資源簡(jiǎn)介

高中數(shù)學(xué)考點(diǎn)薈萃
一.集合與簡(jiǎn)易邏輯
1.注意區(qū)分集合中元素的形式.如：—函數(shù)的定義域；—函數(shù)的值域；
—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.
2.集合的性質(zhì)： ①任何一個(gè)集合是它本身的子集,記為.
②空集是任何集合的子集,記為.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:條件為,在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況
如：,如果,求的取值.(答：)
④,；；
.
⑤.
⑥元素的個(gè)數(shù)：.
⑦含個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為；真子集(非空子集)個(gè)數(shù)為；非空真子集個(gè)數(shù)為.
3.補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。
如：已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使
,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(答：)
4.原命題: ；逆命題: ；否命題: ；逆否命題: ；互為逆否的兩
個(gè)命題是等價(jià)的.如：“”是“”的 條件.(答：充分非必要條件)
5.若且,則是的充分非必要條件(或是的必要非充分條件).
6.注意命題的否定與它的否命題的區(qū)別: 命題的否定是；否命題是.
命題“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.
如：“若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是“若和不都是偶數(shù),則是奇數(shù)”
否定是“若和都是偶數(shù),則是奇數(shù)”.
7.常見結(jié)論的否定形式
原結(jié)論 否定 原結(jié)論 否定
是 不是 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒有
都是 不都是 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè)
大于 不大于 至少有個(gè) 至多有個(gè)
小于 不小于 至多有個(gè) 至少有個(gè)
對(duì)所有,成立 存在某,不成立 或 且
對(duì)任何,不成立 存在某,成立 且 或
二.函數(shù)
1.①映射:是：⑴ “一對(duì)一或多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)；⑵集合中的元素必有象且中不
同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集).
②一一映射:： ⑴“一對(duì)一”的對(duì)應(yīng)；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.
2.函數(shù): 是特殊的映射.特殊在定義域和值域都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸
的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn),但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有,也可能有任意個(gè).
3.函數(shù)的三要素：定義域,值域,對(duì)應(yīng)法則.研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則.
4.求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母;偶次根式被開方數(shù)非負(fù);對(duì)數(shù)真數(shù),底數(shù)
且；零指數(shù)冪的底數(shù))；實(shí)際問題有意義；若定義域?yàn)?復(fù)合函數(shù)定義
域由解出；若定義域?yàn)?則定義域相當(dāng)于時(shí)的值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函數(shù)類)；②逆求法(反函數(shù)法)；③換元法(特別注意新元的范圍).
④三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù),運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；
⑤不等式法⑥單調(diào)性法；⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的方法來求值域；
⑧判別式法（慎用）：⑨導(dǎo)數(shù)法(一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)).
6.求函數(shù)解析式的常用方法：⑴待定系數(shù)法(已知所求函數(shù)的類型)； ⑵代換(配湊)法；
⑶方程的思想----對(duì)已知等式進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。
7.函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性
⑴函數(shù)有奇偶性的必要條件是其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,確定奇偶性方法有定義法、圖像法等；
⑵若是偶函數(shù),那么；定義域含零的奇函數(shù)必過原點(diǎn)()；
⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：或；
⑷復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.
注意：若判斷較為復(fù)雜解析式函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先化簡(jiǎn)再判斷；既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個(gè)
(如定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可).
⑸奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；
⑹確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等.
⑺復(fù)合函數(shù)單調(diào)性由“同增異減”判定. （提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)注意定義域）
如：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(答：)
8.函數(shù)圖象的幾種常見變換⑴平移變換：左右平移---------“左加右減”（注意是針對(duì)而言）；
上下平移----“上加下減”(注意是針對(duì)而言).⑵翻折變換：；.
⑶對(duì)稱變換：①證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性,即證圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上.
②證明圖像與的對(duì)稱性,即證上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在上,反之亦然.
③函數(shù)與的圖像關(guān)于直線(軸)對(duì)稱；函數(shù)與函數(shù)
的圖像關(guān)于直線(軸)對(duì)稱；
④若函數(shù)對(duì)時(shí)，或恒成立,則圖像關(guān)
于直線對(duì)稱；
⑤若對(duì)時(shí),恒成立,則圖像關(guān)于直線對(duì)稱；
⑥函數(shù),的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(由確定)；
⑦函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；
⑧函數(shù),的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(由確定)；
⑨函數(shù)與的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；函數(shù),
的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
⑩函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；曲線：,關(guān)于
,的對(duì)稱曲線的方程為(或；
曲線：關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為：.
