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不等式中的最值問題
　　不等式與函數有著密切的聯系，在有關不等式和函數的問題中，有許多問題涉及到最值，下面我們就針對不等式中的有關最值問題具體舉例說明．
一、利用均值定理求最值
例1　某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為（單位：）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架圍成的總面積為．問分別為多少（精確到0.001）時用料最省？
解：由題意得，
故．
于是，框架用料長度為．當且僅當，即時，等號成立．
此時，，．
故當約為，約為時，用料最省．
注：是否將無理數或分數作近似計算處理，一方面要根據題設要求，另一方面要結合實際意義．
二、利用變量的有界性求最值
例2　一個直角三角形的周長為，則其斜邊長的最小值為（　　）．
　　（A） （B） （C） （D）
　　解析：設直角三角形的一個銳角為，斜邊長為，則根據題意得，
∴ ．
∵，當時，等號成立．
∴ ，當此三角形為等腰直角三角形時，等號成立． ∴斜邊的最小值為．故選（A）．
三、利用函數的單調性求最值
有的函數解析式符合均值不等式的形式，但不滿足均值不等式的條件（“一正、二定、三相等”），可以考慮運用函數的單調性求函數的最值．
例3　學校食堂定期從某糧店以每噸1500元的價格購買大米，每次購進大米需支付運輸勞務費100元，已知食堂每天需用大米1噸，貯藏大米的費用為每噸每天2元，假定食堂每次均在用完大米的當天購買．
（1）該食堂每多少天購買一次大米，能使平均每天所支付的費用最少？
（2）糧店提出價格優惠條件：一次購買量不少于20噸時，大米價格可享受九五折優惠（即是原價的95%），問食堂可否接受此優惠條件？請說明理由．
解：（1）設每天購進一次大米，易知購米量為噸，那么庫存總費用即為．
若設平均每天所支付的總費用為，
則，
當且僅當，即時，等號成立，故應每10天購買一次大米，能使平均每天支付的總費用最少；
（2）若接受價格優惠條件，則至少每20天訂購一次，設每天訂購一次，每天支付總費用元，則，
令，設，則，即在上單調遞增．
故當天時，取得最小值，為1451元．
由于1451＜1521，故食堂應接受價格優惠條件．
四、利用二次函數求最值
例4　一個小服裝廠生產某種風衣，月銷售量（件）與售價（元/件）之間的關系為，已知生產件的成本為元，問：
（1）該廠的月產量為多少時，月純利潤不少于1300元？
（2）當月產量為多少時，可獲得最大純利潤？最大純利潤是多少元？
解：（1）設該廠的月純利潤為元，
依題意得，
由，知，
即，
∴，解得．
∴當月產量在20~45件之間時，月純利潤不少于1300元．
（2）由（1）知，
∵為正整數，
∴或33時，取得最大值1612．
故當月產量為32件或33件時，可獲得最大純利潤，為1612元．

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