資源簡介

高中數(shù)學解題思想方法
我們遇到一個新問題時，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學思想、數(shù)學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學思想方法。我們要有意識地應用數(shù)學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學素質(zhì)，使自己具有數(shù)學頭腦和眼光。
高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學思想方法進行考查：
常用數(shù)學方法：配方法、消去法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、坐標法、參數(shù)法等；
數(shù)學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；
數(shù)學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；
常用數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。
配方法
配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且需要“湊（拆）”而“配”。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1. 在正項等比數(shù)列{a}中，aa+2aa+aa=25，則 a＋a＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。
A. 1 C. k∈R D. k＝或k＝1
3. 已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函數(shù)y＝log (－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。
A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點P(x,x)在圓x+y=4上，則實數(shù)a＝_____。
Ⅱ、示范性題組：
例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學表達式：設長方體長寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對角線長，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。
【解】＝…
例2. 設方程x＋kx＋2=0的兩根為p、q，若()+()≤7成立，求k的取值范圍。
【解】 由韋達定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 。
又 ∵p、q為方程兩實根， ∴ Δ＝k－8≥0
∴k的取值范圍是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤
【注】 實系數(shù)一元二次方程問題，注意Δ，恰當運用韋達定理；由已知的不等式聯(lián)想到配方，表示成p＋q與pq的組合式。
例3. 設非零復數(shù)a、b滿足a＋ab＋b=0，求()＋() 。
【分析】 對已知式可以聯(lián)想：變形為()＋()＋1＝0，則＝ω （ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b)＝ab 。則代入所求式即得。
【解】
【注】 配方，簡化表達式；巧用1的立方虛根，計算高次冪；活用ω的性質(zhì)。
【另解】 解出＝…后，用三角形式完成后面的運算：
Ⅲ、鞏固性題組：
函數(shù)y＝(x－a)＋(x－b) （a、b為常數(shù)）的最小值為_____。
A. 8 B. C. D.最小值不存在
α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的兩實根，則(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
A. － B. 8 C. 18 D.不存在
已知x、y∈R，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2＋8有_____。
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
橢圓x－2ax＋3y＋a－6＝0的一個焦點在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
化簡：2＋的結(jié)果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 設F和F為雙曲線－y＝1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足∠FPF＝90°，則△FPF的面積是_________。
7. 若x>－1，則f(x)＝x＋2x＋的最小值為___________。
8. 已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考題)
9. 設二次函數(shù)f(x)＝Ax＋Bx＋C，給定m、n（m解不等式f(x)>0；
② 是否存在一個實數(shù)t，使當t∈(m+t,n-t)時，f(x)<0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍。
10. 設s>1，t>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),
將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域；
若關于x的方程f(x)＝0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。
二、換元法
解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關鍵是構(gòu)造元和設元。它可以化高次為低次、化無理為有理、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應用。
換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。換元時要盡可能把分散的條件聯(lián)系起來，把隱含的條件顯露出來。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
設f(x＋1)＝log(4－x) （a>1），則f(x)的值域是_______________。
已知數(shù)列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，則數(shù)列通項a＝________________。
設實數(shù)x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是________________。
方程＝3的解是_______________。
不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是____________________。
Ⅱ、示范性題組：
例1. 實數(shù)x、y滿足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，設S＝x＋y，求＋的值。（93年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）
【分析】 由S＝x＋y聯(lián)想到cosα＋sinα＝1,于是進行三角換元，設代入①式求S和S的值。
【解】設代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5 解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 …
后面求S值域還可由sin2α＝的有界性而求（有界法）：
【另解】 設x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]， 則xy＝±代入①式得：
4S±5=5， 移項平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。
∴ 39S－160S＋100≤0 解得…
【注】 三角換元法、均值換元法；求值域的幾種方法（有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法）。
其它換元法（和差換元）解：設x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ……得a∈[0,]
S＝…＝2(a＋b)＝＋ a∈[,] …
例2． △ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全國理）
【分析】 由A＋C＝2B，可得 ,則設 ，再代入可求cosα即cos。
【解】 …
【另解】 由＋＝－2，也可設＝－＋m，＝－－m 再代入求。
【注】 均值換元法。結(jié)合三角形角的關系與三角公式進行運算。
例3. 設a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。
