資源簡介

§4　事件的獨立性
學習目標 1.結合具體試驗理解相互獨立事件的含義，會對事件的獨立性進行判斷，培養數學抽象的核心素養.　2.掌握相互獨立事件的性質及概率公式，會求相互獨立事件同時發生的概率.　3.能綜合運用互斥事件的概率加法公式及相互獨立事件的乘法公式解題，培養數學運算的核心素養.
任務一　相互獨立事件的判斷
問題.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A＝“第一枚硬幣正面朝上”，B＝“第二枚硬幣反面朝上”.計算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發現？
提示：用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4個等可能的樣本點.而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}.由古典概型概率公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，于是P(AB)＝P(A)P(B).
相互獨立事件
相互獨立事件 相關內容
定義 事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫作相互獨立事件
兩個相互獨立事件同時發生的概率公式 P(AB)＝P(A)P(B)
性質 若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立
[微思考]　(1)事件A與B相互獨立可以推廣到n個事件的一般情形嗎？
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推廣到一般情形嗎？
提示：(1)對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任何一個事件發生的概率不受其他事件是否發生的影響，則稱事件A1，A2，…，An相互獨立.
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推廣到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
(多選題)下列各對事件中，為相互獨立事件的是(　　)
A.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”
B.袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩次球，每次摸一個球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩次球，每次摸一個球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D.擲一枚骰子一次，事件M“出現偶數點”，事件N“出現3點或6點”
答案：ABD
解析：對于A，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事件的發生沒有影響，所以它們是相互獨立的，故A正確；對于B，由于第1次摸到球有放回，因此不會對第2次摸到球的概率產生影響，因此是相互獨立事件，故B正確；對于C，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產生影響，因此不是相互獨立事件，故C錯誤；對于D，樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件MN＝{6}，所以P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝，即P(MN)＝P(M)P(N).故事件M與N相互獨立，故D正確.故選ABD.
兩個事件是否相互獨立的判斷
1.定義法：由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響.
2.充要條件法：事件A，B相互獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)P(B).
對點練1.(1)甲、乙兩名射手同時向一目標射擊，設事件A：“甲擊中目標”，事件B：“乙擊中目標”，則事件A與事件B(　　)
A.相互獨立但不互斥
B.互斥但不相互獨立
C.相互獨立且互斥
D.既不相互獨立也不互斥
(2)拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，H1表示事件“Ⅰ號骰子出現的數字是2”，H2表示事件“Ⅱ號骰子出現的數字是3”，H3表示事件“兩個點數之和是8”，H4表示事件“兩個點數之和是9”，則(　　)
A.H2與H4相互獨立 B.H1與H3相互獨立
C.H1與H2相互獨立 D.H1與H4相互獨立
答案：(1)A　(2)C
解析：(1)對同一目標射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標是互不影響的，所以事件A與B相互獨立；對同一目標射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標，也就是說事件A與B可能同時發生，所以事件A與B不是互斥事件.故選A.
(2)根據題意，P(H1)＝＝，P(H2)＝＝，P(H3)＝，P(H4)＝＝，對于A，P(H2H4)＝，P(H2)P(H4)＝×＝≠P(H2H4)，H2和H4互相不獨立，故A錯誤；對于B，P(H1H3)＝，P(H1)P(H3)＝×＝≠P(H1H3)，H1和H3互相不獨立，故B錯誤；對于C，P(H1H2)＝，P(H1)P(H2)＝×＝＝P(H1H2)，H1和H2互相獨立，故C正確；對于D，P(H1H4)＝0，P(H1)P(H4)＝×＝≠P(H1H4)，H1和H4互相不獨立，故D錯誤.故選C.
任務二　相互獨立事件同時發生的概率
(鏈教材P215例1)甲、乙兩射擊運動員分別對一目標射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：
(1)2人都射中目標的概率；
(2)2人中恰有1人射中目標的概率；
(3)2人至少有1人射中目標的概率；
(4)2人至多有1人射中目標的概率.
解：(1)設“甲射擊1次，擊中目標”為事件A，“乙射擊1次，擊中目標”為事件B，則A與B，與B，A與，為相互獨立事件.
