資源簡介

章末綜合提升
素養一、數學運算
　　數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段.本章中直線、圓的方程及距離、弦長問題求解體現了核心素養中的數學運算.
題型一　直線、圓的方程
(1)過點(5，2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是(　　)
A.2x＋y－12＝0
B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C.x－2y－1＝0
D.x－2y－1＝0或2x－5y＝0
(2)圓C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0關于直線x－y－1＝0對稱的圓的方程是(　　)
A.(x－3)2＋(y＋2)2＝3
B.(x－3)2＋(y＋2)2＝9
C.(x＋3)2＋(y－2)2＝3
D.(x＋3)2＋(y－2)2＝9
答案：(1)B　(2)B
解析：(1)當直線過原點時，可設直線方程為y＝kx，又直線過點(5，2)，可得k＝，故方程為2x－5y＝0；當直線不過原點時，可設方程為＋＝1，又直線過點(5，2)，可得a＝6，此時直線方程為2x＋y－12＝0，故選B.
(2)圓C的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝32，
即圓心坐標為(－1，2)，半徑r＝3，設(－1，2)關于直線x－y－1＝0的對稱點為B(a，b)，則
解得故所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋2)2＝9.
題型二　弦長問題
已知直線l經過點P(－4，2)，且被圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦長為8，則直線l的方程是(　　)
A.7x＋24y－20＝0
B.4x＋3y＋25＝0
C.4x＋3y＋25＝0或x＝－4
D.7x＋24y－20＝0或x＝－4
答案：D
解析：因為點P在圓上，所以直線l有兩條.
當直線斜率存在時，設直線方程為y－2＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋2＝0.由圓的方程可知圓心為(－1，－2)，半徑r＝5，所以＋42＝25，解得k＝－，所以直線方程為7x＋24y－20＝0.
當直線斜率不存在時，直線方程為x＝－4，滿足弦長為8.
綜上，所求直線方程為7x＋24y－20＝0或x＝－4.
題型三　距離問題
(1)兩平行直線l1：3x＋2y＋1＝0與l2：6mx＋4y＋m＝0之間的距離為(　　)
A.0 B.
C. D.
(2)已知半徑為1的圓經過點(3，4)，則其圓心到原點的距離的最小值為(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案：(1)C　(2)A
解析：(1)直線l1與l2平行，所以＝≠，解得m＝1，所以直線l2的方程為6x＋4y＋1＝0，所以直線l1：3x＋2y＋1＝0，即6x＋4y＋2＝0，與直線l2：6x＋4y＋1＝0的距離為d＝＝.故選C.
(2)設圓心為A(x，y)，由已知得(x－3)2＋(y－4)2＝1，即A在以(3，4)為圓心，1為半徑的圓上，所以圓心A到原點的距離的最小值為－1＝5－1＝4.故選A.
素養二、邏輯推理
　　邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.本章中判斷直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系就是從一般到特殊.
題型四　兩條直線的平行與垂直
設不同直線l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，則“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.即不充分也不必要條件
答案：C
解析：當m＝2時，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立.當l1∥l2時，顯然m≠0，從而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但當m＝－1時，兩直線重合，不合要求，故必要性成立.
題型五　直線與圓、圓與圓的位置關系
(1)圓C1：x2＋y2＝1和圓C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的公切線有且僅有(　　)
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
(2)已知點M(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2(r＞0)內一點，直線g是以M為中點的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＋r2＝0，則(　　)
A.l∥g，且l與圓相離
B.l⊥g，且l與圓相切
C.l∥g，且l與圓相交
D.l⊥g，且l與圓相離
答案：(1)C　(2)A
解析：(1)由圓C1：x2＋y2＝1，可得圓心坐標C1(0，0)，半徑為r＝1.
圓C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，可得圓心坐標C2(3，4)，半徑為R＝4，
則｜C1C2｜＝＝5，所以｜C1C2｜＝R＋r，
所以圓C1與圓C2外切，所以兩圓有且僅有三條公切線，故選C.
(2)因為點M在圓內，所以a2＋b2＜r2.因為圓心(0，0)到直線l的距離d＝＞r，所以直線l與圓相離.又直線g的方程為y－b＝－(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，所以l∥g.
素養三、直觀現象
　　在直觀想象核心素養的形成過程中，學生可增強運用圖形的意識，提升數形結合的能力，感受事物的本質，培養創新思維.本章中題目在計算最值問題時常體現學科素養中的直觀想象.
題型六　與圓有關的最值(范圍)問題
(1)若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上有4個點到直線x－y－2＝0的距離為1，則實數r的取值范圍為(　　)
A.(＋1，＋∞) B.(－1，＋1)
C.(0，－1) D.(0，＋1)
(2)已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x－1＝0，則y－2x的最小值和最大值分別為(　　)
A.－9，1 B.－10，1
C.－9，2 D.－10，2
答案：(1)A　(2)A
解析：(1)計算得圓心(0，0)到直線l：x－y－2＝0的距離為＝＞1，如圖.直線l與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應該大于圓心到直線l2的距離＋1.
(2)y－2x可看作是直線y＝2x＋b在y軸上的截距，如圖所示，