y
, ,
－ x
【解】 設sinx＋cosx＝t，則t∈[-,]，sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0）， t∈[-,]
t＝-時，取最小值：－2a－2a－
當2a≥時，t＝，取最大值：－2a＋2a－ ；
當0<2a≤時，t＝2a，取最大值： 。 ∴ …
【注】 局部換元法，化為二次閉問題；含參問題分類討論（此題由對稱軸與閉區(qū)間的位置關系而確定參數(shù)分兩種情況）。
例4. 設對所有實數(shù)x，不等式xlog＋2x log＋log>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理）
【解】 設log＝t，則log＝… log＝…
原不等式簡化為：
【注】局部換元法，簡化了問題；判別式法；對數(shù)運算。
例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
【解】 設＝＝k，則sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：＋＝
設＝t，則t＋＝ , 解得：t＝3或 ∴＝±或±
【另解】 由＝＝tgθ，將②式表示成tgθ而求出：
【注】 等量換元，減少變量個數(shù)。
例6. 實數(shù)x、y滿足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范圍。
【解】 設＝cosθ，＝sinθ，即： 代入不等式得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5時不等式恒成立。
【注】 三角換元法，化為三角不等式的值域問題；用分離參數(shù)法求出參數(shù)范圍。
y
x
x＋y－k>0
k 平面區(qū)域
【另解】 數(shù)形結(jié)合法：在平面直角坐標系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的區(qū)域為直線ax＋by＋c＝0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上x＋y－k>0的區(qū)域。即當直線x＋y－k＝0在與橢圓下部相切的切線之下時。
Ⅲ、鞏固性題組：
已知f(x)＝lgx (x>0)，則f(4)的值為_____。
A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
函數(shù)y＝(x＋1)＋2的單調(diào)增區(qū)間是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
設等差數(shù)列{a}的公差d＝，且S＝145，則a＋a＋a＋……＋a的值為_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
已知x＋4y＝4x，則x＋y的范圍是_________________。
已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，則＋的范圍是____________。
不等式>ax＋的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。
函數(shù)y＝2x＋的值域是________________。
在等比數(shù)列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。
y D C
A B
O x
實數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對任意實數(shù)x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
已知矩形ABCD，頂點C(4,4)，A點在曲線x＋y＝2 (x>0,y>0)上移動，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。
三、待定系數(shù)法
要確定變量間的函數(shù)關系，設出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等。它解題的關鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程，主要從以下幾方面著手分析：①利用對應系數(shù)相等列方程；②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；③利用定義本身的屬性列方程；④利用幾何條件列方程。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
設f(x)＝＋m，f(x)的反函數(shù)f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。
A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的系數(shù)是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
函數(shù)y＝a－bcos3x (b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。
與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過點A(1,-4)的直線L’的方程是_______________。
與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是________________。
Ⅱ、示范性題組：
已知函數(shù)y＝的最大值為7，最小值為－1，求此函數(shù)式。
【解】 函數(shù)式變形為： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集為(-1,7)，則 解得：或 ∴ y＝…
（也可： 由解集(-1,7)而設(y＋1)(y－7)≤0,然后與不等式①比較系數(shù)而得。）
【注】 待定系數(shù)m、n，用判別式法處理值域問題，轉(zhuǎn)化成不等式已知解集后而求系數(shù)。
y B’
x
A F O’ F’ A’
B
例2. 設橢圓中心在(2,-1)，它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是－，求橢圓的方程。
【解】 設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF’|＝a
∴ 解得：
∴ 橢圓方程是：…
也可：（最簡列式） , 即抓住等腰Rt△BB’F’的性質(zhì)。
【注】 圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件轉(zhuǎn)換成表達式；曲線平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變。解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設方程（或幾何數(shù)據(jù)）→幾何條件轉(zhuǎn)換成方程→求解→已知系數(shù)代入。
例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 （89年全國理）
【分析】 先由特殊值n＝1、2、3列出三個等式解出a、b、c，再用數(shù)學歸納法證明。
【解】
【注】存在性問題待定系數(shù)時，按照：試值→猜想→歸納證明 的步驟進行。
例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？
【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm。
∴ 盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x （顯然:15-x>0,7-x>0,x>0）
設V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 要用均值不等式，則
解得：a＝， b＝ ， x＝3 。 從而V＝… ≤ …
也可：令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx
【注】均值不等式應用時要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以待定系數(shù)法求。
Ⅲ、鞏固性題組：
函數(shù)y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，則a的取值范圍是_____。
A. 2>a>且a≠1 B. 02或0方程x＋px＋q＝0與x＋qx＋p＝0只有一個公共根，則其余兩個不同根之和為_____。
A. 1 B. －1 C. p＋q D. 無法確定
如果函數(shù)y＝sin2x＋a·cos2x的圖像關于直線x＝－對稱，那么a＝_____。
A. B. － C. 1 D. －1
滿足C＋1·C＋2·C＋…＋n·C<500的最大正整數(shù)是_____。
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
無窮等比數(shù)列{a}的前n項和為S＝a－ , 則所有項的和等于_____。
A. － B. 1 C. D.與a有關
(1＋kx)＝b＋bx＋bx＋…＋bx，若b＋b＋b＋…＋b＝－1，則k＝______。