9.函數(shù)的周期性：⑴若對(duì)時(shí)恒成立,則 的周期為；
⑵若是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱,則的周期為；
⑶若奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱,則的周期為；
⑷若關(guān)于點(diǎn),對(duì)稱,則的周期為；
⑸的圖象關(guān)于直線,對(duì)稱,則函數(shù)的周期為；
⑹對(duì)時(shí),或,則的周期為；
10.對(duì)數(shù)：⑴；⑵對(duì)數(shù)恒等式；
⑶；
；⑷對(duì)數(shù)換底公式；
推論：.
(以上且均不等于)
11.方程有解(為的值域)；恒成立,
恒成立.
12.恒成立問題的處理方法：⑴分離參數(shù)法(最值法)； ⑵轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題；
13.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：
一看開口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系；
14.二次函數(shù)解析式的三種形式： ①一般式：；②頂點(diǎn)式：
； ③零點(diǎn)式：.
15.一元二次方程實(shí)根分布:先畫圖再研究、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào);
16.復(fù)合函數(shù)：⑴復(fù)合函數(shù)定義域求法：若的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域可由
不等式解出；若的定義域?yàn)?求的定義域，相當(dāng)于時(shí),求
的值域；⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定.
17.對(duì)于反函數(shù),應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：⑴定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；⑵奇函數(shù)的反函數(shù)
也是奇函數(shù)；⑶定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)；⑷周期函數(shù)不存在反函數(shù)；
⑸互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自的定義域具有相同的單調(diào)性；⑹與互為
反函數(shù),設(shè)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則有,.
18.依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問題：
(或)(或)；
19.函數(shù)的圖像是雙曲線：①兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和
直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)；②對(duì)稱中心是點(diǎn)；③反函數(shù)為；
20.函數(shù)：增區(qū)間為,減區(qū)間為.
如：已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(答：).
三.數(shù)列
1.由求, 注意驗(yàn)證是否包含在后面的公式中,若不符合要
單獨(dú)列出.如：數(shù)列滿足，求(答：).
2.等差數(shù)列(為常數(shù))
；
3.等差數(shù)列的性質(zhì)： ①,；
②(反之不一定成立)；特別地,當(dāng)時(shí),有；
③若、是等差數(shù)列,則(、是非零常數(shù))是等差數(shù)列；
④等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”即 仍是等差數(shù)列；
⑤等差數(shù)列,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為時(shí),,；項(xiàng)數(shù)為時(shí),
,,且；.
⑥首項(xiàng)為正(或?yàn)樨?fù))的遞減(或遞增)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大(或最小)問題,轉(zhuǎn)化為解不等式
(或).也可用的二次函數(shù)關(guān)系來分析.
⑦若,則；若,則；
若,則Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；.
4.等比數(shù)列.
5.等比數(shù)列的性質(zhì)
①,；②若、是等比數(shù)列，則、等也是等比數(shù)列；
③；④(反之不一定成
立)；. ⑤等比數(shù)列中(注：各項(xiàng)均不為0)
仍是等比數(shù)列. ⑥等比數(shù)列當(dāng)項(xiàng)數(shù)為時(shí),；項(xiàng)數(shù)為時(shí),.
6.①如果數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列(總有意義)是等比數(shù)列；如果數(shù)列是等比數(shù)列,
則數(shù)列是等差數(shù)列；
②若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則是非零常數(shù)數(shù)列；
③如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng),那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的數(shù)列也是等差數(shù)列，且新數(shù)列的公差
是原兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；如果一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng),那么由他們的
公共項(xiàng)順次組成的數(shù)列是等比數(shù)列,由特殊到一般的方法探求其通項(xiàng)；
④三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：；
三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：(為什么？)
7.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.
⑵已知(即)求用作差法：.
⑶已知求用作商法：.
⑷若求用迭加法. ⑸已知,求用迭乘法.
⑹已知數(shù)列遞推式求,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)：①形如,,
(為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后,
再求.②形如的遞推數(shù)列都可以用 “取倒數(shù)法”求通項(xiàng).
