資源簡介

2011年高考試題數(shù)學（理科）
函數(shù)與導數(shù)
一、選擇題:
1. (2011年高考山東卷理科5)對于函數(shù),“的圖象關(guān)于y軸對稱”是“=是奇函數(shù)”的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要
【答案】B
【解析】由奇函數(shù)定義,容易得選項B正確.
2. (2011年高考山東卷理科9)函數(shù)的圖象大致是
【答案】C
【解析】因為,所以令,得,此時原函數(shù)是增函數(shù);令,得,此時原函數(shù)是減函數(shù),結(jié)合余弦函數(shù)圖象，可得選C正確.
3. (2011年高考山東卷理科10)已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當時,,則函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,6]上與軸的交點的個數(shù)為
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
【答案】B
【解析】因為當時, ,又因為是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且,所以,又因為,所以,,故函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,6]上與軸的交點的個數(shù)為7個,選B.
4．(2011年高考安徽卷理科3)設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則
（A） (B) （Ｃ）１　　　　　?。ǎ模?br/>（A） (B) （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）３
【命題意圖】本題考查了函數(shù)的奇偶性和求值，是容易題.
【解析】∵設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，
∴===－3，故選A.
5.(2011年高考安徽卷理科10)函數(shù)= 在區(qū)間[0,1]上的圖像如圖所示，則m,n的值可能是
（A）m=1, n=1 （B）m=1, n=2
（C）m=2, n=1 （D）m=3, n=1
【命題意圖】本題考查利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性的有關(guān)知識，考查識圖、用圖能力，難度較大.
【解析】觀察圖像已知，＞0，在（0,1）上先增后減，但在[0,]上有增有減且不對稱.
對于選項A，=是二次函數(shù)，圖像關(guān)于直線對稱，不符合題意.
對于選項B，==，=，知在[0, ]是增函數(shù)，在[,1]是減函數(shù)，符合題意，選B.
對于選項C, ==，==，在[0,]上是增函數(shù)，不適合；
對于選項D，==，==，在[0,]是增函數(shù)，不適合.
【解題指導】排除法解決存在問題和不確定問題很有效
6．(2011年高考遼寧卷理科9)設(shè)函數(shù)f（x）=則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（ ）
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）
答案： D
解析：不等式等價于或解不等式組，可得或，即，故選D.
8．(2011年高考浙江卷理科1)設(shè)函數(shù),則實數(shù)=
（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2
【答案】 B
【解析】：當，故選B
9. (2011年高考全國新課標卷理科2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)的是（ ）
A B C D
【答案】B
解析：由偶函數(shù)可排除A，再由增函數(shù)排除C,D,故選B；
點評：此題考查復合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，因為函數(shù)都是偶函數(shù)，所以，內(nèi)層有它們的就是偶函數(shù)，但是，它們在的單調(diào)性相反，再加上外層函數(shù)的單調(diào)性就可以確定。
10. (2011年高考全國新課標卷理科9)由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為金太陽新課標資源網(wǎng)
（A） （B）4 （C） （D）6
【答案】C
解析：因為的解為，所以兩圖像交點為，于是面積故選C
點評：本題考查定積分的概念、幾何意義、運算及解決問題的能力。求曲線圍成的圖形的面積，就是要求函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的定積分。
11. (2011年高考全國新課標卷理科12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有焦點的橫坐標之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
答案D
解析：圖像法求解。的對稱中心是（1,0）也是的中心，他們的圖像在x=1的左側(cè)有4個交點，則x=1右側(cè)必有4個交點。不妨把他們的橫坐標由小到大設(shè)為，則，所以選D
12. (2011年高考天津卷理科7)已知則
A．　　B．
C．　　D．
【答案】C
【解析】令，，，在同一坐標系下作出三個函數(shù)的圖象，
由圖象可得 ，
13. (2011年高考天津卷理科8)對實數(shù)與，定義新運算“”： 設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． 　　　B． 　
C． 　　D.
【答案】B
【解析】由題意知,若,即時, ;當,即或時, ,要使函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，只須方程有兩個不相等的實數(shù)根即可,即函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點即可,畫出函數(shù)的圖像與直線,不難得出答案B.
14. (2011年高考江西卷理科3)若，則的定義域為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使原函數(shù)有意義,只須,即,解得,故選A.
15. (2011年高考江西卷理科4)若，則的解集為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為,原函數(shù)的定義域為,所以由可得,解得,故選C.
16. (2011年高考湖南卷理科6)由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為
A. B. 1 C. D.
答案：D
解析：由定積分的幾何意義和微積分基本定理可知S=。故選D評析：本小題主要考查定積分的幾何意義和微積分基本定理等知識.
17. (2011年高考湖南卷理科8)設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為
A. 1 B. C. D.
答案：D
解析：將代入中，得到點的坐標分別為，，從而
對其求導，可知當且僅當時取到最小。故選D
評析：本小題主要考查二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及建立距離函數(shù)，用導數(shù)法求最值.
18．(2011年高考廣東卷理科4)設(shè)函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（ ）
A．+|g(x)|是偶函數(shù) B．-|g(x)|是奇函數(shù)
C．|| +g(x)是偶函數(shù) D．||- g(x)是奇函數(shù)
【解析】A.設(shè)
，所以是偶函數(shù)，所以選A.
19．(2011年高考湖北卷理科6)已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足且，若，則
A.2 B. C. D.
答案：B
解析：因為則，聯(lián)立可得，又因為，故a=2.因為
則，所以選B.
20. (2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不斷有原子放射微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M（單位：太貝克）與時間t（單位年）滿足函數(shù)關(guān)系：，其中為t=0時銫137的含量，已知t=30時，銫137含量的變化率是—10ln2（太貝克/年），則M(60)=
A.5太貝克 B.75ln2太貝克 C.150ln2太貝克 D.150太貝克
答案：.D
解析：因為，故其變化率為，又由故，則，所以選D.
21．(2011年高考陜西卷理科3)設(shè)函數(shù)滿足，則的圖像可能是
【答案】B
【解析】：由知為偶函數(shù)，由知周期為2。故選B
22．(2011年高考陜西卷理科6)函數(shù)在內(nèi)
（A）沒有零點 （B）有且僅有一個零點
（C）有且僅有兩一個零點（D）有無窮個零點
【答案】B
【解析】：令，，則它們的圖像如圖故選B
23.(2011年高考重慶卷理科5)下列區(qū)間中，函數(shù)，在其上為增函數(shù)的是
（A） (B)
(C) (D)
解析：選D。用圖像法解決，將的圖像關(guān)于y軸對稱得到，再向右平移兩個單位，得到，將得到的圖像在x軸下方的部分翻折上來，即得到的圖像。由圖像，選項中是增函數(shù)的顯然只有D
24． (2011年高考四川卷理科7)已知是R上的奇函數(shù)，且當時，，則的反函數(shù)的圖像大致是
答案：A
解析：由反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)的值域為反函數(shù)的定義域，原函數(shù)的定義域為反函數(shù)的值域。
當，故選A
25． (2011年高考全國卷理科2)（2）函數(shù)的反函數(shù)為
（A） （B）
（C） （D）
【思路點撥】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范圍，它是反函數(shù)的定義域。
【答案】B
【精講精析】在函數(shù)中，且反解x得，所以的反函數(shù)為.
26． (2011年高考全國卷理科8)曲線y=+1在點(0，2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為
(A) (B) (C) (D)1
【答案】A
【解析】： ，，切線方程為
由 則 故選A
27．(2011年高考全國卷理科9)設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，=，則=
(A) - (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】 故選A
28．(2011年高考福建卷理科5)（e2+2x）dx等于
A．1 B．e-1 C．e D．e+1
【答案】C
【解析】由定積分的定義容易求得答案.
29．(2011年高考福建卷理科9)對于函數(shù)f（x）=asinx+bx+c（其中，a,bR,cZ）,選取a,b,c的一組值計算f（1）和f（-1），所得出的正確結(jié)果一定不可能是
A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2
【答案】D
30．(2011年高考上海卷理科16)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由偶函數(shù),排除B;由減函數(shù),又排除B、D，故選A.
二、填空題:
1. (2011年高考山東卷理科16)已知函數(shù)=當2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)的零點 .
【答案】2
【解析】方程=0的根為,即函數(shù)的圖象與函數(shù)的交點橫坐標為,且,結(jié)合圖象,因為當時,,此時對應直線上的點的橫坐標;當時, 對數(shù)函數(shù)的圖象上點的橫坐標,直線的圖象上點的橫坐標,故所求的.
2．(2011年高考浙江卷理科11)若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù) 。
【答案】 0
【解析】，
則
3. (2011年高考廣東卷理科12)函數(shù)在 處取得極小值.
【解析】2.得
。所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以函數(shù)在x=2處取得極小值。
4．(2011年高考陜西卷理科11)設(shè)，若，則
【答案】1
【解析】
5. (2011年高考四川卷理科13)計算 .
答案：
解析：.
6. (2011年高考四川卷理科16)函數(shù)的定義域為A，若時總有為單函數(shù).例如，函數(shù)=2x+1（）是單函數(shù).下列命題：
函數(shù)=（xR）是單函數(shù)；
若為單函數(shù)，
若f：AB為單函數(shù)，則對于任意bB，它至多有一個原象；
函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù).
其中的真命題是 .（寫出所有真命題的編號）
答案：②③
解析：，但，∴①不正確；
與“若A，且時總有”等價的命題是“若A，且時總有，故②③正確.函數(shù)在某個區(qū)間上具有單調(diào)性，但f（x）在整個定義域不一定是單函數(shù)，故④錯.
7.(2011年高考江蘇卷2)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是__________
【答案】
【解析】考察函數(shù)性質(zhì)，容易題。因為,所以定義域為,由復合函數(shù)的單調(diào)性知:函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.
8.(2011年高考江蘇卷8)在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________
【答案】4
【解析】考察函數(shù)與方程，兩點間距離公式以及基本不等式，中檔題。設(shè)坐標原點的直線方程為,則由解得交點坐標為、，即為P、Q兩點，所以線段PQ長為，當且僅當時等號成立，故線段PQ長的最小值是4.
9．(2011年高考安徽卷江蘇11)已知實數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為________
【答案】
【解析】因為,所以是函數(shù)的對稱軸,所以,所以的值為.
10．(2011年高考北京卷理科13)已知函數(shù)若關(guān)于x 的方程f(x)=k有兩個不同的實根，則數(shù)k的取值范圍是_______
【答案】（0，1）
【解析】畫出函數(shù)圖象與直線y=k,觀察,可得結(jié)果,考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.
11．(2011年高考上海卷理科1)函數(shù)的反函數(shù)為 。
【答案】
【解析】設(shè),則,故.
12．(2011年高考上海卷理科13)設(shè)是定義在上，以1為周期的函數(shù)，若在上的值域為，則在區(qū)間上的值域為 。
【答案】
【解析】本小題考查函數(shù)的性質(zhì).
三、解答題:
1. (2011年高考山東卷理科21)（本小題滿分12分）
某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為.設(shè)該容器的建造費用為千元.
（Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的.
【解析】（I）設(shè)容器的容積為V，
由題意知
故
由于
因此
所以建造費用
因此
（II）由（I）得
由于
當
令
所以
（1）當時，
所以是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點。
（2）當即時，
當函數(shù)單調(diào)遞減，
所以r=2是函數(shù)y的最小值點，
綜上所述，當時，建造費用最小時
當時，建造費用最小時
2．(2011年高考浙江卷理科22)（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）若為的極值點，求實數(shù)（Ⅱ）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意恒有成立
注：為自然對數(shù)的底數(shù)
【解析】（Ⅰ）因為所以因為為的極值點所以解得或經(jīng)檢驗，符合題意，
所以或
（Ⅱ）①當時， 對于任意實數(shù)，恒有 成立
②當 時，由題意，首先有
解得 由（Ⅰ）知
令 則，
且
又在 內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù) 在內(nèi)有唯一零點，記此零點為 ，則，從而，當 時， 當 時
當 時 即 在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
在 內(nèi)單調(diào)遞增。所以要使對恒成立，
只要成立，由，知 將（3）代入（1）得又。注意到函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故
再由（3）以及函數(shù)在 內(nèi)單調(diào)遞增，可得 ，
由（2）解得 ，所以
綜上，的取值范圍為.
3．(2011年高考遼寧卷理科21) (本小題滿分12分)
已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.
(I)討論f（x）的單調(diào)性；
（II）設(shè)a＞0，證明：當0＜x＜時，f（+x）＞f（-x）；
（III）若函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f’（ x0）＜0.
解：
（I）
（i）若單調(diào)增加.
（ii）若
且當
所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. ………………4分
（II）設(shè)函數(shù)則
當.