當直線y＝2x＋b與圓x2＋y2－4x－1＝0相切時，b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值為1，最小值為－9.
素養四、數學建模
　　數學模型搭建了數學與外部世界的橋梁，數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題.
題型七　直線與圓的方程的應用
街頭有一片綠地，綠地的四條邊界(單位：m)如圖所示，其中ABC為圓弧，求此綠地的面積(精確0.1 m2).
解：設圓弧ABC所對的圓心為點E，如圖所示建立坐標系，各點坐標分別為A(0，7)，B(3，8)，C(7，6)，所以過A，B，C三點的圓弧的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝25(0≤x≤7，y＞0)，連接EA，EC，AC，則｜EA｜＝｜EC｜＝5.因為｜AC｜＝＝5，所以∠AEC＝90°.
故所求的面積為S梯形AODC＋S弓形ABC＝S梯形AODC＋(S扇形EAC－S△ACE)＝＋π×52－×52＝33＋≈52.6(m2).
所以綠地的面積約為52.6 m2.
(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程　　　　　　.
答案：x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正確)
解析：圓x2＋y2＝1的圓心坐標為O(0，0)，半徑r1＝1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心坐標為C(3，4)，半徑r2＝4，如圖所示.因為｜OC｜＝r1＋r2，所以兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條.因為kOC＝，所以l1的斜率為－.設直線l1：y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，由＝1，解得b＝(負值舍去)，則l1：3x＋4y－5＝0.由圖可知，l2：x＝－1.l2與l3關于直線y＝x對稱，聯立解得l2與l3的交點為(－1，－).在l2上取一點(－1，0)，該點關于y＝x的對稱點為(x0，y0)，則解得對稱點為(，－).所以＝＝，則l3：y＝(x＋1)－，即7x－24y－25＝0.所以與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程為x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正確).
(2023·新課標Ⅰ卷)過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sin α＝(　　)
A.1 B.
C. D.
答案：B
解析：法一：因為x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圓心C(2，0)，半徑r＝.過點P(0，－2)作圓C的切線，切點為A，B，因為｜PC｜＝＝2，則｜PA｜＝＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，則sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2×＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝()2－()2＝－＜0，所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin ∠APB＝.故選B.
法二：圓x2＋y2－4x－1＝0的圓心C(2，0)，半徑r＝.過點P(0，－2)作圓C的切線，切點為A，B，連接AB(圖略)，可得｜PC｜＝＝2，則｜PA｜＝｜PB｜＝＝＝.因為｜PA｜2＋｜PB｜2－2｜PA｜·｜PB｜cos∠APB＝｜CA｜2＋｜CB｜2－2｜CA｜·｜CB｜cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，則3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－＜0，即∠APB為鈍角.則cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，且α為銳角，所以sin α＝＝.故選B.
(2022·新高考Ⅱ卷)設點A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關于y＝a對稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點，則a的取值范圍是　　　　.
答案：［，］
解析：點A(－2，3)，B(0，a)，kAB＝，所以直線AB關于y＝a對稱的直線的斜率為，所以對稱直線方程為y－a＝·x，即(3－a)x－2y＋2a＝0，又(x＋3)2＋(y＋2)2＝1的圓心(－3，－2)，半徑為1，所以≤1，得6a2－11a＋3≤0，解得a∈［，］.
(2023·新課標Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與☉C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC的面積為”的m的一個值　　　　.
答案：2(2，－2，，－中任意一個皆可以)
解析：設點C到直線 AB 的距離為d，由弦長公式得｜AB｜＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝.由d＝＝，所以＝＝，解得m＝±或m＝±2.
(2024·全國甲卷理)已知b是a，c的等差中項，直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B兩點，則｜AB｜的最小值為(　　)
A.1 B.2
C.4 D.2
答案：C
解析：根據題意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直線ax＋by＋c＝0過點M(1，－2).設圓x2＋y2＋4y－1＝0的圓心為C，連接CM(圖略)，則AB⊥CM 時，｜AB｜最小，將圓的方程化為x2＋＝5，則C(0，－2)，所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值為2＝4.故選C.
溯源：(人教A版選擇性必修一P103T20)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)求證：直線l恒過定點.
(2)直線l被圓C截得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時m的值以及最短弦長.
點評：高考題與教材習題考查角度相同，都考查了直線過定點問題和直線與圓相交時的最短弦問題.
單元檢測卷(二)　平面解析幾何初步