8.數(shù)列求和的方法：①公式法：等差數(shù)列,等比數(shù)列求和公式；②分組求和法；③倒序相加；④錯(cuò)位
相減；⑤分裂通項(xiàng)法.公式：；；
；；常見裂項(xiàng)公式；
；；
常見放縮公式：.
9.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題
⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算
“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長(zhǎng)又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.
⑵利率問題：①單利問題：如零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型：若每期存入本金元,每期利
率為,則期后本利和為：(等差數(shù)列問
題）；②復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型：若貸款(向銀行借款)元,采用分期等
額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清.如果每期利
率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足：
(等比數(shù)列問題).
四.三角函數(shù)
1.終邊與終邊相同；終邊與終邊共線；終邊
與終邊關(guān)于軸對(duì)稱；終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱
；終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
終邊與終邊關(guān)于角終邊對(duì)稱.
2.弧長(zhǎng)公式：；扇形面積公式：；弧度()≈.
3.三角函數(shù)符號(hào)(“正號(hào)”)規(guī)律記憶口訣：“一全二正弦,三切四余弦”.
注意： ；；
4.三角函數(shù)同角關(guān)系中(八塊圖)：注意“正、余弦三兄妹
、”的關(guān)系.
如等.
5.對(duì)于誘導(dǎo)公式,可用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”概括；
(注意：公式中始終視為銳角)
6.角的變換：已知角與特殊角、已知角與目標(biāo)角、已知角
與其倍角或半角、兩角與其和差角等變換.
如：；；；；
等；“”的變換：；
7.重要結(jié)論：其中）；重要公式；
；；.
萬能公式：；；.
8.正弦型曲線的對(duì)稱軸；對(duì)稱中心；
余弦型曲線的對(duì)稱軸；對(duì)稱中心；
9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題勿忘三
內(nèi)角和等于,一般用正、余弦定理實(shí)施邊角互化；正弦定理：；
余弦定理：；
正弦平方差公式：；三角形的內(nèi)切圓半徑；
面積公式：；射影定理：.
10.中,易得：,①,,.
②,,. ③
④銳角中,,,,類比得鈍角結(jié)論.
⑤.
11.角的范圍：異面直線所成角；直線與平面所成角；二面角和兩向量的夾角；直線
的傾斜角；到的角；與的夾角.注意術(shù)語:坡度、仰角、俯角、方位角等.
五.平面向量
1.設(shè),. (1)；(2).
2.平面向量基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向
量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使.
3.設(shè),,則；其幾何意義是等于的長(zhǎng)度
與在的方向上的投影的乘積；在的方向上的投影.
4.三點(diǎn)、、共線與共線；與共線的單位向量.
5.平面向量數(shù)量積性質(zhì)：設(shè),,則；注意:
為銳角,不同向；為直角；為鈍角,不反向.
6.同向或有；反向或有
；不共線.
7.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：⑴若,,則；
； ⑵若,則.
8.熟記平移公式和定比分點(diǎn)公式. ①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),；當(dāng)點(diǎn)在線段(或)
延長(zhǎng)線上時(shí),或.②分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若；且,；
則, 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：.
③,,三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)、使得且.
9.三角形中向量性質(zhì)：①過邊的中點(diǎn)：；
②為的重心；
③為的垂心； ④為
的內(nèi)心；所在直線過內(nèi)心. ⑤設(shè),
. .
⑥為內(nèi)一點(diǎn),則.
10.,有()；.
六.不等式
1.掌握課本上的幾個(gè)不等式性質(zhì)，注意使用條件，另外需要特別注意：
①若,,則.即不等式兩邊同號(hào)時(shí),不等式兩邊取倒數(shù),不等號(hào)方向要改變.
②如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式,要注意它的正負(fù)號(hào),如果正負(fù)號(hào)未定,要注意分類討論.
2.掌握幾類不等式(一元一次、二次、絕對(duì)值不等式、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式)的解法,尤其注意
用分類討論的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標(biāo)根法,零點(diǎn)分區(qū)間法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)
取等號(hào))使用條件：“一正二定三相等 ” 常用的方法為：拆、湊、平方等；(2)，
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào))；(3)公式注意變形如：,
；(4)若,則(真分?jǐn)?shù)的性質(zhì))；
4.含絕對(duì)值不等式：同號(hào)或有；異號(hào)或有
.
