資源簡介

第九章 排列、組合、二項式定理及概率基礎知識梳理
一、兩個基本原理：
⒈分類計數原理：（又稱加法原理）見書P.8421世紀教育網
⒉分步計數原理：（又稱乘法原理）見書P.85
二、排列數的概念及公式：
從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號表示. =n(n 1)(n 2)……(n m+1)[來源:21世紀教育網]
全排列：n個不同元素全部取出的一個排列.全排列數公式： =n！
三、組合數的概念及公式：
從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示. ==
記住：； 0！=1（這是規定）； =1（這是規定）； .
四、組合數的兩個性質：⑴；⑵.
五、排列、組合應用題的兩種基本解法：[來源:21世紀教育網]
⒈直接法（又稱提純法）：
從限制條件出發，把符合限制條件的排列數或組合數計算出來；
⒉間接法（又稱去雜法）：
先不考慮限制條件求出排列數或組合數，再減去不符合限制條件的排列數或組合數.
六、排列、組合題的常見題型： [來源:21世紀教育網]21世紀教育網
⑴相鄰問題：用“捆綁法”；
⑵不相鄰問題：用“插空法”；
⑶定序問題：有n個不同元素排成一排，其中m個元素的順序一定，則不同的排列種數是 ；
⑷分組問題（特別是均勻分組）：
例：把a1、a2、a3、a4、a5、a6六個元素分成三組，每組2個，有多少種不同的分法？
答：
⑸幾何問題：
⑹排列、組合混合問題：一般先組合后排列.
七、二項式定理：21世紀教育網
⒈二項展開式(a+b) n =
⒉二項展開式的通項：Tr+1=. Tr+1表示第r+1項
⒊二項式系數為，，，…，，…，.其性質有：
⑴；⑵；⑶+++……+=2 n；
⑷如果n是偶數，則的二項式系數最大；如果n是奇數，則則與的二項式系數與最大且相等；
⑸=2n 1（奇數項二項式系數和等于偶數項二項式系數和）.
⒋在運用二項式定理解題時，要注意下列問題：
⑴展開式的通項是第r+1項，不是第r項；21世紀教育網
⑵要區分展開式中某一項與項的系數，區分某一項的系數與二項式系數；21世紀教育網
⑶注意(a b) n展開式中各項的符號；
⑷二項式定理對任何實數a、b都成立，應注意賦值法的應用.
⒌二項式定理的應用主要有：
⑴指定項問題；⑵項（或系數）的最大、最小問題；⑶余數問題；
⑷近似計算問題；⑸整除或余數問題.21世紀教育網
八、概率：
⒈幾個概念：⑴必然事件；⑵不可能事件；⑶隨機事件；⑷互斥事件；⑸對立事件；
⑹相互獨立事件.
⒉等可能性事件的概率：
如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那
么每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率P（A）=.
⒊互斥事件有一個發生的概率：
如果事件A，B互斥，用A+B表示A，B中有一個發生，則有 P(A+B)=P(A)+P(B).
一般地，如果事件A1，A2，…An彼此互斥，那么有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
事件A的對立事件通常記作,根據對立事件的意義，A+是一個必然事件,所以有P(A)+P()=P(A+)=1， 即P()=1 P(A)
⒋兩個相互獨立事件同時發生的概率和獨立重復試驗：
⑴兩個相互獨立事件A，B同時發生記作A·B，則有P(A·B)=P(A)·P(B).
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，則有P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).
⑵如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率Pn(k)=.對此,我們也可以作這樣的理解：
①每一次試驗的結果只有A或之一發生，因此，n次獨立重復試驗中，“A發生k次”就是在n個結果中有k個A與(n k)個,而這n個獨立的結果一共有種排列次序.
②對每一種排列次序,可看做一個由獨立事件的積組成的事件,其概率可以用乘法定理求出：Pk·(1 P)n k.于是事件A發生k次的概率Pn(k)= .
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21世紀教育網第七章 解析幾何基礎知識梳理
一、直線：
㈠基本公式：
⒈兩點距離公式：已知點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則|P1P2|= .
⒉線段的定比分點坐標公式：
已知兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），點P（x，y）分有向線段的比是λ，即λ，
則x = ，y= .
⒊中點坐標公式：已知兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），線段P1P2的中點坐標是（x，y），
則x= ，y= .
⒋三角形的重心坐標公式：已知三角形的三點坐標A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），
△ABC的重心是G（x，y），則x= ，y= .
⒌斜率
⑴直線傾斜角的定義：
⑵直線斜率的定義：
⑶公式：已知兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），（x1≠x2），則kAB= .
注：已知三點A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），如何證明這三點共線？
㈡直線方程：
⒈直線方程的幾種形式：
名 稱 已 知 條 件 方 程 說 明
點斜式 點P（x0，y0）和斜率k 不包括與x軸垂直的直線
斜截式 斜率k和縱截距b21世紀教育網 不包括與x軸垂直的直線
兩點式 兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2） x1≠x2且y1≠y2
截距式 在x軸、y軸上的截距分別是a、b 不包括平行于坐標軸及經過原點的直線
一般式 A、B不全為0
注：已知兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則直線P1 P2的方程總可寫為（不要討論）：
.
⒉特殊位置的直線方程：
⑴垂直于x軸的直線方程是 . y軸的方程是 .
⑵垂直于y軸的直線方程是 . x軸的方程是 .
⑶過原點的直線（除y軸）方程是 .
⑷求過點P（x0，y0）（不是原點）且在坐標軸上的截距相等的直線方程時應考慮哪幾種情況？
㈢點P（x0，y0）與直線l：Ax+By+C=0的位置關系：
⒈P在直線l上，則有 .
⒉P在直線l外， P到直線l的距離為d，則d=
㈣兩直線l1和l2的位置關系：
⒈斜率存在，直線l1：y=k1x+b1，直線l2：y=k2x+b2，則
⑴l1與l2相交 ；⑵l1∥l2 ；⑶l1與l2重合 ；
⑷l1⊥l2 .
⒉斜率不一定存在，直線l1：A1x+B1y+C1=0，直線l2：A2x+B2y+C2=0，則：
⑴l1與 l2相交 ；
⑵l1∥ l2 ；
⑶l1與 l2重合 ；
⑷l1⊥ l2 .
⒌兩相交直線交點坐標的求法：
⒍兩平行線之間的距離：
直線l1：Ax+By+C1=0，直線l2：Ax+By+C2=0，則l1與l2間的距離d= .
過兩定點P、Q分別作傾斜角相等的直線，這兩條平行直線間距離的最大值是 .