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.已知點A(1，2)，在x軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為135°，則點P的坐標為(　　)
A.(0，3) B.(0，－1)
C.(3，0) D.(－1，0)
答案：C
解析：由題意可設點P的坐標為(m，0)，則＝tan 135°＝－1，解得m＝3.故點P的坐標為(3，0).
2.已知點A(x，5)關于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是(　　)
A.2 B.
C. D.
答案：D
解析：要求兩點間的距離，關鍵求出點P的坐標.由中點坐標公式有
故d＝＝.
3.圓心在y軸上，半徑為5，且過點(－5，8)的圓的方程為(　　)
A.x2＋(y－8)2＝25
B.x2＋(y＋8)2＝25
C.(x＋5)2＋(y－8)2＝25
D.(x－8)2＋y2＝25
答案：A
解析：設圓心坐標為(0，b)，則由題意得圓的方程為x2＋(y－b)2＝25.又點(－5，8)在圓上，所以(－5)2＋(8－b)2＝25，解得b＝8.故圓的方程為x2＋(y－8)2＝25.
4.與直線l：mx－m2y－1＝0垂直于點P(2，1)的直線的一般方程是(　　)
A.x＋y－3＝0 B.x＋y＋3＝0
C.x－y－3＝0 D.m2x＋my－1＝0
答案：A
解析：由已知可得點P在直線l上，即2m－m2－1＝0，解得m＝1，所以直線l的斜率為1，所以所求直線的斜率為－1，所以所求直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，故選A.
5.與直線3x－4y＋5＝0關于x軸對稱的直線方程為(　　)
A.3x＋4y＋5＝0 B.3x＋4y－5＝0
C.－3x＋4y－5＝0 D.－3x＋4y＋5＝0
答案：A
解析：設所求直線上任意一點(x，y)，
則此點關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y)，
因為點(x，－y)在直線3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
6.若直線l：y＝kx＋1(k＜0)與圓C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相離 D.不確定
答案：A
解析：依題意，直線l與圓C相切，則＝，解得k＝±1.又k＜0，所以k＝－1，于是直線l的方程為x＋y－1＝0.圓心D(2，0)到直線l的距離d＝＝＜，所以直線l與圓D相交，故選A.
7.已知圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)與直線y＝2x相交于P，Q兩點，則當△CPQ的面積為時，實數a的值為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由題意得，圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)的圓心為C(a，a)，半徑為r＝1，所以圓心到直線y＝2x的距離為d＝，所以弦長為｜PQ｜＝2＝2，所以△CPQ的面積為S＝｜PQ｜·d＝×2＝＝，解得a＝.
8.對于兩條平行直線和圓的位置關系定義如下：若兩直線中至少有一條與圓相切，則稱該位置關系為“平行相切”；若兩直線都與圓相離，則稱該位置關系為“平行相離”；否則稱為“平行相交”.已知直線l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0與圓C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b＞0)的位置關系的是“平行相交”，則實數b的取值范圍為(　　)
A.
B.
C.
D.∪
答案：D
解析：圓C的標準方程為(x＋1)2＋y2＝b2.由兩直線平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3.當a＝2時，直線l1與l2重合，舍去；當a＝－3時，l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋3＝0.由l1與圓C相切，得b＝＝；由l2與圓C相切，得b＝＝.當l1，l2與圓C都相離時，0＜b＜.所以，當l1，l2與圓C“平行相交”時，b滿足故實數b的取值范圍是∪.
二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9.等腰直角三角形ABC的直角頂點為C(3，3)，若點A(0，4)，則點B的坐標可能是(　　)
A.(2，0) B.(6，4)
C.(4，6) D.(0，2)
答案：AC
解析：設B點坐標為(x，y)，
根據題意知
所以
解得
10.已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說法中正確的是(　　)
A.圓M的圓心為(4，－3)
B.圓M被x軸截得的弦長為8
C.圓M的半徑為25
D.圓M被y軸截得的弦長為6
答案：ABD
解析：圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，
則(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
圓的圓心坐標為(4，－3)，半徑為5，
顯然選項C不正確，ABD均正確 .
故選ABD.
11.已知點M(1，2)關于直線l：y＝kx＋b對稱的點是N(－1，6)，直線m過點M，則(　　)
A.kb＝－2
B.l在x軸上的截距是－8
C.點M到直線l的距離為1
D.當m∥l時，兩直線間的距離為
答案：BD
解析：因為點M(1，2)，關于直線y＝kx＋b對稱的點是N(－1，6)，線段MN的中點坐標為(0，4)，所以所以kb＝2，故A錯誤；由上述分析可知直線方程為y＝x＋4，令y＝0，解得x＝－8，所以直線y＝kx＋b在x軸上的截距是－8，故B正確；由點到直線的距離公式和平行直線間的距離公式可知，C錯誤D正確.故選BD.
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上)
12.等腰三角形ABC的頂點是A(3，0)，底邊長｜BC｜＝4，BC邊的中點是D(5，4)，則此三角形的腰長為　　　　.
答案：2
解析：由題意知，｜BD｜＝｜BC｜＝2，｜AD｜＝＝2，在Rt△ADB中，｜AB｜＝＝2，即△ABC的腰長為2.
13.設直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋2x－my＝0相交于A，B兩點，若點A，B關于直線l：x＋y＝0對稱，則｜AB｜＝　　　　.
答案：
解析：因為點A，B關于直線l：x＋y＝0對稱，所以直線y＝kx＋1的斜率k＝1，即y＝x＋1，圓心在直線l：x＋y＝0上，所以m＝2，所以圓心為(－1，1)，半徑為r＝，圓心到直線y＝x＋1的距離為d＝，所以｜AB｜＝2＝.
