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2012高考數學知識考點精析
第一講　集合的性質及其運算
1、研究集合問題，一定要抓住集合的代表元素，如：=,=,各不相同。
元素與集合的關系用“∈或”，集合與集合的關系用“，，，，”
2、任何一個集合是它本身的一個子集，即AA。規定空集是任何集合的子集，即A，。如果AB，且BA，則A＝B。如果AB且B中至少有一個元素不在A中，則A叫B的真子集，記作AB。空集是任何非空集合的真子集。
3、含n個元素的集合A的子集有2個，非空子集有2－1個，非空真子集有2－2個。
集合A有m個元素，集合B有n個元素，則從A到B的映射有個。
4、重要性質：（1）A∪A＝A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∪ ＝A， A∩＝ ，A∪＝U
（2）A∩BA，A∩BB，AA∪B，BA∪B，（3）（A∩B）＝（A）∪（B）
，（A∪B）＝（A）∩（B）（4）A∩B＝AAB，A∪B＝A BA
第二講映射與函數概念、函數的定義域和圖象
一、映射、函數的有關概念：
1、映射的定義：設A，B是兩個集合，如果按照某種對應關系f,對集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么，這樣的對應叫做集合A到集合B的映射，記作：f：A→B，
2、像與原像：如果給定一個集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a對應的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
3、映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一元素在集合B中都有像，（2）惟一性：集合A中的任一元素在集合B中的像只有一個，（3）方向性：從A到B的映射與從B到A的映射一般是不一樣的（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
4、函數：（1）定義（傳統）：如果在某變化過程中有兩個變量x,y并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函數，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數的定義域，和x的值對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。（2）函數的集合定義：設A，B都是非空的數的集合，f：x→y是從A到B的映射，那么，從A到B的f：A→B，叫做A到B的函數，y=f(x),其中x∈A,y∈B,原像集合A叫做函數f(x)的定義域，像集合C叫做函數f(x)的值域。像集合CB
5、構成函數的三要素：定義域，值域，對應法則。值域可由定義域唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時，值域一定相同，它們可以視為同一函數。
二、求函數定義域的方法
1、求函數定義域的常用方法有：（1）根據解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零等。（2）根據實際問題的要求確定自變量的范圍。（3）根據相關解析式的定義域來確定所求函數自變量的范圍。（4）復合函數的定義域：如果y是u的函數，而u是x的函數，即y=f(u),u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做函數f與g的復合函數，u叫做中間變量，設f(x)的定義域是x∈M,g(x) 的定義域是x∈N，求y=f[g(x)]的定義域時，則只需求滿足的x的集合。設y=f[g(x)]的定義域為P，則PN。
第三講函數的單調性、周期性、奇偶性、反函數
一、函數的單調性：
1、定義：對于給定區間D上的函數f(x)，若對于任意x,x∈D,當x f(x)，則稱f(x)是區間上的減函數。如果函數y= f(x)在區間上是增函數或減函數，就說函數y= f(x)在區間D上具有（嚴格的）單調性，區間D稱為函數f(x)的單調區間。　任意x,x∈D
2、函數單調性的證明方法：通常根據定義，其步驟是：1）任取x，x∈D，且x有時也根據導數。（注：逆命題不成立）
3、常見函數的單調性：
一次函數y=kx+b（k≠0）　1）當k>0時，f(x)在R上是增函數。2）當k<0時，f(x)在R上是減函數。
二次函數y=ax+bx+c 1）當a>o時，函數f(x)的圖象開口向上，在（－∞，－）上是減函數，在[－，＋∞）上是增函數，2) 當a<0時，函數f(x)的圖象開口向下，在（－∞，－）上是增函數，在[－，＋∞）是減函數。
反比例函數y= 1) 當k>0時，f(x)在（－∞，0）與（0，＋∞）上都是減函數，2) 當k<0時，f(x)在（－∞,0）與（0，＋∞）上都是增函數但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)沒有單調性。
對鉤函數：,增區間為，
減區間為圖象如右：
可采用導數法判斷。
（5）
（6）
（7）三角函數：
二、函數的奇偶性與周期性：
1、函數的奇偶性定義：對于函數f（x）的定義域內的每一個值x，都有f（-x）=f（x），那么稱f（x）為偶函數，如果對每一個值x都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數。
2、奇、偶函數的性質：（1）奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。（2）奇函數在關于原點的對稱區間上的單調性相同，偶函數在關于原點的對稱區間上的單調性相反。
（3）若奇函數有對稱軸x=a,則它有周期T=4a,偶函數有對稱軸x=a,則它有周期T=2a,
（4）若奇函數在x=0處有定義則f(0)=0
3、函數的奇、偶性類型：
（1）奇函數：如
（2）偶函數：如
（3）非奇非偶函數：如
（4）既是奇函數又是偶函數：僅有一類：在定義域關于原點的對稱區間上恒有f（x）=0.
4、定義：對于函數f（x）的定義域內的每個值x都有f（x+T）=f（x）（T0）,則稱f（x）為周期函數，T為它的一個周期。若T為f（x）的周期，則kT也是f（x）的周期，k為任一非0整數。
5、若滿足，那么是周期函數，一個周期是
T＝｜｜；
三、反函數：
1、定義：設式子y=f(x)表示y是x的函數，定義域為A，值域為C，從式子y=f(x)中解出x，得到式子x=(y),如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x=(y)就表示y是x的函數，這樣的函數，叫做y=f(x)的反函數，記作x=f(y),即x=(y)＝f(y)，一般對調x=f(y)中的字母x,y,把它改寫成y =f(x)
2、求反函數的步驟是：（1）將y=f(x)看成方程，解出x=f(y)（2）將x,y互換得y =f(x)
（3）寫出反函數的定義域，（可根據原函數的定義域或反函數的解析式確定）（4）分段函數的反函數可以分別求出各段函數的反函數再合成。
3、反函數的一些性質：（1）反函數的定義域和值域分別是原函數的值域和定義域，稱為互調性，（2）定義域上的單調函數必有反函數，且單調性相同（即函數與其反函數在各自的定義域上的單調性相同），對連續函數而言，只有單調函數才有反函數，但非連續的非單調函數也可能有反函數，（3）函數y=f(x)的圖象與其反函數y =f(x)的圖象關于直線y=x對稱，（4）函數y=f(x)的圖象與其反函數y =f(x)的圖象的交點，當它們是遞增時，交點在直線y=x上。當它們遞減時，交點可以不在直線y=x上，
如
第四講：函數圖象的對稱性與變換
兩個函數的圖象的對稱性：
1、y=f（x）與y=-f（x）關于x軸對稱。
2、y=f（x）與y=f（－x）關于y軸對稱。
3、 y=f（x）與y=－f（－x）關于原點對稱。
4、y=f（x）與y=f（x）關于直線y=x對稱,（或y=f（x）與x=f（y）關于直線y=x對稱）。
5、y=f（x）與y=f（2a－x）｛注：y=f（a+x）與y=f（a－x）關于直線x=0對稱｝關于直線x=a對稱。
6、y=f（x）與y=－f（2a－x）+2b關于點（a,b）對稱.
一個函數的圖象的對稱性：
1、關于直線x=a對稱時，f（x）=f（2a－x）或f（a－x）=f（a+x）,特例：a=0時，關于y軸對稱，此時 f（x）=f（－x）為偶函數。
2、y=f（x）關于（a,b）對稱時,f（x）=2b－f（2a－x），特別a=b=0時， f（x）=－f（－x），即f（x）關于原點對稱，f（x）為奇函數。
3、y=f（x）關于直線y=x+b對稱時,由上面知y=f（x）關于直線y=x+b對稱的函數的解析式是y=f（x+b）+b。它與y=f（x）應是同一函數，所以：f（x）＝f（x+b）+b。特別當b＝0時，f（x）＝f（x），即一個函數關于直線y=x對稱時，它的反函數就是它本身。
4、類似4有y=f（x）關于直線y=－x+b對稱時, f（x）＝b－f（b－x）。特別當b＝0時，f（x）＝－f（－x）, f（x）關于直線y=－x對稱.
