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中考數學試題中規律探究性問題的研究
湖北省潛江市老新鎮徐李中學 伍玉平
規律探究性問題的特點是問題的結論不是直接給出,而是通過對問題的觀察、分析、歸納、概況、演算、判斷等一系列的探究活動,才能得到問題的結論。這類問題,因其獨特的規律性和探究性,在考查學生分析問題、解決問題能力方面,具有很好的甄別功能,因此備受出題教師青睞。在近幾年全國各地的中考試題中,不僅頻頻出現,而且"花樣百出"。常見的類型有：（1）新定義型（2）數列規律型;（3）數式規律型；（4）圖形變化規律型;（5）點坐標變化規律型;（6）數形結合規律型;（7）閱讀理解型等等。下面筆者篩選了2011年中考試題，對這類問題中的七種類型進行探討。
一．新定義型
例1（2011福建莆田）已知函數，其中f(a)表示x=a時對應的函數值，如,，，，
則_ ．
分析：根據函數得，f（1）= ，f（2）= ，f（3）= …f（99）= ，f（100）=；容易得出答案為5151．
點評：本題考查了函數知識，能夠根據所給的函數式正確表示出對應的函數值，找到題目的規律是解答的關鍵．
a1，1 a1，2 a1，3 a1，4 a1，5
a2，1 a2，2 a2，3 a2，4 a2，5
a3，1 a3，2 a3，3 a3，4 a3，5
a4，1 a4，2 a4，3 a4，4 a4，5
a5，1 a5，2 a5，3 a5，4 a5，5
例2 （2011北京）在右表中，我們把第i行第j列的數記為ai，j（其中i，j都是不大于5的正整數），對于表中的每個數ai，j，規定如下：當i≥j時，ai，j=1；當i＜j時，ai，j=0．例如：當i=2，j=1時，ai，j=a2，1=1．按此規定，a1，3=　　；表中的25個數中，共有　　個1；計算a1，1 ai，1+
a1，2 ai，2+a1，3 ai，3+a1，4 ai，4+a1，5 ai，5的值為　　．
分析：由題意當i＜j時，ai，j=0．當i≥j時，ai，j=1；由圖表中可以很容易知道等于1的數有15個．
點評：本題考查了數字的變化，由題意當i＜j時，ai，j=0．當i≥j時，ai，j=1；仔細分析很簡單的問題．
歸納總結：新定義型問題是指在試題中給出一個同學從未接觸過的新概念，要求現學現用，主要考查學生的閱讀理解能力，應變能力和創新能力。解這類試題的關鍵是：正確理解新定義，并將此定義作為解題的依據，同時熟練掌握教學中的基本概念和基本的性質。
二．數列規律型
例3 （2011云南保山）下面是按一定規律排列的一列數：那么第n個數是___________．
分析：根據題意，首先從各個數開始分析，n=1時，分子：2=（﹣1）2 21，分母：3=2×1+1；n=2時，分子：﹣4=（﹣1）3 22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n個數為
點評：本題主要考查通過分析數的變化總結歸納規律，解題的關鍵在于求出分子、分母與n的關系．
例4. （2011鹽城）將1、、、按右側方式排列．若規定（m，n）表示第m排從左向右第n個數，則（5，4）與（15，7）表示的兩數之積是　 ．
分析：根據數的排列方法可知，第一排：1個數，第二排2個數．第三排3個數，第四排4個數，…第m－1排有（m－1）個數，從第一排到（m－1）排共有：1+2+3+4+…+（m－1）個數，根據數的排列方法，每四個數一個輪回，根據題目意思找出第m排第n個數到底是哪個數后再計算．
點評：此題主要考查了數字的變化規律，這類題型在中考中經常出現．對于找規律的題目找準變化規律是關鍵．
歸納總結：數列規律型問題是按一定的規律排列的數之間的相互關系或大小變化規律的問題，主要是通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結論，以列代數式為主要內容。
三．數式規律型
例5（2011湖南益陽）觀察下列算式：
①1×3﹣22=3﹣4=﹣1
②2×4﹣32=8﹣9=﹣1
③3×5﹣42=15﹣16=﹣1
④　 　
…
（1）請你按以上規律寫出第4個算式；
（2）把這個規律用含字母的式子表示出來；
（3）你認為（2）中所寫出的式子一定成立嗎？并說明理由．
分析：（1）根據①②③的算式中，變與不變的部分，找出規律，寫出新的算式；（2）將（1）中，發現的規律，由特殊到一般，得出結論；（3）一定成立．利用整式的混合運算方法加以證明。
點評：本題考查了整式的混合運算的運用．關鍵是由特殊到一般，得出一般規律，運用整式的運算進行檢驗．
例6（2011廣東湛江）若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×4×3=360，…，觀察前面計算過程，尋找計算規律計算A73= ___________,（直接寫出計算結果），并比較A103________A104（填“＞”或“＜”或“=”）