故當， ………………8分
（III）由（I）可得，當?shù)膱D像與x軸至多有一個交點，
故，從而的最大值為
不妨設(shè)
由（II）得
從而
由（I）知， ………………12分
4．(2011年高考安徽卷理科16) (本小題滿分12分)
設(shè)，其中為正實數(shù)
（Ⅰ）當時，求的極值點；
（Ⅱ）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。
【命題意圖】：本題考查導數(shù)的運算，極值點的判斷，導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力。
【解析】：
當時，，由得解得
由得，由得，當x變化時與相應變化如下表：
x
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以，是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點。
因為為上的單調(diào)函數(shù)，而為正實數(shù)，故為上的單調(diào)遞增函數(shù)
恒成立，即在上恒成立，因此
，結(jié)合解得
【解題指導】：極值點的判定一定要結(jié)合該點兩側(cè)導數(shù)的符號，不可盲目下結(jié)論。同時還要注意“極值”與“極值點”的區(qū)別避免畫蛇添足做無用功。
某區(qū)間（a,b）上連續(xù)可導函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)導數(shù)符號之間的關(guān)系為：
若函數(shù)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增（遞減），則（）
若函數(shù)的導數(shù)（），則函數(shù)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增（遞減）
若函數(shù)的導數(shù)恒成立，則函數(shù)在區(qū)間（a,b）上為常數(shù)函數(shù)。
5. (2011年高考全國新課標卷理科20)（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足MB//OA， MA AB = MB BA，M點的軌跡為曲線C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。
分析：（1）按照“建系、設(shè)點、列式、化簡”求軌跡方程；（2）把點到直線的距離用動點坐標表示，然后化簡，利用均值不等式求最值。
解：（Ⅰ）設(shè)動點M的坐標為，則依題意：
，
由此可得，即曲線C的方程為：
(Ⅱ)設(shè)點是曲線C上任一點，又因為，所以，直線L的斜率，其直線方程為：即，所以原點到該直線的距離，又因為，，
，
所以，當且僅當時，所求的距離最小為2.
點評：此題考查曲線方程的求法、直線方程、點到直線的距離、用不等式求最值以及導數(shù)的應用等。要把握每一個環(huán)節(jié)的關(guān)鍵。
6. (2011年高考全國新課標卷理科21)（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果當，且時，，求的取值范圍。
分析：（1）利用導數(shù)的概念和性質(zhì)求字母的值；（2）構(gòu)造新函數(shù)，用導數(shù)判定單調(diào)性，通過分類討論確定參數(shù)的取值范圍。
解：（Ⅰ），由題意知：即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
設(shè)則，
⑴如果，由知，當時， ，而
故，由當?shù)茫?br/>從而，當時，即
⑵如果，則當，時，
而；得：與題設(shè)矛盾；
⑶如果，那么，因為而，時，由得：與題設(shè)矛盾；
綜合以上情況可得：
點評：本題綜合考察導數(shù)的概念、性質(zhì)、求導法則、導數(shù)的應用、分類討論等概念、性質(zhì)、方法和思想。要深入理解和把握并進行拓展。
7. (2011年高考天津卷理科19)（本小題滿分14分）
已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當時，證明：存在，使；
（Ⅲ）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，證明．
【解析】本小題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和運用函數(shù)思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法.
（Ⅰ）解:,令,解得.
當變化時, 的變化情況如下表:
+ 0 -
極大值
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是;的單調(diào)遞減區(qū)間是.
（Ⅱ）證明: 當時，.由（Ⅰ）知在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.令,由在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,故,即,
取,則,所以存在，使.
（Ⅲ）證明:由及（Ⅰ）的結(jié)論知,從而在上的最小值為.
又由,,知.故,即,從而.
8．(2011年高考江西卷理科19) (本小題滿分12分)
設(shè)
（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍．
（2）當時，在的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值．
解析：（1），因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以的解集與集合有公共部分，所以不等式解集的右端點落在內(nèi)，即，解得．
（2）由得，又，所以，，所以函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，又，，
因為，所以，所以，所以．
最大值為．
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等．
9. (2011年高考湖南卷理科20)（本小題滿分13分）如圖6，長方形物體在雨中沿面（面積為）的垂直方向作勻速移動，速度為（），雨速沿移動方向的分速度為（）. 移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括量部分：(1) 或的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為.記為移動過程中的總淋雨量.當移動距離，面積時，
寫出的表達式；
設(shè)，，試根據(jù)的不同取值范圍，確定移動速
度，使總淋雨量最少.
解：由題意知，移動時單位時間內(nèi)的
淋雨量為，故
由知，
當時，
當時，
故
（1）當時，是關(guān)于的減函數(shù)，故當時，
（2）當時，在上，是關(guān)于的減函數(shù)；在上，是關(guān)于的增函數(shù).
故當時，
評析：本大題主要以生活化、物理性背景著重考查學生的閱讀理解能力和抽象概括能力以及數(shù)學建模、解模的能力.
10. (2011年高考湖南卷理科22)（本小題滿分13分）已知函數(shù)
求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由；
設(shè)數(shù)列滿足證明：存在常數(shù)
使得對于任意的都有
解：由知，，而且，
，則為的一個零點，且在內(nèi)由零點，
因此至少有兩個零點.
解法1 記則
當時，因此在上單調(diào)遞增，則在上至多有一個零點，
又因為，，則在內(nèi)有零點.所以在上有且只有一個零點，記此零點為，則當時，當時，
所以，
當時，單調(diào)遞減，而則在內(nèi)無零點；當時，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點，從而在上至多有一個零點.
綜上所述，有且只有兩個零點.
解法2 由，記則
當時，因此在上單調(diào)遞增，則在上至多有一個零點，
從而在上至多有一個零點.
綜上所述，有且只有兩個零點.
記的正零點為，即
（1）當時，由得，而，因此.
由此猜測：。下面用數(shù)學歸納法證明：
①當時，顯然成立；
②假設(shè)當時，有成立，則當時，由
知，，因此，當時，成立。
故對任意的，成立。
（2）當時，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數(shù)學歸納法證明：
①當時，顯然成立；
②假設(shè)當時，有成立，則當時，由
知，，因此，當時，成立。
故對任意的，成立。
綜上所述，存在常數(shù)，使得對于任意的，都有.
知
因此，當時，成立
故對任意的成立
綜上所述，存在常數(shù)使得對于任意的都有
評析：本大題綜合考查函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列、不等式等數(shù)學知識和方法以及數(shù)學歸納法、放縮法等證明方法的靈活運用.突出考查綜合運用數(shù)學知識和方法分析問題、解決問題的能力.
11. (2011年高考湖北卷理科17)（本小題滿分12分）
提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米,/小時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度的一次函數(shù).
(Ⅰ)當時，求函數(shù)的表達式；
(Ⅱ)當車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時）
本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.
解析：
（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設(shè)
再由已知得，解得
故函數(shù)的表達式為
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得
當時，為增函數(shù)，故當時，其最大值為60×20=1200；
當時，
當且僅當，即時，等號成立.
所以，當時，在區(qū)間[20,200]上取得最大值.
綜上，當時，在區(qū)間[0,200]上取得最大值.
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.
12. (2011年高考湖北卷理科21)（本小題滿分14分）
(Ⅰ)已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值；
(Ⅱ)設(shè)均為正數(shù)，證明：
（1）若，則；
（2）若，則
本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，同時考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
解析：
（Ⅰ）的定義域為，令，解得，
當時，，在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)；
當時，，在內(nèi)是減函數(shù)；
故函數(shù)在處取得最大值
（Ⅱ）
（1）由（Ⅰ）知，當時，有，即，
，從而有，得，
求和得,
,,即
.
（2）①先證.
令，則,于是
由（1）得，即
.
②再證.
記，令，則，
于是由（1）得.
即，
綜合①②，（2）得證.
13．(2011年高考陜西卷理科19)（本小題滿分12分）如圖，從點作軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點，再從作 軸的垂線交曲線于點，依次重復上述過程得到一系列點：， ；，；；，記點的坐標為（）
（Ⅰ）試求與的關(guān)系（）
（Ⅱ）求
【解析】：（Ⅰ）設(shè) ，由 得 點處切線方程為 ，由得（）
（Ⅱ）由， ，得所以 ，
于是
14．(2011年高考陜西卷理科21)（本小題滿分14分）[來源:21世紀教育網(wǎng)]
設(shè)函數(shù)定義在上，，導函數(shù)
（Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間的最小值；（Ⅱ）討論 與 的大小關(guān)系；（Ⅲ）是否存在，使得 對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在請說明理由。
【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負；（3）存在性問題通常采用假設(shè)存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結(jié)論．
【解】（1）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即，
∴；，
∴，令，即，解得，
當時，，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間；
當時，，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間；
所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，
所以的最小值是．
（2），設(shè)，
則，
當時，，即，
當時，，，
因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
當時，=0，∴；
當時，=0，∴．
（3）滿足條件的不存在．證明如下：
證法一 假設(shè)存在，使對任意成立，
即對任意有 ①
但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，
因此不存在，使對任意成立．
證法二 假設(shè)存在，使對任意成立，
由（1）知，的最小值是，
又，而時，的值域為，
∴當時，的值域為，
從而可以取一個值，使，即,
∴，這與假設(shè)矛盾．
∴不存在，使對任意成立．
15．(2011年高考重慶卷理科18)（本小題滿分13分。（Ⅰ）小題6分（Ⅱ）小題7分。）
設(shè)的導數(shù)滿足其中常數(shù).
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程。
（Ⅱ）設(shè)求函數(shù)的極值。
解析：（Ⅰ）因，故，
令，得，由已知，解得
又令，得，由已知，解得
因此，從而
又因為，故曲線在點處的切線方程為，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，從而有，
令，解得。
當時，，故在為減函數(shù)，
當時，，故在為增函數(shù)，
當時，，故在為減函數(shù)，
從而函數(shù)在處取得極小值，在出取得極大值.
16．(2011年高考四川卷理科22) (本小題共l4分)
已知函數(shù)f(x)= x + , h(x)= ．
(I)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(Ⅱ)設(shè)a∈R，解關(guān)于x的方程log4 []=1og2 h(a-x)一log2h (4-x)；
(Ⅲ)試比較與的大小.
解析：（1），
令
，
所以是其極小值點，極小值為.
（2）；
由
即，即，
方程可以變?yōu)椋?br/>，
當，方程，，；
當，方程，；
當時，方程有一個解；
當方程無解.
⑶由已知得，
設(shè)數(shù)列的前n項和為，且,
從而有
當，
又
對任意的有，
又因為，所以，
故
17．(2011年高考全國卷理科22)（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，證明：當時，；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：
【解析】：（Ⅰ）
故
（Ⅱ）法一：第次抽取時概率為，則抽得的20個號碼互不相同的概率
由（Ⅰ），當
即有故
于是即。故
法二：
所以是上凸函數(shù)，于是
因此
故
綜上：
18.(2011年高考江蘇卷17)請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=cm.
（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問應取何值？
（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
P
【解析】（1）由題意知, 包裝盒的底面邊長為,高為,所以包裝盒側(cè)面積為
S==,當且僅當,即時,等號成立,所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，應15cm.
（2），所以，
當時，，所以，當x=20時，V最大。
此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為
19.(2011年高考江蘇卷19)已知a，b是實數(shù)，函數(shù) 和是的導函數(shù)，若在區(qū)間I上恒成立，則稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致
（1）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)且，若函數(shù)和在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值。
解析：（1）因為函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以，即
即
（2）當時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（b,a）上單調(diào)性一致，所以，
即，
設(shè)，考慮點(b,a)的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切點設(shè)為
則；
當時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，
即，
當時，因為，函數(shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，
即而x=0時，不符合題意，
當時，由題意：
綜上可知，。
20．(2011年高考北京卷理科18)（本小題共13分）
已知函數(shù)。
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意的，都有≤，求的取值范圍。
解：（Ⅰ）
令，得.
當k>0時，的情況如下
x () (,k) k
+ 0 — 0 +
↗ ↘ 0 ↗
所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是（）和；單高層區(qū)間是當k<0時，的情況如下
x () (,k) k
— 0 + 0 —
↘ 0 ↗ ↘
所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是（）和；單高層區(qū)間是
（Ⅱ）當k>0時，因為，所以不會有
當k<0時，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是
所以等價于
解得.
故當時，k的取值范圍是
21．(2011年高考福建卷理科18)（本小題滿分13分）
某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中3（I）求a的值
（II）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。
解析：本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應用意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分13分。
解：（I）因為x=5時，y=11，所以
（II）由（I）可知，該商品每日的銷售量
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
從而，
于是，當x變化時，的變化情況如下表：
（3，4） 4 （4，6）
+ 0 -
單調(diào)遞增 極大值42 單調(diào)遞減
由上表可得，x=4是函數(shù)在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點，也是最大值點；
所以，當x=4時，函數(shù)取得最大值，且最大值等于42。
答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。
22．(2011年高考上海卷理科20)（12分）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足。
（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求時的取值范圍。
解：⑴ 當時，任意，
則
∵ ，，
∴ ，函數(shù)在上是增函數(shù)。
當時，同理，函數(shù)在上是減函數(shù)。
⑵
當時，，則；
當時，，則。
o
x
y
y=log2x
y=log3x
y=log4x2011年高考試題數(shù)學（理科）
統(tǒng)計
一、選擇題:
1. (2011年高考山東卷理科7) 某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表
廣告費用x（萬元） 4 2 3 5
銷售額y（萬元） 49 26 39 54
根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為
2. (2011年高考江西卷理科6)變量X與Y相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù),表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù),則 ( )
A. B. C. D.
答案：C
解析： 第一組變量正相關(guān)，第二組變量負相關(guān)。
3. (2011年高考湖南卷理科4)通過隨即詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：
男 女 總計
愛好 40 20 60
不愛好 20 30 50
總計 60 50 110
由算得，.
