資源簡介

17.1.1反比例函數的意義
一、教材分析
（一）教材內容
本節課主要從學生的已有生活、知識經驗出發，通過豐富的實例，讓學生理解并掌握反比例函數的意義，進一步體會函數的變化與對應思想和模型作用。并滲透類比、歸納等學法指導。
（二）地位作用
本節課是在學生學習了一次函數和正比例函數的基礎上進行學習的，為以后更高層次函數的學習奠定了堅實的基礎，因此本節內容在教材中占有重要地位。
（三）教學重點與難點
重點:反比例函數的概念及其簡單應用。
難點: 反比例函數概念的探索和形成過程。
（四）教學目標
知識技能目標：理解反比例函數的實際意義，并會判斷反比例函數。
過程方法目標：在學習的過程中，通過學生的觀察、比較、分析、概括以及歸納等方法，發現問題、解決問題，發展其合情推理能力和邏輯推理能力。
情感態度目標：通過本節知識的學習，使學生體驗數學與生活的緊密相連，感受數學的應用價值，激發學生的學習興趣。
二、學情分析
本學段學生正處于思維能力培養和形成正確的人生觀、世界觀的重要時期。他們感受新事物的能力很強，思維活躍，富于創造力。但受年齡等因素的影響，注意力不持久，對抽象的數學問題缺乏興趣。這就需要教師創設生動、有趣的問題情境，激起學生的探究欲望。
三、教法學法
2. 說學法
四、教學過程
1.創設情境、提出問題
復習提問：
你還記得自變量、函數和函數值的概念嗎？我們都學了什么函數？
答：一次函數，正比例函數
還存在其他函數嗎？
2.師生互動、共同探究
實例一
我校車棚工程已經啟動，規劃地基面積為36平方米的矩形，設邊長為x（米），求另一邊長 y（米）與 x（米）的對應關系式。
分析：由矩形面積=長 × 寬 得：xy=36即
討論： y與x 之間有什么關系？討論過后告訴學生具有形如的形式時，y與x成反比例關系。
實例二
小明家距離學校1000米，設小明步行回家的速度為v（米/秒），時間為t(秒)，求：v與t的對應關系式。
分析：我們知道由公式有：s=vt 由題意得：s=1000即
經實例一的分析同學們很容易判段: v是t 的函數且變量之間具有反比例的關系！
討論與思考：這個函數關系式與上式在形式上有什么共同點？
（結論：自變量都是分式的分母，當自變量為0時，分式無意義。）
實例一:
實例二:
相同點：自變量只有一個；都有一個常數k且k不為0。
不同點：自變量在解析式中的位置不同。
得出概念：一般地，形如 （k是常數，k≠0 ）的函數叫做反比例函數 .其中 x是自變量，x≠0 ．
注：⑴ k的取值： k為常數，k≠0．
⑵ x 的取值：x 是不為0的一切實數．
3.啟發誘導、實際應用
例．已知y是x的反比例函數，當x=2時，y=6
（1）寫出y與x的函數關系式;（2）求當x=4時y的值。
解：(1)設，把x=2，y=6代入得: k=12
　所以，y與x的函數關系式為
(2)把x=4代入得:y=3
4.反饋矯正、注重參與
練習1 ：下列函數關系中，x均表示自變量。哪些是反比例函數？若是反比例函數則k的值是多少？
（1） (2) (3) (4)
練習2：已知y是x2 的反比例函數，且當x=3時 y=1.
(1)寫出y和x2 之間的函數表達式.
(2)求x=1.5時y的值.