分析：對于Aab（b＜a）來講，等于一個乘法算式，其中最大因數是a，依次少1，最小因數是a-b．依此計算即可．答案為：210；＜
點評：本題注意找到Aab（b＜a）中的最大因數，最小因數．
歸納總結：通常給定一些代數式，等式或者不等式，猜想其中蘊含的規律，一般解法是先寫出代數式的基本結構，然后通過橫比（比較同一等式中的不同數量關系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數量關系），找出各部分的特征，寫出符合條件的格式。
四．圖形變化規律型
例7（2011 德州）圖1是一個邊長為1的等邊三角形和一個菱形的組合圖形，菱形邊長為等邊三角形邊長的一半，以此為基本單位，可以拼成一個形狀相同但尺寸更大的圖形（如圖2），依此規律繼續拼下去（如圖3），…，則第n個圖形的周長是（　　）
A、2n B、4n C、2n+1 D、2n+2
分析：從圖1到圖3，周長分別為4，8，16，由此即可得到通式，利用通式即可求解。答案為：C
點評：本題考查了圖形的變化規律，屬于中等題目，在解答本題時，需要先進行歸納推理，由特殊到一般的推理，然后得出一般性的結論即可．
例8（2011廣東肇慶）如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數是 　．
分析：第1個圖形是2×3﹣3，第2個圖形是3×4﹣4，第3個圖形是4×5﹣5，按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．
點評：首先計算幾個特殊圖形，發現：數出每邊上的個數，乘以邊數，但各個頂點的重復了一次，應再減去．
歸納總結：圖形變化型問題主要是觀察圖形變化過程中的特點，分析其聯系和區別，用相應的算式由特殊到一般描述其中的規律。這需要有敏銳的觀察能力和計算能力。
五．點坐標變化規律型
例9（2011江蘇鎮江常州）在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點分別為A（1，1）．B（1，﹣1）．C（﹣1，﹣1）．D（﹣1，1），y軸上有一點P（0，2）．作點P關于點A的對稱點P1，作P1關于點B的對稱點P2，作點P2關于點C的對稱點P3，作P3關于點D的對稱點P4，作點P4關于點A的對稱點P5，作P5關于點B的對稱點P6┅，按如此操作下去，則點P2011的坐標為（　　）
A．（0，2） B．（2，0）
C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
分析：根據正方形的性質以及坐標變化得出對應點的坐標，再利用變化規律得出點P2011的坐標與P3坐標相同，即可得出答案D．
點評：此題主要考查了坐標與圖形的變化以及正方形的性質，根據圖形的變化得出點P2011的坐標與P3坐標相同是解決問題的關鍵．
例10（2011 賀州）如圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點（1，1），第2次接著運動到點（2，0），第3次接著運動到點（3，2），…，按這樣的運動規律，經過第2011次運動后，動點P的坐標是　 　．
分析：根據已知提供的數據從橫縱坐標分別分析得出橫坐標為運動次數，縱坐標為1，0，2，0，每4次一輪這一規律，進而求出即可．答案為：（2011,2）
點評：解決此題的關鍵是從點的變化中發現橫坐標、縱坐標的變化規律。
歸納總結：此類題型主要考查了點的坐標規律，培養學生觀察和歸納能力，從所給的數據和圖形中尋求規律進行解題是解答本題的關鍵．
六．數形結合規律型
例11 （2011四川廣安）如圖所示，直線OP經過點
P(4, )，過x軸上的點l、3、5、7、9、11……分別
作x軸的垂線，與直線OP相交得到一組梯形其陰影部
分梯形的面積從左至右依次記為S1、S2、S3……Sn，則
Sn關于n的函數關系式是______．
分析：先求出直線op解析式為：y=經觀察可知每個小梯形的高一定為2，面積為Sn的梯形上底所在直線為x=4n-3，上底長為，下底所在直線為x=4n-1，上底長為，故梯形的面積Sn=(8n－4)
點評：運用待定系數法可以確定一次函數的解析式，根據函數解析式，已知自變量的值可求得函數的值，從而可以確定每個梯形的上底與下底的長，根據梯形的面積公式可計算出每個梯形的面積，由此發現規律，根據規律可得Sn關于n的函數關系式．
例12 （2011 恩施州）2002年在北京召開的世界數學大會會標圖案是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間的陰影部分是一個小正方形的“趙爽弦圖”．若這四個全等的直角三角形有一個角為30°，頂點B1、B2、B3、…、Bn和C1、C2、C3、…、Cn分別在直線y=-x++1和x軸上，則第n個陰影正方形的面積為　 ．