經(jīng)過兩直線11x－3y－9＝0與12x＋y－19＝0的交點，且過點(3,-2)的直線方程為_____________。
8. 正三棱錐底面邊長為2，側(cè)棱和底面所成角為60°，過底面一邊作截面，使其與底面成30°角，則截面面積為______________。
9. 設y＝f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。
10. 設拋物線經(jīng)過兩點(-1,6)和(-1,-2)，對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y＝2x＋7和拋物線截得的線段長是4, 求拋物線的方程。
四、定義法
所謂定義法，就是直接用數(shù)學定義解題。數(shù)學中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。本講讓我們回到定義中去。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
已知集合A中有兩個元素，集合B中有7個元素，A∪B的元素個數(shù)為n，則______。
A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
設MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則_____。
A. MP復數(shù)z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|< |z|，則實數(shù)a的取值范圍是_____。
A. －11 C. a>0 D. a<－1或a>1
橢圓＋＝1上有一點P，它到左準線的距離為，那么P點到右焦點的距離為_____。
A. 8 C. 7.5 C. D. 3
奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則f(－)的值為_____。
A. T B. 0 C. D. 不能確定
正三棱臺的側(cè)棱與底面成45°角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為_____。
Ⅱ、示范性題組：
例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 設w＝z＋3－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求實數(shù)a、b的值。（94年全國理）
【分析】代入z進行運算化簡后，運用復數(shù)三角形式和復數(shù)相等的定義解答。
【解】
例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性。
【解】 解得： ∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)>0得：0設∵ x+x>， x+x> ∴ (x+x)( x+x)〉×＝1
∴ f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù)
∵ <1 ∴ y＝logf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。
【注】 應用單調(diào)性定義判別單調(diào)性。待定系數(shù)法、換元法求出n、c。
例3. 如圖，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中點。
A’ A
D
C’ C
O H
B’ B
證明：AB’∥平面DBC’；
假設AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度數(shù)。（94年全國理）
【分析】 由線面平行的定義來證①問；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解△而求②問。
【解】 ① 連接B’C交BC’于O, 連接OD
∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四邊形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中點
△AB’C中， D是AC中點 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’
作DH⊥BC于H，連接OH ∴ DH⊥平面BC’C
∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH為所求二面角的平面角。
設AC＝1，作OE⊥BC于E，則DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝ ； Rt△BOH中，
OH＝BH×EH＝， ∴ OH＝＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度數(shù)為45°。
【注】 運用射影定理求OH的長。容易誤認為∠DOC即所求。可練習此題文科考生的第二問：
假設AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在側(cè)面BB’C’C的 射影長。
y
M F
A x
例4. 求過定點M(1,2)，以x軸為準線，離心率為的橢圓的下頂點的軌跡方程。
【解】設A(x,y)、F(x,m)，則 ，消m得：
【注】 圓錐曲線的點、焦點、準線、離心率等問題，常用定義解決。
Ⅲ、鞏固性題組：
函數(shù)y＝f(x)＝a＋k的圖像過點(1,7)，它的反函數(shù)的圖像過點(4,0)，則f(x)的表達式是___。
2. 過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影分別為A、B,則∠AFB等于_____。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，則下列關系正確的是_____。
A. AB B. AB C. A∈B D. AB
4. 雙曲線3x－y＝3的漸近線方程是_____。
A. y＝±3x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x
5. 已知定義在R上的非零函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則f(x)是_____。
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇既偶函數(shù)
C＋C＝________。
Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，則復數(shù)的輻角主值是__________。
不等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，則不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。
已知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{b}也是等差數(shù)列，其中b＝(a＋a＋…＋a)。
10. 已知F、F是橢圓＋＝1 (a>b>0)的兩個焦點，其中F與拋物線y＝12x的焦點重合，M是兩曲線的一個焦點，且有cos∠M FF·cos∠MFF＝，求橢圓方程。
五、數(shù)學歸納法
數(shù)學歸納法是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是遞推的依據(jù)。實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。證明時，關鍵是k＋1步的推證，要有目標意識。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1. 用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為_____。
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
2. 用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的代數(shù)式的個數(shù)是_____。
A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1
3. 某個命題與自然數(shù)n有關，若n＝k (k∈N)時該命題成立，那么可推得n＝k＋1時該命題也成立。現(xiàn)已知當n＝5時該命題不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.當n＝6時該命題不成立 B.當n＝6時該命題成立
C.當n＝4時該命題不成立 D.當n＝4時該命題成立
4. 數(shù)列{a}中，已知a＝1，當n≥2時a＝a＋2n－1，依次計算a、a、a后，猜想a的表達式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3
5. 用數(shù)學歸納法證明3＋5 (n∈N)能被14整除，當n＝k＋1時對于式子3＋5應變形為_______________________。
6. 設k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱對角面的個數(shù)為f(k+1)＝f(k)＋_________。