則2人都射中目標的概率為P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射擊1次，恰有1人射中目標”包括兩種情況：一種是甲射中、乙未射中(事件A發生)，另一種是甲未射中、乙射中(事件B發生).根據題意，事件AB互斥，
根據互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，所求的概率為P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中目標”包括“2人都中”和“2人有1人射中”兩種情況，
其概率為P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目標”包括“有1人射中”和“2人都未射中”兩種情況，
故所求概率為P＝P()＋P(A)＋P(B)
＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
第一步：首先確定各事件之間是相互獨立的；
第二步：求出每個事件的概率，再求積；
第三步：使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的.
對點練2.某工藝廠準備燒制甲、乙兩件不同的工藝品，制作過程必須先后經過2次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立.根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙兩件產品合格的概率依次為0.6，0.75，經過第二次燒制后，甲、乙兩件產品合格的概率依次為0.5，0.4.
(1)求第一次燒制后至少有一件產品合格的概率；
(2)經過前后兩次燒制后，求合格工藝品的個數為1的概率P.
解：(1)設事件A表示甲工藝品第一次燒制后合格，事件B表示乙工藝品第一次燒制后合格，事件C表示第一次燒制后至少有一件產品合格，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.75，
P(C)＝1－P()＝1－0.4×0.25＝0.9，
即第一次燒制后至少有一件產品合格的概率為0.9.
(2)甲工藝品兩次燒制后合格的概率為P1＝0.6×0.5＝0.3，
乙工藝品兩次燒制后合格的概率為P2＝0.75×0.4＝0.3，
則經過兩次燒制后，恰有1個產品是合格品的概率為P＝0.3×0.7×2＝0.42.
任務三　相互獨立事件概率的綜合應用
甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人都做錯的概率是.
(1)分別求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；
(2)求甲、乙、丙中恰有一個人做對這道題的概率.
解：(1)設甲、乙、丙做對這道題分別為事件A，B，C，則P(A)＝，
由題意得，
所以
所以
所以乙做對這道題的概率為，丙做對這道題的概率為，丙做對這道題的概率為.
(2)設甲、乙、丙中恰有一個人做對這道題為事件D，
則P(D)＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝，
所以甲、乙、丙中恰有一個人做對這道題的概率為.
求較復雜事件的概率的方法
1.列出題中涉及的各個事件，并且用適當的符號表示.
2.理清事件之間的關系(兩個事件是互斥還是對立，或者是相互獨立的)，列出關系式.
3.根據事件之間的關系準確選取概率公式進行計算.
4.當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率.
對點練3.“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節的一項活動，出現在宋朝.南宋時，首都臨安每逢元宵節時制謎，猜謎的人眾多.在一次元宵節猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學獨立競猜，甲同學猜對了15道，乙同學猜對了8道，丙同學猜對了n道.假設每道燈謎被猜對的可能性都相等.
(1)任選一道燈謎，求甲、乙兩位同學恰有一個人猜對的概率；
(2)任選一道燈謎，若甲、乙、丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求n的值.
解：(1)設A＝“任選一道燈謎甲猜對”，B＝“任選一道燈謎乙猜對”，
則P(A)＝＝，P(B)＝＝，
可得P()＝，P()＝，
“甲、乙兩位同學恰有一個人猜對”＝A∪B，且AB互斥.
每位同學獨立競猜，故A，B互相獨立，則A與，與B，均相互獨立.
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝，
所以甲、乙兩位同學恰有一個人猜對的概率為.
(2)設C＝“任選一道燈謎丙猜對”，D＝“甲、乙、丙三個人中至少有一個人猜對”，則P(C)＝，P()＝1－，＝.
所以P(D)＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－××(1－)＝，解得n＝16，
所以n的值為16.
[教材拓展8]　公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)的應用(源于教材P221B組T2)
【常用結論】　若事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
若事件A，B獨立，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B).
(1)已知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，則P(A∪B)＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)端午節吃粽子是我國的一個民俗，記事件A＝“甲端午節吃甜粽子”，記事件B＝ “乙端午節吃咸粽子”，且P(A)＝，P(B)＝，事件A與事件B相互獨立，則P(A∪B)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：(1)C　(2)D
解析：(1)由P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝.故選C.