14.在平面直角坐標系xOy中，直線l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)過定點　　　　，以點(1，0)為圓心且與l相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為　　　　　　　.
答案：(2，－1)　(x－1)2＋y2＝2
解析：根據題意，直線l：mx－y－2m－1＝0，
即m(x－2)＝y＋1.
由即直線l經過定點(2，－1)，記點(2，－1)，(1，0)分別為點M，點C，
則｜MC｜＝＝.
以點(1，0)為圓心且與l相切的所有圓中，半徑最大時，r＝｜MC｜＝.
故半徑最大的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.
四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)已知從圓外一點P(4，6)作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B.
(1)求以OP為直徑的圓的方程；
(2)求直線AB的方程.
解：(1)因為所求圓的圓心為線段OP的中點(2，3)，
半徑為｜OP｜＝＝，
所以以OP為直徑的圓的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)因為PA，PB是圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
所以A，B兩點都在以OP為直徑的圓上.
由得直線AB的方程為4x＋6y－1＝0.
16.(15分)已知△ABC的三個頂點為A(4，0)，B(8，10)，C(0，6).
(1)求過點A且平行于BC的直線的方程；
(2)求過點B且與點A，C距離相等的直線的方程.
解：(1)因為B(8，10)，C(0，6)，
所以直線BC的斜率kBC＝＝.
所以過A(4，0)且平行于BC的直線的方程為y－0＝(x－4)，
整理得x－2y－4＝0.
(2)由題意，得AC的中點為D(2，3)，
kAC＝＝－.
直線BD即為滿足題意的方程，kBD＝＝，
所以直線BD的方程為y－3＝(x－2)，
整理得7x－6y＋4＝0.
又過B(8，10)且與AC平行的直線l也滿足題意，
由點斜式得l的方程為y－10＝－(x－8).
整理得3x＋2y－44＝0.
所以過點B且與點A，C距離相等的直線的方程為7x－6y＋4＝0或3x＋2y－44＝0.
17.(15分)已知圓C：x2＋y2－4x＝0.
(1)直線l的方程為x－y＝0，直線l交圓C于A，B兩點，求弦長｜AB｜的值；
(2)從圓C外一點P(4，4)引圓C的切線，求此切線的方程.
解：(1)因為圓C：x2＋y2－4x＝0，所以圓心C(2，0)，r＝2，
圓心C到直線l的距離d1＝＝1，
所以｜AB｜＝2＝2.
(2)①當直線斜率不存在時，方程為x＝4，直線與圓相切，符合題意.
②當切線斜率存在時，設斜率為k，
則切線方程為y－4＝k(x－4)，即kx－y＋4－4k＝0，
圓心C到此切線距離d2＝＝.
由d2＝r，即＝2，
解得k＝，所以切線方程為3x－4y＋4＝0.
綜上可知，切線方程為x＝4或3x－4y＋4＝0.
18.(17分)已知圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直線l1過定點A(1，1)，且與圓C相切，求l1的方程；
(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x－y＋2＝0上，且與圓C外切，求圓D的方程.
解：(1)圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化為標準方程為(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圓C的圓心為(3，4)，半徑為2.
①若直線l1的斜率不存在，即直線為x＝1，符合題意.
②若直線l1的斜率存在，設直線l1的方程為y－1＝k(x－1)，
即kx－y－k＋1＝0.由題意知，圓心(3，4)到已知直線l1的距離等于半徑2，所以＝2，即＝2，解得k＝，所以直線方程為5x－12y＋7＝0.
綜上，所求l1的方程為x＝1或5x－12y＋7＝0.
(2)依題意設D(a，a＋2)，又已知圓C的圓心為(3，4)，半徑為2，由兩圓外切，可知｜CD｜＝5，
所以＝5，解得a＝－1或a＝6，
所以D(－1，1)或(6，8)，所以所求圓D的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
19.(17分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點M，N均在直線x＝5上.圓弧C1的圓心是坐標原點O，半徑r1＝13；圓弧C2過點A(29，0).
(1)求圓弧C2所在圓的方程.
(2)曲線C上是否存在點P，滿足｜PA｜＝｜PO｜？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由.
解：(1)由題意得，圓弧C1所在圓的方程為x2＋y2＝169，
令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又圓弧C2過點A(29，0)，
設圓弧C2所在圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則
解得
所以圓弧C2所在圓的方程為x2＋y2－28x－29＝0.
(2)不存在.理由如下：假設存在這樣的點P(x，y)，
則由｜PA｜＝｜PO｜，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，
即x2＋y2＋2x－29＝0.
由
解得x＝－70(舍去)；
由
解得x＝0(舍去).
所以這樣的點P不存在.
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章末綜合提升
　
第2章　平面解析幾何初步
體 系 構 建
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分 層 探 究
素養一、數學運算
　　數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段.本章中直線、圓的方程及距離、弦長問題求解體現了核心素養中的數學運算.
典例1
題型一　直線、圓的方程
(1)過點(5，2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是
A.2x＋y－12＝0
B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C.x－2y－1＝0
D.x－2y－1＝0或2x－5y＝0
√
(2)圓C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0關于直線x－y－1＝0對稱的圓的方程是
A.(x－3)2＋(y＋2)2＝3 B.(x－3)2＋(y＋2)2＝9
C.(x＋3)2＋(y－2)2＝3 D.(x＋3)2＋(y－2)2＝9