㈤對稱：
⒈請填以下空格，并記住結論：
點P坐標 關于什么對稱 對稱點P/ 的坐標 備 注
（a，b） 點（x0，y0） 可直接用
（a，b） 原點 可直接用
（a，b） x軸21世紀教育網 可直接用
（a，b） y軸 可直接用
（a，b） 直線x-y=0 可直接用
（a，b） 直線x+y=0 可直接用
（a，b） 直線x-y+c=0 只用于選擇、填空題
（a，b） 直線x+y+c=0 只用于選擇、填空題
注：若對稱軸的斜率不是±1，沒有上述結論！只可用下面的方法求：
設P（x0，y0）關于直線Ax+By+C=0的對稱點Q的坐標是（x，y），則
⑴當A=0且B≠0時，則x= ，y= ；
⑵當B=0且A≠0時，則x= ，y= ；
⑶當AB≠0時，則
㈥直線系：
1、直線系的定義：
具有某種共同特征的直線的集合叫做直線系，它的方程叫做直線系方程.
2、常見的直線系方程：
⑴過定點P（x0，y0）的直線系方程是 .
⑵斜率是k的直線系方程是 .
⑶與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是 .
⑷與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是 .
⑸在x軸和y軸上截距的和是10的直線系方程是 .
3、設直線l1：A1x+B1y+C1=0和直線l2：A2x+B2y+C2=0相交于P點，則經過P點的直線
系方程是 .
4、如何證明直線系過定點？
㈦二元一次不等式表示的平面區域：
⒈當B＞0時，⑴點P（x1，y1）在直線l：Ax+By+C=0的上方 ；
⑵點P（x1，y1）在直線l：Ax+By+C=0的下方 .
⒉當B=0，A＞0時，⑴點P（x1，y1）在直線l：Ax+C=0的右方 ；
⑵點P（x1，y1）在直線l：Ax+C=0的左方 .
㈧簡單線性規劃問題最優解的解題步驟：
⒈畫可行域；
⒉畫斜率是k的直線系；
⒊根據直線系掃過可行域的情況，判別直線在哪一點處縱截距有最小值，在哪一點處21世紀教育網
縱截距有最大值；
⒋求出縱截距最大、最小時相應的點的坐標，即最優解；[來源:21世紀教育網]
⒌根據最優解求出目標函數的最大值或最小值.
㈨基本練習題：
⒈已知直線l：(2m2-7m+3)x+(m2-9)y+3m2=0,當傾斜角α=45°時,m= ；當m=
時, l平行于y軸；當m 時, l在y軸上的截距為4.
⒉已知直線kx+2y-3=0過點(1,1),則k= ；若它與直線2x-y+5=0垂直,則k= ；
此時兩直線交點坐標為 ；兩直線與x軸圍成的三角形的面積為 .
⒊若P＜-1,則原點到直線xcosθ+ysinθ+p=0的距離為 .
⒋已知直線l1：(a-1)x-2y+3=0、l2：x-ay+1=0，當a= 時，l1∥l2；
當a= 時，l1⊥l2；當a= 時，l1、l2所成的角等于45°.
⒌直線l過點A (-2,2)且和兩坐標軸圍成的三角形面積等于1,則直線l的斜率k= .
⒍不論k取何值,直線(2k-1) x-(k+3)y-(k-11)=0必過定點 .
三、圓：
㈠圓的定義； .
㈡圓的方程：
⒈標準方程： ；圓心坐標是 ，半徑是 .
⒉一般方程： ；圓心坐標是 ，半徑是 .
注：⑴若已知條件與圓心或半徑有關，通常用標準式求圓方程；若已知條件是不共線的
三點，通常用一般式求圓的方程.
⑵以A(x1,y1),B(x2,y2)兩點為直徑端點的圓的方程是 .
㈢點與圓的位置關系：
已知點P(x0,y0)與圓C方程(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0),則：
點P在圓C上 或 ；
點P在圓C外 或 ；
點P在圓C內 或 .
㈣直線與圓的位置關系：
直線與圓的位置關系有 、 、 三種.判別方法如下：
判別方法（一）根據圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系：
d＜r ；d=r ；d＞r .
判別方法（二）利用一元二次方程的判別式△與0的大小關系：
△＞0 ；△=0 ；△＜0 .
㈤當直線與圓相交時，弦長公式是弦長l= .
㈥當直線與圓相切時，切線方程的求法：
⒈過圓上一點P(x0,y0)的切線方程的求法：這時切線只有一條!通常用“替換法則”：
⒉過圓外一點P(x0,y0)的切線方程的求法：這時切線總有兩條!通常用點斜式，但要討論斜率存在與否.在求斜率時，通常有兩種方法：
⑴圓心到切線的距離等于半徑；
⑵切線方程與圓方程聯立消去一元得到另一元的二次方程后令判別式△=0.
注意：不論用哪一種，如果求出的斜率k只有一解，說明另一條切線的斜率不存在.
⒊已知圓C方程及圓的切線的斜率K，如何求切線方程？通常用斜截式方程，即設切線
方程為y=kx+b，仿照上面（⒉中的⑴⑵兩點，任選其一）求出b.
㈦圓與圓的位置關系：
設⊙C1、⊙C2的半徑分別是r1、r2，圓心距|C1C2|=d，則：
外 離 外 切 相 交21世紀教育網 內 切 內 含
㈧兩圓相交時公共弦所在直線方程的求法： .
㈨兩圓相切時過切點的公切線方程的求法： .
㈩過圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一點P(x0,,y0)引圓的切線,
則切線長t= 或 .
(十一) 過圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一點P(x0,,y0)引圓的兩條切線,切點
為A、B，則直線AB方程為 .[來源:21世紀教育網]
四、橢圓：
㈠橢圓的定義、方程和性質：
定 義21世紀教育網 ⒈21世紀教育網[來源:21世紀教育網][來源:21世紀教育網]
⒉
標準方程
圖 形
范 圍
頂 點
焦 點
焦 距
中 心
長短軸長
a、b、c的關系
對 稱 性
離 心 率定 義 ⒈
⒉
離 心 率公 式
準線方程
焦點到準線的距離
在橢圓第一定義中,注意“2a＞|F1F2|”這個條件,若2a=|F1F2|,這時動點軌跡是 .
橢圓的兩個標準方程 、，
這兩個標準方程可以合并為一個：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，且A≠B）.
㈦橢圓上任一點到一焦點的最大距離是 ；最小距離是 .
㈧橢圓的焦點弦長最大值是 ；最小值是 .
㈩兩個重要結論：
⒈橢圓長軸的兩個端點為A1、A2,短軸的一個端點是B,
P是橢圓上任一點,則∠A1PA2≤∠A1BA2；
⒉橢圓的兩個焦點為F1、F2,短軸的一個端點是B,
P是橢圓上任一點,則∠F1PF2≤∠F1BF2.
