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江蘇高考備考 怎樣解填空題
一、內容概述
新課標實施后，江蘇數學高考改革別具一格，試題去除了全部選擇題，僅保留了填空題和解答題兩種題型，且填空題高達14小題，占總題數的70%；分值達70分，占總分值的43%．因此提高解答填空題的準確度與快捷度，就顯得尤為重要尤為必須了．
填空題不求過程，只求結果，因而對所填結果的正確性、完整性、合理性等均提出了較高要求，而這也增加了解答填空題得分的難度，同時這也正是在解答填空題上失分較多的主要原因，因此認識填空題型、加強填空題型的解法研究并重視對填空題型的專項訓練，就顯得刻不容緩勢在必行了．
所謂填空題，就是不要求寫出計算或推理過程，只需將結論直接寫出的“求解題”．填空題的結構，往往是在一個正確的命題或斷言中，抽去其中的一些內容(既可以是條件，也可以是結論)，留下空位，讓考生獨立填上，考查方法較為靈活．一般地，根據所填內容的形式，常將填空題分為兩類：一是定量型，要求考生填寫數值、數集或數量關系，如方程的解集、函數的最值、幾何體的體積、兩點間的距離、取勝的概率等；二是定性型，要求填寫的是具有某種性質的對象或者給定的數學對象的某種性質，如曲線的形狀、所給一組公式中的正或誤的判斷等．
填空題不需要中間過程，因而解答時可以心算、估算、速算，也可以省略、跳步、猜測，甚至還可以憑印象、靠直覺．解答的基本策略是：快——反應快，不要小題大做；穩——變形穩，不可操之過急；全——答案全，力避殘缺不齊；活——過程少，不要生搬硬套；細——審題細，答案表述要慎．解題的基本方法一般有：直接求解法、圖象法、特殊化法等．
二、典例精析
1．直接求解法：直接從題設條件出發，利用定義、性質、定理、公式等，經過變形、推理、計算、判斷得到結論的，稱之為直接求解法．它是解填空題的常用基本方法．使用直接法解填空題，要善于透過現象抓本質，自覺地、有意識地采取靈活、簡捷的解法．
【例1】(2010江蘇高考) 將邊長為1m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形．記s=，則s的最小值是 ．
解析 畫出示意圖1并設AP=x∈(0，1)．建立s關于x的目標函數后利用有關知識進行靈活的求解．
梯形BCQP的周長為3-x，面積為，故s(x)=，x∈(0，1)．
于是．令=0，得x=(另一解x=3，不合，舍去)．
當00，故當x=時，s取最小值為s()=．
【例2】已知函數(x∈[-2010，2010])的最大值為M，最小值為m，則M+m= ．
解析 函數式f(x)不熟悉，形式較為陌生，那先變形，后再作定奪．
==g(x)+2，
其中g(x)=，x∈[-2010，2010]．
因為g(x)為奇函數，而奇函數的圖象關于原點對稱，所以g(x)的最大值N與最小值n的代數和為0．
注意到M=N+2，m=n+2，故M+m=N+n+4=4．
2．數形結合法：借助圖形的直觀性，通過數與形的關系，迅速作出判斷的方法稱為數形結合法．文氏圖、三角函數線、函數的圖像及方程的曲線等，都是常用的圖形．
【例3】(2010全國卷Ⅰ理科，略有改動)已知函數f(x)=|lgx|，若0解析 作出f(x)的示意圖，易知0-lga=lgb，于是lga+lgb=lgab=0，故，從而a+2b=(+b)+b>2+b>3，所以取值范圍為(3，+∞)．
附 本題容易有下面的錯誤解答：a+2b=+2b>，故答案為(，+∞)．試分析錯誤的原因．
【例4】一游泳池長90m，甲乙二人分別從相對兩邊同時朝另一邊游，甲的速度是3m/s，乙的速度是2m/s，若不計轉向時間，則從開始到3分鐘止，他們相遇的次數共 次．
解析 3分鐘內甲3個來回，乙2個來回，畫出示意圖(“數”借助“形”給出直觀描述，其中粗、細線分別表示甲、乙的軌跡)，由圖可知，甲乙二人先后相遇在1~5的5個結點處．答案填5．
3．特殊化法：當填空題的結論唯一或其值為定值時，我們只須把題中的參變量用特殊值(或特殊函數、特殊角、特殊數列、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到結論．一般性存在于特殊性之中，只要是求一般性的問題，絕大多數可以用特殊化法來解決．
3．1特殊圖形
【例5】(2010江蘇高考) 在銳角△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且=6cosC，則= ．
解析 利用特殊化思想——取一個滿足題設的特例．
令a=b=1，則cosC=．于是，．
又由余弦的二倍角公式得 ．
所以sinA=，cosA=，tanA==tanB．
所以=4．
【例6】在四面體ABCD中，AB=CD=，AC=BD=5，AD=BC=，則該四面體的體積V= ．
解析 構造如圖所示的長方體，并且滿足AB=CD=，AC=BD=5，AD=BC=．現設AP=p，AQ=q，AR=r，則
p2+q2=AB2=13，r2+p2=AD2=20，q2+r2=AC2=25．
將以上三式分別相加得 p2+q2+r2=29．
于是r=4，q=3，p=2．故
V=．
3．2特殊模型