分析：根據陰影正方形的邊長與大正方形邊長有個對應關系，因為B1在直線上，所以可以求出t，這個t是正方形邊長，如果B1N1=a，那么大正方形邊長為2a，陰影正方形邊長為（﹣1）a，可以得出是一系列的相似多邊形，相似比為2：3，即可得出第n個陰影正方形的面積．答案為：2×（）n
點評：此題主要考查了勾股定理以及正方形的性質和一次函數的綜合應用，得出相似多邊形，相似比為2：3，進而得出正方形面積是解決問題的關鍵．
歸納總結：直角坐標系中的規律探究問題，體現了“數”與“形”的完美結合，展示了數學“美”， 這類問題主要考查學生綜合運用代數知識和幾何知識的能力，解決這類問題要求學生不僅要有很好的“數感”，還要有很強的“圖形”意識。
七．閱讀理解型
例13我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.如
圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩
數之和，它給出了（n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序
排列）的系數規律.例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應
展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應
著 EMBED Equation.DSMT4 展開式中的系數等等.
（1）根據上面的規律，寫出的展開式.
（2）利用上面的規律計算：
分析：（1）由（a＋b）＝a＋b，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得 的各項展開式的系數除首尾兩項都是1外，其余各項系數都等于（a＋b）n－1的相鄰兩個系數的和，由此可得（a＋b）4的各項系數依次為1、4、6、4、1；因此（a＋b）5的各項系數依次為1、5、10、10、5、1．
（2）將25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1寫成“楊輝三角”的展開式形式，逆推可得結果為1．
點評：本題考查了完全平方公式，學生的觀察分析邏輯推理能力，讀懂題
意并根據所給的式子尋找規律，是快速解題的關鍵．
例14（2011廣西）相傳古印度一座梵塔圣殿中，鑄有一片巨大的黃銅板，之上樹立了三米高的寶石柱，其中一根寶石柱上插有中心有孔的64枚大小兩兩相異的一寸厚的金盤，小盤壓著較大的盤子，如圖，把這些金盤全部一個一個地從1柱移到3柱上去，移動過程不許以大盤壓小盤，不得把盤子放到柱子之外．移動之日，喜馬拉雅山將變成一座金山．設h（n）是把n個盤子從1柱移到3柱過程中移動盤子之最少次數
n=1時，h（1）=1；
n=2時，小盤→2柱，大盤→3柱，小柱從2柱→3柱，完成．即h（2）=3；
n=3時，小盤→3柱，中盤→2柱，小柱從3柱→2柱．[即用h（2）種方法把中．小兩盤移到2柱，大盤3柱；再用h（2）種方法把中．小兩盤從2柱3柱，完成；
我們沒有時間去移64個盤子，但你可由以上移動過程的規律，計算n=6時，
h（6）=（　　）
A．11 B．31 C．63 D．127
分析：根據移動方法與規律發現，隨著盤子數目的增多，都是分兩個階段移動，用盤子數目減1的移動次數都移動到2柱，然后把最大的盤子移動到3柱，再用同樣的次數從2柱移動到3柱，從而完成，然后根據移動次數的數據找出總的規律求解即可。答案：選C
點評：本題考查了圖形變化的規律問題，根據題目信息，得出移動次數分成兩段計數，利用盤子少一個時的移動次數移動到2柱，把最大的盤子移動到3柱，然后再用同樣的次數從2柱移動到3柱，從而完成移動過程是解題的關鍵，本題對閱讀并理解題目信息的能力要求比較高．
歸納總結：這類題型主要考查學生自學能力和閱讀能力、知識遷移能力、加工和利用信息的能力。要求學生運用范例形成科學的思維方式和思維策略或歸納與類比作出合理的判斷和推理，找出規律，進而解決問題。
規律探究性試題是考查學生綜合分析能力，歸納總結能力，發散性思維和創造性思維能力的中考熱點新題型。雖然分值不多，但涉及的知識面和思想方法卻很廣，學生遇到這類題目常感到眼花繚亂，無從下手，易產生畏懼心理。所以我們在進行專題復習時要加強這方面的力度。
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
…………………………（a+b）1
…………………………（a+b）2
…………………………（a+b）3
……………………

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