√
典例2
題型二　弦長問題
已知直線l經過點P(－4，2)，且被圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦長為8，則直線l的方程是
A.7x＋24y－20＝0
B.4x＋3y＋25＝0
C.4x＋3y＋25＝0或x＝－4
D.7x＋24y－20＝0或x＝－4
√

典例3
√
(2)已知半徑為1的圓經過點(3，4)，則其圓心到原點的距離的最小值為
A.4 B.5
C.6 D.7
√
素養二、邏輯推理
　　邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.本章中判斷直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系就是從一般到特殊.
典例4
題型四　兩條直線的平行與垂直
設不同直線l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，則“m＝2”是“l1∥l2”的
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.即不充分也不必要條件
√
典例5
題型五　直線與圓、圓與圓的位置關系
(1)圓C1：x2＋y2＝1和圓C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的公切線有且僅有
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
√
(2)已知點M(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2(r＞0)內一點，直線g是以M為中點的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＋r2＝0，則
A.l∥g，且l與圓相離
B.l⊥g，且l與圓相切
C.l∥g，且l與圓相交
D.l⊥g，且l與圓相離
√
素養三、直觀現象
　　在直觀想象核心素養的形成過程中，學生可增強運用圖形的意識，提升數形結合的能力，感受事物的本質，培養創新思維.本章中題目在計算最值問題時常體現學科素養中的直觀想象.
典例6
√