(2)由事件A與事件B相互獨立，得P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.故選D.
對點練4.(1)某班共有48名同學，其中12名同學精通樂器，8名同學擅長舞蹈，從該班中任選一名同學了解其藝術特長.設事件A＝“選中的同學精通樂器”，B＝“選中的同學擅長舞蹈”，若P(A∪B)＝，則P(AB)＝(　　)
A. B. C. D.
(2)隨機事件A發生的概率為，隨機事件B發生的概率為，則事件A，B同時發生的概率的取值范圍是(　　)
A.［，］ B.［，］
C.［，］ D.［，］
答案：(1)C　(2)C
解析：(1)由題意知，P(A)＝＝，P(B)＝＝，因為P(A∪B)＝，所以P(A)＋P(B)－P(AB)＝，即＋－P(AB)＝，解得P(AB)＝.故選C.
(2)根據題意，P(A)＝，P(B)＝，由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)≤1，得P(AB)≥P(A)＋P(B)－1＝＋－1＝，又P(A)＞P(B)，則當B A時，P(AB)＝P(B)＝，所以事件A，B同時發生的概率的取值范圍是［，］.故選C.
任務 再現 1.相互獨立事件的概念及判斷.2.相互獨立事件同時發生的概率及其應用
方法 提煉 轉化法
易錯 警示 把互斥事件與相互獨立事件混淆
1.若A與B是相互獨立事件，則下面不是相互獨立事件的是(　　)
A.A與 B.A與
C.與B D.與
答案：A
解析：A與是對立事件.故選A.
2.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是0.4，0.5，則兩人都能成功破譯的概率是(　　)
A.0.2 B.0.3
C.0.45 D.0.9
答案：A
解析：記兩人都能成功破譯為事件A，則P(A)＝0.4×0.5＝0.2.故選A.
3.天氣預報表明在國慶假期甲地降雨概率是0.4，乙地降雨概率是0.3.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為(　　)
A.0.28 B.0.42
C.0.46 D.0.56
答案：C
解析：這兩地中恰有一個地方降雨的概率為0.4×(1－0.3)＋(1－0.4)×0.3＝0.28＋0.18＝0.46.故選C.
4.已知事件A與事件B相互獨立，若P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，則P(B)＝　　　　　.
答案：0.28
解析：因為事件A與事件B相互獨立，所以事件與事件B相互獨立.因為P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，所以P()＝1－0.3＝0.7.所以P(B)＝P()P(B)＝0.7×0.4＝0.28.
課時分層評價47　事件的獨立性
(時間：40分鐘　滿分：100分)
(1—9題，每小題5分，共45分)
1.擲兩枚質地均勻的骰子，設A＝“第一枚出現小于4的點”，B＝“第二枚出現大于3的點”，則A與B的關系為(　　)
A.互斥 B.互為對立
C.相互獨立 D.相等
答案：C
解析：對于該試驗，第一枚骰子與第二枚骰子出現點數互不影響，故A與B相互獨立.故選C.
2.拋擲一枚質地均勻的骰子一次，記事件A：“出現偶數點”，事件B：“出現3 點或4 點”，則事件A與事件 B的關系為 (　　)
A.是相互獨立事件，不是互斥事件
B.是互斥事件，不是相互獨立事件
C.既是相互獨立事件又是互斥事件
D.既不是互斥事件也不是相互獨立事件
答案：A
解析：因為A＝{2，4，6}，B＝{3，4}，所以A∩B＝{4}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與事件B是相互獨立事件，不是互斥事件.故選A.
3.投擲一枚均勻硬幣和一個均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數大于4”為事件B，則事件A，B中至少有一個發生的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由題意得事件A，B中至少有一個發生的對立事件是事件A，B都不發生，而事件A不發生的概率為，事件B不發生的概率為，所以事件A，B都不發生的概率為×＝，故事件A，B中至少有一個發生的概率是1－＝，故D正確.故選D.