附表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
參照附表，得到的正確結(jié)論是
A.在犯錯的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
B. 在犯錯的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C. 由99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D. 由99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
答案：C
解析：由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選C.
4. (2011年高考湖北卷理科5)已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則
A. B. C. D.
【答案】C
解析：
如圖，正態(tài)分布的密度函數(shù)示意圖所示，函數(shù)關(guān)于
直線對稱，所以，并且
則
所以選C.
5．(2011年高考陜西卷理科9)設(shè)，，， 是變量x和y的n個樣本點，直線是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論中正確的是
（A）x和y相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率
（B）x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間
（C）當n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同
（D）直線過點
【答案】D
【解析】：由得又，所以則直線過點，故選D
6. (2011年高考四川卷理科1)有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[31.5，43.5)的概率約是( )
(A) (B) (C) （D）
答案：B
解析：大于或等于31.5的數(shù)據(jù)所占的頻數(shù)為12+7+3=22，該數(shù)據(jù)所占的頻率約為.
二、填空題:
1. (2011年高考四川卷理科14)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加____________萬元.
答案：0.254
解析：由線性回歸直線斜率的幾何意義可知，家庭收入每增加2萬元，年飲食支出平均增加0.254萬元
2. (2011年高考天津卷理科9)一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為___________.
【答案】12
【解析】設(shè)抽取男運動員人數(shù)為，則，解之得.
3. (2011年高考廣東卷理科13)某數(shù)學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為 cm.
【解析】185cm.
4.(2011年高考安徽卷江蘇6)某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差
【答案】7
【解析】因為信件數(shù)的平均數(shù)為,所以方差為=7.
三、解答題:
1. (2011年高考遼寧卷理科19)（本小題滿分12分）
某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.
（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學期望；
（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：
分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應該種植哪一品種？
附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數(shù).
解析：（I）X可能的取值為0,1,2,3,4,且
即X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
X的數(shù)學期望是：
.
（II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：
品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：
由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙.
2. (2011年高考全國新課標卷理科19)（本小題滿分12分）
某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測試了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到下面試驗結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表
指標值分組
頻數(shù) 8 20 42 22 8
B配方的頻數(shù)分布表
指標值分組
頻數(shù) 4 12 42 32 8
（Ⅰ）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標值t的關(guān)系式為
從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望.（以實驗結(jié)果中質(zhì)量指標值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落入相應組的概率）
解析：（Ⅰ）由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3。
由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42
（Ⅱ）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，,054,0.42，因此X的可能值為-2,2,4
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
X -2 2 4
P 0.04 0.54 0.42
即X的分布列為
X的數(shù)學期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
3. (2011年高考廣東卷理科17)（本小題滿分13分）
為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：
（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）當產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足≥175且y≥75，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；
（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨即抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學期望）.
【解析】解：（1），即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。
（2）易見只有編號為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品
故乙廠生產(chǎn)有大約（件）優(yōu)等品，
（3）的取值為0，1，2。
所以的分布列為
0 1 2
P
故
4．(2011年高考北京卷理科17)本小題共13分
以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數(shù)和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學期望。
（注：方差，其中為，，…… 的平均數(shù)）
【命題意圖】本題考查運用莖葉圖給出統(tǒng)計數(shù)據(jù)求平均值和方差、利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)求概率和隨機變量的分布和期望的計算，考查數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力,是中檔題.
【解析】（1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，
所以平均數(shù)為
方差為
（Ⅱ）當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P（Y=17）=
同理可得
所以隨機變量Y的分布列為：
Y 17 18 19 20 21
P
EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19
5．(2011年高考福建卷理科19)（本小題滿分13分）
某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準
（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：
5 6 7 8
P 0．4 a b 0．1
且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望．
（III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．
注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=；
（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性．
解析：本小題主要考查概率、統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應用意識，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。
解：（I）因為
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：
3 4 5 6 7 8
0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：
3 4 5 6 7 8
P 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
所以
即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.
（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：
因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望數(shù)學等于6，價格為6元/件，所以其性價比為
因為乙廠產(chǎn)呂的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為
據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。
x
y
O
4
22011年高考試題數(shù)學（理科）
平面向量
一、選擇題
1. (2011年高考山東卷理科12)設(shè)，，，是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若 (λ∈R)，(μ∈R)，且,則稱，調(diào)和分割， ,已知點C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)調(diào)和分割點A(0，0)，B(1，0)，則下面說法正確的是
(A)C可能是線段AB的中點
(B)D可能是線段AB的中點
(C)C，D可能同時在線段AB上
(D) C，D不可能同時在線段AB的延長線上
【答案】D
【解析】由 (λ∈R)，(μ∈R)知:四點，，，在同一條直線上,
因為C,D調(diào)和分割點A,B,所以A,B,C,D四點在同一直線上,且, 故選D.
2. (2011年高考全國新課標卷理科10)若，，均為單位向量，且，，則的最大值為
（A） （B）1 （C） （D）2
3. (2011年高考全國新課標卷理科10)已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題
4. (2011年高考四川卷理科3)若向量
A．4 B．3 C．2 D．0
答案：D
5. (2011年高考四川卷理科4)如圖，正六邊形ABCDEF中，=( )
(A)0 (B) (C) (D)
答案：D
解析：.
6. (2011年高考全國卷理科12)設(shè)向量滿足||=||=1, ,，=，則的最大值等于
(A)2 (B) (c) (D)1
【答案】A
【解析】如圖，構(gòu)造, , ,
，所以四點共圓，
可知當線段為直徑時，最大，最大值為2.
7．(2011年高考上海卷理科17)設(shè)是空間中給定的5個不同的點，則使成立的點的個數(shù)為 （ ）
A．0 B．1 C．5 D．10
【答案】B
二、填空題:
1. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量，滿足，，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是 。
【答案】
【解析】，又
2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b滿足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，則a與b的夾角為 .
【答案】
【命題意圖】本題考查向量的數(shù)量積，考查向量夾角的求法.屬中等難度的題.
【解析】，則，即，，所以，所以.
3. (2011年高考天津卷理科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則的最小值為 .【答案】5
【解析】建立如圖所示的坐標系，設(shè)，則，設(shè)
則，∴.
4. (2011年高考江西卷理科11)已知，，則與的夾角為 .
答案：（）
解析：根據(jù)已知條件，去括號得：，
5. (2011年高考湖南卷理科14)在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則。
答案：
解析：由題，，
所以。
6.(2011年高考重慶卷理科12)已知單位向量的夾角為，則
解析：。
7.(2011年高考安徽卷江蘇10)已知是夾角為的兩個單位向量， 若，則k的值為 .
【答案】
【解析】
0,解得.
8．(2011年高考北京卷理科10)已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b與c共線，則k=___________________。
【答案】1
9．(2011年高考福建卷理科15)設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射滿足：對任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有
則稱映射f具有性質(zhì)P。
現(xiàn)給出如下映射：
①
②
③
其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號）
【答案】①③
10．(2011年高考上海卷理科11)在正三角形中，是上的點，，則 。
【答案】
A
B
C
D
o
x
y2011年高考試題數(shù)學（理科）
直線與圓
一、選擇題:
1．(2011年高考江西卷理科9)若曲線：與曲線：有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是
A．(，) B．(，0)∪(0，)
c．[，] D．(，)∪(，+)
答案：B
解析：曲線表示以為圓心，以1為半徑的圓，曲線表示過定點，與圓有兩個交點，故也應該與圓有兩個交點，由圖可以知道，臨界情況即是與圓相切的時候，經(jīng)計算可得，兩種相切分別對應，由圖可知，m的取值范圍應是
2.(2011年高考重慶卷理科8)（8）在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為
（A） （B） （C） （D）
二、填空題:
1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐標系中，如果與都是整數(shù)，就稱點為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點
③直線經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當經(jīng)過兩個不同的整點
④直線經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線
【命題意圖】本題考查直線方程、直線過定點、充分必要條件、存在性問題、命題真假的判定，考查學生分析、判斷、轉(zhuǎn)化、解決問題能力，此類問題正確的命題要給出證明，錯誤的要給出反例，此題綜合性較強，難度較大.
【答案】①③⑤
【解析】①正確，設(shè)，當是整數(shù)時，是無理數(shù)，（，）必不是整點.
②不正確，設(shè)=，=－，則直線=過整點（1,0）.
③正確，直線經(jīng)過無窮多個整點，則直線必然經(jīng)過兩個不同整點，顯然成立；反之成立，設(shè)直線經(jīng)過兩個整點，，則的方程為，令=（），則∈Z，且=也是整數(shù)，故經(jīng)過無窮多個整點.
④不正確，由③知直線經(jīng)過無窮多個整點的充要條件是直線經(jīng)過兩個不同的整點,設(shè)為，，則的方程為，
∵直線方程為的形式，∴，∴=，
∴，∈Q，反之不成立，如，則，若∈Z，則Z，即，∈Q，得不到經(jīng)過無窮個整點.
⑤正確，直線=只過整點（1,0）.
2.(2011年高考重慶卷理科15)設(shè)圓位于拋物線與直線所組成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓的半徑能取到的最大值為
解析：。 為使圓的半徑取到最大值，顯然圓心應該在x軸上且與直線相切，設(shè)圓的半徑為，則圓的方程為，將其與聯(lián)立得：，令，并由，得：
三、解答題:
1. (2011年高考山東卷理科22)（本小題滿分14分）
已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且△OPQ的面積=,其中O為坐標原點.
（Ⅰ）證明和均為定值;
（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得 若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由.
【解析】（I）解：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關(guān)于x軸對稱，
所以因為在橢圓上，因此 ①
又因為所以②；由①、②得
此時
（2）當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為
由題意知m，將其代入，得，
其中即 …………（*）
又
所以
因為點O到直線的距離為所以
，又
整理得且符合（*）式，
此時
綜上所述，結(jié)論成立。
（II）解法一：
（1）當直線的斜率存在時，由（I）知
因此
（2）當直線的斜率存在時，由（I）知
所以
所以，當且僅當時，等號成立.
綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為
解法二：
因為
所以
即當且僅當時等號成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值為
（III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得
證明：假設(shè)存在，
由（I）得
因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點，
而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾，
所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G.
2. (2011年高考廣東卷理科19)設(shè)圓C與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切.
（1）求C的圓心軌跡L的方程.
（2）已知點且P為L上動點，求的最大值及此時點P的坐標.
【解析】（1）解：設(shè)C的圓心的坐標為，由題設(shè)條件知
化簡得L的方程為
（2）解：過M，F(xiàn)的直線方程為，將其代入L的方程得
解得
因T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，故
，若P不在直線MF上，在中有
故只在T1點取得最大值2。
3．(2011年高考福建卷理科17)（本小題滿分13分）
已知直線l：y=x+m，m∈R。
（I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；
（II）若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。
【命題意圖】本題考查圓的方程、直線與圓相切知識、兩直線的位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想，是中檔題.
【解析】（I）由題意知(0, ),∵以點(2,0）為圓心的圓與直線相切與點,
∴==,解得=2，∴圓的半徑=，
∴所求圓的方程為；
（II）∵直線關(guān)于軸對稱的直線為，：，∈，
∴：，代入得，
==，
當＜1時，＞0，直線與拋物線C相交；
當=1時，=0，直線與拋物線C相切；
當＞1時，＜0，直線與拋物線C相離.
綜上所述，當=1時，直線與拋物線C相切，當≠1時，直線與拋物線C不相切.
【點評】本題考查內(nèi)容和方法很基礎(chǔ)，考查面較寬，是很好的一個題.
4．(2011年高考上海卷理科23)（18分）已知平面上的線段及點，在上任取一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作。
（1）求點到線段的距離；
（2）設(shè)是長為2的線段，求點集所表示圖形的面積；
（3）寫出到兩條線段距離相等的點的集合，其中
，
是下列三組點中的一組。對于下列三組點只需選做一種，滿分分別是①2分，②
6分，③8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號較小的解答計分。
① 。
② 。
③ 。
解：⑴ 設(shè)是線段上一點，則
，當時，。
⑵ 設(shè)線段的端點分別為，以直線為軸，的中點為原點建立直角坐標系，
則，點集由如下曲線圍成
，
其面積為。
⑶ ① 選擇，
② 選擇。
③ 選擇。2011年高考試題數(shù)學（理科）
常用邏輯用語
一、選擇題:
1．(2011年高考浙江卷理科7)若為實數(shù)，則“”是的
（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，由兩邊同除可得成立；當時，兩邊同除以可得成立，∴“”是“或”的充會條件，反過來，由或得不到.