5.證明不等式常用方法：⑴比較法：作差比較：.注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困
難,可以通過它們的平方差來比較大小；⑵綜合法：由因?qū)Ч虎欠治龇ǎ簣?zhí)果索因.基本步驟：要證…
需證…,只需證…； ⑷反證法：正難則反；⑸放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的.
放縮法的方法有：①添加或舍去一些項(xiàng),如：；.②將分子或分母放大(或縮小)
③利用基本不等式,如：.④利用常用結(jié)論： ；
(程度大)； (程度小)；
⑹換元法：換元的目的就是減少不等式中變量,以使問題化難為易,化繁為簡(jiǎn),常用的換元有三角換元
代數(shù)換元.如：知,可設(shè)；知,可設(shè),
()；知,可設(shè)；已知,可設(shè).
⑺最值法,如：,則恒成立.,則恒成立.
七.直線和圓的方程
1.直線的傾斜角的范圍是；
2.直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系(如右圖)：
3.直線方程五種形式：⑴點(diǎn)斜式：已知直線過點(diǎn)斜率為，則直線
方程為,它不包括垂直于軸的直線.⑵斜截式：已知直線在軸上的截距為
和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線. ⑶兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過
、兩點(diǎn),則直線方程為,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線.
⑷截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為,它不包括垂直于坐標(biāo)
軸的直線和過原點(diǎn)的直線.⑸一般式：任何直線均可寫成(不同時(shí)為0)的形式.
提醒：⑴直線方程的各種形式都有局限性.(如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截距式呢？)
⑵直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為.直線兩截距相等直線的斜率為或直線過
原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等
直線的斜率為或直線過原點(diǎn).
⑶截距不是距離,截距相等時(shí)不要忘了過原點(diǎn)的特殊情形.
4.直線與直線的位置關(guān)系：
⑴平行(斜率)且(在軸上截距)；
⑵相交；(3)重合且.
5.直線系方程：①過兩直線：,：.交點(diǎn)的直線系方程可設(shè)
為；②與直線平行的直線系方程可設(shè)為
；③與直線垂直的直線系方程可設(shè)為.
6.到角和夾角公式：⑴到的角是指直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線重合所轉(zhuǎn)的角,
且；
⑵與的夾角是指不大于直角的角且.
7.點(diǎn)到直線的距離公式；
兩條平行線與的距離是.
8.設(shè)三角形三頂點(diǎn),,,則重心；
9.有關(guān)對(duì)稱的一些結(jié)論
⑴點(diǎn)關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)、直線的對(duì)稱點(diǎn)分別是,,,.
⑵曲線關(guān)于下列點(diǎn)和直線對(duì)稱的曲線方程為：①點(diǎn)：；
②軸：；③軸：；④原點(diǎn)：；⑤直線：
；⑥直線：；⑦直線：.
10.⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：. ⑵圓的一般方程：
.特別提醒：只有當(dāng)時(shí),方程
才表示圓心為,半徑為的圓(二元二次方程
表示圓,且).
⑶圓的參數(shù)方程：(為參數(shù)),其中圓心為,半徑為.圓的參數(shù)方程主要應(yīng)用是
三角換元：； .
⑷以、為直徑的圓的方程；
11.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判斷通常用幾何法(計(jì)算圓心到直線距離).點(diǎn)及圓的方程
.①點(diǎn)在圓外；
②點(diǎn)在圓內(nèi)；③點(diǎn)在圓上.
12.圓上一點(diǎn)的切線方程：點(diǎn)在圓上,則過點(diǎn)的切線方程為：；
過圓上一點(diǎn)切線方程為.
13.過圓外一點(diǎn)作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與軸垂直的直線.
14.直線與圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三角形解
決弦長(zhǎng)問題.①相離　　②相切　　③相交
15.圓與圓的位置關(guān)系,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系.設(shè)兩圓的圓心距為,
兩圓的半徑分別為：兩圓相離；兩圓相外切； 兩
圓相交；兩圓相內(nèi)切； 兩圓內(nèi)含；兩圓同心.
16.過圓：,：交點(diǎn)的圓(相交弦)系方程
為.時(shí)為兩圓相交弦所在直線方程.