Ⅱ、示范性題組：
已知數(shù)列，得，…，，…。S為其前n項和，求S、S、S、S，推測S公式，并用數(shù)學歸納法證明。 （93年全國理）
【解】 計算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜測S＝ (n∈N)
當n＝1時，…
【注】 從試驗、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學歸納法進行嚴格證明，這是探索性問題的證法，數(shù)列中經(jīng)常用到。 （試值 → 猜想 → 證明）
【另解】 用裂項相消法求和：
例2. 設a＝＋＋…＋ (n∈N),證明：n(n＋1)【解】 當n＝1時，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2 ， ∴ n＝1時不等式成立。
假設當n＝k時不等式成立，即：k(k＋1)當n＝k＋1時，k(k＋1)＋…
【注】 用數(shù)學歸納法解決與自然數(shù)有關的不等式問題，注意適當選用放縮法。
【另解】 也可采用放縮法直接證明。（抓住對的分析，注意與目標比較）
例3. 設數(shù)列{a}的前n項和為S，若對于所有的自然數(shù)n，都有S＝，證明{a}是等差數(shù)列。 （94年全國文）
【分析】 要證等差數(shù)列，即證：a＝a＋(n－1)d
【解】 設a－a＝d，猜測a＝a＋(n－1)d
當n＝1時，a＝a， ∴ 當n＝1時猜測正確。
假設當n＝k時，猜測正確，即：a＝a＋(k－1)d ，
當n＝k＋1時，a＝S－S＝－， 解得a＝…
…
【注】 注意問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學式及a的得出。
【另解】 可證a －a＝ a－ a而得：
Ⅲ、鞏固性題組：
用數(shù)學歸納法證明：6＋1 (n∈N)能被7整除。
用數(shù)學歸納法證明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。
n∈N，試比較2與(n＋1)的大小，并用證明你的結(jié)論。
用數(shù)學歸納法證明等式：cos·cos·cos·…·cos＝ (81年全國高考)
用數(shù)學歸納法證明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年廣東高考）
6. 數(shù)列{a}的通項公式a＝ (n∈N)，設f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，試求f(1)、f(2)、f(3)的值，推測出f(n)的值，并用數(shù)學歸納法加以證明。
已知數(shù)列{a}滿足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a和a； ②.猜測a，并用數(shù)學歸納法證明你的猜測。
8. 設f(logx)＝ , ①.求f(x)的定義域； ②.在y＝f(x)的圖像上是否存在兩個不同點，使經(jīng)過這兩點的直線與x軸平行？證明你的結(jié)論。 ③.求證：f(n)>n (n>1且n∈N)
五、數(shù)學歸納法
數(shù)學歸納法是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是遞推的依據(jù)。實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。證明時，關鍵是k＋1步的推證，要有目標意識。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1. 用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為_____。
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
2. 用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的代數(shù)式的個數(shù)是_____。
A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1
3. 某個命題與自然數(shù)n有關，若n＝k (k∈N)時該命題成立，那么可推得n＝k＋1時該命題也成立。現(xiàn)已知當n＝5時該命題不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.當n＝6時該命題不成立 B.當n＝6時該命題成立
C.當n＝4時該命題不成立 D.當n＝4時該命題成立
4. 數(shù)列{a}中，已知a＝1，當n≥2時a＝a＋2n－1，依次計算a、a、a后，猜想a的表達式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3
5. 用數(shù)學歸納法證明3＋5 (n∈N)能被14整除，當n＝k＋1時對于式子3＋5應變形為_______________________。
6. 設k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱對角面的個數(shù)為f(k+1)＝f(k)＋_________。
Ⅱ、示范性題組：
已知數(shù)列，得，…，，…。S為其前n項和，求S、S、S、S，推測S公式，并用數(shù)學歸納法證明。 （93年全國理）
【解】 計算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜測S＝ (n∈N)
當n＝1時，…
【注】 從試驗、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學歸納法進行嚴格證明，這是探索性問題的證法，數(shù)列中經(jīng)常用到。 （試值 → 猜想 → 證明）
【另解】 用裂項相消法求和：
例2. 設a＝＋＋…＋ (n∈N),證明：n(n＋1)【解】 當n＝1時，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2 ， ∴ n＝1時不等式成立。
假設當n＝k時不等式成立，即：k(k＋1)當n＝k＋1時，k(k＋1)＋…
【注】 用數(shù)學歸納法解決與自然數(shù)有關的不等式問題，注意適當選用放縮法。
【另解】 也可采用放縮法直接證明。（抓住對的分析，注意與目標比較）
例3. 設數(shù)列{a}的前n項和為S，若對于所有的自然數(shù)n，都有S＝，證明{a}是等差數(shù)列。 （94年全國文）
【分析】 要證等差數(shù)列，即證：a＝a＋(n－1)d
【解】 設a－a＝d，猜測a＝a＋(n－1)d
當n＝1時，a＝a， ∴ 當n＝1時猜測正確。
假設當n＝k時，猜測正確，即：a＝a＋(k－1)d ，
當n＝k＋1時，a＝S－S＝－， 解得a＝…
…
【注】 注意問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學式及a的得出。
【另解】 可證a －a＝ a－ a而得：
Ⅲ、鞏固性題組：
用數(shù)學歸納法證明：6＋1 (n∈N)能被7整除。
用數(shù)學歸納法證明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。
n∈N，試比較2與(n＋1)的大小，并用證明你的結(jié)論。
用數(shù)學歸納法證明等式：cos·cos·cos·…·cos＝ (81年全國高考)
用數(shù)學歸納法證明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年廣東高考）
6. 數(shù)列{a}的通項公式a＝ (n∈N)，設f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，試求f(1)、f(2)、f(3)的值，推測出f(n)的值，并用數(shù)學歸納法加以證明。
已知數(shù)列{a}滿足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a和a； ②.猜測a，并用數(shù)學歸納法證明你的猜測。
8. 設f(logx)＝ , ①.求f(x)的定義域； ②.在y＝f(x)的圖像上是否存在兩個不同點，使經(jīng)過這兩點的直線與x軸平行？證明你的結(jié)論。 ③.求證：f(n)>n (n>1且n∈N)
六、參數(shù)法
參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數(shù)學對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典例。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1. 設2＝3＝5>1，則2x、3y、5z從小到大排列是________________。
2. （理）直線上與點A(-2,3)的距離等于的點的坐標是________。
（文）若k<－1，則圓錐曲線x－ky＝1的離心率是_________。
3. 點Z的虛軸上移動，則復數(shù)C＝z＋1＋2ｉ在復平面上對應的軌跡圖像為____________________。
4. 三棱錐的三個側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是6、4、3，則其體積為______。
5. 設函數(shù)f(x)對任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x>0時，f(x)<0，則f(x)的R上是______函數(shù)。(填“增”或“減”)