4.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，若甲、乙各射擊一次，則(　　)
A.兩人都中靶的概率為0.12
B.兩人都不中靶的概率為0.42
C.恰有一人中靶的概率為0.46
D.至少一人中靶的概率為0.74
答案：C
解析：設甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，P(A)＝0.6，P(B)＝0.7，則兩人都中靶的概率為P(A)×P(B)＝0.6×0.7＝0.42，兩人都不中靶的概率為[1－P(A)]×[1－P(B)]＝0.4×0.3＝0.12，恰有一人中靶的概率為[1－P(A)]×P(B)＋P(A)[1－P(B)]＝0.4×0.7＋0.6×0.3＝0.46，至少一人中靶的概率為1－0.3×0.4＝0.88.故選C.
5.從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋中各摸出一個球，則等于(　　)
A.2個球不都是紅球的概率
B.2個球都是紅球的概率
C.至少有1個紅球的概率
D.2個球中恰有1個紅球的概率
答案：C
解析：記“從甲、乙袋中摸出一個紅球”分別為事件A，B，則P(A)＝，P(B)＝.由于A，B相互獨立，所以1－P()P()＝1－×＝.根據對應事件可知C正確.故選C.
6.(多選題)設樣本空間Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的樣本點，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}.則下列結論正確的有(　　)
A.P(AB)＝P(A)P(B)
B.P(AC)＝P(A)P(C)
C.P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
D.P(BC)＝P(B)P(C)
答案：ABD
解析：由題意得A∩B＝B∩C＝A∩C＝，則P(A)＝P(B)＝P(C)＝＝，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝P(ABC)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).故選ABD.
7.從一副不含大小王的撲克牌(52張)中任抽一張，記事件A為“抽得K”，記事件B為“抽得紅牌”，則事件A與B　　　　(填“是”或“不是”)相互獨立事件.
答案：是
解析：P(A)＝＝，P(B)＝＝.事件AB即為“既抽得K又抽得紅牌”，亦即“抽得紅桃K或方塊K”，故P(AB)＝＝，從而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A與B相互獨立.
8.兩個籃球運動員罰球時命中的概率分別是0.4和0.5，兩人各罰一次球，則他們至少有一人命中的概率是　　　　　.
答案：0.7
解析：他們至少有一人命中的概率是1－(1－0.4)×(1－0.5)＝0.7.
9.某專業技術的考試共兩個單項考試，考生應依次參加兩個單項考試，前一項考試合格后才能報名參加后一項考試，考試不合格則需另行交費預約再次補考.據調查，這兩項考試的合格率依次為，，且各項考試是否通過互不影響，則一位考生通過這項專業技術考試至多需要補考一次的概率為　　　.
答案：
解析：不需要補考就通過的概率為×＝；僅補考第一個單項考試就通過的概率為(1－)××＝；僅補考第二個單項考試就通過的概率為×(1－)×＝；一位考生通過這項專業技術考試至多需要補考一次的概率為＋＋＝.
10.(10分)已知戰士甲射擊的命中率為72％，乙射擊的命中率為75％.兩人的射擊互不影響.求：
(1)兩人同時擊中目標的概率；
(2)目標被擊中的概率.
解：(1)設A表示“甲擊中目標”，B表示“乙擊中目標”，A，B互為獨立事件，
所以P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝0.72×0.75＝0.54.
(2)目標被擊中的概率P(A∪B)＝1－P(∩)＝1－P()P()＝1－0.28×0.25＝0.93.
(11—13題，每小題5分，共15分)
11.一枚質地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1，2，3，4，5，6六個數字，投擲這枚骰子兩次，A表示事件“第一次向上一面的數字是1”，B表示事件“第二次向上一面的數字是2”，C表示事件“兩次向上一面的數字之和是7”，D表示事件“兩次向上一面的數字之和是8”，則(　　)
A.C與D相互獨立 B.A與D相互獨立
C.B與D相互獨立 D.A與C相互獨立
答案：D
解析：由題意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，P(CD)＝0≠P(C)P(D)，所以C與D不相互獨立，P(AD)＝0≠P(A)P(D)，所以A與D不相互獨立，P(BD)＝≠P(B)P(D)，所以B與D不相互獨立，P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A與C相互獨立.故選D.
