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2012中考數學復習專用
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc292971436" 第一章：實數 1
HYPERLINK \l "_Toc292971437" 一、實數的分類： 1
HYPERLINK \l "_Toc292971438" 二、實數中的幾個概念 1
HYPERLINK \l "_Toc292971439" 三、實數與數軸 1
HYPERLINK \l "_Toc292971440" 五、實數的運算 1
HYPERLINK \l "_Toc292971441" 六、有效數字和科學記數法 2
HYPERLINK \l "_Toc292971442" 第二章：代數式 2
HYPERLINK \l "_Toc292971443" 一、代數式 2
HYPERLINK \l "_Toc292971444" 二、整式的有關概念及運算 2
HYPERLINK \l "_Toc292971445" 三、因式分解 3
HYPERLINK \l "_Toc292971446" 四、分式 3
HYPERLINK \l "_Toc292971447" 五、二次根式 4
HYPERLINK \l "_Toc292971448" 第三章：方程和方程組 4
HYPERLINK \l "_Toc292971449" 一、方程有關概念 4
HYPERLINK \l "_Toc292971450" 二、一元方程 4
HYPERLINK \l "_Toc292971451" 三、分式方程 5
HYPERLINK \l "_Toc292971452" 四、方程組 5
HYPERLINK \l "_Toc292971453" 第四章：列方程（組）解應用題 5
HYPERLINK \l "_Toc292971454" 一、列方程（組）解應用題的一般步驟 6
HYPERLINK \l "_Toc292971455" 二、列方程（組）解應用題常見類型題及其等量關系； 6
HYPERLINK \l "_Toc292971456" 三、列方程解應用題的常用方法 6
HYPERLINK \l "_Toc292971457" 第五章：不等式及不等式組 6
HYPERLINK \l "_Toc292971458" 一、不等式與不等式的性質 6
HYPERLINK \l "_Toc292971459" 二、不等式（組）的解、解集、解不等式 7
HYPERLINK \l "_Toc292971460" 三、不等式（組）的類型及解法 7
HYPERLINK \l "_Toc292971461" 第六章：函數及其圖像 7
HYPERLINK \l "_Toc292971462" 一、平面直角坐標系 7
HYPERLINK \l "_Toc292971463" 二、函數的概念 7
HYPERLINK \l "_Toc292971464" 三、幾種特殊的函數 8
HYPERLINK \l "_Toc292971465" 第七章：統計初步 9
HYPERLINK \l "_Toc292971466" 一、總體和樣本： 9
HYPERLINK \l "_Toc292971467" 二、反映數據集中趨勢的特征數 9
HYPERLINK \l "_Toc292971468" 三、反映數據波動大小的特征數： 9
HYPERLINK \l "_Toc292971469" 四、頻率分布 10
HYPERLINK \l "_Toc292971470" 第八章：相交線與平行線 10
HYPERLINK \l "_Toc292971471" 第九章：三角形 11
HYPERLINK \l "_Toc292971472" 一、三角形 11
HYPERLINK \l "_Toc292971473" （1）、知識框架 11
HYPERLINK \l "_Toc292971474" 二、 全等三角形 12
HYPERLINK \l "_Toc292971475" 三、對稱 13
HYPERLINK \l "_Toc292971476" 四、 旋轉 13
HYPERLINK \l "_Toc292971477" 五、勾股定理 14
HYPERLINK \l "_Toc292971478" 六、 相似 14
HYPERLINK \l "_Toc292971479" 七、銳角三角函數 15
HYPERLINK \l "_Toc292971480" 第十章：四邊形 16
HYPERLINK \l "_Toc292971481" 第十一章：圓 18
第一章：實數
一、實數的分類：
1、有理數：任何一個有理數總可以寫成的形式，其中p、q是互質的整數，這是有理數的重要特征。
2、無理數：初中遇到的無理數有三種：開不盡的方根，如、；特定結構的不限環無限小數，如1.101001000100001……；特定意義的數，如π、°等。
3、判斷一個實數的數性不能僅憑表面上的感覺，往往要經過整理化簡后才下結論。
二、實數中的幾個概念
1、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。
（1）實數a的相反數是 -a；
（2）a和b互為相反數a+b=0
2、倒數：（1）實數a（a≠0）的倒數是；（2）a和b 互為倒數；（3）注意0沒有倒數
3、絕對值：（1）一個數a 的絕對值有以下三種情況：
（2）實數的絕對值是一個非負數,從數軸上看,一個實數的絕對值,就是數軸上表示這個數的點到原點的距離
（3）去掉絕對值符號（化簡）必須要對絕對值符號里面的實數進行數性（正、負）確認,再去掉絕對值符號
4、n次方根
（1）平方根，算術平方根：設a≥0，稱叫a的平方根，叫a的算術平方根。
（2）正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。
（3）立方根：叫實數a的立方根。
（4）一個正數有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數有一個負的立方根。
三、實數與數軸
1、數軸：規定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數軸。原點、正方向、單位長度是數軸的三要素。
2、數軸上的點和實數的對應關系：數軸上的每一個點都表示一個實數，而每一個實數都可以用數軸上的唯一的點來表示。實數和數軸上的點是一一對應的關系。
四、實數大小的比較
1、在數軸上表示兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
2、正數大于0；負數小于0；正數大于一切負數；兩個負數絕對值大的反而小。
五、實數的運算
1、加法：（1）同號兩數相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；
（2）異號兩數相加,取絕對值大的加數的符號,用較大的絕對值減去較小的絕對值.可用加法交換律、結合律
2、減法：減去一個數等于加上這個數的相反數。
3、乘法：（1）兩數相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。
