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初三數學各章節重要知識點概要
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第21章 二次根式
1．二次根式：一般地，式子叫做二次根式.
注意：（1）若這個條件不成立，則 不是二次根式；
（2）是一個重要的非負數，即； ≥0.
2．重要公式：（1）,（2） ；
3．積的算術平方根：
積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積；
4．二次根式的乘法法則： .
5．二次根式比較大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系數移入二次根號內，然后比大小；
（3）分別平方，然后比大小.
6．商的算術平方根：，
商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根.
7．二次根式的除法法則：
（1）；（2）；
（3）分母有理化的方法是：分式的分子與分母同乘分母的有理化因式，使分母變為整式.
8．最簡二次根式：
（1）滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，① 被開方數的因數是整數，因式是整式，② 被開方數中不含能開的盡的因數或因式；
（2）最簡二次根式中，被開方數不能含有小數、分數，字母因式次數低于2，且不含分母；
（3）化簡二次根式時，往往需要把被開方數先分解因數或分解因式；
（4）二次根式計算的最后結果必須化為最簡二次根式.
10．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.
12．二次根式的混合運算：
（1）二次根式的混合運算包括加、減、乘、除、乘方、開方六種代數運算，以前學過的，在有理數范圍內的一切公式和運算律在二次根式的混合運算中都適用；
（2）二次根式的運算一般要先把二次根式進行適當化簡，例如：化為同類二次根式才能合并；除法運算有時轉化為分母有理化或約分更為簡便；使用乘法公式等.
第22章 一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0時，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關問題時，多數習題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具體數，也可能是含待定字母或特定式子的代數式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四種解法要求靈活運用， 其中直接開平方法雖然簡單，但是適用范圍較小；公式法雖然適用范圍大，但計算較繁，易發生計算錯誤；因式分解法適用范圍較大，且計算簡便，是首選方法；配方法使用較少.
3. 一元二次方程根的判別式: 當ax2+bx+c=0 (a≠0)時，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判別式.請注意以下等價命題：
Δ＞0 <=> 有兩個不等的實根； Δ=0 <=> 有兩個相等的實根；Δ＜0 <=> 無實根；
4．平均增長率問題--------應用題的類型題之一 （設增長率為x）：
(1) 第一年為 a , 第二年為a(1+x) , 第三年為a(1+x)2.
（2）常利用以下相等關系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=總和.
第23章 旋轉
1、概念：
把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角．
旋轉三要素：旋轉中心、旋轉方面、旋轉角
2、旋轉的性質：
旋轉前后的兩個圖形是全等形；
兩個對應點到旋轉中心的距離相等
兩個對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角
3、中心對稱：
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．
這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．
4、中心對稱的性質：
（1）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分．
（2）關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．
5、中心對稱圖形：
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
6、坐標系中的中心對稱
第24章 圓
1、（要求深刻理解、熟練運用）
1.垂徑定理及推論: 如圖：有五個元素，“知二可推三”；需記憶其中四個定理，即“垂徑定理”“中徑定理” “弧徑定理”“中垂定理”. 幾何表達式舉例：∵ CD過圓心∵CD⊥AB
3.“角、弦、弧、距”定理：（同圓或等圓中）“等角對等弦”； “等弦對等角”； “等角對等弧”； “等弧對等角”；“等弧對等弦”；“等弦對等(優，劣)弧”；“等弦對等弦心距”；“等弦心距對等弦”. 幾何表達式舉例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD（3）……………
4．圓周角定理及推論:（1）圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半；（2）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；(如圖)（3）“等弧對等角”“等角對等弧”；（4）“直徑對直角”“直角對直徑”；(如圖)（5）如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.(如圖)（1） （2）（3） （4） 幾何表達式舉例：（1） ∵∠ACB=∠AOB∴ ……………（2） ∵ AB是直徑∴ ∠ACB=90°（3） ∵ ∠ACB=90°∴ AB是直徑（4） ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC是RtΔ
5．圓內接四邊形性質定理:圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角. 幾何表達式舉例：∵ ABCD是圓內接四邊形∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°
6．切線的判定與性質定理:如圖：有三個元素，“知二可推一”；需記憶其中四個定理.（1）經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；（2）圓的切線垂直于經過切點的半徑； 幾何表達式舉例：（1） ∵OC是半徑∵OC⊥AB∴AB是切線（2） ∵OC是半徑∵AB是切線∴OC⊥AB
9．相交弦定理及其推論:（1）圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的乘積相等；（2）如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段長的比例中項.（1） （2） 幾何表達式舉例：（1） ∵PA·PB=PC·PD∴………（2） ∵AB是直徑∵PC⊥AB∴PC2=PA·PB
11．關于兩圓的性質定理:（1）相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；（2）如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上. （1） （2） 幾何表達式舉例：（1） ∵O1，O2是圓心∴O1O2垂直平分AB（2） ∵⊙1 、⊙2相切∴O1 、A、O2三點一線
12．正多邊形的有關計算:（1）中心角n ，半徑RN ， 邊心距rn ， 邊長an ，內角n ， 邊數n；（2）有關計算在RtΔAOC中進行. 公式舉例：(1) n =；(2)
二 定理：
1．不在一直線上的三個點確定一個圓.
