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正弦定理和余弦定理復習
一、知識梳理
１．正弦定理
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即．
正弦定理指出了任意三角形三條邊與對應角的正弦之間的一個關系式，非常好的描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系．正弦定理可看作是三個方程，
,的合并,每個方程都含有四個量,知其中三個可求第四個,邊與所對角的正弦的比值是一個定值,這個定值就是的外接圓半徑．
正弦定理的常見變式：
（1），，（為的外接圓半徑）。
（2）；
（3），，；
（4），，;
２.余弦定理
三角形中，任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即，，．
余弦定理揭示了三角形中兩邊及其夾角與對邊之間的關系，余弦定理也可看作是三個方程，每個方程都涉及四個量，知其中任意三個量可求出第四個量。
　余弦定理的常見變式：
（1），，
（2），，。0
二、難點釋疑
已知兩邊和其中一邊的對角,利用正弦定理求另一邊的對角,進而求出其它的邊和角時，常有一解，二解或無解三種情況：
A為銳角
A為直角或鈍角
例1 在中，已知，，，求和。
分析：本題是已知三角形的兩邊及一邊的對角解三角形問題，可用正弦定理求解，但要先判定是否有解？有幾解？也可用余弦定理求解。
解法１：∵，且 ，∴有兩解
由正弦定理得：
∴或。
①當時，，
②當時，，
解法２：由余弦定理得：
故或。
①當時，由，即Ａ為銳角，此時，
。
②當時，由，即Ａ為鈍角，此時，
。
點評：本例的特點是已知兩邊和其中的一邊對角解三角形的問題，三角形不固定需討
論解的個數，充分體現了分類討論的數學思想。
３．方法點撥
應用正弦定理和余弦定理可以實現將“邊角相混合”的式子化為“邊或角的單一”的式子，這樣就可以通過正弦定理、余弦定理來解三角形，并輔以三角函數、等式變換等知識，來化簡或證明三角形中邊與角的問題，判斷三角形形狀，求三角形的面積等。
運用用正、余弦定理解三角形分為四種類型：
①已知兩角和任一邊：這種類型應先利用內角和求出第三個角，再利用正弦定理求另外兩邊。
②已知兩邊和其中一邊的對角：這種類型應先利用正弦定理求出另一邊的對角，再利用正弦或余弦定理求出另兩角。
③已知三邊：這種類型應先由余弦定理求出兩個角來，再由，求出第三角。
②已知兩邊及其夾角：這種類型應先用余弦定理求出第三邊，然后再利用正弦或余弦定理求出另兩角。
例２　在中，已知，判斷三角形的形狀．
分析：可利用正余弦定理或余弦定理將條件都轉化為邊的關系，或將條件都化為有關角的關系式進行判斷．
解法１：原式可化為：
　　即．
　　由正弦定理有，　∴．
　　由余弦定理有，
　　∴．整理得：．
　　∴或．∴是等腰三角形或直角三角形．
解法２：原式可化為
　　由正弦定理，得，
　　∴．∴．
　　∵Ａ、Ｂ是三角形的內角，∴或,
　 即Ａ＝Ｂ或Ａ＋Ｂ＝．　∴是等腰三角形或直角三角形．
點撥：判斷三角形狀通常是根據正余弦定理或余弦定理將已知條件變換成只含邊或只含角的式子．在變換時，可用正弦定理的變式，，化邊為角，再用相關的三角公式加以解決；也可用正弦定理的變式和余弦定理化角為邊，通過熟知的代數式加以解決．
４．思想升華
（1）將余弦定理的表達式變形為方程的形式,如,可將其視為以為未知數的一元二次方程,與一元二次方程的有關知識綜合使用便可使余弦定理的應用更加靈活．
（2）將正弦定理得變式，，代入余弦定理公式整理,得,
,,它們是由三角函數表達的,叫余弦定理的三角式,應用這三個公式解決某些三角問題,可以避開繁瑣的邊角轉化運算,簡化解題過程。
５．誤區警示
（1）在已知兩邊及其中一邊對角的條件下，求其它邊角問題，對于這類問題利用正弦定理和余弦定理都可解決．解題時，一定要根據問題的具體情況，恰當的選用定理運用好的方法解題．同時，使用正弦定理求角時，要特別小心，不能出現漏解或是增解的情況．　
（2）在利用正、余弦定理解與三角形有關的問題時,必須注意“三角形內角和為”、“在一個三角形中，大邊對大角”等三角形中的邊角等量關系、邊角的不等關系及內角和關系對角范圍的制約,以免產生錯解.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｂ
EMBED Equation.DSMT4
Ａ
Ａｃ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｂ

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