（2）n個實數相乘，有一個因數為0，積就為0；若n個非0的實數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數為奇數個時，積為負。
（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。
4、除法：（1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。
（2）除以一個數等于乘以這個數的倒數。
（3）0除以任何數都等于0，0不能做被除數。
5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。
6、實數的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。
六、有效數字和科學記數法
1、科學記數法：設N＞0，則N= a×（其中1≤a＜10，n為整數）。
2、有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0的數，到精確到的數位為止，所有的數字，叫做這個數的有效數字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個有效數字。
第二章：代數式
一、代數式
1、代數式：用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫代數式。單獨一個數或者一個字母也是代數式。
2、代數式的值：用數值代替代數里的字母，計算后得到的結果叫做代數式的值。
3、代數式的分類：
二、整式的有關概念及運算
1、概念
（1）單項式：像x、7、，這種數與字母的積叫做單項式。單獨一個數或字母也是單項式。
單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數叫做這個單項式的次數。
單項式的系數：單項式中的數字因數叫單項式的系數。
（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。
多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。
多項式的次數:多項式里，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。不含字母的項叫常數項。
升（降）冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從小（大）到大（小）的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升（降）冪排列。
（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。
2、運算
（1）整式的加減：
合并同類項：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母及字母的指數不變。
去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變；括號前面是“–”號，把括號和它前面的“–”號去掉，括號里的各項都變號。
添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是“–”號，括到括號里的各項都變號。
整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類項。
（2）整式的乘除：
冪的運算法則：其中m、n都是正整數
同底數冪相乘：；同底數冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。
單項式乘以單項式：用它們系數的積作為積的系數，對于相同的字母，用它們的指數的和作為這個字母的指數；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。
單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
單項除單項式：把系數，同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數作為商的一個因式。
多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。
乘法公式：
平方差公式：；
完全平方公式：，
三、因式分解
1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。
2、常用的因式分解方法：
（1）提取公因式法：
（2）運用公式法：
平方差公式：；
完全平方公式：
（3）十字相乘法：
（4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。
（5）運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：
3、因式分解的一般步驟：
（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；
（3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考慮用分組分解法。
四、分式
1、分式定義：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。
（1）分式無意義：B=0時，分式無意義； B≠0時，分式有意義。
（2）分式的值為0：A=0，B≠0時，分式的值等于0。
（3）分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。
（4）最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分式運算的最終結果若是分式，一定要化為最簡分式。
（5）通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做分式的通分。
（6）最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。
（7）有理式：整式和分式統稱有理式。
2、分式的基本性質：
（1）；（2）
（3）分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。
3、分式的運算：
（1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。
（2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除：除以一個分式等于乘上它的倒數式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。
五、二次根式
1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。