17.解決直線與圓的關(guān)系問題時(shí),要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成
直角三角形,切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等).
18.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：(1)根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等式；(2)作出可行域,寫出目標(biāo)
函數(shù)(判斷幾何意義)；(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置,從而獲得最優(yōu)解.
八.圓錐曲線方程
1.橢圓焦半徑公式：設(shè)為橢圓上任一點(diǎn),焦點(diǎn)為,,
則(“左加右減”)；
2.雙曲線焦半徑：設(shè)為雙曲線上任一點(diǎn),焦點(diǎn)為,,
則：⑴當(dāng)點(diǎn)在右支上時(shí),；⑵當(dāng)點(diǎn)在左支上時(shí),,
；(為離心率).另：雙曲線的漸近線方程為.
3.拋物線焦半徑公式：設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn),為焦點(diǎn),則
；上任意一點(diǎn),為焦點(diǎn)，則.
4.共漸近線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為(為參數(shù),).
5.兩個(gè)常見的曲線系方程： ⑴過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是
(為參數(shù)).⑵共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中
.當(dāng)時(shí),表示橢圓；當(dāng)時(shí),表示雙曲線.
6.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 或
(弦端點(diǎn),由方程消去
得到,,為斜率). 這里體現(xiàn)了解幾中“設(shè)而不求”的思想；
7.橢圓、雙曲線的通徑(最短弦)為,焦準(zhǔn)距為,拋物線的通徑為,焦準(zhǔn)距為；
雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為；
8.中心在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓,雙曲線方程可設(shè)為(對(duì)于橢圓)；
9.拋物線的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）為,、,則有如下結(jié)論：
⑴；⑵,； ⑶.
10.橢圓左焦點(diǎn)弦,右焦點(diǎn)弦.
11.對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為,以簡(jiǎn)化計(jì)算.
12.圓錐曲線中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解.在橢圓中,
以為中點(diǎn)的弦所在直線斜率；在雙曲線中,以為中點(diǎn)的弦所
在直線斜率；在拋物線中,以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.
13.求軌跡方程的常用方法：
⑴直接法：直接通過建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成,是求軌跡的最基本的方法.
⑵待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),代回所列的方程即可.
⑶代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法).
⑷定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義,則可由曲線的定義直接寫出方程.
⑸交軌法(參數(shù)法)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),可考慮
將、均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.
14.解析幾何與向量綜合的有關(guān)結(jié)論：
⑴給出直線的方向向量或.等于已知直線的斜率或；
⑵給出與相交,等于已知過的中點(diǎn)；
⑶給出,等于已知是的中點(diǎn);
⑷給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;
⑸給出以下情形之一： ①； ②存在實(shí)數(shù),使； ③若存在實(shí)數(shù),
且；使,等于已知三點(diǎn)共線.
⑹給出,等于已知是的定比分點(diǎn),為定比,即
⑺給出,等于已知,即是直角,給出,等于已
知是鈍角或反向共線,給出,等于已知是銳角或同向共線.
⑻給出,等于已知是的平分線.
⑼在平行四邊形中,給出,等于已知是菱形.
⑽在平行四邊形中,給出,等于已知是矩形.
⑾在中,給出，等于已知是的外心(三角形的外心是外接圓
的圓心,是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)).
⑿在中,給出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形
三條中線的交點(diǎn)).
⒀在中,給出，等于已知是的垂心(三角形的垂心
是三角形三條高的交點(diǎn)).
⒁在中,給出等于已知通過的內(nèi)心.
⒂在中,給出等于已知是的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓
的圓心,三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)).
⒃在中,給出,等于已知是中邊的中線.
九.直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體
1.從一點(diǎn)出發(fā)的三條射線、、.若,則點(diǎn)在平面上的射影在
的平分線上；
2.立平斜三角余弦公式：(圖略)和平面所成的角是,在平面內(nèi),和的射影成,
設(shè),則；
3.異面直線所成角的求法：⑴平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線.
⑵補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在
于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；
4.直線與平面所成角：過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段,是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.
5.二面角的求法：⑴定義法；⑵三垂線法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面積射影公式
其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；
6.空間距離的求法：⑴兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線,所以一般先利用垂直作出公垂
線,然后再進(jìn)行計(jì)算.⑵求點(diǎn)到直線的距離,一般用三垂線定理作出垂線再求解.
