資源簡(jiǎn)介

凸多邊形各邊中點(diǎn)連線所圍的面積
王文光
摘要: 本文借助於 GSP 套裝軟體所提供的環(huán)境, 觀察凸 n 邊形各邊中點(diǎn)連線
所圍成區(qū)域面積與原來凸 n 邊形面積之比值。 我們得到如下的結(jié)論: 當(dāng) n = 3 時(shí),
該值為 1/4; 當(dāng) n = 4 時(shí), 該值為 1/2; 當(dāng) n = 5 時(shí), 該值介於 1/2 和 3/4 之間;
當(dāng) n ≥ 6 時(shí), 該值介於 1/2 和 1 之間。
在國(guó)中數(shù)學(xué)課本中, 我們知道三角形、 四邊形各邊中點(diǎn)連線所圍成面積與原來面積的比值,
分別為 1/4 和 1/2。 在本文裡, 我們擬針對(duì)凸五邊形及其他凸 n 邊形, 探討是否也有類似的固
定比值 如果沒有, 是否有其他的關(guān)係呢 為對(duì)任意多邊形更進(jìn)一步探討此一關(guān)係, 我們先利
用 GSP 軟體, 進(jìn)行一般的觀察, 瞭解其中的關(guān)係, 並進(jìn)行驗(yàn)證。
1. 三角形、 四邊形的情形
首先重溫三角形、 四邊形的性質(zhì), 來進(jìn)行瞭解, 如圖一、 二所示, 作為進(jìn)一步觀察五邊形的
情形的預(yù)備工作。
圖一 圖二
定理一: 在 △ABC 中, 若 E、 F 、 G 分別為 AB、 AC、 BC 的中點(diǎn), 則
1. EF 平行 BC 且 EF = BC/2;
2. △EFG = 1△ABC。
4
41
42 數(shù)學(xué)傳播 28卷4期 民93年12月
證明: . . . . . . . . . . . . (skip) . . . . . . . . . . . . 證畢。
定理二: 在任意四邊形 ABCD 中, E、 F 、 G、 H 分別為 AB、 BC、 CD、 AD 的中點(diǎn),
則
1. 四邊形 EFGH 為平行四邊形;
2. EFGH = 1ABCD。
2
證明: . . . . . . . . . . . . (skip) . . . . . . . . . . . . 證畢。
2. 五邊形的情形
我們利用 GSP 檢驗(yàn)五邊形的各邊中點(diǎn)連線所圍成面積與原來五邊形面積的比值。 如圖
三、 四所示, 可以看出其比值分別為0.65和0.69, 並非定值。
圖三 圖四
然而該比值會(huì)不會(huì)落在某一範(fàn)圍之內(nèi)呢 由圖五、 六的觀察, 將 A 和 B 兩點(diǎn), 往 CE 中
點(diǎn)移動(dòng)時(shí), 我們觀察到越靠近, 該比值越靠近 1/2; 當(dāng) A 與 B 落在 CE 的中點(diǎn)時(shí), 我們觀察
到其比值恰好為 1/2。
圖五 圖六
在凸五邊形 ABCDE 內(nèi), 如圖七所示虛線所成的五角星形面積與其內(nèi)部所圍五邊形 KLMNO
面積皆為正數(shù)。 如圖八, 當(dāng)點(diǎn) C、 D 落在線段 BE 上, 且讓 C、 D 兩點(diǎn)無限接近時(shí), 五角星形
面積與五角星形內(nèi)部所圍五邊形 KLMNO 面積兩者皆為0, 於是得到該比值的下限 1/2。 仿
得到下界 1/2 的模式, 利用下面的圖形, 針對(duì)該比值的上界進(jìn)行觀察。 如圖九, 將 A 與 B 分
凸多邊形各邊中點(diǎn)連線所圍的面積 43
別往 C 與 E 移動(dòng)時(shí), 我們可得恰好移到點(diǎn)上時(shí)其比值上限會(huì)等於 3/4。 又如圖十, 當(dāng)點(diǎn) C、 D
分別趨近點(diǎn) B、 E 時(shí), 五角星形面積極為接近五邊形 ABCDE 的面積, 五角星形內(nèi)部所圍五
邊形 KLMNO 面積則接近0, 於是得到比值上限 3/4。
圖七 圖八
圖九 圖十
我們於是預(yù)測(cè)下述不等式
凸五邊形面積各邊中點(diǎn)連線所圍成面積
1/2 ≤ < 1,
原來凸五邊形面積
並將利用面積分割的方法, 證明上述觀察所得到的不等式的確成立。
定理三: 五邊形 ABCDE 中, F 、 G、 H、 I、 J 分別為 AB、 BC、 CD、 DE、 AE 的
中點(diǎn), 則
1. 五邊形 FGHIJ 的面積