6. 橢圓＋＝1上的點到直線x＋2y－＝0的最大距離是_____。
A. 3 B. C. D. 2
Ⅱ、示范性題組：
實數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
【分析】 均值換元引入新的參數(shù)，設a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。
【解】
【另解】 配方法與利用均值不等式可求：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥
橢圓＋＝1上有兩點P、Q，O為原點。連OP、OQ，若k·k＝－ ，
①．求證：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求線段PQ中點M的軌跡方程。
【分析】 換元引參，設（橢圓參數(shù)方程），參數(shù)θ、θ為P、Q兩點，先計算k·k得出一個結(jié)論，再計算|OP|＋|OQ|，并運用參數(shù)法求中點M的坐標，消參而得。
【解】由＋＝1，設， P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),
則k·k＝…
【注】換元引參，轉(zhuǎn)化為三角問題。熟練用三角公式、平方法。
【另解】 設k，解出P、Q兩點坐標再求：
S
E
D C
O F
A B
例3.已知正四棱錐S—ABCD的側(cè)面與底面的夾角為β，相鄰兩側(cè)面的夾角為α,求證：cosα=-cosβ。
【解】連AC、BD交于O，連SO；取BC中點F，連SF、OF；作BE⊥SC于E，連DE。則∠SFO＝β，∠DEB＝α。
設BC＝a (為參數(shù))， 則SF＝＝,
SC＝＝＝
又 ∵ BE＝＝…
△DEB中，由余弦定理有：…
【注】 設參而不求參，只是利用其作用中間變量輔助計算。
Ⅲ、鞏固性題組：
已知復數(shù)z滿足|z|≤1，則復數(shù)z＋2ｉ在復平面上表示的點的軌跡是________________。
函數(shù)y＝x＋2＋的值域是________________。
拋物線y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ與x軸兩個交點距離的最大值為_____
A. 5 B. 10 C. 2 D. 3
過點M(0,1)作直線L，使它與兩已知直線L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的線段被點P平分，求直線L方程。
求半徑為R的球的內(nèi)接圓錐的最大體積。
f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的實數(shù)a的取值范圍。
7. 若關于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模為1的虛根，求實數(shù)a的值及方程的根。
8. 給定的拋物線y＝2px (p>0)，證明：在x軸的正向上一定存在一點M，使得對于拋物線的任意一條過點M的弦PQ，有＋為定值。
七、反證法
與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結(jié)論，從而導出矛盾推理而得，主要三步是：否定結(jié)論 → 推導出矛盾 → 結(jié)論成立。它對于“至少”、“唯一”型命題（否定結(jié)論更明顯的）尤為適宜。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)＝0 ______。
A.至多一個實根 B.至少一個實根 C.一個實根 D.無實根
已知a<0,－1A. a>ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a
已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b為異面直線，則_____。
A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交
C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交
四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_____。(97年全國理)
A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種
S
C
A O
B
Ⅱ、示范性題組：
例1. 如圖，設SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點。求證：AC與平面SOB不垂直。
【證明】 假設AC⊥平面SOB，…
【注】否定性的問題常用反證法。
例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一個方程有實根。試求實數(shù)a的取值范圍。
【分析】 三個方程至少有一個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根。
【解】 設三個方程均無實根，則有：…
【注】“至少”、“至多”問題反面考慮。判別式法、補集法（全集R）。
例3. 給定實數(shù)a，a≠0且a≠1，設函數(shù)y＝ (其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過這個函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸； ②.這個函數(shù)的圖像關于直線y＝x成軸對稱圖像。(88年全國理)。
【證明】 ① 設M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個不同的點，則x≠x,
假設直線MM平行于x軸，則必有y＝y(tǒng)，即＝，整理得a(x－x)＝x－x
∵x≠x ∴ a＝1， 這與已知“a≠1”矛盾， 因此假設不對，即直線MM不平行于x軸。
②．
【注】否定性結(jié)論用反證法；對稱問題用反函數(shù)對稱性研究。
數(shù)學基本方法除了以上研究的七種常用的方法外，還有一些更具體的方法，如：判別式法、代入法、裂項相消法、等積法、分離參數(shù)法、……等等。
研究數(shù)學基本方法，對于落實“基礎知識”和“基本技能”是一種鞏固和提高，它可以使對“三基”的認識提高一個層次，也為進一步研究“數(shù)學思想方法”作一個堅實的后盾。
Ⅲ、鞏固性題組：
已知f(x)＝，求證：當x≠x時，f(x)≠f(x)。
已知非零實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，a≠c，求證：、、不可能成等差數(shù)列。
已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于 。
求證：拋物線y＝－1上不存在關于直線x＋y＝0對稱的兩點。
已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個根的絕對值均小于1。
A
F D
B M
N
E C
兩個互相垂直的正方形如圖所示，M、N在相應對角線上，且有EM＝CN，求證：MN不可能垂直CF。
八、數(shù)形結(jié)合思想方法
中學數(shù)學的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合一是一個數(shù)學思想方法，應用主要是借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，其次是借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性。
數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
設命題甲：0A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
若log2A. 0b>1 D. b>a>1
如果|x|≤,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全國文)
A. B. － C. －1 D.
如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)
A.增函數(shù)且最小值為－5 B.增函數(shù)且最大值為－5
C.減函數(shù)且最小值為－5 D.減函數(shù)且最大值為－5
設全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么等于_____。 (90年全國)
A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1
如果θ是第二象限的角，且滿足cos－sin＝,那么是_____。
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角
已知集合E＝{θ|cosθA. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,) （93年全國文理）
若復數(shù)z的輻角為，實部為－2，則z＝_____。
A. －2－2ｉ B. －2＋2ｉ C. －2＋2ｉ D. －2－2ｉ
如果實數(shù)x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全國理)