五、雙曲線：
㈠雙曲線的定義及性質：
定 義 ⒈
⒉
標準方程
圖 形
范 圍
頂 點
焦 點
焦 距
中 心
實軸虛軸長
a、b、c的關系
對 稱 性
離 心 率定 義 ⒈
⒉
離 心 率公 式
準線方程
焦點到準線的距離
漸 近 線方 程
⒈在雙曲線的第一定義中，應注意“差的絕對值”及“2a＜|F1F2|”.
⑴若僅僅是“差是定值“，則動點軌跡是雙曲線的一支；
⑵若2a=|F1F2|（其中a≠0），則動點軌跡是兩條射線.
⒉雙曲線的兩個標準方程、，
這兩個標準方程可合并為一個：Ax2 By2=1 （A·B＞0）
㈡在雙曲線的性質中要記住：
㈢等軸雙曲線的標準方程可設為 ，它的離心率e= .
㈤共漸近線問題：
⒈以直線y=±x為漸近線的雙曲線方程為
⒉與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為 .
六、拋物線：
㈠拋物線的定義、標準方程、性質：
定 義
圖 形
標準方程
范 圍
焦點坐標
準線方程
對稱軸方程
頂點坐標
離 心 率
拋物線的標準方程有四個，y2=±2px(p>0), x2=±2py(p>0),其中p是焦點到準線的距離.
焦點在x軸上的兩個方程y2=±2px(p>0),可合并為：y2=ax(a≠0),焦點F(),準線x= ；
焦點在y軸上的兩個方程x2=±2py(p>0),可合并為：x2=ay(a≠0), 焦點F(),準線y= .
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y
y
B1
B2
B2
A2
B1
A2
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·
F2
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·
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x
F2
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·
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x
y
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P
A2
B
y
F1
x
o
P
F2
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·
·
·
·
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A1
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F2
l1
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A2
A1
F2
l2
l1
F1
o第八章 直線與平面基礎知識梳理
一．平面的性質
公理一：
公理二：
公理三： 21世紀教育網
推論1
推論2
推論3
二．異面直線
公理四：
（注：平行公理 ）
等角定理
異面直線的定義
空間兩條直線的位置關系有
異面直線的判定定理
異面直線所成角的定義
異面直線的公垂線及距離的定義 21世紀教育網
三．若干問題的證明方法
㈠．共面（點、線）及異面問題
1．如何證明若干條直線共面？
⑴
⑵
（注：如何證明兩個平面重合？）
2．如何證明若干條直線共點或若干點共線？
3．如何證明兩條直線是異面直線？
⑴直接證明，即用
⑵間接證明：①
②
㈡．平行問題：
1．如何證明線線平行？[來源:21世紀教育網]
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸
2．如何證明線面平行？
⑴ ⑵ [來源:21世紀教育網]
⑶
3．如何證明面面平行？21世紀教育網
⑴ ⑵
⑶ ⑷
㈢．垂直問題：
1．如何證明線線垂直？
⑴ ⑵
⑶ ⑷
2．如何證明線面垂直？21世紀教育網
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
3．如何證明面面垂直？
⑴ ⑵
四．線面、面面平行或垂直的性質
㈠．線面平行的性質：
⒈ ⒉
⒊ ⒋
㈡．線面垂直的性質：
⒈ ⒉
㈢．面面平行的性質：
⒈ ⒉
⒊ ⒋
⒌ ⒍ [來源:21世紀教育網]
㈣．面面垂直的性質：
⒈ ⒉ 21世紀教育網
⒊ ⒋
五．幾個唯一性定理
㈠．線面垂直的唯一性定理 ⒈
2．
㈡．面面平行的唯一性定理
六．角
㈠．異面直線所成角
1．定義（見前） ⒉范圍
3．求法 ⑴平移法；⑵中點法；⑶補形法；⑷利用異面直線上任意兩點間的距離公式
㈡．直線與平面所成的角
1．斜線與平面所成的角的定義
2．最小角定理
3．范圍⑴斜線與平面所成的角的范圍
⑵直線與平面所成的角的范圍
七．距離
㈠．兩點間的距離
㈡．點到直線的距離
㈢．兩平行線間的距離
㈣．異面直線間的距離的常見求法
㈤．異面直線上任意兩點間的距離公式
㈥．點到平面的距離21世紀教育網
㈦．線面平行時，直線與平面的距離
㈧．兩平行平面間的距離
八．幾個重要結論
㈠．正方體中體對角線與面對角線若異面，則它們必
㈡．經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是
㈢．斜線AB在平面α上的射影是AD，ACα，設∠BAD=θ1，∠CAD=θ2，∠BAC=θ，則有 。
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21世紀教育網第十章 統計與導數基礎知識梳理
一. 初中統計初步復習：
⒈平均數：
如果有n個數：x1，x2，…，xn，那么
⑴=叫做這n個數的平均數.讀作“x拔”.
⑵平均數的另一種求法
=，其中a是接近于這組數的平均數的較“整”的一個數，
=，，，…，.
⑶加權平均數：
如果在n個數中，x1出現f1次，x2出現f2次，…，xk出現fk次，這里f1+f2+…+fk=n，
則這n個平均數可表示為=，這個平均數叫做加權平均數，
其中f1，f2，…，fk叫做權.
⒉總體、個體、樣本、樣本的容量：
在統計里，我們把所要考察對象的全體叫做總體,其中的每一個考察對象叫做個體,
從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本,樣本中個體的數目叫做樣本的容量.
總體中所有個體的平均數叫做總體平均數，樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數.
通常我們用樣本平均數取估計總體平均數.[來源:21世紀教育網]
⒊眾數與中位數：
在一組數據中出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數.將一組數據按大小依次排列,
把處在最中間的一個數據（或最中間的兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數.
眾數與中位數從不同的角度反映了這組數據的集中趨勢.
⒋方差與標準差：
設在一組數據x1，x2，…，xn中，各數據與它們的平均數的差的平方分別是，21世紀教育網
,…,,那么我們把s2=叫做這組數據的方差.方差的算術平方根s=叫做這組數據的標準差.
方差公式的另一種表達式：s2=
方差與標準差用來衡量這組數據波動的大小,方差或標準差越大,說明這組數據的波動越大.
⒌頻數與頻率：
各個小組內的數據個數叫頻數，每一小組的頻數與數據總數的比值叫做這一小組的頻率.
二、抽樣方法
⒈簡單隨機抽樣：
設一個總體的個數為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣.
