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習題課1　等差數列性質的應用
學習目標 1.能根據等差數列的定義推出等差數列的常用性質，能運用等差數列的性質簡化計算，培養數學運算、邏輯推理的核心素養. 2.能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應問題，提升數學建模的核心素養.
應用一　由等差數列構造新等差數列
有兩個等差數列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列，則這個新數列的項數為(　　)
A.15　　　　 B.16　　　　
C.17　　　　 D.18
答案：B
解析：易知，第一個數列的公差為4，第二個數列的公差為6，
故新數列的公差為具有相同首項的兩個數列公差的最小公倍數，其公差為12，首項為2，
所以通項公式為an＝12n－10，
所以12n－10≤190，解得n≤，
而n∈N＋，所以n的最大值為16.
　　對于任何形式的構造數列，判斷是否為等差數列，一般從兩個方面進行判斷：(1)定義：an－an－1是否為常數；(2)其通項公式是否為關于n的一次函數.
對點練1.已知兩個等差數列{an}：5，8，11，…，與{bn}：3，7，11，…，它們的公共項組成數列{cn}，則數列{cn}的通項公式cn＝　　　　；若數列{an}和{bn}的項數均為100，則{cn}的項數是　　　　.
答案：12n－1　25
解析：由于數列{an}和{bn}都是等差數列，所以{cn}也是等差數列，且公差為3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以解得1≤n≤25.25，故{cn}的項數為25.
應用二　等差數列中任意兩項之間的關系
已知{an}為等差數列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解：法一：(利用an＝am＋(n－m)d)
設數列 {an}的公差為d，
則a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，
所以d＝＝＝，
所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
法二：(利用隔項成等差數列)
因為{an}為等差數列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數列，
設其公差為d，a15為首項，則a60為第四項，
所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，
所以a75＝a60＋d＝24.
設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則 1.an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)； 2.an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)； 3.d＝(m，n∈N＋，且m≠n).
對點練2.已知{bn}為等差數列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝　　　　.
答案：8
解析：法一：因為{bn}為等差數列，所以可設其公差為d，
則d＝＝＝2，
所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
所以b8＝2×8－8＝8.
法二：由＝＝d，
得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.
應用三　等差數列中對稱設項法的應用
已知4個數成等差數列，它們的和為20，中間兩項之積為24，求這4個數.
解：設此四個數分別為：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
由題意可得：a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝20，＝24.
解得a＝5，d＝±1.
所以這四個數為2，4，6，8或8，6，4，2.
常見設元技巧 1.某兩個數是等差數列中的連續兩個數且知其和，可設這兩個數為：a－d，a＋d，公差為2d； 2.三個數成等差數列且知其和，常設此三數為：a－d，a，a＋d，公差為d； 3.四個數成等差數列且知其和，常設成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差為2d.
對點練3.已知等差數列是遞增數列，且其前三項之和為21，前三項之積為231，求數列的通項公式.
解：設等差數列的公差為d，則其前三項分別為a1，a1＋d，a1＋2d，
則
解得
因為數列為遞增數列，所以
所以等差數列的通項公式為an＝4n－1.
應用四　等差數列的實際應用
甲、乙兩人連續6年對某縣農村養雞業規模進行調查，提供兩個不同的信息圖如圖所示.甲調查表明：從第1年每個養雞場出產1萬只雞上升到第6年平均每個養雞場出產2萬只雞.乙調查表明：由第1年養雞場個數30個減少到第6年10個.
請你根據提供的信息回答問題.
(1)第2年養雞場的個數及全縣出產雞的總只數；
(2)到第6年這個縣的養雞業規模比第1年是擴大了還是縮小了？請說明理由.
解：由題圖可知，從第1年到第6年平均每個養雞場出產的雞數成等差數列，記為，公差為d1，且a1＝1，a6＝2；從第1年到第6年的養雞場個數也成等差數列，記為，公差為d2，且b1＝30，b6＝10；從第1年到第6年全縣出產雞的總只數記為數列{cn}，則cn＝an·bn.
(1)由a1＝1，a6＝2，得
所以得a2＝1＋0.2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，得
所以得b2＝30－4＝26.
所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年養雞場有26個，全縣出產雞31.2萬只.
(2)因為c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，
所以到第6年這個縣的養雞業規模比第1年縮小了.