A. B. C. D.
滿足方程|z＋3－ｉ|＝的輻角主值最小的復數(shù)z是_____。
【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關的問題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。
y
4 y=1-m
1
O 2 3 x
Ⅱ、示范性題組：
例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。
【解】 原方程變形為 即：
設曲線y＝(x－2) , x∈(0,3)和直線y＝1－m，圖像如圖所示。由圖可知：① 當1－m＝0時，有唯一解，m＝1; ②當1≤1－m<4時，有唯一解，即－3∴ m＝1或－3【注】 方程解、不等式解集、函數(shù)性質(zhì)等的討論，借助于圖像直觀解決，簡單明了。此題也可用代數(shù)方法來討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來求（也注意結(jié)合圖像分析只一個x值）。
y A
D
O B x
C
例2. 設|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值。
【分析】 利用復數(shù)模、四則運算的幾何意義，將復數(shù)問題用幾何圖形幫助求解。
【解】 如圖，設z＝、z＝后，則＝、＝如圖所示。
由圖可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD＝＝
∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ
【注】 復數(shù)問題可利用幾何意義而幾何化。也可設復數(shù)的代數(shù)形式、三角形式轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題或三角問題，還可直接利用復數(shù)性質(zhì)求解。
例3. 直線L的方程為：x＝－ (p>0),橢圓中心D(2＋,0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？
【分析】 由拋物線定義，可將問題轉(zhuǎn)化成：p為何值時，以A為焦點、L為準線的拋物線與橢圓有四個交點，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題（研究方程組解的情況）。
【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A(,0)，設橢圓與雙曲線
……
【注】 判別式法（注意解的范圍）、定義法、數(shù)形結(jié)合法、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等知識綜合運用。
例4. 設a、b是兩個實數(shù)，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋y≤144}，討論是否存在a、b，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C同時成立。(85年高考)
【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ;
設動點(a,b)在直線L：nx＋y＝3n＋15上，且直線與圓x＋y＝144有公共點，
所以圓心到直線距離d＝＝3(＋)≥12
∵ n為整數(shù) ∴ 上式不能取等號，故a、b不存在。
【注】 集合轉(zhuǎn)化為點集（即曲線），而用幾何方法研究。此題也屬探索性問題用數(shù)形結(jié)合法解。
Ⅲ、鞏固性題組：
已知5x＋12y＝60，則的最小值是_____。
A. B. C. D. 1
已知集合P＝{(x,y)|y＝}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。
A. |b|<3 B. |b|≤3 C. －3≤b≤3 D. －3方程2＝x＋2x＋1的實數(shù)解的個數(shù)是_____。
A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不對
方程x＝10sinx的實根的個數(shù)是_______。
若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數(shù)集，那么實數(shù)m的取值范圍是_________。
設z＝cosα＋ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________。
若方程x－3ax＋2a＝0的一個根小于1，而另一根大于1，則實數(shù)a的取值范圍是______。
sin20°＋cos80°＋sin20°·cos80°＝____________。
解不等式： >b－x
設A＝{x|<1x<3}，又設B是關于x的不等式組的解集，試確定a、b的取值范圍，使得AB。 （90年高考副題）
定義域內(nèi)不等式〉x＋a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。
12. 已知函數(shù)y＝＋，求函數(shù)的最小值及此時x的值。
13. 已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。
14. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個實數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍。
九、分類討論思想方法
在解答某些數(shù)學問題時，有時會有多種情況，對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。
分類原則：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復、分層次，不越級討論。
分類方法：明確討論對象，確定對象的全體 → 確定分類標準，正確進行分類 → 逐步進行討論，獲取階段性結(jié)果 → 歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范圍是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0若a>0且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，則p、q的大小關系是_____。
A. p＝q B. pq D.當a>1時，p>q；當0函數(shù)y＝＋＋＋的值域是_________。
若θ∈(0, )，則的值為_____。
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
函數(shù)y＝x＋的值域是_____。
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的體積為_____。
A. B. C. D. 或
過點P(2,3)，且在坐標軸上的截距相等的直線方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能確定
Ⅱ、示范性題組：
例1. 設00且a≠1，比較|log(1－x)|與|log(1＋x)|的大小。
【分析】 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與底數(shù)a有關，而分兩類討論。
【解】 ∵ 01
當00;
當a>1時，|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝…
由①、②可知，…
例2. 已知集合A和集合B各含有12個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)： ①. CA∪B且C中含有3個元素； ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：①屬于A 元素；②不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種。
【解】 C·C＋C·C＋C·C＝1084
【另解】（排除法）：
【注】本題是“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是正確分類，達到分類完整及每類互斥的要求。并且要確定C中元素如何取法。
例3. 設{a}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項和。 ①. 證明： 0，使得＝lg（S－c）成立？并證明結(jié)論。(95年全國理)
【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進行等價變形；再應用比較法而求解。
【解】 設公比q，則a>0，q>0
①． …
②. 要使＝lg（S－c）成立，則必有(S－c)(S－c)＝(S－c),
分兩種情況討論如下：
當q＝1時，S＝na，則
(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a<0
當q≠1時，S＝，則(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]
∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0即c＝
而S－c＝S－＝－<0 ∴對數(shù)式無意義
由上綜述，不存在常數(shù)c>0, 使得＝lg（S－c）成立。
【注】 本例由所用公式的適用范圍而導致分類討論。該題文科考生改問題為：證明>logS 。
例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學概念、定理、公式、運算性質(zhì)、法則等是分類討論的問題或者分類給出的，我們解決時按要求進行分類。（概念、性質(zhì)型）
例4. 設函數(shù)f(x)＝ax－2x＋2，對于滿足10，求實數(shù)a的取值范圍。
1 4 x
1 4 x
【分析】 含參的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的值域問題，先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置進行分類討論。（也屬數(shù)形結(jié)合法）
【解】當a>0時，f(x)＝a（x－）＋2－
∴ 或或
∴ a≥1或；