2. (2011年高考天津卷理科2)設(shè)則“且”是“”的
A. 充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由且可得，但反之不成立，故選A.
3．(2011年高考安徽卷理科7)命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是
（A）所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)
（B）所有能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù)
（C）存在一個不能被2整除的數(shù)是偶數(shù)
（D）存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)
其中的真命題是
（A） （B） （C） （D）
答案:A
解析：由可得，
點評：該題考查平面向量的的概念、數(shù)量積運算以及三角函數(shù)值與角的取值范圍，要熟練把握概念及運算。
5. (2011年高考湖南卷理科2)設(shè)集合M={1,2}，N={a2},則“a=1”是“NM”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件
答案：A
解析：當a=1時，N={1} M，滿足充分性；而當N={a2}M時，可得a=1或a=-1，不滿足必要性。故選A
評析：本小題主要考查集合間的基本關(guān)系以及充分、必要條件的判定.
6．(2011年高考湖北卷理科9)若實數(shù)滿足，且，則稱與互補，記那么是與b互補的
A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案：C
解析：由，即，故，則，化簡得，即ab=0，故且，則且，故選C.
7．(2011年高考陜西卷理科1)設(shè)是向量，命題“若，則”的逆命題是
（A）若則 （B）若則
（C）若則 （D）若則
【答案】D
【解析】首先確定原命題的條件和結(jié)論，然后交換條件和結(jié)論的位置即可得到逆命題。原命題的條件是，作為逆命題的結(jié)論；原命題的結(jié)論是，作為逆命題的條件，即得逆命題“若，則”，故選D．
8．(2011年高考陜西卷理科2) “”是“”的
（A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C) 充要條件 (D)既不充分也不必要條件
解析：選A. ，故“”是“”的充分而不必要條件
9．(2011年高考四川卷理科5)函數(shù)在點處有定義是在點處連續(xù)的
(A)充分而不必要的條件 (B)必要而不充分的條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要的條件
答案：B
解析：連續(xù)必定有定義，有定義不一定連續(xù)。
10．(2011年高考全國卷理科3)下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】 故選A。
11．(2011年高考福建卷理科2)若aR，則a=2是（a-1）（a-2）=0的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 C．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】由a=2一定得到（a-1）（a-2）=0,但反之不成立,故選A.
12．(2011年高考上海卷理科18)設(shè)是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，是邊長為的矩形面積（），則為等比數(shù)列的充要條件為 （ ）
A．是等比數(shù)列。
B．或是等比數(shù)列。
C．和均是等比數(shù)列。
D．和均是等比數(shù)列，且公比相同。
【答案】D
二、填空題:
1．(2011年高考陜西卷理科12)設(shè)，一元二次方程有整數(shù)根的沖要條件是
【答案】3或4
【解析】：由韋達定理得又所以則
三、解答題:
1．(2011年高考北京卷理科20)（本小題共13分）
若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=．
（Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數(shù)列；
（Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；
（Ⅲ）對任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5）
（Ⅱ）必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，
所以.
所以A5是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因為a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是遞增數(shù)列.
綜上，結(jié)論得證。
（Ⅲ）令
因為
……
所以
因為
所以為偶數(shù),
所以要使為偶數(shù),
即4整除.
當
時，有
當?shù)捻棟M足，
當不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An，
使得2011年高考試題數(shù)學（理科）
不等式
一、選擇題:
1. (2011年高考山東卷理科4)不等式的解集為
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D）
【答案】D
【解析】由不等式的幾何意義知，式子表示數(shù)軸的點與點（5）的距離和與點（-3）的距離之和，其距離之和的最小值為8，結(jié)合數(shù)軸，選項D正確
2. (2011年高考遼寧卷理科9)設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是
（A），2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）
答案：D
3. (2011年高考遼寧卷理科11)函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為
（A）（，1） （B）（，+） （C）（，） （D）（，+）
答案：B
4.(2011年高考浙江卷理科5)設(shè)實數(shù)滿足不等式組若為整數(shù)，則的最小值是
（A）14 （B）16 （C）17 （D）19
【答案】 B
所以 即于是所以成立，充分條件；
反之成立，即則
故，不必要條件。故選A
6.(2011年高考安徽卷理科4)設(shè)變量滿足則的最大值和最小值分別為
（Ａ）１，－１　　?。ǎ拢?，－２ ?。ǎ茫保病? （Ｄ）２，－１21世紀教育網(wǎng)
【答案】B
【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃問題.屬容易題.
【解析】不等式對應的區(qū)域如圖所示，
當目標函數(shù)過點（0，－1），（0,1）時，分別取最小或最大值，所以的最大值和最小值分別為2，－2.故選B.
7. (2011年高考天津卷理科2)設(shè)則“且”是“”的
A. 充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，一定有；反過來當
，不一定有，例如也可以，故選A
8.(2011年高考天津卷理科7)已知則
A．　　B．
C．　　D．
【答案】C
【解析】令，，，在同一坐標系下作出三個函數(shù)的圖象，
由圖象可得 ，
9. (2011年高考天津卷理科8)對實數(shù)與，定義新運算“”： 設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． 　　　B． 　
C． 　　D.
【答案】B
【解析】
則的圖象如圖
∵的圖象與軸恰有兩個公共點，
∴與的圖象恰有兩個公共點，由圖象知，或.
10. (2011年高考江西卷理科2)若集合,則= ( )
A. B. C. D.
答案：B 解析：
11. (2011年高考江西卷理科3)若，則的定義域為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使原函數(shù)有意義,只須,即,解得,故選A.
12. (2011年高考江西卷理科4)若，則的解集為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為,原函數(shù)的定義域為,所以由可得,解得,故選C.
13. (2011年高考湖南卷理科7)設(shè)在約束條件下，目標函數(shù)的最大值小于2，則的取值范圍為
A. B. C. D.
答案：A
解析：畫出可行域，或分別解方程組，，得到三個區(qū)域端點，，
，當且僅當直線過點時，取到最大值,解得。故選A
評析：本小題主要考查線性規(guī)劃問題中，利用最值求參數(shù)的取值范圍問題.
14. (2011年高考廣東卷理科5)已知平面直角坐標系上的區(qū)域D由不等式組給定.若M(x，y)為D上動點，點A的坐標為(，1)．則的最大值為（ ）
A. B. C.4 D.3
【解析】C.由題得不等式組對應的平面區(qū)域D是如圖所示的直角梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示數(shù)形結(jié)合觀察得當點M在點B的地方時，才最大。
,所以，所以選擇C
15．(2011年高考湖北卷理科8)已知向量，且，若滿足不等式，則z的取值范圍為
A.[—2,2] B. [—2,3] C. [—3,2] D. [—3,3]
答案：D
解析：因為，故，即，可得，又因為，其圖像為四條直線所圍成的正方形面，由線性規(guī)劃可計算得當時，取到，當，取到，所以選D.
16．(2011年高考湖北卷理科9)若實數(shù)滿足，且，則稱與互補，記那么是與b互補的
A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案：C
解析：由，即，故，則，化簡得，即ab=0，故且，則且，故選C.
17.(2011年高考重慶卷理科2) “”是“”的
（A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C) 充要條件 (D)既不充分也不必要條件
解析：選A. ，故“”是“”的充分而不必要條件
18.(2011年高考重慶卷理科7)已知a＞0，b＞0，a+b=2，則的最小值是
（A） （B）4
（C） （D）5
解析：選C。因為a+b=2，所以
19.(2011年高考重慶卷理科10)（10）設(shè)m，k為整數(shù)，方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有兩個不同的根，則m+k的最小值為
（A）-8 （B）8
（C）12 （D）13
解析：選D. 設(shè)，則方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有兩個不同的根等價于，因為，所以，故拋物線開口向上，于是，，令，則由，得，則，所以m至少為2，但，故k至少為5，又，所以m至少為3，又由，所以m至少為4，……依次類推，發(fā)現(xiàn)當時，首次滿足所有條件，故的最小值為13
20. (2011年高考四川卷理科9)某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需運往地至少72噸的貨物，派用的每輛車虛滿載且只運送一次.拍用的每噸甲型卡車虛配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車虛配1名工人，運送一次可得利潤350元.該公司合理計劃黨團派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤( )
（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元
答案：C
解析：由題意設(shè)派甲，乙輛，則利潤，得約束條件畫出可行域在的點代入目標函數(shù)
21. (2011年高考全國卷理科3)下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過選項能推出a>b，而由a>b推不出選項的選項.
【精講精析】選A.即尋找命題P使P推不出P，逐項驗證可選A。
22．(2011年高考北京卷理科6)根據(jù)統(tǒng)計，一名工作組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為 （A，C為常數(shù)）。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么C和A的值分別是
A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16
【答案】D
23．(2011年高考北京卷理科8)設(shè),， ,.記為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則函數(shù)的值域為
A． B．
C． D．
【答案】C
24．(2011年高考福建卷理科8)已知O是坐標原點，點A（-1,1）若點M（x,y）為平面區(qū)域，上的一個動點，則·的取值范圍是
A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]
【答案】C
25．(2011年高考上海卷理科15)若，且，則下列不等式中，恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
二、填空題:
1.(2011年高考浙江卷理科16)設(shè)為實數(shù)，若則的最大值是 .。
【答案】
【解析】，
，故的最大值為
2. (2011年高考全國新課標卷理科13)若變量滿足約束條件則的最小值為 。
答案: -6
解析：如圖可知最優(yōu)解是（4，-5），所以，
點評：本題考查線性規(guī)劃問題，求最優(yōu)解事先要準確畫出線性區(qū)域是關(guān)鍵。
3．(2011年高考天津卷理科13)已知集合，則集合=________
【答案】
【解析】因為,所以,所以;由絕對值的幾何意義可得:,所以=.
4. (2011年高考湖南卷理科10)設(shè)，且，則的最小值為 .
答案：9
解析：由，且可知：，則
（當且僅當時，取到等號）。故填9
評析：本小題主要考查不等式的性質(zhì)和基本不等式求最值問題.
5. (2011年高考廣東卷理科9)不等式的解集是______.
【解析】。由題得 所以不等式的解集為。
6.(2011年高考安徽卷江蘇8)在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________
【答案】4
【解析】設(shè)坐標原點的直線方程為,則由解得交點坐標為、，即為P、Q兩點，所以線段PQ長為，當且僅當時等號成立，故線段PQ長的最小值是4.
7．(2011年高考上海卷理科4)不等式的解為 。
【答案】或
三、解答題:
1.(2011年高考安徽卷理科19)（本小題滿分12分）
（Ⅰ）設(shè)證明，
（Ⅱ），證明.
【命題意圖】本題考查不等式的基本性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)換底公式等基本知識，考查代數(shù)的恒等變形能力和推理論證能力.
【解析】（Ⅰ）∵≥1，≥1，∴，
∴=
===≥0，
∴.
（Ⅱ）設(shè)=，=，則=====，=，=，=，
∴所要證明不等式即為，
∵，∴≥1，≥1，
由（Ⅰ）知所證明的不等式成立.
【解題指導】：證明不等式常規(guī)的方法有分析法，綜合法，作差法和作商法，無論哪種方法不等式性質(zhì)和代數(shù)式恒定變形是處理這類問題的關(guān)鍵。
第二問的處理很有藝術(shù)性，借助第一問題的結(jié)論巧妙地解決了，這也是一題多問的問題解決常規(guī)思路，前面的問題結(jié)論對后面問題解決常常有提示作用。
2．(2011年高考廣東卷理科21)（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系xOy上，給定拋物線L:．實數(shù)p，q滿足，x1，x2是方程的兩根，記。
（1）過點作L的切線教y軸于點
B．證明：對線段AB上任一點Q（p，q）有
（2）設(shè)M（a，b）是定點，其中a，b滿足a2-4b>0,a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線，切點分別為，與y軸分別交與F,F'。線段EF上異于兩端點的點集記為X．證明：M（a,b） X;
（3）設(shè)D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．當點（p,q）取遍D時，求的最小值 （記為）和最大值（記為）．
【解析】解：（1）證明：切線的方程為
當
當
（2）的方程分別為
求得的坐標，由于，故有
1）先證：
（）設(shè)
當
當
（）設(shè)
當
注意到
2）次證：
（）已知利用（1）有
（）設(shè)，斷言必有
若不然，令Y是上線段上異于兩端點的點的集合，
由已證的等價式1）再由（1）得，矛盾。
故必有再由等價式1），
綜上，
（3）求得的交點
而是Ｌ的切點為的切線，且與軸交于，
由（１）線段Q1Q2，有
當
在（0，2）上，令
由于
在[0，2]上取得最大值
故
,
故
3. (2011年高考湖北卷理科17)（本小題滿分12分）
提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米,/小時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度的一次函數(shù).
(Ⅰ)當時，求函數(shù)的表達式；
(Ⅱ)當車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時）
本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.