(2)已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x－1＝0，則y－2x的最小值和最大值分別為
A.－9，1 B.－10，1
C.－9，2 D.－10，2
√

素養四、數學建模
　　數學模型搭建了數學與外部世界的橋梁，數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題.
典例7
題型七　直線與圓的方程的應用
街頭有一片綠地，綠地的四條邊界(單位：m)如圖所示，其中ABC為圓弧，求此綠地的面積(精確0.1 m2).
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考 教 銜 接
真題1
(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程_______________________________________________.

x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正確)

真題2
√



真題3
(2022·新高考Ⅱ卷)設點A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關于y＝a對稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點，則a的取值范圍是__________.


真題4

真題5

√
溯源：(人教A版選擇性必修一P103T20)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)求證：直線l恒過定點.
(2)直線l被圓C截得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時m的值以及最短弦長.
點評：高考題與教材習題考查角度相同，都考查了直線過定點問題和直線與圓相交時的最短弦問題.
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單 元 檢 測 卷
√
1.已知點A(1，2)，在x軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為135°，則點P的坐標為
A.(0，3) B.(0，－1)
C.(3，0) D.(－1，0)
√

√
3.圓心在y軸上，半徑為5，且過點(－5，8)的圓的方程為
A.x2＋(y－8)2＝25
B.x2＋(y＋8)2＝25
C.(x＋5)2＋(y－8)2＝25
D.(x－8)2＋y2＝25
設圓心坐標為(0，b)，則由題意得圓的方程為x2＋(y－b)2＝25.又點(－5，8)在圓上，所以(－5)2＋(8－b)2＝25，解得b＝8.故圓的方程為x2＋(y－8)2＝25.
由已知可得點P在直線l上，即2m－m2－1＝0，解得m＝1，所以直線l的斜率為1，所以所求直線的斜率為－1，所以所求直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，故選A.
√
4.與直線l：mx－m2y－1＝0垂直于點P(2，1)的直線的一般方程是
A.x＋y－3＝0 B.x＋y＋3＝0
C.x－y－3＝0 D.m2x＋my－1＝0
√
5.與直線3x－4y＋5＝0關于x軸對稱的直線方程為
A.3x＋4y＋5＝0 B.3x＋4y－5＝0
C.－3x＋4y－5＝0 D.－3x＋4y＋5＝0
設所求直線上任意一點(x，y)，
則此點關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y)，
因為點(x，－y)在直線3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
√
6.若直線l：y＝kx＋1(k＜0)與圓C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關系是
A.相交 B.相切
C.相離 D.不確定
√

√

9.等腰直角三角形ABC的直角頂點為C(3，3)，若點A(0，4)，則點B的坐標可能是
A.(2，0) B.(6，4)
C.(4，6) D.(0，2)
√
√

10.已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說法中正確的是
A.圓M的圓心為(4，－3)
B.圓M被x軸截得的弦長為8
C.圓M的半徑為25
D.圓M被y軸截得的弦長為6
√
√
√
圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，
則(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
圓的圓心坐標為(4，－3)，半徑為5，
顯然選項C不正確，ABD均正確 .
故選ABD.
√
√

12.等腰三角形ABC的頂點是A(3，0)，底邊長｜BC｜＝4，BC邊的中點是D(5，4)，則此三角形的腰長為_______.
13.設直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋2x－my＝0相交于A，B兩點，若點A，B關于直線l：x＋y＝0對稱，則｜AB｜＝_____.


14.在平面直角坐標系xOy中，直線l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)過定點__________，以點(1，0)為圓心且與l相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________________.
　(x－1)2＋y2＝2
(2，－1)

19.(17分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線
C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點M，N均在直
線x＝5上.圓弧C1的圓心是坐標原點O，半徑r1＝13；
圓弧C2過點A(29，0).
(1)求圓弧C2所在圓的方程.
解：由題意得，圓弧C1所在圓的方程為x2＋y2＝169，
令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又圓弧C2過點A(29，0)，
設圓弧C2所在圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則

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