（1）最簡二次根式：被開方數的因數是整數，因式是整式，被開方數中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。
（2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式。
（3）分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。
（4）有理化因式：把兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式（常用的有理化因式有：與；與）
2、二次根式的性質：
（1） ； （2）；
（3）（a≥0，b≥0）；（4）
3、運算：
（1）二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。
（2）二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）。
（3）二次根式的除法：
二次根式運算的最終結果如果是根式，要化成最簡二次根式。
第三章：方程和方程組
一、方程有關概念
1、方程：含有未知數的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫方程的解，含有一個未知數的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程變形時，產生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的標準形式：ax+b=0（其中x是未知數，a、b是已知數，a≠0）
（2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數，a、b是已知數，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項和系數化為1。
（4）一元一次方程有唯一的一個解。
2、一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知數，a、b、c是已知數，a≠0）
（2）一元二次方程的解法： 直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法
（3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判別式：
當Δ＞0時方程有兩個不相等的實數根；
當Δ=0時方程有兩個相等的實數根；
當Δ< 0時方程沒有實數根，無解；
當Δ≥0時方程有兩個實數根
（5）一元二次方程根與系數的關系：
若是一元二次方程的兩個根，那么：，
（6）以兩個數為根的一元二次方程（二次項系數為1）是：
三、分式方程
（1）定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。
特殊方法：換元法。
（3）檢驗方法：一般把求得的未知數的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數的值代入原方程檢驗。
四、方程組
1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。
2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組
3、一次方程組：
（1）二元一次方程組：
一般形式：（不全為0）
解法：代入消遠法和加減消元法
解的個數：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數的解。
（2）三元一次方程組：
解法：代入消元法和加減消元法
4、二元二次方程組：
（1）定義：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組以及由兩個二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。
（2）解法：消元，轉化為解一元二次方程，或者降次，轉化為二元一次方程組。
第四章：列方程（組）解應用題
一、列方程（組）解應用題的一般步驟
1、審題：
2、設未知數；
3、找出相等關系，列方程（組）；
4、解方程（組）；
5、檢驗，作答；
二、列方程（組）解應用題常見類型題及其等量關系；
1、工程問題
（1）基本工作量的關系：工作量=工作效率×工作時間
（2）常見的等量關系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量
（3）注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題
2、行程問題
（1）基本量之間的關系：路程=速度×時間
（2）常見等量關系：
相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及問題（設甲速度快）：
同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程–乙走的路程=原來甲、乙相距路程
同地不同時：甲的時間=乙的時間–時間差；甲的路程=乙的路程
3、水中航行問題：
順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；[]
逆流速度=船在靜水中的速度–水流速度
4、增長率問題：
常見等量關系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量×（1+增長率）；
5、數字問題：
基本量之間的關系：三位數=個位上的數+十位上的數×10+百位上的數×100
三、列方程解應用題的常用方法
1、譯式法：就是將題目中的關鍵性語言或數量及各數量間的關系譯成代數式，然后根據代數之間的內在聯系找出等量關系。
2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應用題中的數量關系，然后根據線段長度的內在聯系，找出等量關系。
3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關系。
4、圖示法：就是利用圖表示題中的數量關系，它可以使量與量之間的關系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。
第五章：不等式及不等式組
一、不等式與不等式的性質
1、不等式：表示不等關系的式子。（表示不等關系的常用符號：≠，＜，＞）。
2、不等式的性質：
（l）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數，不等號方向不改變，如a＞ b, c為實數a＋c＞b＋c
（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號方向不變，如a＞b， c＞0ac＞bc。
（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號方向改變，如a＞b，c＜0ac＜bc.
