回，經過一星期后，又逮到這種動物500只，其中作過標記的有25只，按概率的方法估算，保護區內約有__________只該種動物.
8 000
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課時分層評價
√
滿意情況 不滿意 比較滿意 滿意 非常滿意
人數 200 n 2 100 1 000

滿意情況 不滿意 比較滿意 滿意 非常滿意
人數 200 n 2 100 1 000
2.某煙花爆竹廠從20萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發現其中有5件不合格，那么請你估計該廠這20萬件產品中合格產品約有
A.17萬件 B.18萬件
C.19萬件 D.20萬件
√
因為某煙花爆竹廠從20萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發現其中有5件不合格，所以合格的有95件，所以合格率為95÷100＝ 95％，所以估計該廠這20萬件產品中合格產品約有20×95％＝19萬件.故選C.
√
對于A，投擲2次硬幣，試驗結果有“兩個正面朝上，一個正面且一個反面朝上，一個反面且一個正面朝上和兩個反面朝上”四種情況，故事件“一個正面，一個反面”發生的概率為0.5，故A錯誤；對于B，每次投擲硬幣，事件A發生的概率都是0.5，事件A發生的次數可以是0，1，2，…，10中的任何一個，故B錯誤；對于C，投擲硬幣20次，事件A發生的概率都是0.5，而事件A發生的頻率根據試驗結果得到，只能說趨近于0.5，故C錯誤；對于D，投擲硬幣1萬次，事件A發生的頻率接近于事件A發生的概率0.5，故D正確.故選D.
4.某同學做立定投籃訓練，共做3組，每組投籃次數和命中的次數如下表：
根據表中的數據信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，則使誤差較小、可能性大的估計值是
A.0.58 B.0.61 C.0.62 D.0.68
√
由題可知，試驗次數越多，頻率越接近概率，對可能性的估計誤差越小，可能性越大，所以合計列對應的頻率最為合適.故選B.
第一組 第二組 第三組 合計
投籃次數 100 200 300 600
命中的次數 68 124 174 366
命中的頻率 0.68 0.62 0.58 0.61
5.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多種類，在我國的云南及周邊各省都有分布，春暖花開的時候是放蜂的好時節，養蜂人甲在某地區放養了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，養蜂人乙在同一地區放養了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中學生物小組在上述地區捕獲了1只黑小蜜蜂，假設每箱中蜜蜂的數量相同，那么，該生物小組的同學認為放養這只黑小蜜蜂的養蜂人可能性較大的是
A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.不能確定
√

6.(多選題)某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：
記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是
A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18
C.P(C)＝0.27 D.P(B＋C)＝0.55
√
投籃次數 投中兩分球的次數 投中三分球的次數
100 55 18
√
√

投籃次數 投中兩分球的次數 投中三分球的次數
100 55 18
7.某社區為了解居民的受教育程度，隨機抽取了1 000名居民進行調查，其結果如下：
現從該社區中隨機抽取一人，根據表中數據，估計此人具有研究生學歷的概率為______.
受教育程度 研究生 本科及以下
人數 100 900

8.下表是某種植物的種子在相同條件下發芽率試驗的結果.
根據表中的數據，可估計該植物的種子發芽的概率為_______(精確到0.1).
在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率總是接近于某個數，在它附近擺動，這個常數就是事件A的概率；觀察表格得到某種植物發芽的頻率穩定在0.9附近，所以估計該植物的種子發芽的概率為0.9.
種子個數n 100 400 900 1 500 2 500 4 000
發芽種子個數m 92 352 818 1 336 2 251 3 601
0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
0.9
9.一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的9個紅球，3個白球，若干個綠球，每次搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，經過大量重復試驗后，發現摸到綠球的頻率穩定在0.4，則袋中約有綠球_______個.