5、若f(a+x)=f(b-x)，則f(x)的圖像關于直線對稱，
三：圖象平移與伸縮變換、翻折變換。
1、平移變換（向量平移法則）：y=f（x）按＝（h,k）平移得y=f（x－h）+k,即F（x,y）=0按＝（h,k）平移得F（x－h,y－k）=0,當m>0時,向右平移，m<0時,向左平移。當n>0時,向上平移，n<0時向下平移。對于“從y=f（x）到y=f（x－h）+k”是“左加右減，上加下減”，對于平移向量“＝（h,k）”是“左負右正，上正下負”。
2、伸縮變換：將y=f（x）的橫坐標變為原來的a倍，縱坐標變為原來的m倍，得到
即
3、翻折變換：（1）由y=f（x）得到y=|f（x）|，就是把y=f（x）的圖象在x軸下方的部分作關于x軸對稱的圖象，即把x軸下方的部分翻到x軸上方，而原來x軸上方的部分不變。
(2) 由y=f（x）得到y=f（|x|），就是把y=f（x）的圖象在y軸右邊的部分作關于y軸對稱的圖象，即把y軸右邊的部分翻到y軸的左邊，而原來y軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變。
第五講 指數函數、對數函數與冪函數
一、指數：
1、n次方根的定義：如果一個數的n次方a(n>1,n∈N)那么這個數叫做a的n次方根，即x=a,則x叫做a的n次方根(n>1,n∈N)。
2、n次方根的性質：（1）0的n次方根是0。即＝0(n>1,n∈N)，（2）＝a(n∈N)
(3)當n為奇數時，＝a, 當n為偶數時, ＝|a|
3、分數指數冪的定義：（1）
（2），（3）0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義。
二、指數函數：
1、定義：形如y=a（a>0,且a≠1）的函數叫做指數函數。
2、指數函數y=a（a>0,且a≠1）的圖象和性質：
　　　　a>1 0圖象
性質 （1） 定義域：R　　值域：　（0，＋∞）
（2） 都過點　（0,1）　（1，a）
（3）
（4） 在R上是增函數 在R上是減函數
三、對數
1、對數的定義：如果，那么b叫做以a為底N的對數，記做，由定義知負數和0沒有對數。通常以10為底的對數叫做常用對數，記做。以無理數e＝2.71828…為底的對數叫做自然對數。記做。
2、對數的運算性質：
3、對數的恒等式：
四、對數函數：
1、定義：形如y=logx (a>0,a≠1)的函數叫做對數函數。
2、對數函數的圖象與性質：
　　　　　　　　a>1 0圖象
性質 （1） 定義域：（0，＋∞），值域為R
（2） 過點（1,0）與（a,1）
（3） logx logx
（4） 在（0，＋∞）上是增函數 在（0，＋∞）上是減函數
3、對數函數y=logx (a>0,a≠1)與指數函數y=a (a>0,a≠1)互為反函數，它們的定義域與值域正好互換，它們的對應法則是互逆的，其圖象關于y=x對稱。
4、對數有關的大小比較：（1）類似指數函數分為四類： 1）同底且大于1，真數大的對數大。2）同底且小于1，真數大的對數小。　3）同真數且大于1，在x軸同側時，底大圖低，（這一點與指數函數相反）4）同真數且小于1，在x軸同側時，底大圖高。（2）基本思路：1）利用函數的單調性，2）作差或作商法，3）利用中間量。4）化同底或化同指數。5）放縮法。
五、冪函數
1、冪函數的定義
2、冪函數的圖象與性質
第六講函數與方程、零點與二分法
1、
2、
3、
第七講空間幾何體
棱柱、圓柱，棱錐、圓錐，棱臺、圓臺，球的概念與分類及性質。它們的表面積與體積的計算。
棱柱：(1)棱柱的概念：如果一個多面體有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線互相平行。這樣的多面體叫做棱柱。
(2)、棱柱的分類：1）按側棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱和直棱柱。側棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱。側棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱，2）按底面邊數的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形、、、、、、分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，、、、3)底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體，側棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體。底面為矩形的直平行六面體叫長方體，各棱長相等的長方體叫正方體。注正四棱柱一定是長方體，但長方體不一定是正四棱柱，直平行六面體一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面體。
(3)、棱柱的性質：1）棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等，直棱柱的各個側面都是矩形，正棱柱的各個側面都是全等的矩形。2）與底面平行的截面是與底面對應邊互相平行的全等多邊形。3）過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形。4)棱柱的側面積=直截面(垂直于側棱的截面)的周長×側棱長，棱柱的體積=底面積×高。
(4)、平行六面體ABCD-ABCD的性質：1)平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分，2）平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和。，3）長方體的一條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和。4）若長方體的一條對角線與過這一條對角線的一端的三個相鄰面所成的角分別為，，，則Sin+sin+sin=1，5）長方體的體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為，，，則Sin+sin+sin=2，6）長方體的對角線等于它的外接球的直徑。7）正方體的內切球的直徑等于正方形的邊長。和正方體各棱切的球的直徑等于正方形的面對角線。8）{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}；
圓柱：一個矩形繞著一邊旋轉一周所得的幾何體。
棱錐：(1)棱錐的概念：如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各個面是有一個公共頂點的三角形，那么這個多面體叫棱錐。在棱錐中有公共頂點的各三角形叫做棱錐的側面。過棱錐不相鄰的兩條側棱的截面叫棱錐的對角面。
(2)、錐的分類：按照棱錐底面多邊形的邊數可將棱錐分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐…
(3)、棱錐的性質：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點至截面距離與棱錐高的平方比。經過棱錐的高的中點且平行于底面的截面叫中截面，中截面的面積是底面面積的1/4。
(4)、正棱錐的概念與性質：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。性質：1）正棱錐的各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側高）也相等。2）正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影、側棱、底面的外接圓的半徑R、底面的半邊長可組成四個直角三角形。
(5)、棱錐的體積公式：V＝Sh (S是棱錐的底面積，h是棱錐的高)
提醒：全面積（也稱表面積）是各個表面面積之和，故棱柱的全面積＝側面積＋2×底面積；棱錐的全面積＝側面積＋底面積。
圓錐：一個直角三角形繞著一邊旋轉一周所得的幾何體。它的側面展開圖是一個扇形。扇形的弧長是底面圓的周長。扇形的半徑等于母線長。
棱臺：一個棱錐被平行于底面的平面所截，夾在底面與截面間的幾何體叫棱臺。
圓臺：一個直角梯形繞著垂直于底邊的腰旋轉一周所得的幾何體。
球：(1)、球的概念：與定點的距離等于或小于定長的點的集合叫做球體，簡稱球。定點叫做球心。定長叫做球的半徑。球面：與定點的距離等于定長的點的集合叫做球面。
(2)、球的截面：用一個平面去截球，截面是圓面。球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間的關系：r＝　。
大圓：球面被經過球心的平面截得的圓叫做大圓。小圓：球面被不經過球心的平面截得的圓叫做小圓。經過球面上兩點的大圓，當這兩點與球心不共線時，有且只有一個。當這兩點與球心共線時有無數個。
(3)球面距離：球面上經過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，叫做這兩點的球面距離。它等于球心角×半徑。
(4)球的體積和表面積公式：V＝
(5)正四面體的邊長為a，則它的外接球的半徑、內切球的半徑、棱切球的半徑分別為
，
正方體的邊長為a，則它的外接球的半徑、內切球的半徑、棱切球的半徑分別為
2、三視圖與直觀圖的畫法。
1）、直觀圖的畫法（斜二側畫法規則）：已知圖形中平行于橫軸和豎軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于縱軸的線段，在直觀圖中其長度為原來的一半。原來平行的線段仍然平行，原來相交的線段仍然相交，但角度可能發生變化。把直觀圖還原成原來水平放置的圖形時，應先把與橫軸成45的線段還原成與橫軸成直角的線段。
2）、三視圖的畫法：正視圖（從前向后看）、俯視圖（從上往下看）、側視圖（從左往右看，也叫左視圖）。
第八講 點、直線、平面的位置關系。
1、確定平面的4個公理或定理，(1)不共線的3點確定一個平面，(2)兩條相交直線確定一個平面，(3)兩條平行直線確定一個平面，(4)一條直線和直線外一點確定一個平面。
確定直線在平面內的定理：如果直線上有兩個點在平面內，則直線在平面內。
兩個平面的公共點的個數定理：如果兩個平面有一個公共點，則必有無數個公共點，且這些公共點的個數在同一條直線上。此定理常用來判斷空間三線共點。
2、點、線、面的位置關系的表示方法。
3、平行公理：平行于同一直線的兩直線互相平行，它反應了平行線的傳遞性。注意：相交線和異面直線沒有傳遞性。
4、等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。當一邊平行且方向相同而另一邊的方向相反時，這兩個角互補。可推廣到空間：如果一個二面角的兩個半平面和另一個二面角的兩個半平面分別平行并且方向相同，那么這兩個二面角相等。當一個半平面平行且方向相同而另一個半平面的方向相反時，這兩個二面角互補。
但注意：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補。不可推廣到空間：如果一個二面角的兩個半平面和另一個二面角的兩個半平面分別垂直，那么這兩個二面角相等或互補。
5、空間直線的位置關系：（1）相交直線：有且只有一個公共點。（2）平行直線：在同一平面內，沒有公共點。（3）異面直線：不在任何一個平面內，也沒有公共點。兩條異面直線的作圖，常借助于輔助平面。
異面直線的判定：過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線。
異面直線所成的角（或夾角）的定義與求法：直線a,b是異面直線，經過空間一點O，分別引直線aˊ／／a , b＇／／b,相交直線a＇，b＇所成的銳角（直角）叫異面直線a,b所成的角∈，求異面直線的夾角常用平移法和向量法。
6、異面直線的距離：（1）和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線
的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無數條。（2）求異面直線的距離的常用方法有：1）直接找公垂線段而求之。2）轉化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和平行另一條直線。3）利用向量法：常利用端點在兩條異面直線上的有向線段在公垂線的方向向量上的投影。如圖：AB為公垂線段，