注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個實數時，一定要養成好的習慣、就是先確定該數的數性（正數，零，負數）再確定不等號方向是否改變，不能像應用等式的性質那樣隨便，以防出錯。
3、任意兩個實數a，b的大小關系（三種）：
（1）a – b ＞0 a＞b
（2）a – b=0a=b
（3）a–b＜0a＜b
4、（1）a＞b＞0
（2）a＞b＞0
二、不等式（組）的解、解集、解不等式
1、能使一個不等式（組）成立的未知數的一個值叫做這個不等式（組）的一個解。
不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。
不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。
2．求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。
三、不等式（組）的類型及解法
1、一元一次不等式：
（l）概念：含有一個未知數并且含未知數的項的次數是一次的不等式，叫做一元一次不等式。
（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當不等式的兩邊同乘以（或除以）一個負數時，不等號方向要改變。
2、一元一次不等式組：
（l）概念：含有相同未知數的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。
（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。
注：求不等式組的解集一般借助數軸求解較方便。
第六章：函數及其圖像
一、平面直角坐標系
1、平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸，構成平面直角坐標系。在平面直角坐標系內的點和有序實數對之間建立了—一對應的關系。
2、不同位置點的坐標的特征：
（1）各象限內點的坐標有如下特征：
點P（x, y）在第一象限x ＞0，y＞0； 點P（x, y）在第二象限x＜0，y＞0；
點P（x, y）在第三象限x＜0，y＜0； 點P（x, y）在第四象限x＞0，y＜0。
（2）坐標軸上的點有如下特征：
點P（x, y）在x軸上y為0，x為任意實數。 點P（x，y）在y軸上x為0，y為任意實數。
3．點P（x, y）坐標的幾何意義：
（1）點P（x, y）到x軸的距離是| y |；
（2）點P（x, y）到y袖的距離是| x |；
（3）點P（x, y）到原點的距離是
4．關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征：
（1）點P（a, b）關于x軸的對稱點是；
（2）點P（a, b）關于x軸的對稱點是；
（3）點P（a, b）關于原點的對稱點是；
二、函數的概念
1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數值的量叫做變量；保持數值不變的量叫做常量。
2、函數：一般地，設在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。
（1）自變量取值范圍的確是：
①解析式是只含有一個自變量的整式的函數，自變量取值范圍是全體實數。
②解析式是只含有一個自變量的分式的函數，自變量取值范圍是使分母不為0的實數。
③解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數，自變量取值范圍是使被開方數非負的實數。
注意：在確定函數中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問題，還必須使實際問題有意義。
（2）函數值：給自變量在取值范圍內的一個值所求得的函數的對應值。
（3）函數的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法
（4）由函數的解析式作函數的圖像，一般步驟是：①列表；②描點；③連線
三、幾種特殊的函數
1、一次函數
直線位置與k，b的關系：
（1）k＞0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角；
（2）k＜0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角；
（3）b＞0直線與y軸交點在x軸的上方；
（4）b＝0直線過原點；
（5）b＜0直線與y軸交點在x軸的下方；
2、二次函數
拋物線位置與a，b，c的關系：
（1）a決定拋物線的開口方向
（2）c決定拋物線與y軸交點的位置：
c>0圖像與y軸交點在x軸上方；c=0圖像過原點；c<0圖像與y軸交點在x軸下方；
（3）a，b決定拋物線對稱軸的位置：a，b同號，對稱軸在y軸左側；b＝0，對稱軸是y軸； a，b異號。對稱軸在y軸右側；
3、反比例函數：
4、正比例函數與反比例函數的對照表：
第七章：統計初步
一、總體和樣本：
在統計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做樣本容量。
二、反映數據集中趨勢的特征數
1、平均數
（1）的平均數，
（2）加權平均數：如果n個數據中，出現次，出現次，……，出現次（這里），則
（3）平均數的簡化計算：
當一組數據中各數據的數值較大，并且都與常數a接近時，設的平均數為則：。
2、中位數：將一組數據接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數據叫做這組數據的中位數，如果數據的個數為偶數中位數就是處在中間位置上兩個數據的平均數。
3、眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。一組數據的眾數可能不止一個。
三、反映數據波動大小的特征數：
1、方差：
（l）的方差，
（2）簡化計算公式：（為較小整數時用這個公式要比較方便
（3）記的方差為，設a為常數，的方差為，則=。
注：當各數據較大而常數a較接近時，用該法計算方差較簡便。
2、標準差：方差（）的算術平方根叫做標準差（S）。
注：通常由方差求標準差。
四、頻率分布
1、有關概念
（1）分組：將一組數據按照統一的標準分成若干組稱為分組，當數據在100個以內時，通常分成5－12組。
（2）頻數：每個小組內的數據的個數叫做該組的頻數。各個小組的頻數之和等于數據總數n。
（3）頻率：每個小組的頻數與數據總數n的比值叫做這一小組的頻率，各小組頻率之和為l。
（4）頻率分布表：將一組數據的分組及各組相應的頻數、頻率所列成的表格叫做頻率分布表。
（5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結果，繪制成的，以數據的各分點為橫坐標，以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，叫做頻率分布直方圖。
圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。
每個小長方形的面積等于該組的頻率。
所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于1。
樣本的頻率分布反映樣本中各數據的個數分別占樣本容量n的比例的大小，總體分布反映總體中各組數據的個數分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布。
2、研究頻率分布的方法；得到一數據的頻率分布和方法，通常是先整理數據，后畫出頻率分布直方圖，其步驟是：（1）計算最大值與最小值的差；（2）決定組距與組數；（3）決定分點；（4）列領率分布表； （5）繪頻率分布直方圖。
第八章：相交線與平行線
一、知識框架
二、知識概念
1.鄰補角：兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。
2.對頂角：一個角的兩邊分別是另一個叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。
3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
4.平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
5.同位角、內錯角、同旁內角：
同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關系的一對角叫做同位角。
內錯角：∠2與∠6像這樣的一對角叫做內錯角。
同旁內角：∠2與∠5像這樣的一對角叫做同旁內角。
6.命題：判斷一件事情的語句叫命題。
7.平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動
叫做平移平移變換，簡稱平移。
8.對應點：平移后得到的新圖形中每一點,都是由原圖形中的某一點移動后得到的,這樣的兩個點叫做對應點
9.定理 ① 過兩點有且只有一條直線
②兩點之間線段最短
③ 同角或等角的補角相等
④ 同角或等角的余角相等
⑤對頂角的性質：對頂角相等。
10垂線的性質： 性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
11.平行公理： 經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。
平行公理的推論： 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
12.平行線的性質： 性質1：兩直線平行，同位角相等。
性質2：兩直線平行，內錯角相等。
性質3：兩直線平行，同旁內角互補。
13.平行線的判定： 判定1：同位角相等，兩直線平行。
判定2：內錯角相等，兩直線平行。
判定3：同旁內角相等，兩直線平行。
14 和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線
15 到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線
16 到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線
第九章：三角形
一、三角形
（1）、知識框架
（2）、知識概念
1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。
3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。
4.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。
5.角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。
6.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。
6.多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
7.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。
8.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
9.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
10.正多邊形：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
11.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。
12.公式與性質：三角形的內角和：三角形的內角和為180°
13.三角形外角的性質：
性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。
性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
14.多邊形內角和公式：n邊形的內角和等于（n-2）·180°
15.多邊形的外角和：多邊形的內角和為360°。
16.多邊形對角線的條數：
（1）從n邊形的一個頂點出發可以引（n-3）條對角線，把多邊形分詞（n-2）個三角形。
（2）n邊形共有條對角線。
17定理 ①三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于 180°
②推論 1 直角三角形的兩個銳角互余
③推論 2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和
④推論 3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角
二、 全等三角形
（1）、知識框架
（2）、知識概念
1.全等三角形： 兩個三角形的形狀、大小、都一樣時，其中一個可以經過平移、旋轉、對稱等運動（或稱變換）使之與另一個重合，這兩個三角形稱為全等三角形。
2．全等三角形的性質： 全等三角形的對應角相等、對應邊相等。
3.三角形全等的判定公理及推論有： （1）“邊角邊”簡稱“SAS”
（2）“角邊角”簡稱“ASA”
（3）“邊邊邊”簡稱“SSS”
（4）“角角邊”簡稱“AAS”
（5）斜邊和直角邊相等的兩直角三角形（HL）。
4.角平分線推論：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在叫的平分線上。
5.證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：
①、確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系），
②、回顧三角形判定，搞清我們還需要什么
③、正確地書寫證明格式(順序和對應關系從已知推導出要證明的問題).