解析：（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設(shè)，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得
故函數(shù)的表達式為=
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得
當時，為增函數(shù)，故當時，其最大值為；
當時，，
當且僅當，即時，等號成立．
所以，當時，在區(qū)間上取得最大值．
綜上，當時，在區(qū)間上取得最大值，
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．
4. (2011年高考湖北卷理科21)（本小題滿分14分）
(Ⅰ)已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值；
(Ⅱ)設(shè)均為正數(shù)，證明：
（1）若，則；
（2）若，則
本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，同時考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
解析：
（Ⅰ）的定義域為，令，解得，
當時，，在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)；
當時，，在內(nèi)是減函數(shù)；
故函數(shù)在處取得最大值
（Ⅱ）
（1）由（Ⅰ）知，當時，有，即，
，從而有，得，
求和得,
,,即
.
（2）①先證.
令，則,于是
由（1）得，即
.
②再證.
記，令，則，
于是由（1）得.
即，
綜合①②，（2）得證.
5.(2011年高考全國卷理科22)（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，證明：當時，；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：
【思路點撥】本題第（I）問是利用導數(shù)研究單調(diào)性最值的常規(guī)題，不難證明。
第(II)問證明如何利用第（I）問結(jié)論是解決這個問題的關(guān)鍵也是解題能力高低的體現(xiàn)。
【精講精析】(I)
所以在上單增。
當時，。
（II）
由(I)，當x<0時，,即有
故
于是,即.
利用推廣的均值不等式：
另解：，
所以是上凸函數(shù)，于是
因此
，
故
綜上：
o
x
y
y=log2x
y=log3x
y=log4x
-1
-2
o
x
y
o
第13題圖2011年高考試題數(shù)學（理科）
選修系列：幾何證明選講
一、選擇題:
1．(2011年高考北京卷理科5)如圖，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F(xiàn)，
延長AF與圓O交于另一點G。給出下列三個結(jié)論：
①AD+AE=AB+BC+CA；
②AF·AG=AD·AE
③△AFB ～△ADG
其中正確結(jié)論的序號是
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】由切線長定理得AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以AB+BC+CA=AB+BD+CE=AD+AE，故①正確；
由切割線定理知，= AF·AG，故②正確，所以選A.
二、填空題:
1. (2011年高考天津卷理科12)如圖,已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F,E是AB延長線上一點,且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1.若CE與圓相切,則線段CE的長為 .
【答案】
【解析】設(shè)AF=4x,BF==2x,BE=x,則由相交弦定理得:,
即,即,由切割線定理得:,所以.
2. (2011年高考湖南卷理科11)如圖2，A,E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC=4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則的AF長為 .
答案：
解析：如圖2中，連接EC，AB,OB,由A,E是半圓周上的兩個三等分點可知：∠EBC=30°,且⊿ABO是正三角形，所以EC=2,BE=,BD=1,且AF=BF=.故填
評析：本小題主要考查平面幾何中直線與圓的位置關(guān)系問題，涉及與圓有關(guān)的定理的運用.
3. (2011年高考廣東卷理科15)（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓于。且，是圓上一點使得，，則 .
【答案】
【解析】由題得～
4．(2011年高考陜西卷理科15)（幾何證明選做題）如圖
【答案】
【解析】：
又所以，即
三、解答題:
1．(2011年高考遼寧卷理科22)（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC=ED.
（I）證明：CD//AB；
又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A，B，G，F(xiàn)四點共圓
2. (2011年高考全國新課標卷理科22)（本小題滿分10分） 選修4-1幾何證明選講
如圖，D，E分別是AB,AC邊上的點，且不與頂點重合，已知
為方程的兩根，
證明 C,B,D,E四點共圓；
若，求C,B,D,E四點所在圓的半徑
分析：（1）按照四點共圓的條件證明；（2）運用相似三角形與圓、四邊形、方程的性質(zhì)及關(guān)系計算。
解析：（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四點共圓。
（Ⅱ）m=4, n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中點G,DB的中點F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.
故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5
點評：此題考查平面幾何中的圓與相似三角形及方程等概念和性質(zhì)。注意把握判定與性質(zhì)的作用。
3.(2011年高考江蘇卷21)選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）
如圖，圓與圓內(nèi)切于點，其半徑分別為與，
圓的弦交圓于點（不在上），
求證：為定值。
解析：考察圓的切線的性質(zhì)、三角形相似的判定及其性質(zhì)，容易題。
證明：由弦切角定理可得
第22題圖2011年高考試題數(shù)學（理科）
數(shù)列
一、選擇題:
1. (2011年高考天津卷理科4)已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項，為的前n項和, ,則的值為
A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110
已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項，
為的前項和，，則的值為
A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110
【答案】D.
【解析】∵，∴，解之得，
∴.
2. (2011年高考江西卷理科5)已知數(shù)列的前項和滿足:,且,那么 ( )
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
答案：A
解析：
，，
，則
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【答案】D
【解析】
故選D。
5.(2011年高考上海卷理科18)設(shè)是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，是邊長為的矩形面積（），則為等比數(shù)列的充要條件為（ ）
A．是等比數(shù)列。
B．或是等比數(shù)列。
C．和均是等比數(shù)列。
D．和均是等比數(shù)列，且公比相同。
【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的概念及充要條件的判斷問題，難度較大.
【答案】D
【解析】由題意知=，
若是等比數(shù)列，則==為非0常數(shù)，即=，=，……，
∴和成等比數(shù)列，且公比相等；
反之，若奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比相等，設(shè)為，則==，則是等比數(shù)列，故選D.
二、填空題
1. (2011年高考廣東卷理科12)設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，則
答案：25
解析：由可得，所以。
2. (2011年高考廣東卷理科11)等差數(shù)列前9項的和等于前4項的和.若，則 .
【答案】10
【解析】由題得
3. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升
答案：
解析：設(shè)從上往下的9節(jié)竹子的容積依次為a1,a2,，……，a9，公差為d，則有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,聯(lián)立解得：.即第5節(jié)竹子的容積.
4.(2011年高考陜西卷理科14)植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）。
【答案】2000
【解析】設(shè)樹苗集中放置在第號坑旁邊，則20名同學返所走的路程總和為
=即時.
5.(2011年高考重慶卷理科11)在等差數(shù)列中，，則
解析：74. ，故
6.(2011年高考江蘇卷13)設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________
【答案】
【解析】考察綜合運用等差、等比的概念及通項公式，不等式的性質(zhì)解決問題的能力，難題。
由題意：，
，而的最小值分別為1，2，3；。
7．(2011年高考北京卷理科11)在等比數(shù)列{an}中，a1=，a4=-4，則公比q=______________；____________。
【答案】—2
三、解答題:
1. (2011年高考山東卷理科20)（本小題滿分12分）
等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.
【解析】（I）當時，不合題意；
當時，當且僅當時，符合題意；
當時，不合題意。
因此
所以公式q=3，
故
（II）因為
所以
所以
當n為偶數(shù)時，
當n為奇數(shù)時，
綜上所述，
2.(2011年高考遼寧卷理科17)（本小題滿分12分）
已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8= -10
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（II）求數(shù)列的前n項和.
（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得
解得
故數(shù)列的通項公式為 ………………5分
（II）設(shè)數(shù)列，即，
所以，當時，
所以
綜上，數(shù)列
3.(2011年高考浙江卷理科19)（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項 (),設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，成等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及（Ⅱ）記，，當時，試比較與的大小.[
【解析】（Ⅰ）
則 ，
（Ⅱ）
因為，所以
當時， 即；
所以當時，；當時， .
4.(2011年高考安徽卷理科18)（本小題滿分13分）
在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再令.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項和.
【命題意圖】：本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對數(shù)運算，兩角差的正切公式等基本知識，考查靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力。
【解析】：（Ⅰ）構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，其中，，則
①
②
①×②并利用等比數(shù)列性質(zhì)得
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又
所以數(shù)列的前項和為
【解題指導】：做數(shù)列題時應優(yōu)先運用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，本題考查的是等比數(shù)列前n項積，自然想到等比數(shù)列性質(zhì)：，倒序相乘法是借鑒倒序相加法得到的，這樣處理就避免了對n奇偶性的討論。
第二問的數(shù)列求和應聯(lián)想常規(guī)的方法：倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法。而出現(xiàn)時自然應該聯(lián)想正切的和角或差角公式。本題只要將這兩個知識點有機結(jié)合起來就可以創(chuàng)造性的把問題解決。
5. (2011年高考全國新課標卷理科17)（本小題滿分12分）
等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)設(shè) 求數(shù)列的前項和.
分析：(1)先求首項和公比，后求通項(2)可以先求出，然后得新數(shù)列通項后再求和
解析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得所以。
由條件可知a>0,故。
由得，所以。
故數(shù)列{an}的通項式為an=。
（Ⅱ ）
故
所以數(shù)列的前n項和為
點評：本題考查等比數(shù)列通項公式，性質(zhì)、等差數(shù)列前項和，對數(shù)運算以及數(shù)列求和（列項求和）與數(shù)列綜合能力的考查。解答過程要細心，公式性質(zhì)要靈活運用。
6. (2011年高考天津卷理科20)（本小題滿分14分）
已知數(shù)列與滿足：， ，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)證明：．
【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法.
（Ⅰ）解:由,,可得, 又
當n=1時,,由,,得;
當n=2時,,可得.
當n=3時,,可得.
（Ⅱ）證明:對任意,
,①
,②
,③
②-③得 ④,
將④代入①,可得即(),又,
故,因此,所以是等比數(shù)列.
（III）證明：由（II）可得，
于是，對任意，有
將以上各式相加，得
即，
此式當k=1時也成立.由④式得
從而
所以，對任意，
對于n=1，不等式顯然成立.
所以，對任意
7. (2011年高考江西卷理科18)（本小題滿分12分）
已知兩個等比數(shù)列，，滿足，，，.
（1）若，求數(shù)列的通項公式；21世紀教育網(wǎng)
（2）若數(shù)列唯一，求的值.
.解：（1）當a=1時，，又為等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為，由等比數(shù)列性質(zhì)知： ，同時又有所以：
（2）要唯一，當公比時，由且，
，最少有一個根（有兩個根時，保證僅有一個正根）
，此時滿足條件的a有無數(shù)多個，不符合。
當公比時，等比數(shù)列首項為a，其余各項均為常數(shù)0，唯一，此時由，可推得符合
綜上：。
8. (2011年高考湖南卷理科16)對于，將表示為，當時，
，當時，為或.記為上述表示中為的個數(shù)（例如：，
，故，），則（1） ；（2） .
答案：2; 1093
解析：（1）由題意知，所以2；
（2）通過例舉可知：，，，，，，，
，且相鄰之間的整數(shù)的個數(shù)有0，1，3，7，15，31，63.它們正好滿足“楊輝三角”中的規(guī)律：
從而
.
評析：本小題主要考查學生的閱讀理解能力、探究問題能力和創(chuàng)新意識.以二進制為知識背景，著重考查等比數(shù)列求和以及“楊輝三角”中的規(guī)律的理解和運用.
9. (2011年高考廣東卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足,
求數(shù)列的通項公式；
證明：對于一切正整數(shù)n,
【解析】（1）由
令，
當
①當時，
②當
（2）當時，（欲證）
，
當
綜上所述
10. (2011年高考湖北卷理科19)（本小題滿分13分）
已知數(shù)列的前n項和為，且滿足：
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；
(Ⅱ)若存在，使得成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的，且，
是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.
本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想.
解析：
（Ⅰ）由已知，可得，兩式相減可得
即又，所以當時，數(shù)列為：；
當時，由已知，所以
于是由，可得，
成等比數(shù)列，
當時，
綜上，數(shù)列的通項公式為
（Ⅱ）對于任意的，且成等差數(shù)列，證明如下：
當r=0時，由（Ⅰ）知，
∴對于任意的，且成等差數(shù)列；
當時，
若存在，使得成等差數(shù)列，則，
即，
由（Ⅰ）知，的公比r+1=—2，于是對于任意的，且，從而，，
即成等差數(shù)列.
綜上，對于任意的，且成等差數(shù)列.
11.(2011年高考重慶卷理科21)（本小題滿分12分。（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分）
設(shè)實數(shù)數(shù)列的前n項和滿足
（Ⅰ）若成等比數(shù)列，求和
（Ⅱ）求證：對有。
解析：（Ⅰ）由題意，得，
由是等比中項知，因此，
由，解得，
（Ⅱ）證明：有題設(shè)條件有，
故，且
從而對有 ①
因，且，
要證，由①，只要證
即證，即，此式明顯成立，
因此。
最后證，，若不然，，
又因，故，即。矛盾，
12．(2011年高考四川卷理科20) (本小題共12分)
設(shè)d為非零實數(shù)，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).