⑴可以證明，如果用簡單隨機抽樣從個體數為N的總體中抽取一個容量n的樣本，那么每個個體被抽到的概率都等于 .
⑵簡單隨機抽樣的兩種常用方法是：① ；② .
⒉系統抽樣：
當總體中的個數較多時，采用簡單隨機抽樣顯得較為費事，這時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先定出的規則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統抽樣.
系統抽樣步驟：
⑴編號：⑵分段；⑶在第1段任定一個起始號；⑷按預定規則在其它各段取號.
⒊分層抽樣：
當已知總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.
三種抽樣方法的比較
類別 共同點 各自特點 相互聯系21世紀教育網 適用范圍
簡單隨機抽樣 抽樣過程中每個21世紀教育網個體被抽取的概率相等21世紀教育網[來源:21世紀教育網] 從總體中逐個抽取 總體中的個體數較少[來源:21世紀教育網]21世紀教育網
系 統抽 樣[來源:21世紀教育網] 將總體均分成幾部 分，按事先確定的規則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個體數較多
分 層抽 樣 將總體分成幾層，分層進行抽取 各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成
三、頻率分布直方圖：
當給出一批數據后畫頻率分布直方圖的步驟：
⒈計算最大值與最小值的差；
⒉決定組距與組數；（當數據在100個以內時，按照數據的多少，常分成5～12組）
⒊決定分點；（分點要比已知數據多一位小數）
⒋列出頻率分布表；
⒌畫出頻率分布直方圖.
四、導數：
⒈導數及導函數的定義
⒊導數公式：
⑴若C為常數，則（C）/=0；
⑵（xn）/=nxn-1 （n∈N*）
⒋求導法則：
⑴[f(x)±g(x)]/=f /(x)±g /(x)；
⑵[C·f(x)]/=C·f /(x) （其中C為常數）
⒌導數的應用：
⑴判別函數的單調性，求函數的單調區間；
求函數單調區間的一般步驟：
①確定函數的定義域； ②求導數f /(x)；
③令f /(x)＞0f (x)的增區間，令f /(x)＜0f (x)的減區間.
⑵求可導函數的極值（在某點x0附近的最值）；
求可導函數f (x)的極值的一般步驟：
①求導數f /(x)； ②令f /(x)=0，求出它的根；
③檢查f /(x)在f /(x)=0的根左右的符號，如果在根的左側附近為正、右側附近為負，
則函數f (x)在這個根處取極大值；如果在根的左側附近為負、右側附近為正，則函
數f (x)在這個根處取極小值.
說明：解這類問題時通常要列表.
⑶求可導函數在閉區間上的最值.
求可導函數f (x)在閉區間[a，b]上最值的一般步驟：
①求函數y=f(x)在開區間（a，b）內的極值（極大值與極小值）；
②將函數y=f(x)在開區間（a，b）內的所有極值與f (a)、 f (b)作比較，其中最大的一
個為最大值，最小的一個為最小值.
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21世紀教育網第六章 不等式基礎知識梳理
一.知識結構
二、不等式的性質：
⒈a-b＞0 ；a-b=0 ；a-b<0 ；
⒉a＞b ；（可逆性）
⒊a＞b，b＞c ；（傳遞性）
⒋a＞b a+c＞b+c；（填或或或 ） 該性質是移項法則的依據
⒌a＞b，c＞0 ；a＞b，c<0 ；
⒍a＞b，c＞d ；（同向不等式相加法則）
a＞b，c＜d ；（※異向不等式相減法則）
⒎a＞b＞0，c＞d＞0 ；（正數同向不等式相乘法則）
⒏a＞b＞0，0＜c＜d ；（※正數異向不等式相除法則）21世紀教育網
⒐若a、b同號（即ab＞0），且a＞b，則；（同號兩數的倒數法則）
⒑a＞b＞0，n∈N，且n＞1 ；（正數乘方法則）[來源:21世紀教育網]
⒒a＞b＞0，n∈N，且n＞1 ；（正數開方法則）
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三、常用的基本不等式：
⒈設a∈R，則a2≥0
⒉設a、b∈R，則a2+b2≥2ab； ；（當且僅當 時取等號）
⒊當ab＞0時，≥ ；（當且僅當 時取等號）
⒋※設a、b、c∈R，則a2+b2+c2≥ ；（當且僅當 時取等號）
※a2+b2+c2≥；（當且僅當 時取等號）.
⒌均值不等式：
⑴設a、b∈R+，則；（當且僅當 時取等號）
基本變形：a+b≥2；ab≤.這兩個不等式分別用于求最小值和最大值.
即：①已知兩個正變數的積是一個常數,則當且僅當這兩個數相等時,它們的和取最小值；
②已知兩個正變數的和是一個常數,則當且僅當這兩個數相等時,它們的積取最大值.
⑵※設a、b、c∈R+，則；（當且僅當 時取等號）
基本變形：a+b+c≥3；abc≤.
這兩個不等式分別用于求最小值和最大值.
⒍設0＜a≤b，則≤≤≤≤≤；
三、證明不等式的常用方法：
⒈比較法：⑴差比法：A-B≤0A≤B；A-B≥0，A≥B.
⑵商比法：≥1（B＞0）A≥B.
⒉綜合法：從已知條件出發,運用不等式的性質和基本不等式推出所要證的不等式
它的核心是——由因導果.
⒊分析法：從求證的不等式出發,分析使這個不等式成立的充分條件,把證明不等式的問題
轉化為判斷這些條件是否具備的問題,如果能肯定這些條件成立,即可得證.
它的核心是——執果索因.
四、不等式的解法：
⒈一元一次不等式：ax＞b（a≠0）[來源:21世紀教育網]
注意：①會解含字母系數的不等式：例 解關于x的不等式：2x-a＜ax+4.
②會解一元一次不等式組.
⒉一元二次不等式：ax2+bx+c＞0（a＞0）
①△＞0， ；②△=0， ；③△＜0， .
注意；含有字母系數的一元二次不等式同樣要進行討論.
⒋分式不等式：（可轉化為一、二次不等式）
① ；② ；
；④ .
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高考資源網第二章 函數基礎知識梳理
一、函數：
1.函數的近代定義：如果A、B都是非空數集，那么A到B的映射f ：A→B就叫做A到B的函數，記作y=f (x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函數y=f (x)的定義域，象集合C（CB）叫做函數y=f (x)的值域.
函數的三要素是： 、 、 .
⒊函數的表示法：解析法、列表法、圖象法.
⒋關于區間的概念：21世紀教育網
⑴滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合叫做閉區間，表示為 ；
⑵滿足不等式a＜x＜b的實數x的集合叫做開區間，表示為 ；
⑶滿足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別表示為
或 .