2．任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
3．正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個全等的直角三角形.
三 公式：
1.有關的計算：
（1）圓的周長C=2πR；（2）弧長L=；（3）圓的面積S=πR2.
（4）扇形面積S扇形 =；
（5）弓形面積S弓形 =扇形面積SAOB±ΔAOB的面積.（如圖）
2.圓柱與圓錐的側面展開圖：
（1）圓柱的側面積：S圓柱側 =2πrh； (r:底面半徑；h:圓柱高)
（2）圓錐的側面積：S圓錐側 ==πrR. （L=2πr，R是圓錐母線長；r是底面半徑）
四 常識：
1． 圓是軸對稱和中心對稱圖形.
2． 圓心角的度數等于它所對弧的度數.
3． 三角形的外心 兩邊中垂線的交點 三角形的外接圓的圓心；
三角形的內心 兩內角平分線的交點 三角形的內切圓的圓心.
4． 直線與圓的位置關系：（其中d表示圓心到直線的距離；其中r表示圓的半徑）
直線與圓相交 d＜r ； 直線與圓相切 d=r ； 直線與圓相離 d＞r.
5． 圓與圓的位置關系：（其中d表示圓心到圓心的距離，其中R、r表示兩個圓的半徑且R≥r）
兩圓外離 d＞R+r； 兩圓外切 d=R+r； 兩圓相交 R-r＜d＜R+r；
兩圓內切 d=R-r； 兩圓內含 d＜R-r.
6．證直線與圓相切，常利用：“已知交點連半徑證垂直”和“不知交點作垂直證半徑” 的方法加輔助線.
第25章 概率
1、 必然事件、不可能事件、隨機事件的區別
2、概率
一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率（probability）, 記作P（A）= p.
注意：（1）概率是隨機事件發生的可能性的大小的數量反映.
（2）概率是事件在大量重復試驗中頻率逐漸穩定到的值，即可以用大量重復試驗中事件發生的頻率去估計得到事件發生的概率，但二者不能簡單地等同.
3、求概率的方法
（1）用列舉法求概率（列表法、畫樹形圖法）
（2）用頻率估計概率：一大面，可用大量重復試驗中事件發生頻率來估計事件發生的概率.另一方面,大量重復試驗中事件發生的頻率穩定在某個常數(事件發生的概率)附近，說明概率是個定值,而頻率隨不同試驗次數而有所不同,是概率的近似值,二者不能簡單地等同.
第26章 二次函數
1. 二次函數的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)
2. 關于二次函數的幾個概念：二次函數的圖象是拋物線，所以也叫拋物線y=ax2+bx+c；拋物線關于對稱軸對稱且以對稱軸為界，一半圖象上坡，另一半圖象下坡；其中c叫二次函數在y軸上的截距, 即二次函數圖象必過（0，c）點.
3. y=ax2 (a≠0)的特性：當y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0時二次函數為y=ax2 (a≠0);
這個二次函數是一個特殊的二次函數，有下列特性：
（1）圖象關于y軸對稱；（2）頂點（0，0）；
4．求二次函數的解析式：已知二次函數圖象上三點的坐標，可設解析式y=ax2+bx+c，并把這三點的坐標代入，解關于a、b、c的三元一次方程組，求出a、b、c的值, 從而求出解析式-------待定系數法.
5．二次函數的頂點式： y=a(x-h)2+k (a≠0)； 由頂點式可直接得出二次函數的頂點坐標（h, k），對稱軸方程 x=h 和函數的最值 y最值= k.
6．求二次函數的解析式：已知二次函數的頂點坐標（h,k）和圖象上的另一點的坐標，可設解析式為y=a(x -h)2+ k，再代入另一點的坐標求a，從而求出解析式.