12.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費2元(不足一小時的部分按一小時計算).有甲、乙兩人分別來該租車點租車騎游(各租一車一次)，設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間互不影響且都不會超過四小時，則甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：租車費用相同可分為租車費用都為0元、2元、4元三種情況.都付0元的概率為P1＝×＝；都付2元的概率為P2＝×＝；都付4元的概率為P3＝×＝.所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝.故選D.
13.甲、乙兩人下圍棋，若甲執黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執黑子先下，則乙勝的概率為.假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲執黑子先下，則甲、乙各勝一局的概率為　　　　.
答案：
解析：第一局甲勝，第二局乙勝：甲勝第一局的概率為，第二局乙執黑子先下，則乙勝的概率為，因此第一局甲勝，第二局乙勝的概率為p1＝×＝；第一局乙勝，第二局甲勝：乙勝第一局的概率為，第二局甲執黑子先下，則甲勝的概率為，因此第一局乙勝，第二局甲勝的概率為p2＝×＝；所以甲、乙各勝一局的概率為＋＝.
14.(10分)某高中為了激發學生參加科技創新實踐活動的熱情，決定舉辦兩場“創新追夢”知識競賽.規定每位參賽選手均須參加兩場比賽，若其在兩場比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知高二(1)班選出甲、乙兩名選手參加比賽，在第一場比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，，在第二場比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每場比賽中是否勝出互不影響.
(1)甲、乙兩人中，誰參賽贏得比賽的概率更大？
(2)求甲、乙兩人中至少有一人贏得比賽的概率.
解：(1)記事件A1表示“甲在第一場比賽中勝出”，事件A2表示“甲在第二場比賽中勝出”，事件B1表示“乙在第一場比賽中勝出”，事件B2表示“乙在第二場比賽中勝出”，
于是A1A2表示甲贏得比賽”，
P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
B1B2表示“乙贏得比賽”，
P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝，而有＞，
所以甲參賽贏得比賽的概率更大.
(2)記C表示“甲贏得比賽”，D表示“乙贏得比賽”，
由(1)知P()＝1－P(A1A2)＝1－＝，P()＝1－P(B1B2)＝1－＝，
則C∪D表示“兩人中至少有一人贏得比賽”，且C∪D＝C＋D＋CD，
所以P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＋P(CD)＝P(C)P()＋P()P(D)＋P(C)P(D)
＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙兩人中至少有一人贏得比賽的概率為.
15.(5分)(新情境)概率論起源于博弈游戲.17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當的甲、乙兩人進行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局.雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部賭金.但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數學家費馬和帕斯卡都用了現在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是(　　)
A.甲315枚，乙105枚 B.甲280枚，乙140枚
C.甲210枚，乙210枚 D.甲336枚，乙84枚
答案：A
解析：由題可知，對單獨每一局游戲，甲、乙獲勝的概率均為，若游戲繼續進行，最多再進行2局即可分出勝負，①第四局甲贏，比賽結束，甲勝出，概率為；②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結束，甲勝出，概率為×＝；③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結束，乙勝出，概率為×＝；所以甲勝出的概率為，甲應該分得賭金的，即甲分得賭金×420＝315枚，乙分得賭金420－315＝105枚.故選A.
16.(15分)某校為了厚植文化自信、增強學生的愛國情懷，特舉辦“中國詩詞精髓”知識競賽活動，比賽中只有A，B兩道題目，比賽按先A題后B題的答題順序各答1次，答對A題得2分，答對B題得3分，答錯得0分.已知學生甲答對A題的概率為p，答對B題的概率為q，其中0＜p＜1，0＜q＜1，學生乙答對A題的概率為，答對B題的概率為，且甲乙各自在答A，B兩題的結果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為，得3分的概率為.
(1)求p，q的值；
(2)求比賽后，甲、乙總得分不低于8分的概率.
解：(1)由題意得解得p＝，q＝.
(2)比賽結束后，甲、乙個人得分可能為0，2，3，5.