以上的實數a與b都叫做相應區間的端點.
⒌函數解析式的求法：⑴換元法；⑵待定系數法.
⒍求函數定義域的主要依據：
⑴分式中的分母不為0；⑵偶次根式的被開方數不小于零；⑶對數的真數大于零；
⑷零指數冪的底數不等于零；⑸指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1；[來源:21世紀教育網]
⑹對于應用問題，要注意自變量所受實際意義的限制.
⒎求函數值域的方法有：⑴配方法；⑵換元法；⑶判別式法；⑷單調性法；
⑸基本不等式法；⑹數形結合法；三、函數的單調性：
⒈函數單調性的定義：
如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1＜x2時, 都有f (x1)＜f (x2),那么就說f (x)在這個區間上是增函數. 這個區間叫增區間.
如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1＜x2時, 都有f (x1)＞f (x2),
那么就說f (x)在這個區間上是減函數. 這個區間叫減區間.
注意：函數的單調區間(增區間或減區間)是其定義域的子集；函數的定義域不一定是函數的單調
區間.
⒉函數單調性的判別方法：21世紀教育網
圖象法.若函數f (x)的圖象在區間D上從左至右是上升(下降)的,則f (x)在區間D上是增(減)函數；
定義法.其一般步驟是：
值.在所給區間上任取x1＜x2；②作差f (x1) f (x2)；③變形.分解因式或配方等；④定號.看 f (x1) f (x2)的符號；⑤下結論.
⑷利用函數單調性的判定定理：用定義可直接證出.
①函數f (x)與f (x)+c(c為常數)具有相同的單調性；
②當c＞0時,函數f (x)與cf (x)具有相同的單調性；當c＜0時,函數f (x)與cf (x)具有相反的單調性；
③若f (x)≠0,則函數f (x)與具有相反的單調性；
④若f (x)≥0,則函數f (x)與具有相同的單調性；
⑤若函數f (x), g(x)都是增函數,則f (x)+g(x)也是增函數； (增+增=增)
⑥若函數f (x), g(x)都是減函數,則f (x)+g(x)也是減函數； (減+減=減)
⑦若函數f (x)是增函數, g(x)是減函數,則f (x) g(x)也是增函數；(增 減=增)
⑧若函數f (x)是減函數, g(x)是增函數,則f (x) g(x)也是減函數；(減 增=減)
另外還有以下幾個重要結論：（用定義可直接證出）
⒊一些特殊函數的單調性：
⑴一次函數y=kx+b,當k＞0時,在R上是 ；當k＜0時,在R上是 .
⑵二次函數y=ax2+bx+c,
當a＞0時,在( ∞,]上為 ,在[,+∞)上為 ；21世紀教育網
當a＜0時,在( ∞,]上為 ,在[,+∞)上為 .
⑶反比例函數y=,當k＞0時,在( ∞,0),(0,+∞)上都是 ；
當k＜0時,在( ∞,0),(0,+∞)上都是 .
⑷指數函數y=ax,當a＞1時,在R上是 , 當0＜a＜1時,在R上是 .
⑸對數函數y=logax,當a＞1時,在(0,+∞)是 , 當0＜a＜1時,在(0,+∞)是 .
⑹*記住重要函數y=x+的單調性,并會證明：21世紀教育網
當x＞0時，函數在(0,)上單調遞減,在[,+∞]上單調遞增；
當x＜0時，函數在 上單調遞減,在 上單調遞增.
四、函數的奇偶性：
⒈函數奇偶性的定義：
如果對于函數f (x)的定義域內任意一個x,都有f ( x)=f (x),那么函數f (x)叫做偶函數.
如果對于函數f (x)的定義域內任意一個x,都有f ( x)= f (x),那么函數f (x)叫做奇函數.
注意：⑴由定義可知,函數具有奇偶性的必要條件是定義域關于 對稱.
⑵函數的奇偶性可分為四類：奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數(此時我們說該函數
具有奇偶性)、既不是奇函數又不是偶函數(此時我們說該函數不具有奇偶性).
注意：設函數f (x)的定義域關于原點對稱,那么函數f (x) 既是奇函數又是偶函數的充要條
件是f (x)恒等于0.
例：f (x)=0,x∈( 1,1)；f (x)=0,x∈[ 2,2]；f (x)=等等.
⒉具有奇偶性函數的圖象特征：
⑴奇函數圖象關于 對稱； ⑵偶函數圖象關于 對稱.
⒊判斷函數奇偶性的方法：
⑴圖象法；
⑵定義法.其一般步驟是：
①求函數的定義域,并判斷定義域是否關于原點對稱,若不對稱,則此函數不具有奇偶性；
若對稱,再進行第二步；
②判斷f ( x)與f (x)的關系,并下結論.
若f ( x)= f (x)且f (x)不恒等于0,則此函數為奇函數；21世紀教育網
若f ( x)=f (x)且f (x)不恒等于0,則此函數為偶函數；
若f ( x)= f (x)且f ( x)=f (x),則此函數為既是奇函數又是偶函數；
若f ( x)≠ f (x)且f ( x)≠f (x),則此函數為既不是奇函數又不是偶函數.
⑸奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具有
相反的單調性；
⑺若f (x)是奇函數，且f (0)有意義，則必有f (0)= .
f (0)=0是f (x)是奇函數的 條件.
六、函數圖象的變換：
⒈平移變換：
⑴y=f (x)的圖象沿x軸向右平移a (a＞0)個單位得到y=f (x a)的圖象；
⑵y=f (x)的圖象沿x軸向左平移a (a＞0)個單位得到y= f (x+a)的圖象；
⑶y=f (x)的圖象沿y軸向上平移a (a＞0)個單位得到y= f (x)+a的圖象；
⑷y=f (x)的圖象沿y軸向下平移a (a＞0)個單位得到y= f (x) a的圖象.
⒊對稱變換：
(一)兩個函數圖象的對稱關系：
⑴y=f (x)與y= f (x)的圖象關于x軸對稱；
⑵y=f (x)與y=f ( x)的圖象關于y軸對稱；
⑶y=f (x)與y= f ( x)的圖象關于原點軸對稱；
⑷y=f (x)與y= f 1(x)的圖象關于直線y=x軸對稱；
⑸y=f (|x|)的圖象是保留y=f (x)的圖象中y軸右邊部分,并作其關于y軸對稱的圖象, 再擦掉
y=f (x) 的圖象中y軸左邊部分而得到；
⑹y=|f (x)|的圖象是保留y=f (x)的圖象中x軸上方的圖象及x軸上的點,并將x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方去；
⑺*函數y=f (a+mx)與函數y=f (b mx)(a、b：m∈R,m≠0)的圖象關于直線x=對稱.