5.課堂小結
這節課我們學了什么新知識？你有什么新收獲？你還有什么不懂的地方嗎？（充分體現學生的主體地位，培養學生語言概括能力）
6.課后作業
必做題: 46頁 1、2 題
選做題: 47頁 5題
五、板書設計
四、教法學法分析
教法設計：本節課主要采用設置問題情境法、引導發現歸納法和啟發式教學方法。
學法指導：學生用類比歸納法、合作探究法來學習本節內容。
六、教學過程分析
環節 問題情景 師生活動 設計意圖
創設情景 復習引入 1、引入：哪些同學利用假期去看了世博？你們分別乘坐了什么交通工具？其中坐汽車的同學分別用了多長時間 （旅游大巴約20小時、普通客車約26小時、小型轎車約17小時…）從宜昌到上海的汽車都走的是滬蓉高速,全程約1300公里，為什么路程一樣,時間不同？(速度不同)計算一下這三種車的平均速度,哪種最快？路程一定時,速度和時間是什么關系？(反比例）s=vt2、多媒體展示問題情景：（1）學校要建一個面積為100m的矩形花壇,花壇的長a(單位：m)和寬b(單位：m)有怎樣的關系？(2)三峽人家（國級AAAA級旅游區、湖北省十佳景區、新三峽十景之一）2009年旅游總收入為6000萬（單位：元），人均旅游消費y(單位：元／人)和游客人數x(單位：人)有怎樣的關系？（3）2010年,中國森林面積約為20000萬公頃,人均占有森林面積s (單位：公頃／人)與全國人口n（單位：人）有怎樣的關系、3、上述關系中,哪些是變量？哪些是常量？（引出函數、一次函數的復習）將上述關系式改寫成函數解析式的常見形式。 教師活動：1、教師設置并展示一系列問題情景，引導學生回憶、思考、交流。在學生回答問題時，進行板書：項目路程s(km）時間t(km）速度v(km∕h)普客130026大巴130020小車130017幫助學生體會時間與速度間變化與對應的關系。2、教師在設問過程中板書學生得出的關系式，為后面數量關系的分析、改寫函數關系式做準備。學生活動：學生思考、交流、回答問題,回憶起反比例知識,初步感知反比例函數模型中的變化與對應思想。 1、設置這樣的引入既符合本章的研究主題“變化與對應”,體現了引言中的“不管速度和時間如何變化,兩者之間的乘積卻是一個常數——兩地之間的路程”反比例函數特征,又能自然過渡到本節課的學習。2、創設情景,符合學生的生活經驗,有利于激發學生興趣；有利于知識發生、發展和形成；有利于感受生活中處處有數學。3、設置問題串,喚醒學生記憶,做好新舊知識的銜接。4、簡單感知變化與對應思想，引入新課。
類比歸納形成概念 1 、上面問題中的函數有什么共同特點？2、你還能舉出一些形如這樣的函數解析式嗎 3、你能否根據它們的共同特點寫出這種函數的一般形式？4、類比一次函數的定義，你能嘗試給這一類函數一個定義嗎？形如的函數稱為反比例函數（k為常數，k≠0）5、對于自變量x的取值有沒有限制條件？為什么？（x=0時無意義，所以自變量的取值范圍是不等于0的一切實數.）6、①辨析反比例函數②反比例函數還可能以別的什么形式出現嗎？7、活動：你知道生活中還有哪些量是反比例函數關系 舉例交流，并用解析式表示變量之間的關系。 學生親身經歷觀察、思考、抽象、概括、補充、完善的過程,從不同的問題情境中抽象出相同的數學模型—反比例函數。1、 類比一次函數，嘗試用數學語言表達反比例函數概念。2、思考并理解自變量的取值范圍是不等于0的一切實數；自己舉例并辨析同學所舉例子是否符合要求。3、學生通過討論交流，總結出反比例函數的變式形式：4、舉例、交流、深刻體會在反比例關系中“不管函數和自變量如何變化,兩者的乘積始終是一個常數。”教師提出問題,引導學生在得出并理解反比例函數的意義,關注學生思考過程。1、引導學生觀察、思考、類比、歸納出反比例函數的概念。