異面直線上兩點的距離公式：已知兩條異面直線a,b所成的角為，在a,b上分別取點E，F，已知AB為公垂線段，長度為d,BE＝m,AF=n,EF=l則l＝（同側為減，異側為加）
7、(1)直線與平面的位置關系：1）直線在平面內,　2）直線與平面相交，　3）直線與平面平行,　其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。
(2)直線與平面平行的判定：如果平面內一條直線和這個平面平面平行，那么這條直線和這個平面平行。簡稱為“線線平行，則線面平行。”
判定直線與平面平行的方法還有：1）2）
直線與平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，那么經過這條直線的平面和這個平面相交，交線和這條直線平行，簡稱為“線面平行，則線線平行”。
(3) 直線與平面垂直的概念：如果一條直線和平平面內任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。公理：過一點有且只有一條直線和已知平面垂直。
直線和平面垂直的判定：1）一個平面內兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。2）兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直。
直線和平面垂直的性質定理：（1）如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內所有直線都垂直。（2）如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。
8、(1)平面與平面的位置關系：1）平行＿＿沒有公共點，2）相交＿＿有且只有一條公共直線。兩個平面的公共點都在同一條直線上。
(2)兩個平面平行的判定：1)一個如果平面內有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡稱為“線面平行，則面面平行”，2)推論：如果平面內一個有兩條相交直線和另一個平面內兩條相交直線平行，那么這兩個平面平行。3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。
兩個平面平行的性質定理：1)如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。
2)兩個平行平面之間的距離處處相等，夾在兩個平行平面之間的平行線段也相等。
3)如果兩個平面平行，那么一個平面內的所有直線都平行于另一個平面。
(3) 兩個平面垂直的判定：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。
兩個平面垂直的性質定理：1)如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。2)如果兩個平面垂直，那么從一個平面內一點作另一個平面的垂線必在第一個平面內。
9、三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。　三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內的射影垂直。
10、直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。特別當一條直線和平面垂直時，就說直線與平面所成的角是直角，當一條直線在平面內或和這個平面平行時，我們規定直線和平面所成的角為0°，所以直線和平面所成的角的范圍是
利用法向量可處理線面角問題
設 為直線與平面所成的角，為直線的方向向量與平面的法向量之間的夾角，則有（圖1）或（圖2）
圖1 　　　　　　　　　　　　　　 圖2
11、最小角定理：平面的斜線和它在平面內的射影所成的角是這條斜線和這個平面內任一條直線所成的角中最小的角。設AB是平面ａ的一條斜線，A為斜足，直線m是平面ａ內任一直線，AB′是AB在平面ａ內的射影。為AB和m所成的角，為AB和射影所成的角，射影AB′和m所成的角，則cos=coscos
重要應用：空間兩條異面直線L1與L2所成的角為≠，過空間一定點P作直線L與L1，L2所成的角都是，這樣的直線L可作多少條？
分析：（1）若∈（0，/2），則這樣的直線L有0條
（2）若＝/2，則這樣的直線有1條
（3）若∈（/2，），則這樣的直線L有2條
（4）若＝，則這樣的直線L有3條
（5）若∈（，），則這樣的直線L有4條
（6）若＝，則這樣的直線L有1條
12、二面角：平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，
從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫做二面角的棱，
每個半平面叫做二面角的面，棱為l，兩個面分別為，的二面角記為-l-,
一個平面垂直于二面角-l-的棱，且與兩個半平面的交線分別是射線OA，OB，O為垂足，則∠AOB叫做二面角-l-,的平面角。
一個二面角的大小可用它的平面角的大小來衡量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。二面角大小的取值范圍是［0，180°］
計算二面角的方法：（1）定義法(常根據三垂線定理先作平面角即自二面角的一個面上一點向另一個面引垂線，再由垂足向棱作垂線，，再解直角三角形)。（2）射影面積法，（3）有平面角向量法(常用基向量法)，(4)法向量法(常用坐標法)：
利用法向量可處理二面角問題
設 分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量
的夾角為，則有（圖3）或 （圖4）
圖3 圖4
第九講 直線與方程
1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，如果把x軸繞著交點按逆時針方向轉到和直線l重合時所轉的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線l與x軸重合或平行時，規定傾斜角為0。（2）直線的傾斜角的范圍。（3）在直線的傾斜角的定義中抓住三個重要條件：“逆時針旋轉、與直線l重合、最小正角”。
2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示，即k＝tan(≠90°).（2）傾斜角為90°的直線沒有斜率。（3）經過兩點P（x, x）,P (y,y)的直線的斜率公式為
3、直線方程的五種形式：（1）點斜式：已知直線過點（x,y）斜率為k，則直線方程為：y-y=k（x-x）,它不包括垂直于x軸的直線。（2）斜截式：已知直線在y軸上的截距為b和斜率k，則直線方程為：y=kx+b,它不包括垂直于x軸的直線。（3）兩點式：已知直線經過（x,y）,(x,y)兩點，則直線方程為：
，它不包括垂直于坐標軸（包括x,y軸）的直線。（4）截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a,b,則直線方程為：，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。
（5）一般式：任何直線均可寫成：Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的形式。
在求直線方程時，要注意斜率是否存在，利用截距式時，不能忽視截距為0的情形，同時要區分“截距”和“距離”。“截距”不是距離，可正可負可為0。
4、點與直線的位置關系：（1）若點P（x,y）在直線上，則Ax+By+C=0.(2) 若點P（x,y）不在直線上，則Ax+By+C≠0，此時點P（x,y）直線的距離d=，
(3)由此可得，兩平行線l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，間的距離為d=
5、直線與直線的位置關系：（1）斜率存在的兩直線：l: y=kx+b, l：y=kx+b，有若l∥l k＝k，且b≠b，若l⊥l， k k＝－1，若l與l相交 k≠k，若l與l重合 k＝k，b＝b。（2）一般的兩直線：l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，有若l∥l A B- A B＝0，BC-BC≠0, (或AC－AC≠0)，若l⊥l，AA+BB=0，若l與l相交 A B- A B≠0，若l與l重合 A B- A B＝0，且BC-BC＝0,且AC－AC＝0
6、到角和夾角公式：（1）l到l：指直線l繞著交點按逆時針方向轉到和直線l重合所轉的角，且tan=( k k≠-1).（2）l與l的夾角且tan=︱︱( k k≠-1)。
7、直線方程的參數形式：
直線的參數方程常用來解決過定點的直線與圓錐曲線相交的問題。
8、直線的極坐標方程。
第十講 圓與方程
1、圓的方程的四種形式：（1）圓的標準方程：，特別當圓心是（0,0），半徑為r時，，（2）圓的一般方程：
（3）圓的參數方程：圓心在（a,b），半徑為r的圓的參數方程是
特別當圓心是原點時，
（4）
2、
從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設切線方程，再根據相切的條件來求。過兩切點的直線方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程。
3、
4、
5、
第十一講算法初步
算法的概念：在數學中，算法通常是指按照一定規則解決“某一類”問題的“明確”和“有限”的步驟。它有下面的特點：通用性(適用于某一類問題的所有個體，而不是只用來解決一個具體問題)，可行性(算法應有明確的步驟一步一步地引導計算機進行并且能夠得到最終結果)，明確性(算法的每一個步驟必須明確___或者由規則直接確定，或者由上一步的結果確定)，有限性(算法應由有限步組成)。
程序框圖又稱“流程圖”，是一種用程序框、流程線、及文字說明來表示算法的圖形。基本的程序框有：終端框(起止框)，輸入、輸出框，處理框(執行框)，判斷框，其中起止框是任何程序框圖中不可缺少的。
算法的三種基本的邏輯結構。任何算法都是由順序結構、條件結構、循環結構三種基本的邏輯結構組成。順序結構是由若干個依次執行的步驟所組成，是任何一個算法都離不開的基本結構。一個算法中，算法的流程根據條件是否成立有不同的流向，條件結構就是處理這各過程的結構。一些算法中經常會出現從某處開始，按照一定的條件反復執行某些步驟的情形，這就是循環結構，反復執行的步驟稱為循環體。循環結構分為當型循環結構(滿足條件循環)和直到型循環結構(不滿足條件循環)。循環結構中一定包含條件結構。
任何一種程序都包含五種基本的算法語句，它們是輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句。輸入語句的一般格式是INPUT“提示內容”，變量。其作用是實現算法的輸入信息功能，輸出語句的一般格式是：PRINT“提示內容”，表達式。其作用是實現算法的輸出結果功能。賦值語句的一般格式是：變量=表達式，其作用是將表達式所代表的值賦給變量。
5、條件語句的一般格式有兩種：一種是:IF-THEN-ELSE格式，其形式為 ：，，，，，，，，，，，，， ，另一種是：:IF-THEN格式，其形式為 ：，，，，，，，，，，，，， ，
6、循環語句主要有兩種類型：(1)當型(WHILE)，(2)直到型(UNTIL)。
WHILE語句的基本格式是：
當計算機遇到WHILE語句，先判斷條件的真假，如果條件符合時，就執行WHILE與WEND之間的循環體，若條件不符合，計算機不再執行循環體，直接跳到WEND 語句后執行其他語句，因此WHILE語句也稱為前測試型循環語句。
UNTIL語句的基本格式是：
當計算機遇到UNTIL語句時，先執行一次循環體，然后對條件的真假進行判斷當條件不符合時，就執行循環體，直到條件符合，計算機不再執行循環體，跳出循環，執行LOOP UNTIL語句后的其他語句，因此UNTIL 語句又稱為后測試型循環語句。