1.等差數列的應用主要體現在數學文化方面和生活實際問題方面. 2.解答數列實際應用問題的基本步驟
對點練4.某公司經銷一種數碼產品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規律，如果公司不開發新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？
解：設從第一年起，第n年的利潤為an萬元，
則a1＝200，－an＝－20(n∈N*)，
所以每年的利潤構成一個等差數列{an}，
從而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an＜0，則該公司經銷這一產品將虧損.
所以由an＝220－20n＜0，得n＞11，
即從第12年起，該公司經銷此產品將虧損.
1.在等差數列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d等于(　　)
A.3　　　　 B.－6　　　　
C.4　　　　 D.－3
答案：B
解析：由等差數列的性質得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
所以d＝＝－6.
2.在等差數列中，a3＋a5＝18，則a4＝(　　)
A.9 B.6
C.3 D.1
答案：A
解析：由a3＋a5＝18＝2a4得a4＝9.
故選A.
3.在等差數列{an}中，a3＋a7＝4，則必有(　　)
A.a5＝4 B.a6＝4
C.a5＝2 D.a6＝2
答案：C
解析：因為a3＋a7＝2a5＝4，所以a5＝2.
4.在－1與7之間順次插入三個數a，b，c，使這五個數成等差數列，則a＋b＋c＝　　　　.
答案：9
解析：法一：設這些數組成的等差數列為{an}，由已知得a1＝－1，a5＝7，則7＝－1＋(5－1)d，解得d＝2，故所求數列為－1，1，3，5，7.所以a＋b＋c＝9.
法二：在等差數列－1，a，b，c，7中，由等差中項的概念，得a＋c＝2b＝－1＋7＝6，所以b＝3，所以a＋b＋c＝9.
課時測評5　等差數列性質的應用
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—8小題，每小題5分，共40分)
1.數列是等差數列，若a3＝5，＋＝，則a1·a5＝(　　)
A. 　　　 B.9　　 　
C.10　 　　 D.20
答案：B
解析：因為數列是等差數列，a3＝5，所以a1＋a5＝2a3＝10，
因為＋＝＝，所以a1·a5＝9.
故選B.
2.已知等差數列中，a2、a8是2x2－16x－1＝0的兩根，則－a5＝(　　)
A.248 B.60
C.12 D.4
答案：B
解析：對于方程2x2－16x－1＝0，Δ＝＋8＞0，
由韋達定理可得a2＋a8＝＝8，故2a5＝a3＋a7＝a2＋a8＝8，則a5＝4，
所以－a5＝－a5＝82－4＝60.
故選B.
3.若a，b，c成等差數列，則二次函數y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數為(　　)
A.0 B.1
C.2 D.1或2
答案：D
解析：因為a，b，c成等差數列，所以2b＝a＋c，
所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
所以二次函數y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數為1或2.
4.在等差數列{an}中，a1＋2a2＋3a3＋4a4＝100，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　)
A.100 B.75
C.50 D.25
答案：C
解析：由{an}是等差數列，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＝a1＋2(a1＋d)＋3(a1＋2d)＋4(a1＋3d)＝10a1＋20d＝100，
即a1＋2d＝a3＝10，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝50.故選C.
5.若等差數列{an}的首項a1＝5，am＝3，則am＋2等于(　　)
A.13 B.3－
C.3－ D.5－
答案：B
解析：設等差數列{an}的公差為d，
因為a1＝5，am＝3，
所以d＝＝.
所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－.
6.(多選)已知數列、都是公差不為0的等差數列，設cn＝an＋bn，dn＝anbn，則關于數列和，下列說法中正確的是(　　)
A.數列一定是等差數列
B.數列一定不是等差數列
C.給定c1，c2可求出數列的通項公式
D.給定d1，d2可求出數列的通項公式
答案：ABC
解析：數列都是公差不為0的等差數列，設其公差分別為m1，m2，且均不為0，
cn＋1－cn＝an＋1－an＋bn＋1－bn＝m1＋m2，
所以數列一定是等差數列，給定c1，c2可求出數列的通項公式，A，C選項正確；
設an＝m1n＋t1，bn＝m2n＋t2，m1m2≠0，
dn＝＝m1m2n2＋n＋t1t2一定是一個關于n的二次函數，所以數列一定不是等差數列，所以B選項正確；
根據二次函數性質，僅僅給定d1，d2不能求出數列的通項公式，所以D選項錯誤.
故選ABC.
7.在等差數列{an}中，若＋2a2a8＋a6a10＝16，則a4a6＝　　　　.