2、引導學生理解（k為常數，k≠0）中y與x具有對稱性,兩者地位是對等的,x也是y的反比例函數。　3、 提示反比例函數的其他表示方法與一般形式的一致性。（k≠0）4、在舉例過程中部分學生能舉出實例，但不能用解析式刻畫變量間的關系，此時教師先引導分析例子中的等量關系，然后進行公式變形，寫出函數的一般形式，最后觀察這類關系的本質特征——不管函數和自變量如何變化，兩者的乘積始終是一個常數。 1、第1、2問引導學生從形式上觀察總結反比例函數的特征。2、第3問設計目的有二:一是檢查反饋學生對反比例函數形式的理解；二是豐富常數k的取值形式，澄清易錯點。3、第4、5、6、7問都是引導學生使用類比法、歸納法得出反比例函數的概念。對定義中的一些規定，學生答出來有困難時，教師可直接明示。4、活動環節的設計意圖是：盡可能認識生活中的反比例關系,明確反比例函數的意義,呼應引言中的“不管速度和時間如何變化,兩者之間的乘積卻是一個常數”。5、整個環節觀察類比、舉例交流、歸納總結、概念的形成自然流暢一氣呵成。
剖析例題延伸拓展 1、出示例題：已知y是x的反比例函數,當x=2時y=6。（1）寫出y與x的函數關系式: （2）求當x=4時y的值。2、設問：我們在一次函數中遇到過類似問題嗎？是怎樣解決的？3、變式：已知y與x+1成反比,當x=2時y=6. 寫出y與x的函數關系式。 1、學生在教師引導下回想用待定系數法求一次函數解析式的方法，類比解答例一。2、觀察比較變式與例題的異同，自行嘗試解題或者通過討論交流解題。3、教師巧妙引導學生解題,板書規范的解題過程。4、教師在學生遇到困難時，適當點撥，滲透整體代換思想。 1、引導學生類比一次函數中的待定系數法，對知識的適當回憶和再運用，縮小了新舊知識間的思維差距。2、變式題的設計適當增加學生知識技能訓練的難度，加深學生對反比例函數意義的認識，對基本技能達到熟練程度，體會整體代換思想。3、體會函數與自變量之間的單值對應關系，突出變化與對應的數學思想。
鞏固練習反饋學情 獨立作業：1、必做題 ：第40面課堂練習2、思考題：如果y是z的反比例函數，z是x的反比例函數，那么y與x具有怎樣的函數關系？ 1、學生獨立完成,交換評價。2、教師收集信息，根據反饋的學情查缺補漏，調整課堂進度，跟進指導。 1、這組練習題設計合理，所以選擇作為必做題。2、學生的解題速度不一樣,對學有余力的學生提供選作的思考題,滿足學生的多樣化的學習需求。
回顧反思小結升華 課堂小結:談收獲：本節課，在知識技能上，你有何收獲？學習方法上,有何進步？說困惑：通過本節課的學習,你還存在什么困惑？提設想：對反比例函數的后期學習，準備從哪些方面入手？ 1、這一環節，學生對本節課的知識技能、思想方法加以梳理歸納，完善知識體系。2、解決尚存困惑。3、提出后期學習的設想。 使學生對所知識進行再認識,得以鞏固和加深記憶,同時,也可以使所學知識系統化,知識更加趨于合理化。
七、教學反思
1、營造了民主，寬松的教學氛圍，建立了平等、和諧的師生關系。學生在輕松的心態下高效地學習。
2、情景設置有特色，切合學生實際，能讓學生產生共鳴；問題設置有思維梯度，環環相扣。學生積極參與教學全過程，親歷知識的發生、發展、形成過程，提高了探索能力和數學化意識。
1.說教法
多媒體 形象、生動、具體
啟發、師生互動主動性、積極性
觀察事物、發現問題、提出問題、解決問題的能力．
動手、動腦、動口
多觀察、動腦想、大膽猜、勤鉆研
主動
被動
學會
會學
創設情境提出問題
師生互動共同探究
啟發誘導實際運用
課堂小結
反饋矯正注重參與
布置作業
　
對比分析得出結論
反比例函數
1、反比例函數的概念： 3、練習：
2、例題： 4、作業：

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