記甲得分為i分的事件為Ci(i＝0，2，3，5)，乙得分為j分的事件為Dj(j＝0，2，3，5)，
Ci，Dj相互獨立，
記甲、乙總得分不低于8分為事件E，
則E＝C3D5＋C5D3＋C5D5，且C3D5，C5D3，C5D5彼此互斥.易得P(C3)＝，
P(D3)＝(1－)×＝，P(C5)＝，P(D5)＝×＝，
所以P(E)＝P(C3D5＋C5D3＋C5D5)＝P(C3D5)＋P(C5D3)＋P(C5D5)
＝×＋×＋×＝，
所以甲、乙總得分不低于8分的概率為.
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§4　事件的獨立性
　
第七章　概率
學習目標
1.結合具體試驗理解相互獨立事件的含義，會對事件的獨立性進行判斷，培養數學抽象的核心素養.　
2.掌握相互獨立事件的性質及概率公式，會求相互獨立事件同時發生的概率.　
3.能綜合運用互斥事件的概率加法公式及相互獨立事件的乘法公式解題，培養數學運算的核心素養.
任務一　相互獨立事件的判斷
問題導思
相互獨立事件
新知構建
相互獨立事件 相關內容
定義 事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率__________，這樣的兩個事件叫作相互獨立事件
兩個相互獨立事件同時發生的概率公式 P(AB)＝______________
性質
沒有影響
P(A)P(B)
A
B
(1)事件A與B相互獨立可以推廣到n個事件的一般情形嗎？
提示：對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任何一個事件發生的概率不受其他事件是否發生的影響，則稱事件A1，A2，…，An相互獨立.
微思考
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推廣到一般情形嗎？
提示：公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推廣到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
(多選題)下列各對事件中，為相互獨立事件的是
A.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”
B.袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩次球，每次摸一個球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩次球，每次摸一個球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D.擲一枚骰子一次，事件M“出現偶數點”，事件N“出現3點或6點”
√
典例
1
√
√

兩個事件是否相互獨立的判斷
1.定義法：由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互
影響.
2.充要條件法：事件A，B相互獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)P(B).
規律方法
對點練1.(1)甲、乙兩名射手同時向一目標射擊，設事件A：“甲擊中目標”，事件B：“乙擊中目標”，則事件A與事件B
A.相互獨立但不互斥
B.互斥但不相互獨立
C.相互獨立且互斥
D.既不相互獨立也不互斥
√
對同一目標射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標是互不影響的，所以事件A與B相互獨立；對同一目標射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標，也就是說事件A與B可能同時發生，所以事件A與B不是互斥事件.故選A.
(2)拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，H1表示事件“Ⅰ號骰子出現的數字是2”，H2表示事件“Ⅱ號骰子出現的數字是3”，H3表示事件“兩個點數之和是8”，H4表示事件“兩個點數之和是9”，則
A.H2與H4相互獨立 B.H1與H3相互獨立
C.H1與H2相互獨立 D.H1與H4相互獨立
√

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任務二　相互獨立事件同時發生的概率
典例
2
求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
第一步：首先確定各事件之間是相互獨立的；
第二步：求出每個事件的概率，再求積；
第三步：使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的.
規律方法
(2)經過前后兩次燒制后，求合格工藝品的個數為1的概率P.
解：甲工藝品兩次燒制后合格的概率為P1＝0.6×0.5＝0.3，
乙工藝品兩次燒制后合格的概率為P2＝0.75×0.4＝0.3，
則經過兩次燒制后，恰有1個產品是合格品的概率為P＝0.3×0.7×2＝0.42.
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任務三　相互獨立事件概率的綜合應用
典例
3
求較復雜事件的概率的方法
1.列出題中涉及的各個事件，并且用適當的符號表示.
2.理清事件之間的關系(兩個事件是互斥還是對立，或者是相互獨立的)，列出關系式.
3.根據事件之間的關系準確選取概率公式進行計算.
4.當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率.
規律方法
[教材拓展8]　公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)的應用(源于教材P221B組T2)
【常用結論】　若事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
若事件A，B獨立，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B).
