資源簡介

函數問題的題型與方法
一．考試內容：
映射，函數，函數的單調性以及奇偶性，周期性。
反函數。互為反函數的函數圖象間的關系。
指數概念的擴充。有理指數冪的運算性質。指數函數。
對數，對數的運算性質。對數函數。
函數的應用。
二．考試要求：
1．了解映射的概念，理解函數的概念。
2．了解函數的單調性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性和奇偶性以及周期性的方法，并能利用函數的性質簡化函數圖象的繪制過程。
3．了解反函數的概念及互為反函數的函數圖象間的關系，會求一些簡單函數的反函數。
4．理解分數指數的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函數的概念、圖象和性質。
5．理解對數的概念，掌握對數的運算性質，掌握對數函數的概念、圖象和性質。
6．能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題。
三．命題方式：
函數的題型在選擇，填空，簡答題三種題型都有，至少有四道題，一般三道客觀題，兩道簡答題，分值在30分以上，解答題中的一道往往與導數綜合。難度基本穩定在中等或則偏上，若與導數，不等式，數列結合可以出現壓軸題。而起考查函數的創新題也不斷涌現。
知識點考查：
基本函數：一次函數，二次函數，反比例函數，指數函數，對數函數，它們的圖像與性質是函數的基石。求反函數，判斷、證明與應用是函數的三大特性（單調性，奇偶性，周期性）是高考題的切入點，有單一考查，也有綜合考查。而且運用函數知識解其它問題，特別是解應用題能更好的考查學生的分析問題，解決問題的能力。函數經常涉及配方法，待定系數法，數形結合法，分類討論等。
四．知識要點：
映射與函數
1.映射與一一映射
2.函數
函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數.
3.反函數
反函數的定義
設函數的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x=(y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x=(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數x=(y) (yC)叫做函數的反函數，記作,習慣上改寫成
（二）函數的性質
1. 函數單調性:
定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,
⑴若當x1⑵若當x1f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函數.
若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.
單調性性質：(1)、增函數+增函數=增函數；（2）、減函數+減函數=減函數；
(3)、增函數-減函數=增函數；(4)、減函數-增函數=減函數；
注：上述結果中的函數的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數定義域的交集。
復合函數的單調性：
函數 單調 單調性
內層函數 ↓ ↑ ↑ ↓
外層函數 ↓ ↑ ↓ ↑
復合函數 ↑ ↑ ↓ ↓
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(1)設那么
上是增函數；
上是減函數.
(2)設函數在某個區間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數.
2. 函數的奇偶性：（注：是奇偶函數的前提條件是：定義域必須關于原點對稱）
奇函數：
定義：在前提條件下，若有，則f（x）就是奇函數。
性質:（1）、奇函數的圖象關于原點對稱；
（2）、奇函數在x>0和x<0上具有相同的單調區間；
（3）、定義在R上的奇函數，有f（0）=0 .
偶函數：
定義：在前提條件下，若有，則f（x）就是偶函數。
性質：（1）、偶函數的圖象關于y軸對稱；
（2）、偶函數在x>0和x<0上具有相反的單調區間；
奇偶函數間的關系：新 課標第 一網 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網 )
(1)、奇函數·偶函數=奇函數； （2）、奇函數·奇函數=偶函數；
(3)、偶奇函數·偶函數=偶函數； (4)、奇函數±奇函數=奇函數（也有例外得偶函數的）
(5)、偶函數±偶函數=偶函數； (6)、奇函數±偶函數=非奇非偶函數
奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數．
3. 函數的周期性：
定義：對函數f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），則就叫f（x）是周期函數，
其中，T是f（x）的一個周期。
周期函數幾種常見的表述形式：
(1)、f（x+T）= - f（x），此時周期為2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此時周期為2 ；
(3)、，此時周期為2m 。
（三）指數函數與對數函數
1.指數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
性質 (1)定義域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1
(4)x>0時，y>1;x<0時，00時，01.
（5）在 R上是增函數 （5）在R上是減函數
2.對數函數y=logax的圖象和性質:
a>1 0圖象
性質 （1）定義域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）過點（1，0），即當x=1時，y=0
（4）時 時 y>0 時 時
（5）在（0，+∞）上是增函數 在（0，+∞）上是減函數
3. 分數指數冪與根式的性質：
(1)（，且）.
（2）（，且）.
（3）.
（4）當為奇數時，；當為偶數時，.
4. 指數式與對數式的互化式: .