三、對稱
（1）、知識框架
（2）、知識概念
1.對稱軸：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。
2.性質： （1）軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
（2）角平分線上的點到角兩邊距離相等。
（3）線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等。
（4）與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
（5）軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等。
（6）角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
（7）到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上
3.等腰三角形的性質：等腰三角形的兩個底角相等，（等邊對等角）
4.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡稱為“三線合一”。
5.等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）
6.等邊三角形角的特點：三個內角相等，等于60°，
7.等邊三角形的判定： 三個角都相等的三角形是等腰三角形。
有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形
有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。
8.直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。
9．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
10.定理 ①線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
②關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形
③線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
④兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上
⑤如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線
逆定理 若兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分則這兩個圖形關于這條直線對稱
四、 旋轉
一.知識框架
二．知識概念
1.旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。這個定點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉角。（圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變。）
2.旋轉對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角小于0°，大于360°）。
3．中心對稱圖形與中心對稱：
中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。
中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。
4.中心對稱的性質：
①關于中心對稱的兩個圖形是全等形。
②關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
③關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。
　 ④如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分,那么這兩個圖形關于這一點對稱
五、勾股定理　　　　　　　
（1）、.知識框架
（2）、知識概念
1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。
勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。
2.定理：經過證明被確認正確的命題叫做定理。
3.我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做 它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
六、 相似
（1）、知識框架
（2）、.知識概念：
1.平行線等分線段定理 若一組平行線在一條直線上截得的線段相等,則在其他直線上截得的線段也相等
推論 1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰
推論 2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊
2.三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半
3.梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 L= （ a+b ） ÷2 ，S=L×h
4.(1) 比例的基本性質 如果 a:b=c:d, 那么 ad=bc, 如果 ad=bc, 那么 a:b=c:d
(2) 合比性質 如果 a ／ b=c ／ d, 那么 (a±b) ／ b=(c±d) ／ d
(3) 等比性質 如果 a ／b=c ／d=…=m ／ n(b+d+…+n≠0), 那么 (a+c+…+m) ／ (b+d+…+n)=a ／ b
5. 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例
推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例
6.如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊
7..相似三角形：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。互為相似形的三角形叫做相似三角形
8.相似三角形的判定方法: 根據相似圖形的特征來判斷。（對應邊成比例，對應角相等）
　 .平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似；
　 .如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似；（ ASA ）
　 如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的夾角相等,那么這兩個三角形相似；（ SAS ）
　 如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似；（ SSS ）
9.直角三角形相似判定定理:
　.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。
　.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角
形也相似
10相似三角形的性質:
.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑
等）的比等于相似比。
　　相似三角形周長的比等于相似比。
　 .相似三角形面積的比等于相似比的平方。
七、銳角三角函數
（1）、知識框架
（2）、知識概念
1.Rt△ABC中
(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝
(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝
(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝
(4)∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作cota＝
2.特殊值的三角函數：
Sinα
Cosα
tanα 1
Cotα 1
3.任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值
4.任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值
第十章：四邊形
一．知識框架
二．知識概念
1.平行四邊形定義： 有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2.平行四邊形的性質：①平行四邊形的對邊相等②平行四邊形的對角相等。③平行四邊形的對角線互相平分。
3.平行四邊形的判定 .兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
　　 .兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
4. 推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
5.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形。
6.矩形的性質： ① 矩形的四個角都是直角；②矩形的對角線平分且相等。AC=BD
7矩形判定定理： .有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
.對角線相等的平行四邊形是矩形。
　　 .有三個角是直角的四邊形是矩形。
8菱形的定義 ：鄰邊相等的平行四邊形。