七、指數與指數函數：
⒈根式的定義：
⑴方根：如果一個數的n次方等于a (n＞1且n∈N*),那么這個數叫做a的n次方根.
即：若x n=a,則x叫做a的n次方根.
⑵根式：式子叫做根式,其中n叫做根指數,a叫做被開方數. 當n是偶數時,
表示正數a的正的n次方根.21世紀教育網
⒉根式的性質：
⑴()n = a； ⑵當n為奇數時,
當n是偶數時；.
⒊分數指數冪：
當a＞0,m、n∈N*且n＞1時,規定：
； ； ； 無意義.
⒋有理指數冪的性質：
⑴ar·as=ar+s (a＞0, r、s∈Q)；
⑵(ar)s=ar s (a＞0, r、s∈Q)；
⑶(ab)r=arbr (a＞0, b＞0,r∈Q).21世紀教育網
⒌指數函數：
⑴指數函數的定義：把形如y=ax(a＞0,且a≠1)的函數叫做指數函數.
⑵指數函數的圖象和性質：
y=ax(a＞0,且a≠1) a＞1 0＜a＜1
圖 象 [來源:21世紀教育網]
性 質 定義域
值 域
單調性
其 它性 質 ①x＞0時,y＞1；②x＜0時,0＜y＜1；③x=0時,y=1. 即圖象恒過點(0,1) ①x＞0時, 0＜y＜1；②x＜0時, y＞1；③x=0時,y=1. 即圖象恒過點(0,1)
八、對數與對數函數：
⒈對數的概念：
⑴對數的定義：如果a(a＞0,a≠1)的b次冪等于N，即ab=N,那么,數b叫做以a為底
N的對數.其中,a叫做對數的底數,N叫做對數的真數.
⑵常用對數：把以10為底的對數叫做常用對數,并記log10N為lgN.
⑶自然對數：把以e為底的對數叫做自然對數,并記logeN為lnN.
其中e=2.71828……,是一個無理數.
⑷對數恒等式：.
⒉對數的運算法則：
如果a＞0,a≠1,M＞0,N＞0,那么
⑴loga(MN)= logaM+logaN；⑵；⑶logaMn=n logaM.
⒊對數的三個性質：
⑴1的對數為0(即loga1=0)；⑵底的對數為1(即logaa=1)；⑶零和負數沒有對數.
⒋對數函數：
⑴對數函數的定義：把形如y=logax(a＞0,且a≠1)的函數叫做對數函數.
⑵對數函數的圖象和性質：
y=logax(a＞0,且a≠1) a＞1 0＜a＜1
圖 象
性 質 定義域
值 域
單調性
其 它性 質 ①x＞1時,y＞0；②0＜x＜1時, y＜0；③x=1時,y=0. 即圖象恒過點(1,0) ①x＞1時, y＜0；②0＜x＜1時, y＞0；③x=1時,y=0. 即圖象恒過點(1,0)
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21世紀教育網第四章 三角函數綜合復習
一、概 念
1、角 。
正角 負角 零角 。21世紀教育網
象限角 。
終邊相同的角 。
2、角度制 ；弧度制 。
1弧度角的規定 。
任意圓中圓心角弧度的算法 。
3、三角函數值的定義 。
單位圓 ；有向線段 。
三角函數線 。
4、三角函數值的符號判定：
三角函數 象限 第一象限 第二象限21世紀教育網 第三象限 第四象限
sinx
cosx
tanx
5、正弦型函數中：
振幅 ；周期 ；頻率 ；
相位 ；初相 。
二、公式
1、有關概念的公式：
終邊相同的兩角 ；任意圓中圓心角弧度大小 ；
角度與弧度的換算公式 ；
扇形的幾個面積計算公式 。
2、誘導公式：
A組(函數名不變，符號看象限)
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B組(函數名要變，符號看象限)
3、同角三角函數間的關系公式
（1）平方關系 ； ； 。
（2）商數關系 ； 。
（3）倒數關系 ； ； 。
4、直角坐標系中兩點間的距離公式 。
5、兩角和與差的三角函數及變形公式：
（1）；；。
6、二倍角公式：
；；。
（1）降冪公式：；；。
（2）半角公式：
；；
。
第四章 三角函數基礎知識梳理
二.本單元重點知識梳理
⒈角的概念與度量
限角—— ⑵軸上角——
⑶角度制與弧度制的換算：1弧度= 度；1度= 弧度.
⒉與角α終邊相同的角的集合是：
{β|β=k·360°+α ，k∈Z} 或{β|β=2kπ+α ，k∈Z}
⒊三角函數的定義與符號：
sinα= cosα= tanα=
當α在第 象限時,sinα的值是正的.
當α在第 象限時,sinα的值是負的.
當α在第 象限時,cosα的值是正的.
當α在第 象限時,cosα的值是負的.
當α在第 象限時,tanα的值是正的.
當α在第 象限時,tanα的值是負的.
⒌同角三角函數關系式：
⑴平方關系：sin2α+cos2α= ；1+tan2α= ；1+cot2α= .
⑵商數關系： ； .
⒍特殊角的三角函數值：
角度α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度α
sinα 21世紀教育網
cosα [來源:21世紀教育網] 21世紀教育網
tanα
⒏三角函數圖象及性質：
y=sinx y=cosx y=tanx
定義域
值 域
最 值
圖 象(一個周期) [來源:21世紀教育網]
周 期 [來源:21世紀教育網]
奇偶性
單調性 [來源:21世紀教育網]
對稱性
注意：⑴會用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象.
⑵y=Asin（ωx+φ）的圖象是由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到的？
⒐兩角和與差的三角函數、兩倍角的三角函數公式：
⑴sin（α±β）= ⑵cos（α±β）=
⑶tan（α±β）=
⑷sin2α= cos2α=
tan2α=
注意：
①公式的逆用，如：；
sin2－cos2=
②公式的變形，如：sinα·cosα= 1+cos2α= 1－cos2α=
降冪公式：sin2α= cos2α=
⑤會用和角公式求函數y=asinx+bcosx的最大值、最小值、周期、單調區間.
⒑三角形中的三角函數：
⑴在△ABC中，0＜A，B，C＜π，且A+B+C=π，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= cosC；
⑵正弦定理：
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC, 其中R是△ABC的外接圓的半徑.
a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.
⑶余弦定理：
a2 =b2+c2－2bccosA；b2 =a2+c2－2accosB；c2 =a2+b2－2abcosC.
或cosA= cosB= cosC=
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x
y
o
P (x,y)
r
α
函數
性質高中數學基礎知識梳理
一、集合
⒈集合的概念：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集；集合中的每一個對象叫集合的元素.