指數性質：
(1)1、 ； （2）、（） ； (3)、
(4)、 ； (5)、 ；
指數函數：
(1)、 在定義域內是單調遞增函數；
（2）、 在定義域內是單調遞減函數。注： 指數函數圖象都恒過點（0，1）
對數性質：
(1)、 ；（2）、 ；
(3)、 ；(4)、 ； (5)、
(6)、 ； (7)、
對數函數：
(1)、 在定義域內是單調遞增函數；
（2）、在定義域內是單調遞減函數；注： 對數函數圖象都恒過點（1，0）
(3)、
(4)、 或
5. 對數的換底公式 : (,且,,且, ).
對數恒等式：(,且, ).
推論 (,且, ).
6.對數的四則運算法則:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則Xkb1.com
(1); (2) ;
(3); (4) 。
（四）補充
1.二次函數的解析式的三種形式：
(1) 一般式;
(2) 頂點式;（當已知拋物線的頂點坐標時，設為此
式）
(3) 零點式；（當已知拋物線與軸的交點坐標為時，設為此式）
2.常見函數的圖像：
3.對于函數(),恒成立,則函數的對稱軸是;兩個函數與 的圖象關于直線對稱.
4. 對稱變換：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
六．例題講解
例1.已知函數定義域為(0，2)，求下列函數的定義域：
分析：x的函數f(x)是由u=x與f(u)這兩個函數復合而成的復合函數，其中x是自變量，u是中間變量．由于f(x)，f(u)是同一個函數，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范圍．
解：(1)由0＜x＜2， 得
例2. 已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否確定一個函數關系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由．
分析： 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當然不能確定一個函數關系y=f(x)，但加上條件xy＜0呢？
所以
因此能確定一個函數關系y=f(x)．其定義域為(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不難得到其值域為(-∞，0)∪(0，＋∞)．
例3. 下面四個結論：①偶函數的圖象一定與y軸相交；②奇函數的圖象一定通過原點；③偶函數的圖象關于y軸對稱；④既是奇函數又是偶函數的函數一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個數是　　 （　　　 ）A．1　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　 D．4
分析：偶函數的圖象關于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤．
奇函數的圖象關于原點對稱，但不一定經過原點，因此②不正確．
若y=f(x)既是奇函數，又是偶函數，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④錯誤，選A．
例4. 若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的減函數，則a的取值范圍是（ 　）
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：①使log(2-ax)有意義，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的減函數．由于所給函數可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0時為減函數，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=log(2-ax)定義域的子集．
解法一：因為f(x)在［0，1］上是x的減函數，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log(2-a)．
解法二：由對數概念顯然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是減函數，y= logu應為增函數，得a＞1，排除A，C，再令
故排除D，選B．
例5.（1997年全國高考試題）甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km／h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元．
(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函數，并指出這個函數的定義域；
(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛．
分析：(1)難度不大，抓住關系式：全程運輸成本=單位時間運輸成本×全程運輸時間，而全程運輸時間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決．
故所求函數及其定義域為
但由于題設條件限制汽車行駛速度不超過ckm／h，所以(2)的解決需要
論函數的增減性來解決．
由于vv＞0，v-v＞0，并且
又S＞0，所以即
則當v=c時，y取最小值．
例6．作出下列函數的圖象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：顯然直接用已知函數的解析式列表描點有些困難，除去對其函數性質分析外，我們還應想到對已知解析式進行等價變形．
解：(1)當x≥2時，即x-2≥0時，
當x＜2時，即x-2＜0時，
這是分段函數，每段函數圖象可根據二次函數圖象作出(見圖6)
(2)當x≥1時，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
當0＜x＜1時，lgx＜0，
所以
這是分段函數，每段函數可根據正比例函數或反比例函數作出．(見圖7)
例8. 已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函數f(x)的最小值為____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式運算量較大，但這里我們注意到，y=f(x ＋100)與y=f(x)，其圖象僅是左右平移關系，它們取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
例9. 已知函數f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個數是．（　　　 ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉化成熟悉的語言．從函數觀點看，問題是求函數y=f(x)，x∈F的圖象與直線x=1的交點個數(這是一次數到形的轉化)，不少學生常誤認為交點是1個，并說這是根據函數定義中“惟一確定”的規定得到的，這是不正確的，因為函數是由定義域、值域、對應法則三要素組成的．這里給出了函數y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關系，當1∈F時有1個交點，當1 F時沒有交點，所以選C．
例10．方程lgx+x=3的解所在區間為 （　　）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)．它們的交點橫坐標，顯然在區間(1，3)內，由此可排除A，D．至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實際上這是要比較與2的大小．當x=2時，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應選C．
例11. (1)一次函數f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，試證明之；
(2)試用上面結論證明下面的命題：若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞-1．
分析：問題(1)實質上是要證明，一次函數f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若區間兩個端點的函數值均為正，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性質是由于一次函數是單調的．因此本問題的證明要從函數單調性入手．
(1)證明：當k＞0時，函數f(x)=kx+h在x∈R上是增函數，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；
當k＜0時，函數f(x)=kx+h在x∈R上是減函數，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．
所以對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．
(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構造函數f(x)=(b+c)x+bc+1．則f(a)=(b+c)a+bc+1．
當b+c=0時，即b=-c， f(a)=bc+1=-+1．因為|c|＜1，所以f(a)=-+1＞0．
當b+c≠0時，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數．因為|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．
由問題(1)對于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．
例12. 定義在R上的單調函數f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求證f(x)為奇函數；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．
分析：欲證f(x)為奇函數即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數得到證明．
(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調函數，所以f(x)在R上是增函數，又由(1)f(x)是奇函數．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0對任意x∈R成立．令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．
R恒成立．
七．方法總結
⑴.相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同.