7、輾轉相除法是用于求兩個數的最大公約數的一種方法，這種算法是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出，因而又叫歐幾里德算法。就是對于給定的兩個數，用較大的數除以較小的數，若余數不為零，則將余數和較小的數構成新的一對數，繼續上面的除法，直到余數為零，則這時較小的數就是原來兩個數的最大公約數。更相減損術是我國古代數學專著＜＜九章算法＞＞中介紹的一種求兩數最大公約數的方法，其基本過程是：對于給定的兩個數，用較大的數減去較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，并以大數減去較小的數，繼續這個操作直到差為零止，則這個數就是所求的最大公約數。
8、秦九韶算法是我國南宋數學家秦九韶在他的代表作＜＜數學九章＞＞中提出的一種用于計算一元n次多項式的值的方法。此算法中乘法和加法的次數都是n次。
9、“滿k進一”就是k進制，k進制的基數是k。將k進制化為十進制的方法是：先把k進制數寫成用各位上的數字與k的冪的乘積的形式，再按照十進制的運算規則計算出結果。將十進制數化為k進制數的方法是：除k取余法。即用k連續去十進制所得的商，直到商為零止，然后把所得的余數倒著寫出就是所得的k進制。
第十二講統計
簡單隨機抽樣：設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n≤N），如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，這種抽樣的方法就叫簡單隨機抽樣。最常用的簡單隨機抽樣的方法有：抽簽法與隨機數表法。抽簽法的優點是簡單易行。但是當容量非常大時，費時費力不方便，可能導致抽樣的不公平。隨機數表法是由0,1，2,3，4，,5，6,7，8,9這10個數字組成的數表，并且表中的每一位置出現各個數字的可能性相等。用隨機數表法時先對總體內的各個個體編號，再從數表中的某個數開始按一定順序（可以向左、右、上、下）讀數，取出適合的號碼，直到取夠樣本為止。優點節省人力、物力、財力和時間，缺點是所產生的樣本不是真正的簡單樣本。
按某順序以一定的間隔進行抽取得到的樣本叫系統抽樣。將總體分成互不交叉的層，然后按一定比例抽取一定數量的個體，將各層取出的個體放在一起作為樣本，這種方法叫分層抽樣。系統抽樣的特點是：總體容量大且個體之間無差異。分層抽樣的特點是：總體容量大且個體之間差異大。
列頻率分布表、畫頻率分布直方圖的步驟：（1）求極差（最大值與最小值之差），（2）決定組距與組數，（3）將數據分組，（4）列頻率分布表，（5）繪頻率分布直方圖。在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距，橫軸表示樣本數據，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，各小長方形的面積的總和為1。直率分布直方圖的重心就是樣本平均數。
連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量的增加，分組組距的不斷縮小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統計學中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。總體密度曲線反映了總體在各個范圍內取值的百分比。總體在某一區間內取值的百分比就是該區間與該曲線所夾的曲邊梯形的面積。總體密度曲線通常是用樣本的頻率分布估計出來的。這是因為：（1）并非所有的總體都存在密度曲線，如一些離散型總體沒有。（2）盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但一般很難像函數圖象那樣被準確地畫出來，只能用樣本的頻率分布來對它估計。樣本容量越大，這種估計越精確。
莖葉圖不僅能保留原始數據而且方便對數據的記錄和表示。但如果數據較多，莖葉圖就顯得不方便。
莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數。
中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。中位數可能會不是數據中的數。眾數是指在一組數據中出現次數最多的數據，可能不只一個。在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。
標準差、極差、方差都是描述數據的波動大小。前兩者與數據的單位一致，方差與數據的單位不一致。
方差的計算公式是：
練習：
相關關系：與函數關系（確定關系）不同，相關關系是一種不確定性關系。從散點圖上看，如果散點分布在從左下角到右上角的區域內，這兩個變量的相關關系稱為正相關，如果散點分布在從左上角到右下角的區域內，這兩個變量的相關關系稱為負相關。如果這些點從整體上看大致分布在一條直線的附近，則稱這兩個變量具有線性相關，這條直線叫回歸直線。回歸直線是：
線性相關系數：
第十三講概率
事件分為確定事件（包括必然事件與不可能事件）與隨機事件。隨機事件發生的可能性的大小用概率來度量。在n次試驗中，事件A發生的次數稱為事件A發生的頻數。稱為事件A發生的頻率。隨著試驗次數的增加，頻率穩定在某個常數上，這個常數稱為事件A發生的概率。頻率是變化的與試驗次數有關，概率是不變的，與試驗次數無關。頻率是概率的近似值。
從多個可選答案中挑選正確答案的決策問題，那么“使得樣本出現的可能性最大”可以作為決策的準則。這方法叫極大自然法。
3、“事件A的發生或事件B發生”稱為“事件A與B的并事件（或和事件）”，記作：“”，
“事件A的發生且事件B發生”稱為“事件A與B的交事件（或積事件）”，記作：“”。
若即為不可能事件，稱事件A與B互斥，即事件A與B在任何一次試驗中不可能同時發生。若為不可能事件且為必然事件，則稱事件A與B互為對立事件。即事件A與B在任何一次試驗中有且只有一次發生。
概率的幾個性質：
關于古典概型：基本事件的特點是：任何兩個基本事件是互斥的，任何事件（不可能事件除外）都可以表示為基本事件的和。若試驗中可能出現的基本事件只有有限種，且每個基本事件出現的可能性相同，具有這兩個特征的概率模型稱為古典概型。對于古典概型：
幾何概型：如果每個事件發生的概率只有與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，稱這樣的概率模型為幾何概型。計算公式是：
6、
用隨機模擬計算陰影面積的方法與步驟：
第十四講三角函數的概念、誘導公式與二倍解公式
1、象限角與軸線角：角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，稱為軸線角。第一、二、三、四象限角分別可表示為：
角終邊在x軸的非負半軸上時可表示為：＝360°k,k∈Z, 角終邊在y軸的非負半軸上時可表示為：＝360°k+90°,k∈Z,在x軸的非正方向上，在y軸的非正方向上可類似表示。
2、終邊相同的角的表示： ，即任一與角終邊相同的角，都可以表成角與整數個周角的和。任意兩個終邊相同的角之差必是360°的整數倍。相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等。
已知是第幾象限的角，如何確定所在象限的角的常用方法有二：（1）分類討論法，先根據的范圍用整數k把的范圍表示出來，再對k分n種情況討論。（2）幾何法：把各象限均先n等分，再從x軸的正方向的上方起，依次將各區域標上①、②、③、④，則原來是第幾象限對應的標號即為的終邊所在的區域。
3、角度制與弧度制的換算：
弧度制下的弧長與扇形面積計算公式：
注：在同一個代數式中弧度制與角度制不能同時出現。如：是錯誤的。
4、任意角的三角函數的定義：設是任意一個角，的終邊上任意一點P的坐標是（x,y），它與原點的距離是，那么
5、象限角的三角函數符號：一全正，二正弦，三兩切，四余弦。
根據三角函數線分析各象限的區間內各三角函數的單調性：正弦一,四增，二、三減。余弦三、四增，一、二減。正切只有增區間，余切只有減區間。強調象限的區間內。
6、誘導公式：奇變偶不變，符號看象限。如：
熟記關系式：sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)．
；
7、同角三角函數的基本關系式：
平方關系：
倒數關系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
商數關系：，一般采用“切化弦”，但已知一個角的正切值，求正弦與余弦有關的代數式常采用“弦化切”。
8、特殊角的三角函數值：（見下表）
30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°
sin 0 1 0 -1
cos 1 0 -1 0
tan 1 0 0 2- 2+
cot 1 0 0 2+ 2-
9、兩角和公式：
對第三式的的值使等式兩邊有意義。
注意公式的變形應用如：
10、化一公式：
如：（1）當函數取得最大值時，的值是______(答：)；（2）如果是奇函數，則= (答：－2)；
11、三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構。即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式如：
巧變角：如，，等），
如（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知為銳角，，，則與的函數關系為______（答：，注意：隱含y＞0.
第二看函數名稱之間的關系，通常“切化弦”第三觀察代數式的結構特點。
12、二倍角的正弦、余弦、正切
二倍角公式：
降冪公式與升冪公式：
半角公式：
13、萬能公式：
第十五講三角函數的圖象和性質
1、正弦函數、余弦函數的圖象和性質：(1)五點法作圖：先描出正弦曲線和余弦曲線的波峰、波谷和三個平衡位置這五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內的圖象。常選取橫坐標分別為0，的五點。
(2)正弦函數y=sinx是奇函數，對稱中心是，對稱軸是直線。
余弦函數y=cosx是偶函數，對稱中心是，對稱軸是直線。
練習：已知函數為常數），且，則______（答：－5）；（3）函數的圖象的對稱中心和對稱軸分別是__________、____________（答：、）；（4）已知為偶函數，求的值。（答：）
(3)、單調性：上單調遞增，
在單調遞減。
y=cosx在上單調遞減，在上單調遞增。
如：函數的單調遞增區間為___________（答：）
三角函數的單調性：正弦一,四增，二、三減。余弦三、四增，一、二減。正切只有增區間，余切只有減區間。強調象限的區間內。
2、的圖象：(1)振幅、周期、頻率、相位、初相：函數，表示一個振動量時，A表示這個振動的振幅，往返一次所需的時間T＝，稱為這個振動的周期，單位時間內往返振動的次數稱為振動的頻率，稱為相位，x＝0時的相位叫初相。
(2)、函數＋K的圖象與y=sinx的圖象的關系：
把y=sinx的圖象縱坐標不變，橫坐標向左（>0）或向右（<0），　　　　y=sin（x+）
把y=sin（x+）的圖象縱坐標不變，橫坐標變為原來的，　　　　　　y=sin（x+）
注意：此處初相不變。
把y=sin（x+）的圖象橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍，　　　　　
把的圖象橫坐標不變，縱坐標向上（k>0）或向下（k<0），
+K
若由y=sin（x）得到y=sin（x+）的圖象，則向左或向右平移個單位。
注意：
3、正切函數y=tanx的性質：（1）定義域：，。（2）值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值。（3）周期性：是周期函數且周期是，它與直線y=a的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期。（4）奇偶性：是奇函數，對稱中心是，無對稱軸。
（5）單調性：正切函數在開區間內都是增函數。但要注意在整個定義域上不具有單調性。
4、反三角函數的定義：（1）反正弦：在閉區間上符合條件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做實數a的反正弦，記作arcsina,即x=arcsina,其中，且a=sinx.注意arcsina表示一個角，這個角的正弦值為a,且這個角在內（-1≤a≤1）
（2）反余弦：在閉區間上，符合條件的角x，叫做實數a的反余弦，記作arccosa,即x=arccosa,其中x.