⑶求點(diǎn)到平面的距離,一是用垂面法,借助面面垂直的性質(zhì)來作.因此,確定已知面的垂面是關(guān)鍵；
二是不作出公垂線,轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高,利用等體積法列方程求解.
7.用向量方法求空間角和距離：⑴求異面直線所成的角：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,
則兩異面直線所成的角.⑵求線面角：設(shè)是斜線的方向向量,是平面的
法向量,則斜線與平面所成的角. ⑶求二面角(法一)在內(nèi),在內(nèi)
,其方向如圖(略),則二面角的平面角.(法二)設(shè),是二面角
的兩個(gè)半平面的法向量,其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè),另一個(gè)指向外側(cè),則二面角的平面
角.（4)求點(diǎn)面距離：設(shè)是平面的法向量,在內(nèi)取一點(diǎn),則到的距離
(即在方向上投影的絕對(duì)值).
8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等,記為,則.
9.正四面體(設(shè)棱長(zhǎng)為)的性質(zhì)：
①全面積；②體積；③對(duì)棱間的距離；④相鄰面所成二面角；
⑤外接球半徑；⑥內(nèi)切球半徑；⑦正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為定值.
10.直角四面體的性質(zhì)：(直角四面體—三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體).在直角四面體
中,兩兩垂直,令,則⑴底面三角形為銳角三角形；
⑵直角頂點(diǎn)在底面的射影為三角形的垂心；⑶；
⑷；⑸；⑹外接球半徑R=.
11.已知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有
或；若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成
的角分別為,則有或.
12.正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長(zhǎng)；
13.球的體積公式,表面積公式；掌握球面上兩點(diǎn)、間的距離求法：
⑴計(jì)算線段的長(zhǎng)；⑵計(jì)算球心角的弧度數(shù)；⑶用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧的長(zhǎng).
十.排列組合和概率
1.排列數(shù)公式:,當(dāng)時(shí)為全排列.
2.組合數(shù)公式：,.
3.組合數(shù)性質(zhì)：；.
4.排列組合主要解題方法：①優(yōu)先法：特殊元素優(yōu)先或特殊位置優(yōu)先；②捆綁法(相鄰問題)；
③插空法（不相鄰問題）；④間接扣除法；(對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件
的所有情況去掉）⑤多排問題單排法;⑥相同元素分組可采用隔板法（適用與指標(biāo)分配，每部分至
少有一個(gè)）；⑦先選后排,先分再排(注意等分分組問題)；⑧涂色問題(先分步考慮至某一步時(shí)再分
類).⑨分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組,平均分成組問題別忘除以.
5.常用性質(zhì)：；即；；
6.二項(xiàng)式定理： ⑴掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：；
⑵注意第r＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)與第r＋1項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別.
7.二項(xiàng)式系數(shù)具有下列性質(zhì)：⑴與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等；⑵若為偶數(shù),中間一項(xiàng)
(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；若為奇數(shù),中間兩項(xiàng)(第和項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大.
⑶；.
8.二項(xiàng)式定理應(yīng)用：近似計(jì)算、整除問題、結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式、用賦值法求展開式
的某些項(xiàng)的系數(shù)的和如展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為
,偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為.
9.等可能事件的概率公式：⑴； ⑵互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式為：
；⑶相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式為；⑷獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
概率公式；⑸如果事件與互斥，那么事件與、與及事件
與也都是互斥事件；⑹如果事件、相互獨(dú)立，那么事件、至少有一個(gè)不發(fā)生
的概率是；（6）如果事件與相互獨(dú)立，那么事件與至少有
一個(gè)發(fā)生的概率是.
十一.概率與統(tǒng)計(jì)
1.理解隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量的定義,能夠?qū)懗鲭x散型隨機(jī)變量的分布列,由概率的性質(zhì)可
知,任意離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：⑴；⑵.
2.二項(xiàng)分布記作為參數(shù)),,記.
… …
… …
3.記住以下重要公式和結(jié)論：
⑴期望值.
⑵方差.
⑶標(biāo)準(zhǔn)差；.
⑷若(二項(xiàng)分布),則, .
⑸若(幾何分布),則,.