7. 二次函數圖象的平行移動：二次函數一般應先化為頂點式，然后才好判斷圖象的平行移動；y=a(x-h)2+k的圖象平行移動時，改變的是h, k的值, a值不變，具體規律如下：
k值增大 <=> 圖象向上平移； k值減小 <=> 圖象向下平移；
（x-h）值增大 <=> 圖象向左平移； (x-h)值減小 <=> 圖象向右平移.
8. 二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象及幾個重要點的公式：
9. 二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c與Δ的符號與圖象的關系：
(1) a＞0 <=> 拋物線開口向上； a＜0 <=> 拋物線開口向下；
(2) c＞0 <=> 拋物線從原點上方通過； c=0 <=> 拋物線從原點通過；
c＜0 <=> 拋物線從原點下方通過；
(3) a, b異號 <=> 對稱軸在y軸的右側； a, b同號 <=> 對稱軸在y軸的左側；
b=0 <=> 對稱軸是y軸；
(4) b2－4ac＞0 <=> 拋物線與x軸有兩個交點；
b2－4ac =0 <=> 拋物線與x軸有一個交點（即相切）；
b2－4ac＜0 <=> 拋物線與x軸無交點.
10．二次函數圖象的對稱性：已知二次函數圖象上的點與對稱軸，可利用圖象的對稱性求出已知點的對稱點，這個對稱點也一定在圖象上.
第27章 相似形 （要求深刻理解、熟練運用）
1“平行出比例”定理及逆定理：（1）平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例； （1）（3） （2） 幾何表達式舉例：(1) ∵DE∥BC ∴(2) ∵DE∥BC ∴(3) ∵ ∴DE∥BC
2．比例的基本性質： a:b=c:d ad=bc ；
3．定理：“平行”出相似平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似. 幾何表達式舉例：∵DE∥BC∴ΔADE∽ΔABC
4．定理：“AA”出相似如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似. 幾何表達式舉例：∵∠A=∠A又∵∠AED=∠ACB∴ΔADE∽ΔABC
5．定理：“SAS”出相似如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似. 幾何表達式舉例：∵又∵∠A=∠A∴ΔADE∽ΔABC
6．“雙垂” 出相似及射影定理：（1）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似；（2）雙垂圖形中，兩條直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項，斜邊上的高是它分斜邊所成兩條線段的比例中項. 幾何表達式舉例：(1) ∵AC⊥CB又∵CD⊥AB∴ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC(2) ∵AC⊥CB CD⊥AB∴AC2=AD·ABBC2=BD·BADC2=DA·DB
7．相似三角形性質：（1）相似三角形對應角相等，對應邊成比例；（2）相似三角形對應高的比，對應中線的比，對應角平分線、周長的比都等于相似比；（3）相似三角形面積的比，等于相似比的平方.
(1) ∵ΔABC∽ΔEFG ∴∠BAC=∠FEG (2) ∵ΔABC∽ΔEFG 又∵AD、EH是對應中線∴ (3) ∵ΔABC∽ΔEFG∴
三 常識：
1．三角形中，作平行線構造相似形和已知中點構造中位線是常用輔助線.
2．相似形有傳遞性；即： ∵Δ1∽Δ2 Δ2∽Δ3 ∴Δ1∽Δ3
四、位似
1、位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，且每組對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．
2、掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個位似圖形的位似中心只有一個；③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的同一側；④位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似．
3、位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質，位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離等于位似比（相似比）．
4、利用位似，可以將一個圖形放大或縮小．作圖時要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關鍵點，如四邊形有四個關鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮小；④符合要求的圖形不惟一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關，并且同一個位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形．
第28章 解三角形
1.三角函數的定義：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么
sinA=； cosA=；tanA=； cotA=.
2．余角三角函數關系 ------ “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么：
sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB； cotA=tanB.
3. 同角三角函數關系：
sin2A+cos2A =1； tanA·cotA =1. tanA=
4. 函數的增減性：在銳角的條件下，正弦，正切函數隨角的增大，函數值增大；余弦，余切函數隨角的增大，函數值反而減小.
5．特殊角的三角函數值：如圖：這是兩個特殊的直角三角形，通過設k, 它可以推出特殊角的直角三角函數值，要熟練記憶它們.
∠A 30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA 1
cotA 1
6.解直角三角形：對于直角三角形中的五個元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少應該有一個是邊.
7．坡度： i = 1:m = h/l = tanα； 坡角: α. 8. 方位角：
9．仰角與俯角：
兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，
即點P（x，y）關于原點O的對稱點P′（-x，-y）．
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