(3)反正切：在開區間（－，）內，符合條件tanx=a（a為實數）的角x，叫做實數a的反正切，記做arctana,即x=arctana,其中
反三角函數的性質：（1）sin（arcsina）=a, （-1≤a≤1）,cos（arccosa）=0, （-1≤a≤1）,
tan（arctana）=a,(2)arcsin（-a）=-arcsina,arccos（-a）=-arccosa,arctan（-a）=-arctana,
(3)arcsina+arccosa=,(4) arc sin （sinx）=x,只有當x在內成立。同理arccos（cosx）=x只有當x在閉區間上成立。
5．三角函數的值域的求法：（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型，利用，即可求解，此時必須注意字母a的符號對最值的影響。
（2）y=asinx+bcosx型，引入輔助角　，化為y=sin（x+）,利用函數即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化為此類。
（3）y=asinx+bsinx+c（或y=acosx+bcosx+c），型，可令t=sinx（t=cosx）,-1≤t≤1,化歸為閉區間上二次函數的最值問題。
（4）Y=（或y=）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分離常數的方法去解決。
（5）y=（y=）型，可化歸為sin（x+）g（y）去處理；或用萬能公式換元后用判別式去處理；當a=c時，還可利用數形結合的方法去處理上。
（6）對于含有sinx±cosx,sinxcosx的函數的最值問題，常用的方法是令sinx±cosx=t,,將sinxcosx轉化為t的函數關系式，從而化為二次函數的最值問題。
6、關于三角函數的周期：
(1)一般先化為：
(2) 絕對值或平方對三角函數周期性的影響：一般說來，某一周期函數解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定。 如的周期都是, 的周期不變；
第十六講平面向量與空間向量
1、向量：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，有向線段的長度叫向量的模，注意不能說向量就是有向線段。長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的。長度為一個單位長度的向量叫做單位向量，常用表示。。表示∠BAC的角平分線上的向量，共線向量（也叫平行向量）：方向相同或相反的非零向量，平行于，記作：∥，
規定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等。表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移。
共線向量的方向不一定相同或相反，因為零向量的方程是任意的。
相反向量；長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
2、向量加法：設
作向量的加法有“三角形法則”和“平行四邊形法則”，其中“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量。
作向量減法有“三角形法則”：設由減向量和終點指向被減向量和終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。
3、向量共線定理：與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數，使得＝（），
4、平面向量的基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任一向量存在唯一的一對有序實數使成立，不共線向量，表示這一平面內所有向量的一組基底。
5、向量平行的坐標表示：，對空間向量
6、空間直線的向量參數方程　如圖：A，B，P三點共線
= 特別當t=時　此時P為AB的中點。O為空間任一點。即 P、A、B三點共線
7、、兩個向量的夾角：對于非零向量，，作稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。
向量的數量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即＝。規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是一個實數，不再是一個向量。
向量數量積的性質：設兩個非零向量，。
（5）當，同向時，＝，當與反向時，＝－，當為銳角時，為正且，不同向，≠，當為鈍角時，為負且，不反向，≠－。
當為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分
條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；。如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；
數量積的的運算律：已知向量實數，下面（1）（2）（3）分別叫做交換律，數乘結合律，分配律。
注意下列式子是錯誤的：
，
平面向量數量積的坐標表示： ，
空間向量數量積的坐標表示：
8、向量的長度和兩點間的距離公式：
兩向量垂直的充要條件：
非零向量＝0
非零向量＝0
10、叫在上的投影。的幾何意義是它等于的模與在上的投影的積。
注意：投影也叫射影，是一個數，可正可負也可為0，不再是一個向量。有兩種計算方式：
11、向量與平面平行：如果向量所在直線在平面內或與平面平行，則稱向量與平面平行。注意與直線與平面平行的區別。
共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量，空間任意兩個向量都共面(包括兩條異面直線上的向量)。空間三個向量不一定共面。不共面的三個向量可構成空間的一個基底。
共面向量定理：如果兩個向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在實數對x,y，使得＝x+y.
共面向量定理的推論：空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對x,y,使或對空間任一點O，有
＝（m＋n+k=1）.這也是證四點共面的方法。
12、空間向量基本定理：如果三個向量，，不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序組x,y,z,使＝x+y+z.其中｛，，｝叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量。
13、空間直角坐標系：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長度都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用｛i,j,k｝表示，而空間坐標系的建立是：在空間選定一點O和一個單位正交基底｛i,j,k｝，以O為原點，分別以i,j,k的方向為正方向建立三條數軸：x軸，y軸，z軸，它們都叫坐標軸，O－xyz為空間坐標系，向量i,j,k為坐標向量，通過每兩條數軸的平面叫做坐標平面，分別叫做xOy平面，yOz平面, xOz平面,作空間坐標系時，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.在空間坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱此坐標系為右手直角坐標系。
14、向量與平面垂直：如果表示向量的有向線段所在的直線垂直于平面ａ，則稱這個向量垂直于平面ａ，此時向量叫做平面ａ的法向量。
15、線段的定比分點：設點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在一個實數 ，使PP＝PP，叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點。當P點在線段 PP上時，>0，當P點在線段 PP的延長線上時，<－1，當P點在線段PP的延長線上時 －1<<0。
若點P分有向線段所成的比為，則點P分有向線段所成的比為
定比分點的坐標公式：
設
在使用定比分點的坐標公式時，應明確（x,y）, （x,y）, （x,y）的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。一般在計算中應根據題設，自行確定起點，分點和終點并根據這些點確定對應的定比。
當＝1時，就得到PP的中點公式：
16、在中，①若，則其重心的坐標為。
②為的重心，特別地為的重心；
③為的垂心；
④向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；
⑤的內心；
⑥S⊿AOB＝
如：（1）若O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為____（答：直角三角形）；（2）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為___（答：2）；（3）若點是的外心，且，則的內角為____（答：）；
17、平移公式：將點P（x,y）,按平移至點P′（xˊ,yˊ）,
則，，叫平移向量。
圖象的平移：設函數y=f（x）的圖象為C，將C上每一點均按平移，得一個新的圖象C′，則C′對應的函數關系式為y-k=f（x-h）,即y=f（x-h）+k,
（2）函數的圖象按向量平移后，所得函數的解析式是，則＝________（答：）
第十六講正弦定理與余弦定理
1、正弦定理：在三角形ABC中，a,b,c分別為角A，B，C的對邊，R為三角形ABC的外接圓的半徑，則有，注意以下一些變式：
2、余弦定理：在三角形ABC中，有
3、其它公式：
射影公式：
其中r為三角形ABC內切圓半徑，R為外接圓的半徑，
4、正弦定理在解三角形中的應用：（1）已知兩角和一邊解三角形，只有一解。
（2）已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形，要注意對解的個數的討論。可按如下步驟和方法進行：先看已知角的性質和已知兩邊的大小關系。如已知a,b,A.（一）若A為鈍角或直角，當b≥a時，則無解。當a≥b時，有只有一個解。（二）若A為銳角，結合下圖理解。1）若a≥b或a=bsinA,則只有一個解。2）若bsinA＜a＜b,則有兩解。3）若a＜bsinA,則無解。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　也可根據a,b的關系及與1的大小關系來確定。
　　　　　　　　　　
如：中，A、B的對邊分別是，且，那么滿足條件的，（1）只有一個解時，邊長a的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿
（2）有兩解時，，（3）無解時，
余弦定理在解三角形中的應用：（1）已知兩邊和夾角，（2）已知三邊。
第十七講不等式
一、不等式的性質
（1.）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：a＞b,c＞d ，則 a+c＞b+d,　（a>b ,cb－d），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘但不能相除；異向不等式可以相除但不能相乘：a>b>0　c>d>0 (a>b, cbd（或）
（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方 a>b>0則a>b或　