√
典例
4
√
√
√

返回
課堂小結
任務
再現 1.相互獨立事件的概念及判斷.2.相互獨立事件同時發生的概率及其應用
方法
提煉 轉化法
易錯
警示 把互斥事件與相互獨立事件混淆
隨堂評價
√
2.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是0.4，0.5，則兩人都能成功破譯的概率是
A.0.2 B.0.3
C.0.45 D.0.9
√
記兩人都能成功破譯為事件A，則P(A)＝0.4×0.5＝0.2.故選A.
3.天氣預報表明在國慶假期甲地降雨概率是0.4，乙地降雨概率是0.3.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為
A.0.28 B.0.42
C.0.46 D.0.56
√
這兩地中恰有一個地方降雨的概率為0.4×(1－0.3)＋(1－0.4)×0.3＝0.28＋0.18＝0.46.故選C.
0.28

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課時分層評價
1.擲兩枚質地均勻的骰子，設A＝“第一枚出現小于4的點”，B＝“第二枚出現大于3的點”，則A與B的關系為
A.互斥 B.互為對立
C.相互獨立 D.相等
√
對于該試驗，第一枚骰子與第二枚骰子出現點數互不影響，故A與B相互獨立.故選C.
2.拋擲一枚質地均勻的骰子一次，記事件A：“出現偶數點”，事件B：“出現3 點或4 點”，則事件A與事件 B的關系為
A.是相互獨立事件，不是互斥事件
B.是互斥事件，不是相互獨立事件
C.既是相互獨立事件又是互斥事件
D.既不是互斥事件也不是相互獨立事件
√
√

4.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，若甲、乙各射擊一次，則
A.兩人都中靶的概率為0.12 B.兩人都不中靶的概率為0.42
C.恰有一人中靶的概率為0.46 D.至少一人中靶的概率為0.74
√
設甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，P(A)＝0.6，P(B)＝0.7，則兩人都中靶的概率為P(A)×P(B)＝0.6×0.7＝0.42，兩人都不中靶的概率為[1－P(A)]×[1－P(B)]＝0.4×0.3＝0.12，恰有一人中靶的概率為[1－P(A)]×P(B)＋P(A)[1－P(B)]＝0.4×0.7＋0.6×0.3＝0.46，至少一人中靶的概率為1－0.3×0.4＝0.88.故選C.
√
6.(多選題)設樣本空間Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的樣本點，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}.則下列結論正確的有
A.P(AB)＝P(A)P(B)
B.P(AC)＝P(A)P(C)
C.P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
D.P(BC)＝P(B)P(C)
√
√
√
7.從一副不含大小王的撲克牌(52張)中任抽一張，記事件A為“抽得K”，記事件B為“抽得紅牌”，則事件A與B______(填“是”或“不是”)相互獨立事件.
是
8.兩個籃球運動員罰球時命中的概率分別是0.4和0.5，兩人各罰一次球，則他們至少有一人命中的概率是_______.
他們至少有一人命中的概率是1－(1－0.4)×(1－0.5)＝0.7.
0.7


10.(10分)已知戰士甲射擊的命中率為72％，乙射擊的命中率為75％.兩人的射擊互不影響.求：
(1)兩人同時擊中目標的概率；
解：設A表示“甲擊中目標”，B表示“乙擊中目標”，A，B互為獨立事件，
所以P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝0.72×0.75＝0.54.
11.一枚質地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1，2，3，4，5，6六個數字，投擲這枚骰子兩次，A表示事件“第一次向上一面的數字是1”，B表示事件“第二次向上一面的數字是2”，C表示事件“兩次向上一面的數字之和是7”，D表示事件“兩次向上一面的數字之和是8”，則
A.C與D相互獨立 B.A與D相互獨立
C.B與D相互獨立 D.A與C相互獨立
√
√



15.(5分)(新情境)概率論起源于博弈游戲.17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當的甲、乙兩人進行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局.雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部賭金.但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數學家費馬和帕斯卡都用了現在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是
A.甲315枚，乙105枚 B.甲280枚，乙140枚
C.甲210枚，乙210枚 D.甲336枚，乙84枚
√

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