4.掌握抽樣的三種方法：⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(包括抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法)；⑵(理)系統(tǒng)抽樣,也叫等距
抽樣；⑶分層抽樣(按比例抽樣),常用于某個(gè)總體由差異明顯的幾部分組成的情形.它們的共同點(diǎn)
都是等概率抽樣.對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念中,“每次抽取時(shí)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等”.如從
含有個(gè)個(gè)體的總體中,采用隨機(jī)抽樣法,抽取個(gè)個(gè)體,則每個(gè)個(gè)體第一次被抽到的概率為
,第二次被抽到的概率為,…,故每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為,即每個(gè)個(gè)體入樣的概率為.
5.總體分布的估計(jì)：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個(gè)基本思想方法,一般地,樣本容量越大,
這種估計(jì)就越精確,要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖；⑴學(xué)會(huì)用樣本平均數(shù)
去估計(jì)總體平均數(shù)；⑵會(huì)用樣本方差
去估計(jì)總體方差及總體標(biāo)準(zhǔn)差；⑶學(xué)會(huì)用修正的
樣本方差去估計(jì)總體方差,會(huì)用去估計(jì).
6.正態(tài)總體的概率密度函數(shù)：,式中是參數(shù),分別表示總體的平均
數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；
7.正態(tài)曲線的性質(zhì)：⑴曲線在時(shí)處于最高點(diǎn),由這一點(diǎn)向左、向右兩邊延伸時(shí),曲線逐漸降
低；⑵曲線的對(duì)稱軸位置由確定；曲線的形狀由確定,越大,曲線越矮胖；反過來曲線越高瘦.
⑶曲線在軸上方，并且關(guān)于直線x= 對(duì)稱；
8.利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)數(shù)值表計(jì)算一般正態(tài)分布的概率,可由變
換而得,于是有.
9.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：⑴提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，確定隨機(jī)變量服從正態(tài)分布；⑵確定一
次試驗(yàn)中的取值是否落入范圍；⑶作出推斷：如果,接受統(tǒng)
計(jì)假設(shè)；如果,由于這是小概率事件,就拒絕假設(shè).
十二.極限
1.與自然數(shù)有關(guān)的命題常用數(shù)學(xué)歸納法證明(注意步驟,兩步缺一不可).
2.數(shù)列極限：⑴掌握數(shù)列極限的運(yùn)算法則,注意其適用條件：一是數(shù)列,的極限都存在；二
是僅適用于有限個(gè)數(shù)列的和、差、積、商,對(duì)于無限個(gè)數(shù)列的和(或積),應(yīng)先求和(或積),再求極限.
⑵常用的幾個(gè)數(shù)列極限：(為常數(shù))；,(,為常數(shù)).
⑶無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式().
3.函數(shù)的極限： ⑴當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)的極限為.
⑵當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限為.⑶掌握函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則.
4.函數(shù)的連續(xù)性：⑴如果對(duì)函數(shù)在點(diǎn)處及其附近有定義,且有,就
說函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)；⑵若與都在點(diǎn)處連續(xù)，則,,
也在點(diǎn)處連續(xù)；⑶若在點(diǎn)處連續(xù),且在處連續(xù),則復(fù)合
函數(shù)在點(diǎn)處也連續(xù).
十三.導(dǎo)數(shù)
1.導(dǎo)數(shù)的定義：在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)記作.
2.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),那么函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),但是
在點(diǎn)處連續(xù)卻不一定可導(dǎo).
3.函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),則的曲線在該點(diǎn)處必有切線,且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率.但函數(shù)
的曲線在點(diǎn)處有切線,則在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo).如在有切線,但不可導(dǎo).
4.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指：曲線在點(diǎn)處切線的斜率,
即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是,切線方程為.
5.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(為常數(shù))；.；；
；；.
6.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：；；.
7.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：.
8.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：
(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果,那么為增
函數(shù)；如果,那么為減函數(shù)；如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,那么為常數(shù)；
(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①求導(dǎo)數(shù)；②求方程的根；③檢驗(yàn)在方程
根的左右的符號(hào)，如果左正右負(fù),那么函數(shù)在這個(gè)根處取得最大值；如果左負(fù)
右正,那么函數(shù)在這個(gè)根處取得最小值；
(3)求可導(dǎo)函數(shù)最大值與最小值的步驟：①求在內(nèi)的極值；②將在各極值點(diǎn)
點(diǎn)的極值與、比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.