（4）ab>0,則a>b,(ab<0　則a>b)
二、均值不等式：
算術平均數與幾何平均數常用公式及變形：（1）
（2）
注、對于兩個正數x,y，若已知xy,x+y,中的某一個為定值，可求出其余各個的最值，如：（1）當xy＝P（定值），那么當x=y時，和x+y有最小值2，
（2）x+y=S(定值)，那么當x=y時，積xy有最大值
（3）已知x+y=p,則x+y有最大值為
應用基本的不等式解題時，注意創設一個應用基本不等式的情境及使等號成立的條件，即“一正、二定、三相等”
三、不等式的證明：（1）求差比較法：（2）求商比較法：要證a﹥b，且b﹥0,只要證﹥1.（3）、綜合法：利用某些已知的不等式或已證過的不等式或不等式的性質推導出所要證的不等式成立，這種證明方法叫綜合法，即由因導果。利用均值不等式的有關公式最為常見。（4）分析法：從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉化為這些條件是否具備的問題，如果能肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，即執果索因。用分析法證明要注意格式：“若A成立，則B成立”的模式是：欲證B為真，只需證C為真，只需證D為真…最后得出A或已知的性質、公理、定理。從而得出B為真。也可使用簡化敘述。即BCD…A或已知的性質、公理、定理。切不可使用BCD…A。（5）放縮法（如利用真分數或假分數的性質、及利用均值不等式進行放縮）
常用放縮技巧： ，
（6）利用函數的單調性（本質仍然是放縮法），（7）反證法（對于“至多”“至少”問題、存在性問題、否定形式的命題等，總之“正難則反”），（8）換元法（形如：），（9）判別式法（二次式的含參數問題常運用判別式）
四、不等式的解法
無理不等式：
2、指數不等式、對數不等式要注意對底數的討論，對數不等式還要注意真要大于0。
3、“非常規不等式”常用數形結合法。如：，（2）在（0，）內恒成立，則a滿足（A）
五、參數不等式：（一）解含參數的不等式：
1、
2、
（二）恒成立問題：解恒成立問題常用方法：①分離參數法；②數形結合；③轉化為函數的最值問題。你能清楚何時用何種方法嗎？
常見題型：①若在上恒成立，則；若在上恒成立，則。②若在上有解，則；若在上無解，則。（注：為常數。）③在上恒成立，是對于任意的，必須大于嗎？應該怎樣解？（不是。通常移項，使即可；若的最值無法求出，則考慮數形結合，只需在上的圖像始終在的上方即可。）
（1）一次函數型：給定一次函數y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內恒有f(x)>0，則根據函數的圖象（直線）可得上述結論等價于
ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成
同理，若在[m,n]內恒有f(x)<0，則有
（2）二次函數型：若二次函數y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，則有
若是二次函數在指定區間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數的分布知識求解。
設f(x)=x2-2ax+2,當x[-1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。
分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二次函數在區間[-1,+)時恒大于0的問題。
法一：解：設F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ)當=4（a-1)(a+2)<0時，即-2ⅱ）當=4（a-1)(a+2) 0時由圖可得以下充要條件：
即
得-3a-2;
綜合可得a的取值范圍為[-3，1]。
法二：化為求F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.在x[-1,+)上的最小值大于等于0。再對對稱軸的位置進行討論。
法三：分離參數法：再對參數分類討論：
（3）分離變量型：若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。
已知當xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實數a的取值范圍。
分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。
六、線性規劃：1、二元一次不等式表示的平面區域：（1）當A﹥0時，若Ax＋By＋C﹥0表示直線l的右邊，若Ax＋By＋C﹤0則表示直線l的左邊。當A﹤0時則相反。（2）當B﹥0時，若Ax＋By＋C﹥0則表示直線l的上方，若Ax＋By＋C﹤0則表示直線l的下方。當B﹤0時則相反。無等號時用虛線表示不包含直線l。有等號時用實線表示包含包含直線l。
2、設點P（x,y）,Q(x,y)，若Ax+By+C與Ax+By+C同號則P，Q在直線l的同側，異號則在直線l的異側。
3、線性規劃中的幾個幾何意義：
第十八講常用的邏輯用語
1、四種命題：一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結論，用﹁p或﹁q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式是：（1）原命題：若p則q，（2）逆命題：若q則p，（3）否命題：若﹁p 則﹁q ，（4）逆否命題：若﹁q 則﹁p，
四種命題的真假關系：一個命題與它的逆否命題是等價的，其逆命題與它的否命題也是等價的。要注意區別“否命題”與“命題的否定”：若原命題是“若P則Q”，則這個命題的否定是“若P則非Q”，而它的否命題是“若非P則非Q”。但對于“全稱命題”與“特稱命題”是互為否定的。
2、如果已知pq,則有四種說法：（1）p是q的充分條件，（2）q是p的必要條件，（3）p的一個必要條件是q,（4）q的一個充分條件是P。
練習：（1）若P是Q的必要不充分條件，則P是Q的（A）
A　　充分而不必要條件，B　必要不充分條件，C　充要條件，D　既不充分與必要條件
（2）“或”是“”成立的 條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一個)．
3、復合命題的三種基本形式及真假判定：P或Q（P∨Q），P且Q（P∧），非P（﹁P）。
“P與﹁P”中的一些常用對應詞
原結論 是（一定是） 都是（全是） >（<） 至少有一個 至多有一個 ＝ 存在
反設 不是（一定不是） 不都是 ≤（≥） 一個也沒有（都不是） 至少有2個 ≠ 不存在
4、全稱量詞：“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”等。常用“”表示。含有全稱量詞的命題叫全稱命題。
存在量詞：“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“有的” “對某個”等。常用“”表示。含有存在量詞的命題叫特稱命題。
練習：寫出下列命題的否定：（1）p：所有能被3整除的整數都是奇數。
（2）p：
第十九講圓錐曲線與方程
一、曲線與方程
（一）曲線與方程的概念：在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0上的實數解建立了如下的關系：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點；那么，這個方程叫曲線的方程；這條曲線叫方程的曲線。
練習：（1）
（二）求曲線方程（求軌跡）的幾種常用方法：
1、直接法：直接用動點P（x，y）的坐標表示等量關系，化簡得軌跡方程。一般步驟是：①建立適當的直角坐標系，用（x,y）表示曲線上任意一點M的坐標；如果題中出現了點的坐標或方程表示已經建立了坐標系。②列出點 M適合條件的幾何等量關系；③用坐標表示列出方程f(x,y)=0，④化方程f(x,y)=0為最簡形式；⑤證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。一般情況下，化簡前后的方程的解是相同的，步驟⑤可以省略不寫，如有特殊情況，可適當予以說明，另外，根據情況，也可以省略步驟②直接列出直線方程。
例1：三角形ABC的頂點A固定，點A的對邊BC的長為2a,邊BC上的高線長為b，邊BC沿一條定直線移動，求三角形ABC外心的軌跡方程。
分析：以BC邊所在的直線為x軸，過A點且與x軸垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系,則B（0，b），設外心M（x,y），則|MA|＝|MB|，B（x-a,0）,x-2by+b-a=0
定義法：通過圓錐曲線（或已知曲線）定義確定軌跡性質，進而求得方程。
例2、(1)由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=600，則動點P的軌跡方程為
（2）點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_____
(3) 一動圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動圓圓心的軌跡為 。雙曲線的左支上。注：都內切時，得到該雙曲線的右支。若與前者內切，與后者外切時，得到雙曲線的左支，若與前者外切，與后者內切時，得到雙曲線的右支，
（4）、
3、相關點代入法：當動點P（x，y）與已知曲線上動點P1（x1，y1）相關時，用x，y表示x1，y1，再代入已知曲線方程，求得軌跡方程。
例3：（1）動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為__________
若點在圓上運動，則點的軌跡方程是____
例4、設O為平面直角坐標系的原點，已知定點A（3,0），動點B在曲線x+y=1上運動，∠AOB的平分線交AB于點M，求動點M的軌跡方程。
分析：當軌跡上的點的坐標難以直接建立關系時，且已知軌跡上的點的坐標受已知曲線上的某一動點的坐標的影響，可用相關點代入法。本題可用角平分線定理和相關點代入法。
（4x-3）+16y=9
4、交軌法：已知所求曲線是某兩條曲線的交點可通過解方程組而得。（常與參數法相結合。）
例5、已知直線L1過A（－2,0），直線L2過B（2,0），且L1與L2分別繞A，B旋轉，它們在y軸上截距分別為，其中，試求L1與L2交點的軌跡方程。
5、參數法。先選定某個變量作為參數，再找出曲線上的點的橫坐標、縱坐標與參數的關系式，然后再消去參數。
例6、已知常數，在矩形ABCD中，，，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由
根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在的兩定點，使得點P到兩點距離的和為定值.按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）設
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）
直線OF的方程為：①
直線GE的方程為：②
從①，②消去參數k，得點P（x,y）坐標滿足方程
整理得 當時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.
當時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長
當時，點P到橢圓兩個焦點（的距離之和為定值
當時，點P 到橢圓兩個焦點（0， 的距離之和為定值2.