寫出a1,a2,a3并判斷{an}是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由；
(II)設(shè)bn=ndan (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
解析：（1）
因為為常數(shù)，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列。
（2）
（2）（1）
13.(2011年高考全國卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足且
（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)
【解析】：（Ⅰ）由得，
前項為，
（Ⅱ）
14.(2011年高考江蘇卷20)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項，前n項和為，已知對任意整數(shù)k屬于M，當n>k時，都成立
（1）設(shè)M=｛1｝，，求的值；
（2）設(shè)M=｛3，4｝，求數(shù)列的通項公式
【解析】考察等差數(shù)列概念、和與通項關(guān)系、集合概念、轉(zhuǎn)化與化歸、分析問題與解決問題的能力，其中（1）是容易題，（2）是難題。
（1）即：
所以，n>1時，成等差，而，
（2）由題意：，
當時，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：成等差，成等差；設(shè)公差分別為：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：成等差，設(shè)公差為d,
在（1）（2）中分別取n=4,n=5得：
15．(2011年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分）
設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標系中的點，其中
（1）記為滿足的點的個數(shù)，求；
（2）記為滿足是整數(shù)的點的個數(shù)，求
解析：考察計數(shù)原理、等差數(shù)列求和、分類討論、歸納推理能力，較難題。
（1）因為滿足的每一組解構(gòu)成一個點P,所以。
（2）設(shè)，則
對每一個k對應的解數(shù)為：n-3k,構(gòu)成以3為公差的等差數(shù)列；
當n-1被3整除時，解數(shù)一共有：
當n-1被3除余1時，解數(shù)一共有：
當n-1被3除余2時，解數(shù)一共有：
16．(2011年高考北京卷理科20)（本小題共13分）
若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=．
（Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數(shù)列；
（Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；
（Ⅲ）對任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5）
（Ⅱ）必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，
所以.
所以A5是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因為a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是遞增數(shù)列.
綜上，結(jié)論得證。
（Ⅲ）令
因為
……
所以
因為
所以為偶數(shù),
所以要使為偶數(shù),
即4整除.
當
時，有
當?shù)捻棟M足，
當不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An，
使得
17．(2011年高考福建卷理科16)（本小題滿分13分）
已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項和S3=。
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式。
解：（I）由
解得
所以
（II）由（I）可知
因為函數(shù)的最大值為3，所以A=3。
因為當時取得最大值，
所以
又
所以函數(shù)的解析式為
18．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知數(shù)列和的通項公式分別為，（），將集合
中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列
。
（1）求；
（2）求證：在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項恰為；
（3）求數(shù)列的通項公式。
解：⑴ ；
⑵ ① 任意，設(shè)，則，即
② 假設(shè)（矛盾），∴
∴ 在數(shù)列中．但不在數(shù)列中的項恰為。
⑶ ，
，，
∵
∴ 當時，依次有，……
∴ 。2011年高考試題數(shù)學（理科）
選修系列：坐標系與參數(shù)方程
一、選擇題:
1. (2011年高考安徽卷理科5)在極坐標系中，點 到圓 的圓心的距離為
（A）2 (B) (C) （D)
【命題意圖】本題考查了極坐標方程與平面直角坐標系中的一般方程的的互化，屬于容易題.
【答案】D
【解析】極坐標系中的點（2，）化為直角坐標系中的點為（1，）；極坐標方程化為直角坐標方程為，即，其圓心為（1,0），
∴所求兩點間距離為=，故選D.
2. (2011年高考安徽卷理科3)在極坐標系中，圓的圓心的極坐標是
A. B. C. D.
【命題意圖】本題考查極坐標方程與直角坐標系下方程的互化及點互化，是簡單題.
【解析】：，圓心直角坐標為（0,-1），極坐標為，選B。
二、填空題:
1．(2011年高考天津卷理科11)已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若斜率坐標方程為
答案：。
解析：做坐標系與參數(shù)方程的題，大家只需記住兩點：1、，2、即可。根據(jù)已知=
所以解析式為：
3. (2011年高考湖南卷理科9)在直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點O為極點，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為，則與的交點個數(shù)為 。
答案：2
解析：曲線，，由圓心到直線的距離，故與的交點個數(shù)為2.
4. (2011年高考廣東卷理科14)（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點坐標為 .
【解析】（0≤ 消去參數(shù)后的普通方程為，消去參數(shù)后的普通方程為 聯(lián)立兩個曲線的普通方程得 ,所以它們的交點坐標為
5. (2011年高考湖北卷理科14)如圖，直角坐標系Oy所在的平面為，直角坐標系Oy (其中軸與y軸重合)所在平面為，
(Ⅰ)已知平面內(nèi)有一點，則點在平面內(nèi)的射影P的坐標為 ；
(Ⅱ)已知平面內(nèi)的曲線的方程是，則曲線在平面內(nèi)的射影C的方程是 .
答案：（2，2）
解析：設(shè)P為（a, b）,因為y軸與y＇軸重合，故P＇到y(tǒng)軸距離為，到x軸距離為2，又因為∠xox＇=45°，則b=2，a=故P（2，2）.設(shè)面β內(nèi)任意一點P（x,y）其在內(nèi)射影為，由平面圖形可知， ，，即，，故方程為即.
6.(2011年高考陜西卷理科15)（坐標系與參數(shù)方程選做題）直角坐標系中，以原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點A，B分別在曲線 為參數(shù)）和曲線上，則的最小值為
【答案】3
【解析】：由得圓心為，由得圓心為，由平幾知識知當為連線與兩圓的交點時的最小值，則的最小值為.
7．(2011年高考上海卷理科5)在極坐標系中，直線與直線的夾角大小為 。
【答案】
三、解答題:
1.(2011年高考遼寧卷理科23)（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系統(tǒng)與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）曲線C2的參數(shù)方程為（，為參數(shù)）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=與C1，C2各有一個交點.當=0時，這兩個交點間的距離為2，當=時，這兩個交點重合.
（I）分別說明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值；
(II)設(shè)當=時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1,當=-時，l與C1，
C2的交點為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積.
解：（I）C1是圓，C2是橢圓.
當時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分別為（1，0），（a，0），因為這兩點間的距離為2，所以a=3.
當時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分別為（0，1），（0，b），因為這兩點重合，所以b=1.
（II）C1，C2的普通方程分別為
當時，射線l與C1交點A1的橫坐標為，與C2交點B1的橫坐標為
當時，射線l與C1，C2的兩個交點A2，B2分別與A1，B1關(guān)于x軸對稱，因此，
四邊形A1A2B2B1為梯形.
故四邊形A1A2B2B1的面積為 …………10分
2. (2011年高考全國新課標卷理科23) （本小題滿分10分）選修4-4坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))
M是曲線上的動點，點P滿足，（1）求點P的軌跡方程；（2）在以D為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與曲線，交于不同于原點的點A,B求
解析; （I）設(shè)P(x,y),則由條件知M().由于M點在C1上，所以
即
從而的參數(shù)方程為
（為參數(shù)）
（Ⅱ）曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為。
射線與的交點的極徑為，
射線與的交點的極徑為。
所以.
3.(2011年高考江蘇卷21)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）
在平面直角坐標系中，求過橢圓（為參數(shù)）的右焦點且與直線（為參數(shù)）平行的直線的普通方程。
解析：考察參數(shù)方程與普通方程的互化、橢圓的基本性質(zhì)、直線方程、兩條直線的位置關(guān)系，中檔題。橢圓的普通方程為右焦點為（4，0），直線（為參數(shù)）的普通方程為，斜率為：；所求直線方程為：.
4.(2011年高考福建卷理科21)（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直接坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為
．
（I）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；
（II）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．
解析：本小題主要考查極坐標與直角坐標的互化、橢圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想。滿分7分。
解：（I）把極坐標系下的點化為直角坐標，得P（0，4）。
因為點P的直角坐標（0，4）滿足直線的方程，
所以點P在直線上，
（II）因為點Q在曲線C上，故可設(shè)點Q的坐標為，
從而點Q到直線的距離為
，
由此得，當時，d取得最小值，且最小值為2011年高考試題數(shù)學（理科）
概率
一、選擇題:
1.(2011年高考浙江卷理科9)有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學書2本，物理書1本.若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率
（A） （B） （C） （D ）
【答案】B
【解析】由古典概型的概率公式得.
2. (2011年高考遼寧卷理科5)從1，2，3，4，5中任取2各不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P（B︱A）=
（A） （B） （C） （D）
3. (2011年高考全國新課標卷理科4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為
（A） （B） （C） （D）
解析：因為甲乙兩位同學參加同一個小組有3種方法，兩位同學個參加一個小組共有種方法；所以，甲乙兩位同學參加同一個小組的概率為
點評：本題考查排列組合、概率的概念及其運算和分析問題、解決問題的能力。
【解析】D.由題得甲隊獲得冠軍有兩種情況，第一局勝或第一局輸?shù)诙謩?，所以甲隊獲得冠軍的概率所以選D.
5．(2011年高考湖北卷理科7)如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連成一個系統(tǒng).當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
答案：B
解析：系統(tǒng)正常工作概率為，所以選B.
6．(2011年高考陜西卷理科10)甲乙兩人一起去“2011西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】：各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽有種，且等可能，最后一小時他們同在一個景點有種，則最后一小時他們同在一個景點的概率是，故選D
7. (2011年高考四川卷理科12)在集合中任取一個偶數(shù)和一個奇數(shù)構(gòu)成以原點為起點的向量a=（a,b）.從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為，其中面積不超過的平行四邊形的個數(shù)為，則( )
（A） （B） （C） （D）
答案：B
解析：基本事件：.其中面積為2的平行四邊形的個數(shù)；其中面積為4的平行四邊形的為； m=3+2=5故.
8．(2011年高考福建卷理科4)如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于
A． B．
C． D．
【答案】C
二、填空題:
1.(2011年高考浙江卷理科15)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的。記為該畢業(yè)生得到面試得公司個數(shù)。若，則隨機變量的數(shù)學期望
【答案】
【解析】：，的取值為0，1，2，3
，
，
故
2. (2011年高考江西卷理科12)小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為
【答案】
【解析】小波周末不在家看書包含兩種情況:一是去看電影;二是去打籃球;所以小波周末不在家看書的概率為.
3. (2011年高考湖南卷理科15)如圖4，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1） ;（2） .
答案：;
解析：（1）是幾何概型：；（2）是條件概率：.
評析：本小題主要考查幾何概型與條件概率的計算.
4. (2011年高考湖北卷理科12)在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期，從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期的概率為 （結(jié)果用最簡分數(shù)表示）
答案：
解析：因為30瓶飲料中未過期飲料有30-3=27瓶，故其概率為.
5.(2011年高考重慶卷理科13)將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為
解析： 。硬幣投擲6次，有三類情況，①正面次數(shù)比反面次數(shù)多；②反面次數(shù)比正面次數(shù)多；③正面次數(shù)而后反面次數(shù)一樣多；，③概率為，①②的概率顯然相同，故①的概率為
6.(2011年高考安徽卷江蘇5)從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是______
【答案】
【解析】從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，所有可能的取法有6種, 滿足“其中一個數(shù)是另一個的兩倍”的所有可能的結(jié)果有(1,2),(2,4)共2種取法,所以其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是.
7．(2011年高考福建卷理科13)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_______。
【答案】
8．(2011年高考上海卷理科9)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布律如下表
請小牛同學計算的數(shù)學期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯
定這兩個“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案 。
【答案】
9．(2011年高考上海卷理科12)隨機抽取9個同學中，至少有2個同學在同一月出生的概率是
（默認每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到）。
【答案】
三、解答題:
1. (2011年高考山東卷理科18)（本小題滿分12分）
紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。
（Ⅰ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；
（Ⅱ）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
【解析】（Ⅰ）紅隊至少兩名隊員獲勝的概率為=0.55.
（Ⅱ）取的可能結(jié)果為0,1,2,3,則
=0.1;
++=0.35;
=0.4;
=0.15.
所以的分布列為
0 1 2 3
P 0.1 0.35 0.4 0.15
數(shù)學期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.
2. (2011年高考遼寧卷理科19)（本小題滿分12分）
某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.
（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學期望；
（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：
分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應該種植哪一品種？
附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數(shù).
（I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且
即X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
X的數(shù)學期望是：
.
（II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：
………………8分
品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：
………………10分
由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙.
3.(2011年高考安徽卷理科20)（本小題滿分13分）
工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務則撤出，再派下一個人。現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.
（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率。若改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發(fā)生變化？
（Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；
（Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達到最小。
【命題意圖】：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量及其分布列，均值等基本知識，考查在復雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類討論思想，應用意識與創(chuàng)新意識。
【解析】：（Ⅰ）無論怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是，所以任務能被完成的概率為=
（Ⅱ）當依次派出的三個人各自完成任務的概率分別為時，所需派出人員數(shù)目的分布列為
1 2 3
P
所需派出人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）是
（Ⅲ）（方法一）由（2）的結(jié)論知，當一甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，=，
依據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務概率最大的人，可減少派出人員數(shù)目的均值.
下面證明：對與，，的任意排列，，，都有≥.
事實上，
=
=
=
≥≥0，
即≥成立.
（方法二）：①可將（Ⅱ）中所求的改寫為，若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?，可見，當時，交換前兩人的派出順序可減少均值;
②也可將（Ⅱ）中所求的改寫為，交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?，由此可見，若保持派出的人選不變，當時，交換后兩人的派出順序也可減少均值.
