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詳解2011年高考試題(福建卷理)15題詳解
前言
2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷理)的15題，以映射為背景，集中考查演繹推理和論證能力，考查類比與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。試題格調(diào)新穎，寓意深厚，別具匠心，給人耳目一新。乍一接觸本題，給人一頭霧水，深入分析后方知其中奧妙.下面試解如下：
原題
2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷)
數(shù)　學(xué) (理工農(nóng)醫(yī)類)
15．設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射 滿足：對任意向量 以及任意 ，均有
則稱映射 具有性質(zhì)P．
先給出如下映射：
①
②
③
其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為________．（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號）
解：先驗證①是否是具有性質(zhì)P的映射.：設(shè)
∵f1( )=x-y, 則f(a)=f((x1,y1))= x1－y1, f(b)=f((x2,y2))= x2－y2,
設(shè) = a+(1- )b,
∴有f1( )=f1( a+(1- )b)= f1{ (x1,y1)+(1- )(x2,y2)}
= f1{ ( x1, y1)+ ((1- )x2, (1- )y2)}
= f1{ [ x1+(1- )x2, y1+(1- )y2]}
=[ ( x1+(1- )x2]-[ y1+(1- )y2)]
=[ x1- y1]+[(1- )x2-(1- )y2]
= ( x1-y1)+ (1- )(( x2-y2))
= f(a) + (1- ) f(b)
∴f1是具有性質(zhì)P的映射.
再來驗證②是否是具有性質(zhì)P的映射.
設(shè)
∵f2( )=x2+y, 則f(a)=f((x1,y1))= +y1, f(b)=f((x2,y2))= +y2,
設(shè) = a+(1- )b,
∴有f1( )=f1[ a+(1- )b]= f1{ (x1,y1)+(1- )(x2,y2)}
= f1{ ( x1, y1)+ [(1- )x2, (1- )y2]}
= f1{ ( x1+(1- )x2, y1+(1- )y2)}
=[( x1+(1- )x2) + y1+(1- )y2)
= +2
= f(a)+ (1- )f(b)+2
≠ f(a) + (1- ) f(b)
∴f2是不具有性質(zhì)P的映射.
最后驗證③是否是具有性質(zhì)P的映射.
設(shè)
∵f1( )=x+y+1, 則f(a)=f((x1,y1))= x1+ y1+1. f(b)=f((x2,y2))= x2+ y2+1.
設(shè) = a+(1- )b,
∴有f1( )=f1( a+(1- )b)= f1{ (x1,y1)+(1- )(x2,y2)}
= f1{ ( x1, y1)+ ((1- )x2, (1- )y2)}
= f1{ ( x1+(1- )x2, y1+(1- )y2)}
=[ x1- y1]+[(1- )x2-(1- )y2]+1
= ( x1-y1)+ (1- )( x2-y2)+1
= （x1+ y1+1）+ (1- )( x2+ y2+1.)
= f(a) + (1- ) f(b)
∴f3是具有性質(zhì)P的映射.
具有性質(zhì)P的映射的序號為______①③

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