本題是交軌法與參數法的例子。
例7、（本例是情侶圓錐曲線的求法）
本題是相關點代入法和交軌法相結合。
6、待定系數法：已知曲線方程的類型，可先設出曲線方程的形式，然后求出有關的系數。
例8、
二、橢圓：
1、橢圓的定義1： ，F，F為兩定點即焦點。定義2：
2、橢圓的標準方程：焦點在x軸上時： （a﹥b﹥0）,焦點F（c，0）, 準線方程為x=,-a≤x≤a,-b≤y≤b,
當焦點在y軸上時，標準方程為＝1（a﹥b﹥0）,焦點F（0，c），準線方程為y=,
3、橢圓焦點三角形：（1）設P為橢圓，上任意一點，F，F為焦點且∠FPF
＝，則△FPF為焦點三角形，當r=r即P為短軸端點時，最大且＝，，（2）它的面積公式為： S＝btan＝c , 當=b時，P為短軸端點時，的最大值為bc。（3）焦點三角形中為銳角三角形的充要條件是，焦點三角形為鈍角三角形的必要條件是b＜c。
（4）焦點三角形的周長2a+2c.,當且僅當x=±a時取最小值,當x=0時取最大值。
.4、方程表示橢圓的充要條件是：A＞0，B＞0，A≠B。A＞B時，焦點在y軸上，A＜B時，焦點在x軸上。
5、離心率e＝，0﹤e﹤1,e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。
6、焦半徑公式：P(x,y)為（a﹥b﹥0）上一點， F為左焦點， F為右焦點，P F＝a+ ex,P F= a- ex（左加右減），以焦半徑為直徑的圓和以長軸為直徑的圓內切。
7、弦長公式：（1）通徑：通過焦點且垂直于長軸的弦長：＝，P，Q為弦與橢圓的交點。以通徑為直徑的圓和相應的準線相離。
（2）過（a﹥b﹥0）的焦點F（或F）的弦長：＝2a+e(x+x)　(或＝2a-e(x+x)　)，x，x分別P，Q為的橫坐標。
（3）一般的弦長公式：x，x分別為弦PQ的橫坐標，弦PQ所在直線方程為y=kx+b,代入橢圓方程整理得Ax+Bx+C=0,則＝，若y,y分別為弦PQ的縱坐標，則＝，
8、以P(x,y)為中點的弦A（x,y）,B（x,y）所在直線的斜率k=－，直線AB的方程為：y-y=- (x-x).　AB的中垂線方程為y-y=(x-x)
9、斜率為k的弦的中點軌跡方程：設弦PQ的端點P(x,y),Q(x,y)，中點M（x,y），把P，Q的坐標代入橢圓方程后作差相減用中點公式和斜率公式可得（橢圓內不含端點的線段）
10、設P（x,y）是橢圓（a﹥b﹥0）上一點，則過P點的切線方程是：（利用導數求出斜率或利用判別式求斜率）
11、點P和橢圓（a﹥b﹥0）的關系：（1）點P（x,y）在橢圓外﹥1，（2）點P（x,y）在橢圓上＝0，（3）點P（x,y）在橢圓內﹤1
12、橢圓的參數方程為：（a﹥b﹥0）
13、橢圓（a﹥b﹥0）按＝（x,y）平移得（它的中心、對稱軸、焦點、準線方程都按＝（x,y）作了相應的平移。
三、雙曲線：
1、雙曲線的定義：平面內與兩定點F，F的距離的差的絕對值等于定長2a（小于|FF|）的點的軌跡叫雙曲線，即||PF|-|PF||=2a(2a＜|FF|。此定義中，“絕對值”與2a＜|FF|，不可忽視。若2a＝|FF|，則軌跡是以F，F為端點射線，若2a﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。
2、雙曲線的標準方程：中心在原點，（1）焦點在x軸上： =1（2）焦點在y軸上：＝1（a﹥0,b﹥0）與判斷橢圓方程中焦點位置不同的是，雙曲線不是通過比較x,y系數的大小，而是看x,y的系數的正負號，焦點在系數為正的坐標軸上，簡稱為“焦點在軸看正號”與橢圓另一個區別在于：的關系是c=a+b（而不是c=a-b）
3、與橢圓類似對于雙曲線的焦點三角形有：（1）(根據余弦定理可得)（2），(3)雙曲線的焦點三角形的內心的橫坐標為a或-a.由切線長定理和雙曲線的第一定義，聯合可得。
4、雙曲線的幾何性質：對于雙曲線
(1)、它的頂點為（－a,0）,(a,0)，取值范圍：x≤-a或x≥a，y∈R，焦點F (-C，0), F(C,0),對稱軸是坐標軸，對稱中心是原點。(2)、準線方程：x=
(3)、離心率：e=＞1,e越大，開口越大，e越小，開口越小。
(4)、漸近線：＝0（或或），已知漸近線方程為，
(5)、共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線。＝1與＝1互為共軛雙曲線，它們有相同的漸近線。
，(AB＞0)，(6)、等軸雙曲線：實軸與虛軸相等的雙曲線，表示為，P為等軸雙曲線上一點，則(由焦半徑公式和兩點間的距離公式可得)，等軸雙曲線的漸近線為y=x,離心率e=
(7)、焦半徑公式：|PF|=ex+a, |PF|=ex-a(P在右支上，左加右減)，若P在左支上則取相應的相反數。即：|PF|=-(ex+a), |PF|=-(ex-a),焦半徑為直徑的圓和實軸為直徑的圓相切(內切或外切)。
5、弦長公式：（1）通徑長： |AB|＝,是同支上過焦點的所有弦中最短的，注：實軸是異支上過焦點的所有弦中最短的。通徑（推廣為焦徑）為直徑的圓和相應的準線對雙曲線是相交。(2)過焦點的弦長：|AB|＝|e(x+x)|，(3)一般的弦長公式：類似于橢圓，x，x分別為弦PQ的橫坐標，弦PQ所在直線方程為y=kx+b,代入雙曲線方程整理得Ax+Bx+C=0,則＝，若y,y分別為弦PQ的縱坐標，則＝，
6、雙曲線：＝1按＝（x,y）平移得（它的中心、對稱軸、焦點、準線方程都按＝（x,y）作了相應的平移。
7、雙曲線的第二定義：平面內與一個定點F和一條定直線l的距離的比是常數e(e＞1)的動點的軌跡叫雙曲線。
8、過雙曲線＝1上一點P（x,y）的切線方程是（與橢圓類似，求導數可得斜率。）
9、過雙曲線＝1外一點P（x,y）的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：
P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條。（2）P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條。（3）P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線。（4）P為原點時不存在這樣的直線。
此外：P點在雙曲線內時，只有兩條與漸近線平行的直線。P在雙曲線上時有三條：二條是與漸近線平行的直線，一條是切線。
如：過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為______
10、斜率為k的弦的中點軌跡方程：設弦PQ的端點P(x,y),Q(x,y)，中點M（x,y），把P，Q的坐標代入橢圓方程后作差相減用中點公式和斜率公式可得＝0（當|k|＜時，P，Q各在一支上，此時M的軌跡兩條不含端點的射線，當|k|＞時，P，Q在同一支上，此時M的軌跡為過原點的直線。
11、以P(x,y)為中點的弦A（x,y）,B（x,y）所在直線的斜率k=，直線AB的方程為：y-y= (x-x).　AB的中垂線方程為y-y=－(x-x)
12、
13、
四、拋物線
1、拋物線的定義：平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。四種形式的標準方程，焦點坐標及準線方程：
圖　　　　　　　形 標　準　方　程 焦　　點　　 準線方程
y=2px（p＞0） F（p,0） x=-p
y=-2px（p＞0） F（-p,0） x=p
x=2py（p＞0） F（0,p） y=-p
x=-2py（p＞0） F（0,-p） y=p
拋物線標準方程中P的幾何意義是：焦點到準線的距離，即焦準距，故P＞0
拋物線的標準方程中，一次項的變量決定對稱軸，一次項的符號決定開口方向。
2、拋物線的幾何性質：以標準方程是y=2px（p＞0）為例
(1)范圍：x≥0,對稱性：關于x軸對稱，無其它對稱軸和對稱中心，頂點是原點，離心率為1，準線方程：x=-
(2)焦半徑公式：|PF|＝x+, x為P點的橫坐標。或（為直線的傾斜角）；焦半徑為直徑的圓和y軸相切。
（3）通徑：2p,是過焦點的所有弦中最短的弦，通徑為直徑的圓和準線相切
(4)過焦點F(,0)的弦長：x，x分別為弦AB的端點的橫坐標，y,y分別為弦AB的端點的縱坐標，弦|AB|＝x+x＋p，，yy＝－p，,與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切，（2）設AB為焦點弦，端點在準線上的射影為A，B，M為準線與x軸的交點，則∠AMF＝∠BMF，（3）若P為AB的中點，則PA⊥PB，（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。
斜率為k的弦的中點的軌跡方程是：y=,一條平行于x軸且不包括端點在拋物線內部的射線。
4、過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。
如（1）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有______2條。
拋物線上到點的距離的最小值
6、
第二十講導數及其應用
1、曲線的切線：設曲線C是函數y=f（x）的圖象，在曲線C上取一點，過P，Q兩點作割線，當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時，即→0時，割線PQ的極限位置PT，直線PT叫做曲線在點P處的切線。設切線PT的傾斜角為割線PQ的斜率的極限就是曲線C在點P處的切線的斜率，
即
2、瞬時速度：
3、導數的概念：
4、導函數的概念：如果函數f（x）在開區間（a,b）內可導，對于開區間（a,b）內的每一個，都對應著一個導數，這樣f（x）在開區間（a,b）內構成一個新的函數，這一新的函數叫做f（x）在開區間（a,b）內的導函數，記作，導函數也簡稱為導數。
5、如果函數f（x）在點處可導，那么函數f（x）在點處連續，反之不一定成立。如:y=連續不可導。
6、導數的幾何意義：函數f（x）在點處的導數的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點
處的切線的斜率，即曲線y=f（x）在點處的切線的斜率是，相應地切線的方程是
7、幾種常見函數的導數：(1)、常函數的導數為0，即，
(2)、冪函數的導數為，與此有關的如下：
(3)、，
(4)、
(5)、
8、導數的運算法則：
復合函數的導數：首先要弄清復合函數的復合關系。它的求導法則是：復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數，即
9、應用導數解有關切線問題：過某點的切線不一定只有一條; 如：已知函數過點作曲線的切線，求此切線的方程
（答：切點分別為（0,0），（3,18）。或）。
解這類題首先要弄清楚已知點是否為切點，如果不是切點，應先設切點為然后寫出切線方程：再把已知點代入求出切點。如果已知點是切點，則直線求此點的導數得出直線的斜率。
10、應用導數解函數的單調性問題：(1)、若f′（x）＞0,則f（x）為增函數,
(2)、若f′（x）＜0,則f（x）為減函數,
(3)、若f′（x）＝0恒成立,則f（x）為常數函數,
(4)、若f′（x）的符號不確定,則f（x）不量單調函數,
(5)、利用導數法來劃分函數的單調區間時，單調增區間， f′（x）0且等號不恒成立。
單調減區間， f′（x）0且等號不恒成立。可利用下列步驟來劃分區間：
1）求f′（x），2）求方程f′（x）＝0的根，設根為，3）將給定區間分成n+1個子區間，再在每一個子區間內判斷f′（x）的符號。4）對于方程f′（x）＝0無意義的點也要考慮。應用單調性求參數的取值范圍時，注意f/(x)=0的點; 如：設函數在上單調函數，則實數的取值范圍______（答：）；
11、應用導數解函數的極值問題：(1)、設函數f（x）在點x附近有定義，如果對x附近所有的點，都有f（x）＜f（x），就說是f（x）函數f（x）的一個極大值。記作＝f（x），如果對x附近所有的點，都有f（x）＞f（x），就說是f（x）函數f（x）的一個極小值。記作＝f（x），極大值和極小值統稱為極值。
(2)、當函數f（x）在點x處連續時，（1）如果在點x附近左側＞0，右側＜0，則f（x）是極大值，x是極大值點。（2）如果在點x附近左側＜0，右側＞0，則f（x）是極小值，x是極小值點。（3）x是極值點的充要條件是x點兩側導數異號，而不僅是＝0，＝0是x為極值點的既不必要而不充分條件。
如但對可導函數＝0是x為極值點的必要而不充分條件。
12、應用導數解函數的最大值和最小值問題：
求極值、最值步驟:求導數;求的根;檢驗在根左右兩側符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區間端點函數值比較,最大的為最大值,最小的是最小值. 如：（1）函數在[0，3]上的最大值、最小值分別是______（答：5；）；（2）已知函數在區間[－1,2 ]上是減函數，那么b＋c有最__值__答：大，）（3）方程的實根的個數為__（答：1）