綜合①②可知，當（，，）=（，，）時，達到最小，
即完成任務概率最大的人優(yōu)先派出，可減少所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.
【解題指導】：當問題的情境很復雜時，靜下心來讀懂題意是第一要務，在讀懂題意的前提下抽象概括出數(shù)學模型。第三問需用合情推理與演繹推理相結(jié)合的辦法解決，同時運用分類討論思想，難度非常大。但這一問很好地體現(xiàn)了《考試說明》的要求“能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷。”“創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn)，對數(shù)學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強?！?br/>4. (2011年高考全國新課標卷理科19)（本小題滿分12分）
某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測試了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到下面試驗結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表
指標值分組
頻數(shù) 8 20 42 22 8
B配方的頻數(shù)分布表
指標值分組
頻數(shù) 4 12 42 32 8
（Ⅰ）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標值t的關(guān)系式為
從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望.（以實驗結(jié)果中質(zhì)量指標值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落入相應組的概率）
解析：（Ⅰ）由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3。
由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42
（Ⅱ）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，,054,0.42，因此X的可能值為-2,2,4
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
X -2 2 4
P 0.04 0.54 0.42
即X的分布列為
X的數(shù)學期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
5. (2011年高考天津卷理科16)（本小題滿分13分）
學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）
（Ⅰ）求在一次游戲中，（i）摸出3個白球的概率；（ii）獲獎的概率；
（Ⅱ）求在兩次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望.
【解析】本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎(chǔ)知識,考查運用概率知識解決簡單的實際問題的能力.
（Ⅰ）（i）設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件,則
.
（ii）設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B,則B=,又
,且互斥,所以.
（Ⅱ）由題意可知的所有可能取值為0,1,,2,
P(=0)=,
P(=1)=,
P(=2) =,
所以的分布列是
0 1 2
P
的數(shù)學期望=+=.
6．(2011年高考江西卷理科16)（本小題滿分12分）
某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別．公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4
杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此員工月工資的期望．
解析：（1）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
則，所以所求的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
（2）設(shè)Y表示該員工的月工資，則Y的所有可能取值為3500，2800，2100，
相對的概率分別為，，，
所以．
所以此員工工資的期望為2280元．
本題考查排列、組合的基礎(chǔ)知識及概率分布、數(shù)學期望．
7. (2011年高考湖南卷理科18)（本小題滿分12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：
日銷售量（件） 0 1 2 3
頻數(shù) 1 5 9 5
試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變）.設(shè)某天開始營業(yè)時由該商品3件，當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨.將頻率視為概率.
求當天商店不進貨的概率；
記為第二天開始營業(yè)時該商品視為件數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
解：=+
由題意知，的可能取值為2，3.
+
+
故的分布列為
所以的數(shù)學期望為.
評析：本大題主要考查生活中的概率統(tǒng)計知識和方法.求離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的方法，以及互斥事件概率的求法.
8. (2011年高考廣東卷理科17)（本小題滿分13分）
為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：
（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）當產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足≥175且y≥75，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；
（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨即抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學期望）.
【解析】解：（1），即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。
（2）易見只有編號為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品
故乙廠生產(chǎn)有大約（件）優(yōu)等品，
（3）的取值為0，1，2。
所以的分布列為
0 1 2
P
故
9.(2011年高考陜西卷理科20)（本小題滿分13分）
如圖，A地到火車站共有兩條路徑 和 ，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表：
時間（分鐘）
的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站。
（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？
（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學期望。
【解析】：（Ⅰ） 表示事件“甲選擇路徑時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”， 表示事件“乙選擇路徑時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”， 用頻率估計相應的概率可得，。甲應選擇
，乙應選擇
（Ⅱ）A、B分別表示針對（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由（Ⅰ）知 又由題意知，A，B獨立，
EMBED Equation.DSMT4
X的分布列為
X 0 1 2
P 0.04 0.42 0.54[來源:21世紀教育網(wǎng)]
10.(2011年高考重慶卷理科17)（本小題滿分13分。（Ⅰ）小問5分（Ⅱ）小問8分.）
某市公租房房屋位于A.B.C三個地區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房屋，且申請其中任一個片區(qū)的房屋是等可能的，求該市的任4位申請人中:
（Ⅰ）若有2人申請A片區(qū)房屋的概率;
（Ⅱ）申請的房屋在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望。
解析：（Ⅰ）所有可能的申請方式有種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為
（Ⅱ）的所有可能值為1,2,3.又
，，
綜上知，的分布列為：
1 2 3
從而有
11.(2011年高考四川卷理科18)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時。
（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望；
解析：
（1）所付費用相同即為元。設(shè)付0元為，付2元為，付4元為
則所付費用相同的概率為
（2）設(shè)甲，乙兩個所付的費用之和為，可為
分布列
.
12. (2011年高考全國卷理科18) (本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)
根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0．5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0．3,設(shè)各車主購買保險相互獨立
(I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；
(Ⅱ)X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)。求的期望。
【解析】：設(shè)該車主購買乙種保險的概率為，由題：，解得
（Ⅰ）設(shè)所求概率為，則故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率為0.8.
(Ⅱ) 甲乙兩種保險都不購買的概率為1-0.8=0.2.設(shè)甲乙兩種保險都不購買的車主數(shù)為，則B（100，0.2），
答：該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率為0.8, 的期望值是20。
13．(2011年高考北京卷理科17)本小題共13分
以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數(shù)和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學期望。
（注：方差，其中為，，…… 的平均數(shù)）
【命題意圖】本題考查運用莖葉圖給出統(tǒng)計數(shù)據(jù)求平均值和方差、利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)求概率和隨機變量的分布和期望的計算，考查數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力,是中檔題.
【解析】（1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，
所以平均數(shù)為
方差為
（Ⅱ）當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P（Y=17）=
同理可得
所以隨機變量Y的分布列為：
Y 17 18 19 20 21
P
EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19
14．(2011年高考福建卷理科19)（本小題滿分13分）
某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準
（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：
5 6 7 8
P 0．4 a b 0．1
且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望．
（III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．
注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=；
（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性．
解析：本小題主要考查概率、統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應用意識，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。
解：（I）因為
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：
3 4 5 6 7 8
0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：
3 4 5 6 7 8
P 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
所以
即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.
（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：
因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望數(shù)學等于6，價格為6元/件，所以其性價比為
因為乙廠產(chǎn)呂的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為
據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。2011年高考試題數(shù)學（理科）
復數(shù)
一、選擇題:
1. (2011年高考山東卷理科2)復數(shù)z=(為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點所在象限為
（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
【答案】D
【解析】因為,故復數(shù)z對應點在第四象限,選D.
2. (2011年高考天津卷理科1)是虛數(shù)單位，復數(shù)=
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
【答案】A.
【解析】.
3. (2011年高考安徽卷理科1) (1) 設(shè) 是虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)為
（A）2 (B) 2 (C) (D)
【命題意圖】本題考查了復數(shù)的運算和純虛數(shù)的概念，是容易題，是?？碱}型.
【解析】==，∵為純虛數(shù)，∴，
∴=2，故選A.
4.(2011年高考浙江卷理科2)把復數(shù)的共軛復數(shù)記作，若，為虛數(shù)單位，則=
（A） （B） （C）（D）
6.(2011年高考遼寧卷理科1)a為正實數(shù)，i為虛數(shù)單位，，則a=（ ）
（A）2 （B） (C) (D)1
答案： B
解析：,a>0,故a=.
7. (2011年高考全國新課標卷理科1)復數(shù)的共軛復數(shù)是（ ）
A B C D;
解析：C，因為=，所以，共軛復數(shù)為，選C
點評：本題考查復數(shù)的概念和運算，先化簡后寫出共軛復數(shù)即可。
8.(2011年高考江西卷理科1)若，則復數(shù)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為=，所以復數(shù),選D.
9．(2011年高考湖南卷理科1)若，為虛數(shù)單位，且，則（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因，根據(jù)復數(shù)相等的條件可知。
10．(2011年高考湖北卷理科1)i為虛數(shù)單位，則=
A.－i B.－1 C.i D.1
答案：A
解析：因為,故所以選A.
11．(2011年高考陜西卷理科7)設(shè)集合，
則為
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】：由即
由得即故選C
12.(2011年高考重慶卷理科1)復數(shù)
（A） (B)
(C) (D)
解析：選B. 。
13.(2011年高考四川卷理科2)復數(shù)=
(A) （B） （C）0 （D）
答案：A
解析：
14.(2011年高考全國卷理科1)復數(shù)，為的共軛復數(shù)，則
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】先求出的共軛復數(shù),然后利用復數(shù)的運算法則計算即可。
【精講精析】選B..
15.(2011年高考北京卷理科2)復數(shù)
A. B. C. D.
【命題意圖】本題考查復數(shù)的運算,是簡單題.
【解析】：，選A。
16.(2011年高考福建卷理科1)是虛數(shù)單位，若集合={－1,0,1}，則
A.∈ B. ∈ C. ∈ D. ∈
【命題意圖】本題考查復數(shù)運算、元素與結(jié)合關(guān)系，是送分題.
【解析】∵=－1∈，故選B.
【答案】B
二、填空題:
17．(2011年高考安徽卷江蘇3)設(shè)復數(shù)i滿足（i是虛數(shù)單位），則的實部是_________
【答案】1
【解析】因為，所以,故的實部是1.
三、解答題:
18．(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），復數(shù)的虛部為，是實數(shù)，求。
解： ………………（4分）
設(shè)，則，………………（12分）
∵ ，∴ ………………（12分）2011年高考試題數(shù)學（理科）
選修系列：不等式選講
一、選擇題:
1. (2011年高考山東卷理科4)不等式的解集為
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D）
【答案】D
【解析】由不等式的幾何意義知，式子表示數(shù)軸的點與點（5）的距離和與點（-3）的距離之和，其距離之和的最小值為8，結(jié)合數(shù)軸，選項D正確
二、填空題
1. (2011年高考天津卷理科13)
已知集合，則集合=________.
【答案】
【解析】∵，
，
∴.
對于實數(shù)x，y，若，，則的最大值為 .
【答案】5
3. (2011年高考廣東卷理科9)不等式的解集是______.
【解析】。由題得 所以不等式的解集為。
4．(2011年高考陜西卷理科15)（不等式選做題）若關(guān)于x的不等式存在實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】
【解析】：因為所以存在實數(shù)解，
有或
三、解答題:
1．(2011年高考遼寧卷理科24)（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|.
（I）證明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.
解：（I）
當
所以
（II）由（I）可知，
當?shù)慕饧癁榭占?br/>當；
當.
綜上，不等式
2. (2011年高考全國新課標卷理科24)（本小題滿分10分） 選修4-5不等選講
設(shè)函數(shù)（1）當時，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集為，求的值。
分析：解含有絕對值得不等式，一般采用零點分段法，去掉絕對值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再與原解集對比可得字母的值；
解：（Ⅰ）當時，不等式，可化為，
，所以不等式的解集為
（Ⅱ）因為，所以，，可化為，
即
因為，所以，該不等式的解集是，再由題設(shè)條件得
點評：本題考查含有絕對值不等式的解法，以及解法的應用，注意過程的完整性與正確性。
3.(2011年高考江蘇卷21)選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
解不等式：
解析：考察絕對值不等式的求解，容易題。
原不等式等價于：，解集為
4．(2011年高考福建卷理科21)（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
設(shè)不等式的解集為M．
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小．
解析：本小題主要考查絕對值不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分7分。
解：（I）由
所以
（II）由（I）和，
所以
故
金太陽新課標資源網(wǎng)2011年高考試題數(shù)學（理科）
選修系列：矩陣變換
一、填空題:
1．(2011年高考上海卷理科10)行列式（）的所有可能值中，最大的是 。
【答案】6
【解析】因為=，，所以容易求得結(jié)果.
二、解答題:
1.(2011年高考江蘇卷21)選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣，向量，求向量，使得．
解：
設(shè)，由得：
，
解：（I）設(shè)矩陣M的逆矩陣，則
又，所以，
所以
故所求的逆矩陣
（II）設(shè)曲線C上任意一點，
它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點，
則
又點在曲線上， ∴.
則為曲線C的方程，
又已知曲線C的方程為
又
2.(2011年高考江蘇卷Z1)
修±-2:矩陣與變扌
0b/(其中a>0,b>0)
(I)若α=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-;金太陽新課標資源網(wǎng)
(I若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C,x2
求a,b的值.
【命題意圖】本小題主要考查矩陣與交換等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化2011年高考試題數(shù)學（理科）
三角函數(shù)
一、選擇題:
1. (2011年高考山東卷理科3)若點（a,9）在函數(shù)的圖象上，則tan=的值為
（A）0 (B) (C) 1 (D)
【答案】D
【解析】由題意知:9=,解得=2,所以,故選D.
2. (2011年高考山東卷理科6)若函數(shù) (ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω=
（A）3 （B）2 （C） （D）
【答案】C
【解析】由題意知,函數(shù)在處取得最大值1,所以1=sin,故選C.