元素a在集合M內的表示法 ，元素a不在集合M內的表示法 .
⒉集合中的元素必須具備“三性”： 、 、 .
⒊空集的意義及記號：不含任何元素的集合叫空集，空集記作 ；
⒋常用數集及記號：
⑴非負整數集（零和正整數的全體）——N；⑵正整數集——N*或N+ ；
⑶整數集——Z； ⑷有理數集——Q； ⑸實數集——R. ⑹無理數集——CRQ[來源:21世紀教育網]
⒌集合的分類（按集合中的元素個數來分）：
⑴有限集——⑵無限集——
⒍集合的表示法：
⑴列舉法——把集合中元素一一列舉出來寫在大括號內；
⑵描述法——把集合中元素的公共熟性用語言或式子描述出來寫在大括號內，其基
本模式是{x| p（x）}.
⒎集合的形象表示法——韋恩圖，即用一條封閉的曲線圍成的圖形（內部）表示集合.
⒏子集、交集、并集、補集：
Ⅰ子集
⑴子集、真子集的意義：
對于兩個集合A、B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那么集
合A叫做集合B的子集，記作AB；如果A是B的子集，并且B中至少有一21世紀教育網
個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，記作A B.
⑵子集的性質：（用、 填空）
①A A， A，若A≠ ，則 A；
②若AB，BC，則A C；③若A B，BC，則A C；
④若AB，B C，則A C；④若A B，B C，則A C.
⑶子集的個數：
若集合A中有n個元素，則 ①集合A的子集個數是2 n；②集合A的真子集
個數是2 n 1；③集合A的非空真子集個數是2 n 2.
⑷集合相等的意義：若集合A與B含有相同的元素，稱它們相等，記作A=B；
集合相等的充要條件：A=B AB且BA.
Ⅱ交集
⑴交集的意義：
由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A、B的交集，
記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}
請根據右面的韋恩圖打出A∩B的陰影.21世紀教育網
⑵交集的性質：
①A∩A= ；②A∩ = ；③A∩B=B∩A；
④若A∩BA，則A∩BB；⑤若A∩BA，則AB.
Ⅲ并集
⑴并集的意義：
由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A、B的并21世紀教育網
集，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}
請根據右面的韋恩圖打出A∪B的陰影.
⑵并集的性質：
①A∪A= ；②A∪ = ；③A∪B=B∪A；
④A∪BA； ⑤A∪BB； ⑥A∪B=A BA
Ⅳ補集
⑴全集、補集的意義：
如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合叫做全集，全集通常用U表示；
設S是一個集合,A是S的一個子集（即AS）,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做集合A的補集（或余集）,記作CSA,即CSA={x|x∈S且xA}.
請根據右面的韋恩圖打出CSA的陰影.
⑵補集的性質:
①A∪CUA= ； ②A∩CUA= ； ③CUU= ；
④CU = ； ⑤CU（CUA）= ；
二、簡易邏輯
⒈命題概念：可以判斷真假的語句叫做命題.
⒉邏輯聯結詞：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞.
⒌真值表：表示命題的真假的表叫真值表.
⑴非p形式復合命題的真值表（填“真”或“假”）
p 非p
真
假
⑵p且q形式復合命題的真值表（填“真”或“假”）
p q P且q
真 真
真 假
假 真
假 假
⑶p或q形式復合命題的真值表（填“真”或“假”）
p q P或q
真 真 21世紀教育網
真 假
假 真
假21世紀教育網 假
⒍四種命題：
逆命題及逆命題的概念：
⑷四種命題的一般形式：（用符號“┐”表示否定）
①原命題：若p則q； ②逆命題： ；
③否命題： ； ④逆否命題： .
⑸四種命題之間的關系：在下列雙箭頭符號旁填上相應的文字）
⑹一個命題的真假與其他三個命題的真假關系：
①原命題為真，它的逆命題 ；
②原命題為真，它的否命題 ；
③原命題為真，它的逆否命題 .
⒎充分條件和必要條件：
⑴充分條件和必要條件的概念：
若p則q，即p q，我們說，p是q的 條件，q是p的 條件.
⑵充要條件的概念：
若p則q，且若q則p，即p q，我們說p是q的 條件，q是p的 條件.
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A
B
A
B
S
A
對p且q形式的復合命題，只要p和q中有一個是假即為 .
對p或q形式的復合命題，只要p和q中有一個是真即為 .
原命題
逆命題
逆否命題
否命題第五章 平面向量基礎知識梳理
一、向量的概念：
⒈有向線段： 叫做有向線段.
⒉向量： 叫做向量.
向量通常用有向線段或表示.
⒊向量的模：向量的 又叫做向量的模，記作 .
⒋兩個重要概念：
①零向量： 叫做零向量.記作 .
注意：零向量沒有規定它的方向，因此零向量的方向是任意的.
②單位向量： 叫做單位向量.
注意：單位向量的方向與它所在向量的方向相同.
⒌相等向量： 叫做相等向量. 向量與相等記作 .
⒍平行向量： 叫做平行向量. 向量與平行可記作 .
規定：與任一向量平行.即∥，∥，∥.
⒎共線向量： 叫做共線向量.
注意：若與是共線向量，則與的方向 ，它們所在的直線
它們的夾角是 .
⒏相反向量： 叫做相反向量.
的相反向量是 ， 的相反向量是 ，的相反向量是 .
⒐兩個非零向量和的夾角： .
二、向量的運算：
⒈向量的加法：
⑴向量與的和的定義：
⑵向量加法法則：①三角形法則（請畫圖于右）+（首尾相連）
②平行四邊形法則（請畫圖于右）+（起點相同）
⑶向量加法運算律：①交換律：
②結合律：
⑷特例：= ，= ，= .
⑸向量加法的坐標運算：設=（x1，y1），=（x2，y2），則= .
⒉向量的減法：
⑴向量與的差的定義：向量加上的相反向量叫做與的差，記作+( )= .
是怎樣的一個向量 答： .
⑵向量減法法則：設=，=，
則 =-= .（請畫圖于右）.21世紀教育網
重要結論：設，是兩個不共線向量，則以AB、AD為鄰邊的平行
四邊形的兩條對角線的長分別是這兩個向量和與差的模.
⑶特例：= ，= ，= .
⑷向量減法的坐標運算：設=（x1，y1），=（x2，y2），則= .
⒊實數與向量的積：
⑴定義：實數λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規定如下：
①|λ|= ；21世紀教育網
②當λ＞0時，λ的方向與的方向 ，當λ＜0時，λ的方向與的
方向 ；當λ=0時，λ= .