答案：4
解析：因為在等差數列{an}中，＋2a2a8＋a6a10＝16，
所以＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，
所以(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，所以2a4·2a6＝16，所以a4a6＝4.
8.設數列{an}，{bn}都是等差數列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝　　　　.
答案：35
解析：因為數列{an}，{bn}都是等差數列，
所以數列{an＋bn}也構成等差數列，
所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
所以2×21＝7＋a5＋b5，
所以a5＋b5＝35.
9.(10分)在等差數列{an}中.
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a1＋a3＋a4＋a6＝34，a3·a4＝16，求公差d.
解：(1)根據已知條件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，所以a13＝12.
(2)由a1＋a3＋a4＋a6＝34，
得2(a3＋a4)＝34，即a3＋a4＝17，
由
所以d＝＝＝15或d＝＝＝－15.
10.(10分)三個數成等差數列，它們的和是15，它們的平方和等于83，求這三個數.
解：依題意：設三個數為a，b，c，則有a＋b＋c＝15，b為等差中項，故a＋c＝2b，
b＝5，a2＋b2＋c2＝83，所以a2＋c2＝58，
聯立方程
故這三個數分別為3，5，7或7，5，3.
(11—13小題，每小題5分，共15分)
11.在等差數列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值為(　　)
A.14 B.15
C.16 D.17
答案：C
解析：設公差為d，
因為a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
所以5a8＝120，a8＝24，
所以a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
12.若a＞0，b＞0，a，b的等差中項是1，則的最小值為(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：A
解析：利用等差中項性質，得a＋b＝2×1，
由均值不等式得ab≤(當且僅當a＝b時，等號成立)，
所以ab≤1，≥1，
所以最小值為1.
故選A.
13.在等差數列{an}中，a1＝8，a5＝2，若數列{an}中每相鄰兩項之間插入一個數，使之成為新的等差數列，那么新的等差數列的公差是　　　　.
答案：－
解析：設新的等差數列的公差為d.由a1＝8，a5＝2.
得a3＝＝＝5，a2＝＝＝，
所以d＝＝＝－.
14.(13分)已知數列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首項為1，公差為1的等差數列；a10，a11，…，a20是公差為d的等差數列；a20，a21，…，a30是公差為d2的等差數列(d≠0).
(1)若a20＝30，求公差d；
(2)試寫出a30關于d的關系式，并求a30的取值范圍.
解：(1)a10＝1＋9＝10，a20＝10＋10d＝30，所以d＝2.
(2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)，
即a30＝10[(d＋)2＋]，
當d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)時，a30∈[，＋∞).
15.(5分)已知和是兩個等差數列，且(1≤k≤5)是常數，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，則b3＝　　　　.
答案：128
解析：由于是常數，所以＝，即＝，所以b5＝64.
因為是等差數列，所以b3＝＝128.
16.(17分)已知數列{an}和{bn}的通項公式分別為an＝3n＋6，bn＝2n＋7(n∈N＋).將集合{x｜x＝an，n∈N＋}∪{x｜x＝bn，n∈N＋}中的元素從小到大依次排列，構成新數列c1，c2，c3，…，cn，….
(1)求c1，c2，c3，c4的值；
(2)證明：在數列{cn}中，但不在數列{bn}中的項恰為a2，a4，…，a2n，…；
(3)求數列{cn}的通項公式.
解：(1)c1＝9，c2＝11，c3＝12，c4＝13.
(2)證明：①任意n∈N＋，設a2n－1＝3(2n－1)＋6＝6n＋3＝bk＝2k＋7，則k＝3n－2，即a2n－1＝b3n－2；
②假設a2n＝6n＋6＝bk＝2k＋7 k＝3n－ N＋，矛盾，
所以a2n {bn}，所以在數列{cn}中，但不在數列{bn}中的項恰為a2，a4，…，a2n，….
(3)先確定數列{an}和{bn}的公共項dk與dk＋1，再尋找dk與dk＋1之間元素存在的規律.
因為b3k－2＝2(3k－2)＋7＝6k＋3＝a2k－1，
所以設b3k－2＝a2k－1＝dk，則dk＋1＝b3k＋1＝a2k＋1＝6k＋9，
因為b3k－1＝6k＋5，a2k＝6k＋6，b3k＝6k＋7，
所以dk＜b3k－1＜a2k＜b3k＜dk＋1.