9.菱形的性質：①菱形的四條邊都相等；②菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。
10.菱形的判定定理：.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
　　 四條邊相等的四邊形是菱形。
11. 菱形面積 = 對角線乘積的一半，即 S= （ a×b ） ÷2
12.正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。
13.正方形的性質：①四條邊都相等，四個角都是直角。
②正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
③正方形既是矩形，又是菱形。
14.正方形判定定理： ①鄰邊相等的矩形是正方形。 ②有一個角是直角的菱形是正方形。
15.梯形的定義： 一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
16.直角梯形的定義：有一個角是直角的梯形
17.等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。
18.等腰梯形的性質：①等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；②等腰梯形的兩條對角線相等。
19.等腰梯形判定定理：①同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。②對角線相等的梯形是等腰梯形
20.定理 四邊形的內角和等于 360°
21.四邊形的外角和等于 360°
22.多邊形內角和定理 n 邊形的內角的和等于（ n-2 ） ×180°
23.推論 任意多邊的外角和等于 360°
第十一章：圓
一．知識框架
二．知識概念　　
1.圓：①平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心 ( http: / / baike. / view / 297302.htm )，定長稱為半徑 ( http: / / baike. / view / 54921.htm )。
②圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合
③圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合
④同圓或等圓的半徑相等
⑤到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓
2.圓弧 ( http: / / baike. / view / 793508.htm )和弦 ( http: / / baike. / view / 457671.htm )：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優弧 ( http: / / baike. / view / 795486.htm )，小于半圓的弧稱
為劣弧 ( http: / / baike. / view / 175076.htm )。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑 ( http: / / baike. / view / 79326.htm )。
3.圓心角 ( http: / / baike. / view / 36388.htm )和圓周角 ( http: / / baike. / view / 258644.htm )：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個
交點的角叫做圓周角。
4.不在同一直線上的三點確定一個圓
5.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
6.內心 ( http: / / baike. / view / 358574.htm )和外心 ( http: / / baike. / view / 358576.htm )：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形 ( http: / / baike. / view / 5670.htm )的外接圓 ( http: / / baike. / view / 562354.htm )，其圓心叫做三角形的外心。
和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓 ( http: / / baike. / view / 543421.htm )，其圓心稱為內心。
7.扇形 ( http: / / baike. / view / 353375.htm )：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。
8.圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐 ( http: / / baike. / view / 135981.htm )的母線 ( http: / / baike. / view / 613246.htm )。
9.圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），
①P在⊙O外，PO＞r
②P在⊙O上，PO＝r
③P在⊙O內，PO＜r。
10.直線與圓有3種位置關系：
①直線 L 和 ⊙ O 相交 d ＜ r
② 直線 L 和 ⊙ O 相切 d=r
③直線 L 和 ⊙ O 相離 d ＞ r
11.兩圓之間有5種位置關系：
① 兩圓外離 d ＞ R+r
② 兩圓外切 d=R+r
③ 兩圓相交 R-r ＜ d ＜ R+r(R ＞ r)
④ 兩圓內切 d=R-r(R ＞ r)
⑤ 兩圓內含 d ＜ R-r(R ＞ r)
12.切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
13.切線的性質：（1）經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
（2）經過切點垂直于切線的直線 必經過圓心。
（3）圓的切線垂直于經過切點的半徑。
（4）經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點
14.切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
15. 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
16.弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等
17.相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等
推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項
18 切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項
推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
19. 如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上
20.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
推論 ① 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
② 弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
③ 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
④ 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
21 圓弧定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
推論 1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
推論 2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角； 90° 的圓周角所對的弦是直徑
推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形
22 定理 圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角
23 定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
24 定理 把圓分成 n(n≥3):
⑴ 依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正 n 邊形
⑵ 經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正 n 邊形
25 定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓
26.圓的計算公式
1.圓的周長C=2πr=πd
2.圓的面積S=πr^2;
3.扇形弧長（R為圓的半徑，n是弧所對的圓心角的度數，為弧長）
4扇形面積：或（R為半徑，n是扇形所對的圓心角的度數為扇形的弧長
5.圓錐側面積S=πrl
6. 弓形面積
27 尺規作圖（基本作圖、利用基本圖形作三角形和圓）
作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角；作已知角的平分線；作線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線；

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