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(原創)解疑周期函數的定義域與周期
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提出問題：f(x)=sinx (x>0)是周期函數嗎？；周期函數定義域是R嗎？若T是f(x)的周期，那么kT(k屬于Z）必是f(x)的周期嗎？
簡介：一、有限區間、無限區間；二、非空數集的有界、無界與確界；三、再解疑周期函數的定義域與周期．探討如下
有限區間、無限區間：
1.有限區間：= 開區間；= 閉區間；半開(半閉)區間.
2.無限區間：= ； ；；；.
二、非空數集的有界、無界與確界
1.上界、上確界： 設為中的一個非空數集．若存在實數M，使得對一切，都有, 則稱為數集的上界。所有上界中最小的一個叫數集的上確界。
2.下界、下確界: 設為中的一個非空數集．若存在實數M，使得對一切，都有, 則稱為數集的下界。所有下界中最大的一個叫數集的下確界。
3. 非空數集有界：設為中的一個非空數集，若數集“有上界且有下界”, 則稱數集有界。如
有限區間類：。
間斷類型：
4. 非空數集無界：設為中的一個非空數集，若數集“無上界或無下界”, 則稱數集無界。（無界含有三種情況：無上界；無下界；無上界且無下界。）如
無限區間類:
間斷類型：;;
注意：函數的定義域是非空數集應分有界與無界兩類。即有限區間雙側有界，間斷雙側有界；無限區間單側無界，無限區間雙側無界，間斷單側無界與間斷雙側側無界。（定義域分為有限區間與無限區間不確切）
函數的定義域與周期
1.周期函數的定義（舊人教、新課標版一樣）：對于函數y=f(x)，如果存在常數T≠0，使得當x取定義域內每一個值時， 都有f(x+T) = f(x)，那么函數y= f(x)就叫周期函數，T就叫這個函數的周期。 若所有周期Ｔ中存在一個最小的正數，則稱它為最小正周期。
注意：①定義中“存在常數T≠0”,其意是可存在正數T，也可存在負數T，還可二者都存在，不是正負同時存在才行。
②定義中“x取定義域內每一個值”時，都有f(x+T) = f(x)，即恒成立的意思。
結論：⑴其實有周期函數定義和注意①②不難得出周期函數的定義域有不同的三種形式，：定義域左側無界；定義域右側無界；定義域雙側無界。（定義域為左側無限區間；定義域為右側無限區間；定義域雙側無限區間；不妥因由間斷）。
⑵周期T有不同的三種形式形式：有正周期不一定有負周期；有負周期不一定有正周期；有正周期不一定有最小正周期。舉例如下
例1： 解：周期Ｔ＝。無負周期，定義域右側無界，有最小正周期。
例２： 解：周期Ｔ＝－。無正周期，定義域左側無界，無最小正周期。
例3： 解：周期Ｔ＝。有正負周期，定義域雙側無界，有最小正周期。
例4 解：周期Ｔ＝。無負周期，定義域右側無界，有最小正周期。
例5: 解：周期Ｔ＝－。無正周期，定義域左側無界，無最小正周期。
例6: 解：周期Ｔ＝。有正負周期，定義域雙側無界，有最小正周期。
例7: 解：任意Ｔ都是周期。有正負周期，定義域雙側無界，無最小正周期。
例8: 解：非周期函數。
例9:f(x)=0,x為整數 解：周期Ｔ＝。有正負周期，定義域雙側無界，有最小正周期。
例10lgsin（x） 解：周期Ｔ＝。有正負周期，定義域雙側無界，有最小正周期。
例11克雷Dirichlet函數 解：周期為任意Ｔ實數。有正負周期，定義域雙側無界，無最小正周期。
2. 周期函數性質：①T是函數f(x)的周期，則對于任意的正整數k∈N＊，kT是f(x)的周期。應該把那個k∈Z改成k∈N＊.
②若都為函數f(x)的周期，且，則也是f(x)的周期.
注意：T是函數f(x)的周期，則對于任意的整數，kT是f(x)的周期不正確。
四、教師參考
為什么對周期函數的定義域與周期理解有異議哪？其原因是中學與大學教材定義不一樣。
大學周期函數的定義：對于函數y=f(x)，如果存在常數T≠0，使得當x取定義域內每一個值時，都有f(x±T)=f(x)，那么函數y= f(x)就叫周期函數，T就叫這個函數的周期。 若所有周期Ｔ中存在一個最小的正數，則稱它為最小正周期。
結論：⑴定義域雙側無界。
⑵周期T：有正周期必有負周期；有負周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期。
性質：此時周期函數的性質可變為：
(1) 若T是f(x)的周期，則-T也是f(x)的周期；
(2) 若T是f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期，其中k是非零整數；
(3) 若T1、T2是f(x)的周期，則T1±T2也是f(x)的周期；
(4) 若T是f(x)的最小正周期，則f(X)的所有周期組成的集合為{t|t=kT,k∈Z, k≠0}；
(5 若f(x)是周期函數，則f(x)的定義域一定是雙側無界的。
2. 嚴格按照課本，如果課本上沒有明確定義，我想像高考這種考試會避開這類問題。因為這種定義，是觀察了實際中的事物或現象后，在數學上找一個可以反映這種規律的數學定義，很難說哪一種定義更符合人們的初衷，而且還可能會有一些奇怪的例子，很不符合最初的觀念。
2012.03.07

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