= ABCDE/2 + (△ACD + △BDE △CDE)/4,
= (五邊形 ABCDE 的面積)/2
+(五角星形面積 + 五角星形內(nèi)部所圍五邊形 KLMNO 面積)/4;
2. 1/2 < 凸五邊形面積各邊中點(diǎn)連線所圍成面積 < 3/4。
原來凸五邊形面積
證明: 因?yàn)?br/>五邊形 FGHIJ 的面積
= 五邊形 ABCDE 的面積 (△FAJ + △JEI + △IDH + △HCG + △GBF );
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若將
(△FAJ + △JEI + △IDH + △HCG + △GBF )
= (△BAE + △AED + △EDC + △DCB + △CBA)/4,
= (2倍五邊形 ABCDE 的面積 五角星形面積
五角星形內(nèi)部所圍五邊形 KLMNO 面積)/2,
代入上式, 得
五邊形 FGHIJ 的面積
= 五邊形 ABCDE 的面積/2
+(五角星形面積 + 五角星形內(nèi)部所圍五邊形 KLMNO 面積)/4。
. . . . . . . . . . . . (skip) . . . . . . . . . . . . 證畢。
3. n ≥ 6 邊形的情形
根據(jù)凸五邊形的經(jīng)驗(yàn), 我們繼續(xù)針對(duì)凸六邊形的情形考察。 如圖十三、 十四所示, 若把 C、
D、 E 三點(diǎn)向線段 BF 的中點(diǎn)趨近時(shí), 六角星形面積與六角星形內(nèi)部所圍六邊形 MNOPQR
面積都會(huì)變成0, 於是得比值下限 1/2。 又如圖十五所示, 若分別把 A、 C、 E 分別趨近 B、 D、
F , 則可得比值上限1。
圖十二 圖十三
圖十四 圖十五
凸多邊形各邊中點(diǎn)連線所圍的面積 45
定理四: 在凸六邊形 ABCDEF 中, G、 H、 I、 J、 K、 L 分別為 AB、 BC、 CD、 DE、
EF 、 AF 的中點(diǎn), 則
1. 六邊形 GHIHKL 的面積
= 1ABCDEF + 1(△ACE + △BDF )
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= 六邊形 GHIHKL 的面積 = (原來六邊形 ABCDEF 面積)/2
+ (六角星形面積 + 六角星形內(nèi)部所圍六邊形 MNOPQR 面積)/4;
2. 0.5 < 六多邊形各邊中點(diǎn)連線所圍成面積 < 1。
原六邊形面積
證明: . . . . . . . . . . . . (skip) . . . . . . . . . . . . 證畢。
根據(jù)對(duì)於凸五邊形圖形的觀察, 我們得到一個(gè)很簡(jiǎn)要的關(guān)係式,
五邊形 FGHIJ 的面積
= (五邊形 ABCDE 的面積)/2
+(五角星形面積 + 五角星形內(nèi)部所圍五邊形 KLMNO 面積)/4,
令人驚訝的是對(duì)任意 n ≥ 6 邊形, 也有類似的結(jié)論; 這些結(jié)論是經(jīng)由數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)而得到的結(jié)果。
對(duì)任意 n ≥ 6 邊形, 也有類似於凸五邊形、 凸六邊形的結(jié)論, 亦即
1. 凸 n 邊形各邊中點(diǎn)連線所圍面積
= (原來 n 邊形面積)/2 + (n 角星形面積 + n 角星形內(nèi)部所圍 n 邊形面積)/4;
2. 1/2 < 任意 n 邊形各邊中點(diǎn)連線所圍成面積 < 1。
任意 n 多邊形原來面積
參考文獻(xiàn)
1. Understanding ratios of areas, e-example 7.3 in
http://standards.nctm.org/document/eexamples/index.htm
2. 李政豐: 多邊形面積比是否為常數(shù) — 動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)的例子, 數(shù)學(xué)傳播季刊106期 (民92年6月), 66-73
頁。
—本文作者任教於臺(tái)北市北政國(guó)中—

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