⑵.函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法.
⑶.反函數的求法：先解x,互換x、y，注明反函數的定義域(即原函數的值域).
⑷.函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數的定義域.常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小于0；③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1；④零指數冪的底數不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等.
⑸.函數值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法.
⑹.單調性的判定法：①設x,x是所研究區間內任兩個自變量，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大小；③作差比較或作商比較.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關系：①f(-x)=f(x)為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x) /f(-x)=-1為奇函數.
⑻.圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象。
八．經典作業
1.方程lgx+x=3的解所在區間為 （　　）
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，+∞)
2.已知集合，集合滿足，則集合的個數是
A.6 B. 7 C. 8 D. 9
3．已知函數的定義域為，函數的定義域為，則
A. B. C. D.
4．“”是“函數有零點”的 條件
A．充分非必要 B.充要 論0 C．必要非充分 D.非充分必要
5．已知函數，x∈R,則是
　A．最小正周期為的奇函數 B．最小正周期為的偶函數
　C．最小正周期為的奇函數 D．最小正周期為的偶函數
6．已知向量, ，如果向量與垂直，則的值為( )
A．1 B． C. D．
7.已知，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8．已知函數，下面四個結論中正確的是 ( )
A．函數的最小正周期為
B．函數的圖象關于直線對稱
C．函數的圖象是由的圖象向左平移個單位得到
D．函數是奇函數
9．已知函數的零點，其中常數a，b滿足，，則n等于
A．-1 B．-2 C．1 D．2
10. 設函數是定義域為R的奇函數，且滿足
HYPERLINK "http://www." 對一切恒成立，
當 HYPERLINK "http://www." 時，。則下列四個命題中正確的命題是
① HYPERLINK "http://www." 是以4為周期的周期函數；
②在 HYPERLINK "http://www." 上的解析式為；
③ HYPERLINK "http://www." 的圖象的對稱軸中有；
④ HYPERLINK "http://www." 在處的切線方程為 HYPERLINK "http://www." 。
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
11. 函數f（x）=sin（2 x－）－2sin2 x的最小正周期是________.
12. 請將正確選項的序號填在橫線上
（1）函數的反函數為 HYPERLINK "http://www."
（2）如果函數為奇函數，則 HYPERLINK "http://www."
（3）若，則 HYPERLINK "http://www." 為極大值或極小值
（4）隨機變量～ HYPERLINK "http://www." ，則等于 HYPERLINK "http://www."
________ ________
13. 已知 a是給定的實常數，設函數f(x)=(x-a2)(x+b)eX,b∈ R,x=a是f(x)的一個極大值點。
（1）求b的取值范圍；
（2）設x1 ,x2 ,x3 是f(x)的3個極致點，問是否存在實數b，可找到x4∈ R ，使得 x1 ,x2 ,x3, x4的某種排列 , （其中{i1, i 2,I3, i 4}={1,2,3,4}）依次成等差數列？若存在，求所有的b及相應的 x4；若不存在，說明理由。
14. 已知函數f(x)=x2－x＋alnx
(1)當時，恒成立，求的取值范圍；
(2)討論在定義域上的單調性；
15. 設函數.
(Ⅰ)求函數的單調區間；
(Ⅱ)若函數有兩個極值點且，求證．
16. 已知函數．
（I）當時，求函數的單調區間；
（II）若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為，問：m在什么范圍取值時，對于任意的，函數在區間上總存在極值？
17. 已知（m為常數，且m>0）有極大值 HYPERLINK "http://www." ，
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲線的斜率為2的切線方程．
18. 已知二次函數，其導函數的圖象如圖，
（1）求函數處的切線斜率；
（2）若函數上是單調函數，求實數的取值范圍；
（3）若的圖像總在函數圖象的上方，求的取值范圍．

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