十四.復(fù)數(shù)
1.理解復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、模的概念和復(fù)數(shù)的幾何表示.
2.熟練掌握與靈活運(yùn)用以下結(jié)論：⑴且；⑵復(fù)數(shù)是
實(shí)數(shù)的條件：①；②；③.
3.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件: ①是純虛數(shù)且； ②是純虛數(shù)
；③是純虛數(shù).
4.⑴復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：；⑵復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算按以下法則進(jìn)行：設(shè),
,則,,
.
5.幾個(gè)重要的結(jié)論：
⑴；⑵；⑶若為虛數(shù),則.
6.運(yùn)算律仍然成立：(1) ⑴； ⑵；⑶.
7.注意以下結(jié)論：⑴；⑵,；⑶；
⑷.
十五.答題技巧
1.技術(shù)矯正：考試中時(shí)間分配及處理技巧非常重要,有幾點(diǎn)需要必須提醒同學(xué)們注意：
⑴按序答題,先易后難.一定要選擇熟題先做、有把握的題目先做.
⑵不能糾纏在某一題、某一細(xì)節(jié)上,該跳過去就先跳過去,千萬不能感覺自己被卡住,這樣會(huì)心慌，
影響下面做題的情緒.
⑶避免“回頭想”現(xiàn)象,一定要爭(zhēng)取一步到位,不要先做一下,等回過頭來再想再檢查,高考時(shí)間較緊張,也許待會(huì)兒根本顧不上再來思考.
⑷做某一選擇題時(shí)如果沒有十足的把握,初步答案或猜估的答案必須先在卷子上做好標(biāo)記,有時(shí)間再推敲,不要空答案,否則要是時(shí)間來不及瞎寫答案只能增加錯(cuò)誤的概率.
2.規(guī)范化提醒：這是取得高分的基本保證.規(guī)范化包括：解題過程有必要的文字說明或敘述,注意解完后再看一下題目,看你的解答是否符合題意,謹(jǐn)防因解題不全或失誤,答題或書寫不規(guī)范而失分.總之,要吃透題“情”,合理分配時(shí)間,做到一準(zhǔn)、二快、三規(guī)范.特別是要注意解題結(jié)果的規(guī)范化.
⑴解與解集：方程的結(jié)果一般用解表示(除非強(qiáng)調(diào)求解集)；不等式、三角方程的結(jié)果一般用解集(集合或區(qū)間)表示.三角方程的通解中必須加.在寫區(qū)間或集合時(shí),要正確地書寫圓括號(hào)、方括
號(hào)或大括號(hào),區(qū)間的兩端點(diǎn)之間、集合的元素之間用逗號(hào)隔開.
⑵帶單位的計(jì)算題或應(yīng)用題,最后結(jié)果必須帶單位,解題結(jié)束后一定要寫上符合題意的“答”.
⑶分類討論題,一般要寫綜合性結(jié)論.
⑷任何結(jié)果要最簡(jiǎn).如等.
⑸排列組合題,無特別聲明,要求出數(shù)值.
⑹函數(shù)問題一般要注明定義域(特別是反函數(shù)).
⑺參數(shù)方程化普通方程,要考慮消參數(shù)過程中最后的限制范圍.
⑻軌跡問題：①軌跡與軌跡方程的區(qū)別：軌跡方程一般用普通方程表示,軌跡則需要說明圖形形狀.
②有限制條件的必須注明軌跡中圖形的范圍或軌跡方程中或的范圍.
⑼分?jǐn)?shù)線要?jiǎng)潤(rùn)M線,不用斜線.
3.考前寄語：
①先易后難,先熟后生；
②一慢一快：審題要慢,做題要快；
③不能小題難做,小題大做, 而要小題小做,小題巧做；
④我易人易我不大意,我難人難我不畏難；
⑤考試不怕題不會(huì),就怕會(huì)題做不對(duì)；
⑥基礎(chǔ)題拿滿分,中檔題拿足分,難題力爭(zhēng)多得分,似曾相識(shí)題力爭(zhēng)不失分；
⑦對(duì)數(shù)學(xué)解題有困難的考生的建議：立足中下題目,力爭(zhēng)高上水平,有時(shí)“放棄”是一種策略.

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