⑵運算律：①λ（μ）= ；②（λ+μ）= ；③λ（）= .
⑶實數與向量的積的坐標運算：
⑷特例：若λ∈R，則λ= .
⒋向量的數量積（或內積）：
⑴定義：已知非零向量和，它們的夾角為θ，則= .
⑶運算律：①= ；②（λ）·= = ；③（+）·= .
注意：向量的數量積沒有結合律！
特別地，= ，或||= .
⑸向量的數量積的坐標運算：
設=（x1，y1），=（x2，y2），則= .[來源:21世紀教育網]
⑹特例：= ，= .
三、重要定理、公式及方法：
⒈平面向量基本定理：21世紀教育網
如果和是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量有且只有一對實數λ1、λ2，使=λ1+λ2.21世紀教育網
⒉向量模的計算公式：設=（x，y），則||= .
⒋如何證明A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三點共線？
⒌兩個向量平行、垂直的充要條件：
[來源:21世紀教育網] 大 前 提21世紀教育網 充 要 條 件[來源:21世紀教育網]21世紀教育網
向 量 表 示 坐 標 表 示
平 行 =(x1，y1), =(x2，y2),且≠ ∥ ∥
垂 直 =(x1，y1), =(x2，y2),且≠、≠ ⊥ ⊥
注意：若不考慮上面的大前提，則
⑴向量=(x1，y1),和=(x2，y2)平行的充要條件是x1y2-x2y1=0.
⑵向量=(x1，y1),和=(x2，y2)垂直的必要不充分條件是x1x2+y1y2=0.
⒎已知向量=(x1，y1),和=(x2，y2)，它們的夾角為θ，則cosθ= .
⒐線段的中點坐標公式：
已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則線段P1P2的中點坐標是 .
⒑三角形的重心坐標公式：
設△ABC三頂點的坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標是 .
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O
A
B
A
B
D第三章 數列基礎知識梳理
一、數列
⒈定義：按一定次序排列的一列數叫做數列,數列中的每一個數都叫做數列的項,各項依21世紀教育網
次叫做這個數列的第一項(或首項),第二項,…,第n項,….
⒉數列中的數有兩個特性：⑴有序性；⑵可重復性.
⒊數列與函數：數列是定義在N*(或它的有限子集{1,2,…,n})上的函數當自變量從小到
大依次取值時對應的一列函數值.21世紀教育網
⒋數列的表示：
⑴數列的一般形式：a1,a2,…,a n,……簡記為{a n}.
⑵解析法：若an與n的函數關系可用一個解析式an=f (n)表示,這個公式叫做數列的通
項公式.
⑶圖象法：數列的圖象是一群孤立的點(n,a n)(n∈N*)所組成的圖形(在縱軸的右邊).
⒌數列的分類：
⑴數列按項數n的取值范圍分：①有窮數列；②無窮數列.
⑵數列按相鄰項的大小關系分：
①遞減數列(an+1＞an,n∈N*)； ②遞增數列(an+1＜an,n∈N*＝；
③擺動數列(an+1與an的大小不定n∈N*)； ④常數列(an+1=an,n∈N*).
⒍由遞推關系給定的數列：
已知數列的前若干項,而這些項之后的任意一項都可以用它相鄰的前若干項的一個關
系式表示出來,這個關系式稱做遞推公式,這種給定數列的方法叫做遞推法.
⒎an與Sn的關系：設Sn=a1+a2+…+an,則an=
二、等差數列
⒈定義：如果一個數列從第二項起每一項與它前一項的差都等于同一個常數,那么這個數
列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,通常用字母d表示.21世紀教育網
等差數列定義的數學表達式：an+1 an=d (n∈N*).
⒉表示方法：⑴定義法：a2 a1= a3 a2=…=an+1 an=d；
⑵遞推法： (n≥2)；
⑶通項法：a1,a1+d, a1+2d, …,a1+(n 1)d.,….
⒊通項公式：⑴已知首項a1和公差d,則an=a1+(n 1)d. (一般公式為：an=dn+q).
⑵已知非首項am(m≥2)和公差d,則an=am+(n m)d.
⒋等差中項：如果a,A,b成等差數列,那么A叫做a與b的等差中項.顯然2A=a+b.
⒌前n項和公式：Sn=；或Sn=na1+.要求會推導!
前n項和的一般公式：Sn=An2+Bn (A、B為常數).
⒍性質：⑴在有窮等差數列中,與首末兩項等距離的兩項和相等,且等于首末兩項的和.
即a1+an= a2+an 1 = a3+an 2 =…= ak+an k+1；
⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q∈N*),則am+an= ap+aq；
⑶等差數列中除首項外的每一項an(n≥2)都是到它距離相等的兩項的等差中項,21世紀教育網
即2an=an k+an+ k (n＞k)；21世紀教育網
⑸數列(an}為等差數列的充要條件是an是關于n的一次函數(d≠0)或常數(d=0).
⑹數列(an}為等差數列的充要條件是Sn=An2+Bn (A、B為常數).
注意：下面的一個重要結論可用于解選擇題和填空題：
有窮等差數列均勻分段后,各段的和也成等差數列,
即Sn,S2n Sn, S3n S2n,…Skn S(k 1)n (k≥2) 成等差數列.21世紀教育網
三、等比數列21世紀教育網
⒈定義：如果一個數列從第二項起每一項與它前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母q表示.
等比數列定義的數學表達式： (n∈N*). 由定義知,在等比數列中,an≠0,且公比q≠0.
⒉表示方法：⑴定義法：；
⑵遞推法： ；
⑶通項法：a1,a1q, a1q2, …,a1q(n 1)….
⒊通項公式：⑴已知首項a1和公差d,則an=a1q(n 1).
⑵已知非首項am(m≥2)和公比q,則an=amq(n m).
⒋等比中項：如果a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項. G2=ab或G=±.
⒌前n項和公式：Sn= 或Sn=.要求會推導!
⒍性質：⑴在有窮等比數列中,與首末兩項等距離的兩項積相等,且等于首末兩項的積.
即a1an= a2an 1 = a3an 2 =…= akan k+1；
⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q∈N*),則aman= apaq；
⑶等比數列中除首項外的每一項an(n≥2)都是到它距離相等的兩項的等比中項,
即an2=an kan+ k (n＞k),或an=±；
注意：下面的一個重要結論可用于解選擇題和填空題：
有窮等比數列均勻分段后,各段的和也成等比數列,
即Sn,S2n Sn, S3n S2n,…Skn S(k 1)n (k≥2) 成等比數列.
四、特殊數列求和的方法：
倒序法、通項分解法、錯位相減法、裂項法等.
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