當a<0時，，解得φ；
當a＝0時，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合題意
由上而得，實數(shù)a的取值范圍是a> 。
例5. 解不等式>0 (a為常數(shù)，a≠－)
【分析】 含參不等式，參數(shù)a決定了2a＋1的符號和兩根－4a、6a的大小，故對a>0、a＝0、－【解】 2a＋1>0時，a〉－； －4a<6a時，a>0 。 所以分以下四種情況討論：
當a>0時，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
當a＝0時，x>0，解得：x≠0；
當－0，解得: x<6a或x>－4a；
當a>－時，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a綜上所述，……
【注】 含參問題，結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而分類討論。（含參型）
例6. 設a≥0,在復數(shù)集C中，解方程：z＋2|z|＝a 。 (90年全國高考)
【解】 ∵ z∈R，由z＋2|z|＝a得：z∈R； ∴ z為實數(shù)或純虛數(shù)
當z∈R時，|z|＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋ ∴ z＝±(－1＋)；
當z為純虛數(shù)時，設z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1± （0≤a≤1）
由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ
【注】本題用標準解法（設z＝x＋yｉ再代入原式得到一個方程組，再解方程組）過程十分繁難，而挖掘隱含，對z分兩類討論則簡化了數(shù)學問題。 （簡化型）
【另解】 設z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2＋2xyｉ＝a； ∴
當y＝0時，…
例7. 在xoy平面上給定曲線y＝2x，設點A(a,0)，a∈R，曲線上的點到點A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達式。 （本題難度0.40）
【分析】 求兩點間距離的最小值問題，先用公式建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x≥0下的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論。
【解】 設M(x,y)為曲線y＝2x上任意一點，則
|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)
由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情況討論：
當a－1≥0時，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；
當a－1<0時，x＝0取最小值，即|MA}＝a；
綜上所述，有f(a)＝ 。
Ⅲ、鞏固性題組：
若log<1，則a的取值范圍是_____。
A. (0, ) B. (,1) C. (0, )∪(1,+∞) D. (,+∞)
非零實數(shù)a、b、c，則＋＋＋的值組成的集合是_____。
A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是_____。
A.當x＝2a時有最小值0 B.當x＝3a時有最大值0
C.無最大值，且無最小值 D.有最小值但無最大值
4. 設f(x,y)＝0是橢圓方程，f(x,y)＝0是直線方程，則方程f(x,y)＋λf(x,y)＝0 （λ∈R）表示的曲線是_____。
A.只能是橢圓 B.橢圓或直線 C.橢圓或一點 D.還有上述外的其它情況
5. 函數(shù)f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)在閉區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2，則a、b的值為_____。
A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3
C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正確
6.方程(x－x－1)＝1的整數(shù)解的個數(shù)是_____。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空間不共面的4個點距離相等的平面的個數(shù)是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
z∈C，方程z－3|z|＋2＝0的解的個數(shù)是_____。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
復數(shù)z＝a＋aｉ (a≠0)的輻角主值是______________。
10.解關于x的不等式： 2log(2x－1)>log(x－a) (a>0且a≠1)
11.設首項為1，公比為q (q>0)的等比數(shù)列的前n項和為S，又設T＝，求T 。
12. 若復數(shù)z、z、z在復平面上所對應三點A、B、C組成直角三角形，且|z|＝2，求z 。
13. 有卡片9張，將0、1、2、…、8這9個數(shù)字分別寫在每張卡片上。現(xiàn)從中任取3張排成三位數(shù)，若6可以當作9用，問可組成多少個不同的三位數(shù)。
14. 函數(shù)f(x)＝(|m|－1)x－2(m＋1)x－1的圖像與x軸只有一個公共點，求參數(shù)m的值及交點坐標。
十、函數(shù)與方程的思想方法
函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
方程lgx＋x＝3的解所在的區(qū)間為_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
如果函數(shù)f(x)＝x＋bx＋c對于任意實數(shù)t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。
A. f(2)已知函數(shù)y＝f(x)有反函數(shù)，則方程f(x)＝a (a是常數(shù)) ______。
A.有且僅有一個實根 B.至多一個實根 C.至少一個實根 D.不同于以上結(jié)論
已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，則tgθ的值是_____。
A. － B. － C. D.
已知等差數(shù)列的前n項和為S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，則S＝_________。
6.關于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有實根，則實數(shù)a的取值范圍是__________。
7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為___________。
8. 建造一個容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價為___________。
Ⅱ、示范性題組：
例1. 設a>0，a≠1，試求方程log(x－ak)＝log(x－a)有實數(shù)解的k的范圍。(89年全國高考)
【解】 將原方程化為：log(x－ak)＝log， 等價于 （a>0,a≠1）
∴ k＝－ ( ||>1 ）,
設＝cscθ， θ∈(－,0)∪(0, )，則 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|
當θ∈(－,0)時，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；
當θ∈(0,)時，f(θ)＝…
綜上，k的取值范圍是…
【注】 引入新的變量，而用函數(shù)值域加以分析，此法可解有關不等式、方程、最值、參數(shù)范圍之類問題。（分離參數(shù)法、三角換元法、等價轉(zhuǎn)化思想）
【另解】 （數(shù)形結(jié)合法）：
【再解】 （方程討論法）：
例2. 設不等式2x－1>m(x－1)對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。
【分析】 此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關于x的不等式討論。然而，若變換一個角度以m為變量，記f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒負時參數(shù)x應滿足的條件。
【解】 設f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 則
解得x∈（,）
【注】 本題有別于關于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]時求m的值、關于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立時求m的范圍。
在一個含有多個變量的數(shù)學問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關系，使問題更明朗化。
例3. 設等差數(shù)列{a}的前n項的和為S，已知a＝12，S>0，S<0 。
①.求公差d的取值范圍； ②.指出S、S、…、S中哪一個值最大，并說明理由。(92年全國高考)
【分析】 ①問用a、S易求；②問利用S是n的二次函數(shù)而求什么時候取最大值。
【解】
【注】 數(shù)列的通項公式及前n項和公式實質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。
【另解②問】（尋求a>0、a<0 ）：
例4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。
【分析】 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設定變量，建立目標函數(shù)而求函數(shù)最小值。
P
M
A H B
D C