3.(2011年高考安徽卷理科9)已知函數(shù)，其中為實數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C.
【命題意圖】本題考查正弦函數(shù)的有界性，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性.屬中等偏難題.
【解析】若對恒成立，則，所以，.由，（），可知
(A) (B) (C) (D)
答案： D
解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，
故sinB=sinA，所以；
5.(2011年高考遼寧卷理科7)設(shè)sin，則（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： A
解析：
6.(2011年高考浙江卷理科6)若，，，，則
（A） （B） （C） （D）
【答案】 C
【解析】：
故選C
7. (2011年高考全國新課標卷理科5)已知角的頂點與原點重合，始邊與橫軸的正半軸重合，終邊在直線上，則，（ ）
A B C D
解析：由題知,選B
8.(2011年高考全國新課標理11)設(shè)函數(shù)
的最小正周期為，且，則
（A）在單調(diào)遞減 （B）在單調(diào)遞減
（C）在單調(diào)遞增 （D）在單調(diào)遞增
解析：，所以，又f(x)為偶函數(shù)，，，選A
9. (2011年高考天津卷理科6)如圖，在△中，是邊上的點，且，則的值為（ ）
A．　　　 B． 　
C． 　　 D．
【答案】D
【解析】設(shè),則由題意可得: ,在中,由余弦定理得：
=，所以=，在△中，由正弦定理得，，所以，解得=，故選D.
10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函數(shù)，若，則的取值范圍為
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由，即，解得，
即，所以選B.
11．(2011年高考陜西卷理科6)函數(shù)在內(nèi)
（A）沒有零點 （B）有且僅有一個零點
（C）有且僅有兩一個零點（D）有無窮個零點
【答案】B
【解析】：令，，則它們的圖像如圖故選B
12.(2011年高考重慶卷理科6)若的內(nèi)角所對的邊滿足，且，則的值為
（A） (B)
(C)1 (D)
解析：選A。 由得，由得，解得
13. (2011年高考四川卷理科6)在ABC中．.則A的取值范圍是( )
(A)(0，] (B)[ ，) (c)(0，] (D) [ ，)
答案：C
解析：由題意正弦定理
14． (2011年高考全國卷理科5)（5）設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】此題理解好三角函數(shù)周期的概念至關(guān)重要，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，說明了是此函數(shù)周期的整數(shù)倍。
【精講精析】選C. 由題,解得，令，即得
15． (2011年高考福建卷理科3)若tan=3，則的值等于
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
16．(2011年高考福建卷理科10)已知函數(shù)f（x）=e+x，對于曲線y=f（x）上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A,B,C，給出以下判斷：
①△ABC一定是鈍角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中，正確的判斷是
A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④
【答案】B
二、填空題:
1.(2011年高考遼寧卷理科16)已知函數(shù)f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分圖像如下圖，則f（）=____________.
答案：
解析：函數(shù)f(x)的周期是，故，由得.所以，故.
2.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一個內(nèi)角為120o，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_______________
【答案】
【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的概念，考查余弦定理的應用，考查利用公式求三角形面積.
【解析】設(shè)三角形的三邊長分別為，最大角為，由余弦定理得，則，所以三邊長為6,10,14.△ABC的面積為.
3. (2011年高考全國新課標卷理科16)在中，，則的最大值為 。
解析：,,
；
，故最大值是
4.(2011年高考重慶卷理科14)已知，且，則的值為
解析：。 由題設(shè)條件易得：，故，，所以
5.(2011年高考全國卷理科14)已知a∈(，)，sinα=，則tan2α=
【答案】
【解析】 a∈(，)，sinα=
則tanα= 故tan2α=
6.(2011年高考安徽卷江蘇7)已知 則的值為__________
【答案】
【解析】因為,而=-cot2x,所以,
又因為,所以解得,所以的值為.
7.(2011年高考安徽卷江蘇9)函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則
【答案】
【解析】由圖象知：函數(shù)的周期為，而周期，所以，
由五點作圖法知：，解得，又A=，所以函數(shù)，所以
.
8．(2011年高考北京卷理科9)在中。若b=5，，tanA=2，則sinA=____________；a=_______________。
【答案】
【解析】由 ，正弦定理可得。
9. (2011年高考福建卷理科14)如圖，△ABC中，AB=AC=2，BC=，點D 在BC邊上，∠ADC=45°，則AD的長度等于______。
【命題意圖】本題考查運用正余弦定理解三角形，是中檔題.
【答案】
【解析】（法1）過A作AE⊥BC,垂足為E，∵AB=AC=2，BC=,∴E是BC的中點，且EC=，在中，AE==1,又∵∠ADE=45°，∴DE=1，∴AD=;
(法2) ∵AB=AC=2，BC=,由余弦定理知，
===, ∴C=30°，
在△ADC中，∠ADE=45°，由正弦定理得，，
∴AD===.
10．(2011年高考上海卷理科6)在相距2千米的．兩點處測量目標，若，則．兩點之間的距離是 千米。
【命題意圖】本題考查正弦定理及其應用，是簡單題.
【答案】
【解析】如圖所示，∠C=45°，由正弦定理得，∴AC==.
11．(2011年高考上海卷理科8)函數(shù)的最大值為 。
【答案】
【解析】將原函數(shù)解析式展開得=,故最大值為
=.
三、解答題:
1. (2011年高考山東卷理科17)（本小題滿分12分）
在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.
求的值；
若cosB=，,求的面積.
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知: =2,即c=2a,又因為,所以由余弦定理得：
，即,解得,所以c=2,又因為cosB=，所以sinB=，故的面積為=.
2.(2011年高考浙江卷理科18)（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為a,b,c已知且.（Ⅰ）當時，求的值；(Ⅱ)若角為銳角，求p的取值范圍；
（Ⅰ）解：由題設(shè)并利用正弦定理，得
解得或
（Ⅱ）解：由余弦定理，b2=a2+c2-2ac cosB
=(a+c)2-2ac cosB
=p2b2-即
因為得，由題設(shè)知，所以
3. (2011年高考天津卷理科15)（本小題滿分13分）
已知函數(shù)，
（Ⅰ）求的定義域與最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)，若求的大?。?br/>【解析】 本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦、余弦公式、正切函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力.
（Ⅰ）由得所以的定義域為
.的最小正周期為.
（Ⅱ）由得即,
整理得: ,因為,所以可得
,解得,由得,所以,.
4. (2011年高考江西卷理科17)（本小題滿分12分）
在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin
（1）求sinC的值
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求邊c的值
解析：由，即，
因為，所以，兩邊平方得．
（2）由得，所以，所以，
由得，由余弦定理得，
又，即，所以，
所以，所以．
本題考查三角形、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式及余弦定理．
5. (2011年高考湖南卷理科17) （本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，且滿足.
求角的大??；
求的最大值，并求取得最大值時角的大小.
解：由正弦定理得
因為，所以.從而.又，所以，
則
由知，，于是=
==
因為，所以.從而當，即時，
取最大值2.
綜上所述，的最大值2，此時，.
評析：本大題主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的運用，以及運用三角公式進行三角變換的能力以及三角函數(shù)的最值、求角問題.
6. (2011年高考廣東卷理科16)（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）求的值；
（2）設(shè)求的值.
【解析】解：（1）
；
（2）
故
7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小題滿分10分）
設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為，已知.
(Ⅰ) 求△ABC的周長；
(Ⅱ)求cos(A—C.)
本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和解斜三角形的基礎(chǔ)知識，同時考查基本運算能力.
解析：
（Ⅰ）的周長為
（Ⅱ）
故A為銳角.
..
8．(2011年高考陜西卷理科18)（本小題滿分12分）敘述并證明余弦定理
【解析】：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的兩倍積?；?，，
證法一 ，如圖
即
同理可證，
證法二：已知
建立直角坐標系，則
同理可證
9.(2011年高考重慶卷理科16)（本小題滿分13分）
設(shè)滿足，求函數(shù) 在上的最大值和最小值
解析：
由得，解得：
因此
當時，，為增函數(shù)，
當時，，為減函數(shù)，
所以在上的最大值為
又因為，
所以在上的最小值為
10. (2011年高考四川卷理科17)（本小題共12分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，求證：.
解析：（Ⅰ）∵
，
∴的最小正周期是，當，
即時，函數(shù)取得最小值-2.
（Ⅱ），，
..
，
，
所以，結(jié)論成立.
11.(2011年高考全國卷理科17) (本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效)
△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.
【解析】：由正弦定理得，
由，即
A+B+C=1800 ，，
即，由A-C=900 得A=900+C
即
12.(2011年高考安徽卷江蘇15)在△ABC中，角A、B、C所對應的邊為
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
【解析】（1）因為
所以解得,即A的值為.
（2）因為所以所以在△ABC中，由正弦定理得:,因為,所以
,所以==,解得
又因為,所以,解得的值為.
13．(2011年高考北京卷理科15)（本小題共13分）
已知函數(shù)。
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）因為
所以的最小正周期為
（Ⅱ）因為
于是，當時，取得最大值2；
當取得最小值—1.
14．(2011年高考福建卷理科16)（本小題滿分13分）
已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項和S3=。
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式。
【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式、前項和公式以及三角函數(shù)的最值問題，考查函數(shù)與方程思想和運算求解能力，是簡單題.
【解析】（I）由=3，=得，=，解得=，
∴數(shù)列{}的通項公式=.
（II）由（I）可知=，∴=3， ∴函數(shù)的最大值為3， ∴=3，
∵在處取得最大值， ∴=1， 又∵0＜＜，∴=，
∴=.
【點評】本題題目簡單，但將等比數(shù)列與三角函數(shù)結(jié)合給人以耳目一新的感覺.2011年高考試題數(shù)學（理科）
集合
一、選擇題:
1.(2011年高考山東卷理科1)設(shè)集合 M ={x|}，N ={x|1≤x≤3},則M∩N =
（A）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]
【答案】A
【解析】因為,所以，故選A.
2.（2011高考安徽卷理科10）設(shè)a，b，c為實數(shù)，
.記集合S=若，分別為集合元素S，T的元素個數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是
（A）=1且=0 （B）
（C）=2且=2 （D）=2且=3
【答案】C
故集合可能的個數(shù)為24+24+8=56個,故選B.
方法2：由知是A的子集，又∵A={1,2,3,4,5,6}，∴滿足條件的共有=64種可能，又∵，B={4,5,6,7},∴中必含4,5,6,中至少一個元素，而滿足的所有子集S中，不含4,5,6的子集共有=8個，∴滿足題意的集合的可能個數(shù)為64-8=56，故選B.
4．(2011年高考遼寧卷理科2)已知M,N為集合I的非空真子集，且M,N不相等，若（ ）
(A)M (B) N (C)I (D)
答案： A
解析：因為且M,N不相等，得N是M的真子集，故答案為M.
5．(2011年高考江西卷理科2)若集合，則
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
6.（2011年湖南卷理科）設(shè)，，則“”是“”則（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 金太陽新課標資源網(wǎng)
答案：A
解析：因“”，即，滿足“”，反之“”，則，或，不一定有“”。
7．(2011年高考廣東卷理科2)已知集合A={ (x，y)|x，y為實數(shù)，且x2+y2=l}，B={(x，y) |x，y為實數(shù)，且y=x}， 則A ∩ B的元素個數(shù)為（ ）
A．0 B． 1 C．2 D．3
【解析】C.方法一：由題得，元素的個數(shù)為2，所以選C.
方法二：直接畫出曲線和直線，觀察得兩支曲線有兩個交點，所以選C.
8．(2011年高考廣東卷理科8)設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的．若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，且有有，則下列結(jié)論恒成立的是
A．中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的
B．中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的
C．中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的
D．中每一個關(guān)于乘法都是封閉的
9．(2011年高考北京卷理科2)已知，，則
A. B. C. D.
【答案】A
解析：由已知.，所以,故選A.
10．(2011年高考北京卷理科7)設(shè)集合，，為虛數(shù)單位，R，則為（ ）
（A）（0，1） （B）， （C）， （D），
【分析】確定出集合的元素是關(guān)鍵。本題綜合了三角函數(shù)、復數(shù)的模，不等式等知識點。
【解】選C ，所以；
因為，所以，即，又因為R，所以，即；所以，故選C.
11．(2011年高考北京卷理科1)已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,則a的取值范圍是
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
二、填空題:
1．(2011年高考天津卷理科13)已知集合，則集合=________
【答案】
【解析】因為,所以,所以;由絕對值的幾何意義可得:,所以=.
2．(2011年高考江蘇卷1)已知集合 則
【答案】
【解析】.
3.(2011年高考江蘇卷14)設(shè)集合,
, 若 則實數(shù)m的取值范圍是______________
答案：
解析：綜合考察集合及其運算、直線與圓的位置關(guān)系、含參分類討論、點到直線距離公式、兩條直線位置關(guān)系、解不等式，難題。當時，集合A是以（2，0）為圓心，以為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間， ，因為此時無解；當時，集合A是以（2，0）為圓心，以和為半徑的圓環(huán)，集合B是在兩條平行線之間，必有 .又因為.

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