8
10.(10分)如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現
隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查，調查結果
如下：
(1)試用頻率估計概率，估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；
所用時間(分鐘) [10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
選擇L1的人數 6 12 18 12 12
選擇L2的人數 0 4 16 16 4
解：調查的100人，其中40分鐘內不能趕到火車站有12＋12＋16＋4＝44(人)，因此40分鐘內不能趕到火車站的頻率為0.44，
用頻率估計概率，所以40分鐘內不能趕到火車站的概率為0.44.
所用時間(分鐘) [10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
選擇L1的人數 6 12 18 12 12
選擇L2的人數 0 4 16 16 4
√

12.(多選題)第二次世界大戰中，英軍急需找到空戰中飛機的危險區域并加固鋼板.美國數理統計學家瓦爾德(Abraham Wald)研究了返航轟炸機的中彈情況.他畫了飛機的輪廓，并標示出彈孔位置.圖中的小黑點表示返航的轟炸機機身上所受到的德軍防空炮火的襲擊標記.根據這張圖，可以確定戰機需要加強防護的主要部位是
A.機頭部分
B.機翼部分
C.機腹部分
D.尾翼部分
√
√
因為飛機每一部分在空中中彈情況都是等可能的，
而飛回來的飛機的機頭和機腹部分鮮有彈孔，說明
機頭和機腹部分較為危險，只要中彈就回不來了，
機翼和尾翼部分彈孔密集，說明這兩部分危險性較
小，比較耐打.故應該加強機頭和機腹部分.故選AC.
13.天氣預報預測在今后的三天中，每天下雨的概率都為60％.現采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用計算機產生了10組隨機數為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.據此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為______.

14.(10分)某地區為了實現產業的轉型發展，利用當地旅游資源豐富多樣的特點，決定大力發展旅游產業，一方面對現有旅游資源進行升級改造，另一方面不斷提高旅游服務水平.為此該地區旅游部門對所推出的報團游和自助游項目進行了深入調查，如表是該部門從去年某月到該地區旅游的游客中，隨機抽取的100位游客的滿意度調查表.
(1)由表中的數據分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報團游？
滿意度 老年人 中年人 青年人
報團游 自助游 報團游 自助游 報團游 自助游
滿意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不滿意 1 1 6 2 3 2
滿意度 老年人 中年人 青年人
報團游 自助游 報團游 自助游 報團游 自助游
滿意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不滿意 1 1 6 2 3 2
滿意度 老年人 中年人 青年人
報團游 自助游 報團游 自助游 報團游 自助游
滿意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不滿意 1 1 6 2 3 2
滿意度 老年人 中年人 青年人
報團游 自助游 報團游 自助游 報團游 自助游
滿意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不滿意 1 1 6 2 3 2
√

16.(15分)某地要舉辦一年一度為期一個月(30天)的大型商業峰會，一商店每天要訂購相同數量的一種食品，每個該食品的進價為0.6元，售價為1元，當天賣不完的食品按進價的半價退回，食品按每箱100個包裝.根據往年的銷售經驗，每天對該食品的需求量和當天到會的人數有關，為了確定訂購計劃，統計了往年的到會人數與需求量和到會人數與天數的有關數據如下：
以到會人數位于各區間的頻率估計到會人數位于各區間的概率.
(1)估計商業峰會期間，該商店一天這種食品的需求量不超過500箱的概率；
到會人數/人 (8 000，
9 000] (9 000，
10 000] (10 000，
11 000] (11 000，
12 000] (12 000，
13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
天數 5 6 8 7 4
到會人數/人 (8 000，
9 000] (9 000，
10 000] (10 000，
11 000] (11 000，
12 000] (12 000，
13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
天數 5 6 8 7 4
(2)設商業峰會期間一天這種食品的銷售利潤為Y(單位：元)，當商業峰會期間這種食品一天的進貨量為550箱時，寫出Y的所有可能值，并估計Y不超過15 000元的概率.
解：當峰會期間這種食品一天的進貨量為550箱時，
若到會人數位于區間(8 000，9 000]內，
則Y＝400×100×(1－0.6)＋150×100×(0.3－0.6)＝11 500元；
若到會人數位于區間(9 000，10 000]內，
則Y＝450×100×(1－0.6)＋100×100×(0.3－0.6)＝15 000元；
到會人數/人 (8 000，
9 000] (9 000，
10 000] (10 000，
11 000] (11 000，
12 000] (12 000，
13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
天數 5 6 8 7 4
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