特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側導數異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！如：函數處有極小值10，則a+b的值為____（答：－7）
13、定積分：（1）.直線和直線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形。
（2）.　定積分概念：設函數f(x)在區間[a，b]上連續，用分點a＝x0這里，a與b分別叫做定積分的下限與上限。區間[a，b]叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。
（3）.定積分的性質：
①（k為常數）；
②；
③（其中a＜c＜b。
當位于x軸上方的曲邊梯形的面積等于位于x軸下方的曲邊梯形的面積時，定積分的值為0。
（4）定積分的計算：如果f(x)是區間上的連續函數，并且那么 F(b)-F(a)。這個結論叫做微積分基本定理。又叫萊面尼茲公式。
為了方便，我們常常把F(b)-F(a)記成
（5）.定積分求曲邊梯形面積
由三條直線x＝a，x＝b（a如果圖形由曲線y1＝f1(x)，y2＝f2(x)，及直線x＝a，x＝b（a.在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，通過解方程組確定相應的積分區間。
（6）定積分的物理應用：.物體做變速直線運動經過的位移s等于其速度函數v=v(t)在時間區間上的定積分。
如果物體沿與變力F（x）相同的方向移動，那么從位置x=a到x=b變力所做的功
第二十一講推理與證明
合情推理最常見的是歸納和類比。由某類事物的部分對象具有某些特征推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理。或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡言之是從部分到整體，從個別到一般的推理。由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理。類比推理是從特殊到特殊的推理。
練習：（1）、觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有個圓圈，每個圖案中圓圈的總數是，按此規律推出：當時，與的關系式 .key：
（2）、觀察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，則可得出一般結論： .key：
（3）類比平面內的直角三角形的性質猜想空間中的類似定理。
演繹推理：從一般性的原理，推出某個特殊情況下的結論。是從一般到特殊的推理。“三段論”是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提＿＿＿已知的一般原理。（2）小前提＿＿＿所研究的特殊情況。（3）結論＿＿根據一般原理對特殊情況做出的判斷。演繹推理是一個必然性的推理，演繹推理產前提與結論之間有蘊涵關系，只要大前提、小前提都是真實的，推理的形式是正確的，那么結論必是真實的。但錯誤的前提可能導致錯誤的結論，推理的形式不對也會導致錯誤的結論。
綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立。又叫由因導果法或順推證法。
分析法：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。又叫逆推證法或執因索果法。
反證法：假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立。這種方法叫反證法，它是間接證明的基本方法。反證法的一般步驟是：（1）反設：假設所要證明的結論不成立即結論的反面成立，（2）歸謬：由“反設”出發，通過正確的推理，導出矛盾＿＿＿與已知條件、已知公理、定義、定理、反設及明顯的事實矛盾。（3）結論：肯定原命題成立。
宜用反證法的題型有：（1）一些基本命題，一些基本定理，（2）：“否定性”命題，（3）“惟一性”命題，（4）“至多”“至少”類命題，（5）涉及“無限”結論的命題。
歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法。數學歸納法：是證明與自然數集有關的命題，它是在歸納的基礎上進行的演繹推理，所得結論一般是正確的。是不完全歸納法的一種。
數學歸納法的一般步驟是：（1）驗證時，結論正確，是使命題成立的最自然數。（2）假設當時命題成立，證明當時命題也成立，（3）作結論，由（1）（2）知命題成立。
第二十二講數系的擴充與復數的引入
數的分類：
2、兩個復數相等的充要條件：
6、復數的運算：(1)、復數的加減法則：
(2)、復數的乘法與除法：乘法注意應用分配律，除法是先寫出分式的形式，再分子、分母同時乘以分母的共軛復數。
特別注意：
7、幾個結論：
（3）
（4）
（5）
（6）
第二十三講計數原理、排列組合與二項式定理
1、分類計數原理（也稱加法原理）：完成一件事，有n類方法，在第一類方法中有m種不同的方法，在第二類方法中有m種不同的方法，…，在第n類方法中有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+m+…+m不同的方法。
注：每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，且每次得出的是最后的結果，只需一種方法就能完成這件事。
分步計數原理（乘法原理）：完成一件事，需要n個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有m種不同的方法，…做第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=mm…m不同的方法。注：一步得出的結果都不是最后的結果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事。各步是關聯的。
某些復雜的計數問題有時既要用分類計數原理，又要用分步計數原理，分類中有分步，分步中有分類。
2、全錯位法，n個編有號碼1,2，3，…n的元素，放入編有號碼1,2，3，…n的n個位置，并使元素編號與位置編號不同，則共有多少種放法？n=1時，有0種，n=2時有1種,n=3時，有2種，n=4時，有9種，n=5時，有44種,…一般，，
3、排列的概念：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。
全排列：把n個不同元素全部取出的一個排列，叫做這n個元素的一個全排列。
排列數的概念：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號A表示。A＝n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=,規定：0！＝1，排列數恒等式（1）;（2）;（3）
(4)
階乘：自然數1到n的連乘積，用n!=1×2×3×…×n表示　.
（1）1！+2！+3！+…+n！（）的個位數字為 3 ；
（2）滿足的＝ 8
4、組合的概念：從n個不同元素中取出m個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。
組合數的概念：從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數用符號C表示。
組合數公式：C＝，
組合數性質：（1）C＝，（2）
（倒序法，或利用）
如：
5、排列組合應用題的最基本的解法有：
1）直接法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素，稱為元素分析法，或以位置為考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置，稱為位置分析法。如：
（1）用0，1，2，3，4，5這六個數字，可以組成無重復數字的四位偶數__156_____個；
（2）某班上午要上語、數、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節；語文不排在第一、二節，則不同排課方案種數為_6____；
先排第一節，再對第二節分類討論。
（3）四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。①恰有兩個空盒的放法有84_____種；②甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不同放法有_96_____種。（1）分三步：第一步先選兩個空盒，第二步把四個球分成兩組，第三步把分成的兩組放入余下的兩個空盒中。。（2）
（4）設有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有______ 31 ___
從反面考慮，并用全錯位法。
2）間接法：先不考慮附加條件，計算出總排列數，再減去不符合要求的排列數。
如(1)正方體的八個頂點中任取三個點為頂點作三角形，能構成多少個直角三角形。
(2) 正方體的八個頂點中任取四個點為四面體的頂點，能構成多少個這樣的四面體？
(3)在平面直角坐標系中，由六個點(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以確定三角形的個數為_____。15。注意有四點共線與三點共線。
3）先選后排，注意分類討論。選取問題先選后排法。
如某種產品有4只次品和6只正品，每只產品均不相同且可區分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被發現的不同情況種數是__。
常用技巧有：
1)插空法（不相鄰），捆綁法（相鄰問題），
（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數為____2880_；
（2）某人射擊８槍，命中４槍，４槍命中中恰好有３槍連在一起的情況的不同種數為__20_；
先捆綁后插空。
（3）把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續的編號，那么不同的分法種數是___ 144 __
連續編號有：（12）（23）（34）（45）（56），
（4）3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數有_24__種；
（5）某班新年聯歡晚會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目。如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同的插法種數為___ 42 __。
2)插板法（可化為正整數解的問題），相同元素分組可采用隔板法。
如（1）10個相同的球各分給3個人，每人至少一個，有多少種分發？每人至少兩個呢？
答 36,15
（2）某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊，每個車隊至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？
答 9個洞，插6塊板，
3)等分法，如：5人站隊，要求甲站在乙的前面，有多少種不同的站法？60
4)平均分配（n個元素平均分成m組）。要注意區分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！。如4名醫生和6名護士組成一個醫療小組，若把他們分配到4所學校去為學生體檢，每所學校需要一名醫生和至少一名護士的不同選派方法有_______種（答：37440）；
5）
解排列組合問題的依據是：
分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結果，只需一種方法就能完成這件事），
分步相乘（一步得出的結果都不是最后的結果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關聯的），
有序排列，無序組合．
如（1）將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有 243 種；
（2）從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有 70 種；
（3）從集合和中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數是_ 23 __；
（4）72的正約數（包括1和72）共有 12 個；
（5）的一邊AB上有4個點，另一邊AC上有5個點，連同的頂點共10個點，以這些點為頂點，可以構成___ 90

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