所以當k＝1時，依次有b1＝a1＝c1，b2＝c2，a2＝c3，b3＝c4，…，
所以cn＝其中n∈N＋.
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習題課1　等差數列性質的應用
　
第1章　數列
學習目標
1.能根據等差數列的定義推出等差數列的常用性質，能運用等差數列的性質簡化計算，培養數學運算、邏輯推理的核心素養.
2.能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應問題，提升數學建模的核心素養.
應用一　由等差數列構造新等差數列
有兩個等差數列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列，則這個新數列的項數為
A.15　　　　 B.16　　　　
C.17　　　　 D.18
典例1
√
規律方法
　　對于任何形式的構造數列，判斷是否為等差數列，一般從兩個方面進行判斷：(1)定義：an－an－1是否為常數；(2)其通項公式是否為關于n的一次函數.
對點練1．已知兩個等差數列{an}：5，8，11，…，與{bn}：3，7，11，…，它們的公共項組成數列{cn}，則數列{cn}的通項公式cn＝________；若數列{an}和{bn}的項數均為100，則{cn}的項數是____.

12n－1
25
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應用二　等差數列中任意兩項之間的關系
典例2
法二：(利用隔項成等差數列)
因為{an}為等差數列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數列，
設其公差為d，a15為首項，則a60為第四項，
所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，
所以a75＝a60＋d＝24.
規律方法
對點練2．已知{bn}為等差數列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝____.

8
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應用三　等差數列中對稱設項法的應用
典例3
規律方法
常見設元技巧
1.某兩個數是等差數列中的連續兩個數且知其和，可設這兩個數為：a－d，a＋d，公差為2d；
2.三個數成等差數列且知其和，常設此三數為：a－d，a，a＋d，公差為d；
3.四個數成等差數列且知其和，常設成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差為2d.
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應用四　等差數列的實際應用
典例4
規律方法
1.等差數列的應用主要體現在數學文化方面和生活實際問題方面.
2.解答數列實際應用問題的基本步驟
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隨堂評價
√
1.在等差數列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d等于
A.3　　　　 B.－6　　　　
C.4　　　　 D.－3
√
由a3＋a5＝18＝2a4得a4＝9.
故選A.
√
3.在等差數列{an}中，a3＋a7＝4，則必有
A.a5＝4 B.a6＝4
C.a5＝2 D.a6＝2
因為a3＋a7＝2a5＝4，所以a5＝2.
4.在－1與7之間順次插入三個數a，b，c，使這五個數成等差數列，則a＋b＋c＝___.
法一：設這些數組成的等差數列為{an}，由已知得a1＝－1，a5＝7，則7＝－1＋(5－1)d，解得d＝2，故所求數列為－1，1，3，5，7.所以a＋b＋c＝9.
法二：在等差數列－1，a，b，c，7中，由等差中項的概念，得a＋c＝2b＝－1＋7＝6，所以b＝3，所以a＋b＋c＝9.
9
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課時測評
√
√
√
3.若a，b，c成等差數列，則二次函數y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數為
A.0 B.1
C.2 D.1或2
因為a，b，c成等差數列，所以2b＝a＋c，
所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
所以二次函數y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數為1或2.
由{an}是等差數列，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＝a1＋2(a1＋d)＋3(a1＋2d)＋4(a1＋3d)＝10a1＋20d＝100，
即a1＋2d＝a3＝10，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝50.故選C.
√
4.在等差數列{an}中，a1＋2a2＋3a3＋4a4＝100，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝
A.100 B.75
C.50 D.25
√

√
√
√
4
8.設數列{an}，{bn}都是等差數列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝____.
因為數列{an}，{bn}都是等差數列，
所以數列{an＋bn}也構成等差數列，
所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
所以2×21＝7＋a5＋b5，
所以a5＋b5＝35.
35
√

√
13.在等差數列{an}中，a1＝8，a5＝2，若數列{an}中每相鄰兩項之間插入一個數，使之成為新的等差數列，那么新的等差數列的公差是_____.

128
16.(17分)已知數列{an}和{bn}的通項公式分別為an＝3n＋6，bn＝2n＋7(n∈N＋).將集合{x｜x＝an，n∈N＋}∪{x｜x＝bn，n∈N＋}中的元素從小到大依次排列，構成新數列c1，c2，c3，…，cn，….
(1)求c1，c2，c3，c4的值；
解：c1＝9，c2＝11，c3＝12，c4＝13.
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