【例7】某班有46名學生．進行一次數學、語文測驗，以此評出學習積極分子．學習積極分子的條件是他(或她)的成績不亞于班上所有的其他學生，若甲的數學成績或語文成績至少有一門比乙高，則稱甲的成績不亞于乙，那么，這班46名學生中，學習積極分子的人數最多有 人．
解析 構造46個學生的一次考試成績如下：
學生 1 2 3 … k … 46
數學成績 101 102 103 … 100+k … 146
語文成績 146 145 144 … 147-k … 101
顯見，任何一名學生，都至少有一門成績比其余學生的成績高，故每位學生都是學習積極分子，所以本題的答案為46．
【例8】三棱錐S-ABC中，E，F，G，H分別是SA，AC，BC，SB的中點，則截面EFGH將三棱錐分成的兩部分的體積之比是 ．
解析 截面EFGH將三棱錐分成的兩部分的體積都不是規則的幾何體，因此，可將幾何體進行分割，又此題中兩部分的體積之比與三棱錐的具體形狀沒有直接的關系，則不妨設三棱錐為正四面體．
如圖，三棱錐SABC為正四面體，E，F，G，H分別是SA，AC，BC，SB的中點，所以截面兩邊的幾何體是完全一樣的幾何體，故 V1∶V2=1∶1．
3．3特殊角度
【例9】(2010福建高考文科) 觀察下列等式：
①cos2α=2cos2α-1；
②cos4α=8cos4α-8cos2α+1；
③cos6α=32cos6α- 48cos4α+18cos2α-1；
④cos8α=128cos8α- 256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；
⑤cos10α= mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1．
可以推測，m – n + p = ．
解析 首先，由2，8，32，128，聯想等比數列，得m=128×4=512；其次，由2，-8，18，-32，分別除2并去負號后，得1，4，9，16，這是一個正整數的平方序列，于是p>0，且p=2×52=50．
最后，令α=0，則1=512-1280+1120+n+50-1，于是n= -400，故m-n+p=962．
【例10】已知A+B=，且sin2A≠sin2B，則的值恒為______________．
解析 因恒為定值，故可取特殊角度直接快速得到結果．
令A=，B=0，則==．
3．4特殊函數
【例11】已知f(x)是定義在R上的函數，且f(1)=1，對任意x∈R都有下列兩式成立：
(1)f(x+5)≥f(x)+5；
(2)f(x+1)≤f(x)+1．
若g(x)=f(x)+1-x，則g(6)的值為 ．
解析 觀察(1)(2)可知，f(x)=x顯然滿足題設，故g(6)=f(6)+1-6=1．
【例12】已知二次函數f(x)=ax2+bx+c=0有零點x1與x2，設p=x12009+x21009，q=x12010+x21010，r=x12011+x21011，則常數ar+bq+cp的值為 ．
解析 令a=1，b=0，c= -1，則兩零點分別為1，-1，p=0，q=2，r=0，ap+bq+cr=0．
3．5特殊點
【例13】已知長方形的四個頂點A (0，0)、B (2，0)、C (2，1)和D (0，1)．一個質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD，DA和AB上的點P2，P3和P4(入射角等于反射角)．設P4的坐標為 (x4，0)，若 1＜x4＜2，則tanθ的取值范圍是 ．
解析 顯然當P1為BC中點時，則P2，P3和P4依次是CD，DA和AB的中點，故是一個極限值．又當P4位于B點時，P0關于B的對稱點為E，P4關于A的對稱點為F，從而EG =FE =(FA+AB+BE) =，于是tan θ = tan∠GP2E =，故也是一個極限值．于是，本題中應填．
【例14】橢圓的焦點為F1、F2，點P為其上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是 ．
解析 設P(x，y)，則當∠F1PF2=90°時，點P的軌跡方程為x2+y2=5，由此可得點P的橫坐標x=±，由此可得點P橫坐標的取值范圍是4．信息遷移
【例15】如圖，橢圓中心在坐標原點，F為左焦點，當⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比黃金橢圓，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e 等于 ．
解析 猜想“黃金雙曲線”的離心率e 等于．事實上，對直角△ABF應用勾股定理，得，即有，注意到，變形得，從而．
【例16】六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體．如圖1在平行四邊形ABCD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2)．那么在圖2所示的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC12+BD12+CA12+DB12關于其棱的等量關系為：AC12+BD12+CA12+DB12 = ．
解析 由AC12+CA12=2(AA12+AC2)，
BD12+DB12=2(BB12+BD2)，
所以，AC12+BD12+CA12+DB12=2AA12+2BB12+2(AC2+BD2)=4AA12+4AB2+4AD2．
5．整體代換
【例17】(2010江蘇高考) 設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是 ．
解析 =∈[2，27]，故所求最大值為27．
【例18】三棱錐的三個側面兩兩互相垂直，它們的側面積分別是6、3、2，則它的體積等于 ．
解析 設三條棱長分別為x，y，z，則xy=6，xz=3，yz=2．于是
V=．
三、小試牛刀
1．tan67.5°= ．
答案：．提示：數形結合法．構造如圖所示的圖形，則tan67.5°=．
2．(2010福建高考文科，略有改動) 設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有x2∈S．給出如下三個命題：
①若m=1，則S={1}；
②若m=，則≤l≤1；
③若l=，則≤m≤0．
其中正確命題的個數為 個．
答案：3．提示：直接推理法．令x=l∈S，則l2≤l，故-1≤l≤1；令x=m∈S，則m2≥m，故m≥1或m≤0．對于①，因l≥m=1，故l=1，于是S={1}，正確；對于②，令x=m=，則x2=∈S，于是l≥，正確；對于③，因l=>0，故必有m≤0，另一方面x=m∈S，則m2≤l=，故≤m≤，所以≤m≤0，正確．
3．(2010江西高考理科) 如圖，在三棱錐O-ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3，的大小關系為 ．
答案：S34．設有一個44網格，其各個最小的正方形的邊長為4cm，現用直徑為2cm的硬幣投擲到此網格上，設每次投擲都落在最大的正方形內或與最大的正方形有公共點，則硬幣落下后完全在最大的正方形內的概率 ．
答案：．提示：數形結合法．如圖，這是一個幾何概型，區域D為圖中的外虛線所圍成的部分，它是一個邊長為16的正方形，外加4個161的矩形，以及4個四分之一的圓周部分；區域d為圖中的內虛線所圍成的部分，故．
5．對于實數x≥0，定義符號[x]表示不超過x的最大整數，則方程[2sinx]=[x]的解集是(x以弧度為單位) ．
答案：∪∪．提示：直接推理計算．∵x≥0，∴[x]≥0；∵2sinx≤2，∴[2sinx]≤2．
若[2sinx]=[x]=0，則0≤x＜1，且，故0≤x＜；
若[2sinx]=[x]=1，則1≤x＜2，且，故1≤x＜2，且x≠；
若[2sinx]=[x]≥2，方程無解．
6．已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數列，則的值是 ．
答案：．提示：特殊數列法．考慮到a1，a3，a9的下標成等比數列，故可令an=n，又知它滿足題設條件，于是．
7．(2010天津高考文科) 設函數f(x)=，對任意x∈，f(mx)+mf(x)<0恒成立，則實數m的取值范圍是________．
答案：m<-1．提示：直接推理．已知f(x)為增函數且m≠0．若m>0，由復合函數的單調性可知f(mx)和mf(x)均為增函數，此時不符合題意，故m<0．由f(mx)+mf(x)<0，得，于是，故，所以m2>1，所以m<-1．
8．(2010重慶高考理科) 已知函數f(x)滿足f(1)=，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x，y∈R)，則f(2010)的值為 ．
答案：．提示：取特殊值法．令x=n，y=1，則f(n)=f(n+1)+f(n-1)，同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)，聯立兩式可得f(n+2)= -f(n-1)，于是f(n+6)= -f(n+3)=f(n)，數列{f(n)}是周期為6的周期數列，于是f(2010)=f(0)．又令x=1，y=0，得f(0)=．
9．(2010四川高考理科) 設S為復數集C的非空子集．若對任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：
①集合S={a+bi|a，b為整數，i為虛數單位}為封閉集；
②若S為封閉集，則一定有0∈S；
③封閉集一定是無限集；
④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集．
其中
真命題是 ．(寫出所有真命題的序號)
答案：①②．提示：特例驗證法．直接驗證可知①正確；當S為封閉集時，因為x-y∈S，取x=y，得0∈S，②正確；對于集合S={0}，顯然滿足全部條件，但S是有限集，③錯誤；取S={0}，T={0，1}，滿足，但由于0-1= -1T，故T不是封閉集，④錯誤．
10．設存在常數m，n，使等式對任意恒成立，則m+4n的值為 ．
答案：-8．提示：取特殊角．令=代入等式，得-1=，于是m+4n=8()= -8．

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