【解】 在PB上任取一點M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
設MH＝x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ
＝(sinθ＋1)[x－]＋
即當x＝時，MD取最小值為兩異面直線的距離。
【注】 求最大值、最小值的實際問題，將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言后，建立數(shù)學模型和函數(shù)關系式，利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關知識解答。（見再現(xiàn)性題組第8題）
例5. 已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tgA·tgC＝2＋，又知頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。
【解】 由A、B、C成等差數(shù)列，可得B＝60°；
由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝(1＋)
設tgA、tgC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的兩根，解得x＝1，x＝2＋
設A…
例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求證：x、y、z成等差數(shù)列。
【分析】 題設正好是判別式b－4ac＝0的形式，因此構(gòu)造一個一元二次方程求解。
【證明】 當x＝y(tǒng)時，可得x＝z， ∴x、y、z成等差數(shù)列；
當x≠y時，設方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。
∴t·t＝＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差數(shù)列
【注】 題設條件具備或經(jīng)變形整理后具備x＋x＝a、x·x＝b的形式，則利用根與系數(shù)的關系構(gòu)造方程；具備b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程。
例7. △ABC中，求證：cosA·cosB·cosC≤ 。
【證明】 設k＝cosA·cosB·cosC＝[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝[－cosC＋cos(A－B)]cosC
整理得：cosC－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作關于cosC的一元二次方程。
∴ △＝cos(A－B)－8k≥0 即 8k≤cos(A－B)≤1 ∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤
【注】既是方程思想，也屬判別式法。還可用放縮法：cosA·cosB·cosC＝… ＝
－cosC＋cos(A－B)·cosC＝－[cosC－]＋cos(A－B)≤cos(A－B) ≤
例8. 設f(x)＝lg，如果當x∈(-∞,1]時f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍。
【解】 由題可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：()＋()＋a>0
設t＝(), 則t≥， 又設g(t)＝t＋t＋a，其對稱軸為t＝－
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上無實根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－
【注】 二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者是緊密聯(lián)系的。也可用分離參數(shù)法：
Ⅲ、鞏固性題組：
方程sin2x＝sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)解的個數(shù)是_____。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知函數(shù)f(x)＝|2－1|，af(c)>f(b)，則_____。
A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 2<2 D. 2＋2<2
已知函數(shù)f(x)＝log(x－4x＋8)， x∈[0,2]的最大值為－2，則a＝_____。
A. B. C. 2 D. 4
4.已知{a}是等比數(shù)列，且a＋a＋a＝18，a＋a＋a＝－9，S＝a＋a＋…＋a，那么S等于_____。
A. 8 B. 16 C. 32 D. 48
5.等差數(shù)列{a}中，a＝84，前n項和為S,已知S>0，S<0，則當n＝______時，S最大。
6. 對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p，使不等式x＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范圍是________。
7.若關于x的方程|x－6x＋8|＝a恰有兩個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是____________。
8.已知點A(0,1)、B(2,3)及拋物線y＝x＋mx＋2，若拋物線與線段AB相交于兩點，求實數(shù)m的取值范圍。
9.已知實數(shù)x、y、z滿足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,試求z的取值范圍。
10.已知lg－4·lg·lg＝0，求證：b是a、c的等比中項。
11.設α、β、γ均為銳角，且cosα＋cosβ＋cosγ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求證：α＋β＋γ＝π 。
12.當p為何值時，曲線y＝2px (p>0)與橢圓(x―2―)＋y＝1有四個交點。(88年全國高考)
13.已知關于x的實系數(shù)二次方程x＋ax＋b＝0有兩個實數(shù)根α、β。證明：
如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4＋b且|b|<4；
如果2|a|<4＋b且|b|<4，那么|α|<2，|β|<2 。 （93年全國理）
14.設f(x)是定義在區(qū)間(-∞,+∞)上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用I表示區(qū)間(2k-1,2k+1]，已知當x∈I時，f(x)＝x。 ①.求f(x)在I上的解析表達式； ②.對自然數(shù)k，求集合M＝{a|使方程f(x)＝ax在I上有兩個不相等的實根}。 （89年全國理）
十一、等價轉(zhuǎn)化思想方法
等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。
轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。
歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強化解決數(shù)學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1. f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等于_____。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
2.設f(x)＝3x－2，則f[f(x)]等于______。
A. B. 9x－8 C. x D.
3. 若m、n、p、q∈R且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，則mp＋nq的最大值是______。
A. B. C. D.
4. 如果復數(shù)z滿足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值為______。
A. 1 B. C. 2 D.
5. 設橢圓＋＝1 （a>b>0）的半焦距為c，直線l過(0,a)和(b,0)，已知原點到l的距離等于c，則橢圓的離心率為_____。
A. B. C. D.
6. 已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D為AB的中點，E為AC的中點，則四棱錐S-BCED的體積為_____。
A. B. 10 C. D.
Ⅱ、示范性題組：
例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。
【解】(－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)
＝(xy＋yz＋zx－xyz)＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9
【注】 對所求式進行等價變換，轉(zhuǎn)化為求＋＋的最小值，則不難由平均值不等式解決。（代數(shù)恒等變形型）
例2. 設x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范圍。
【分析】 設k＝x＋y，再代入消y，轉(zhuǎn)化為方程有實數(shù)解時求參數(shù)k范圍的問題。注意隱含條件：x的范圍。
【解】設k＝x＋y，則 …
【另解】 數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問題）：
【再解】 三角換元法，對已知式和待求式都可以進行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）：
【注】多種方法運用，實現(xiàn)多種轉(zhuǎn)化，聯(lián)系多個知識點，此題還可進行均值換元。（問題轉(zhuǎn)換型）
例3. 求值：ctg10°－4cos10°
【解一】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝＝
＝＝＝
（切化弦→通分→化同名→拆項→差化積→化同名→差化積）
【解二】ctg10°－4cos10°＝…＝＝
＝＝＝＝
（…→特值代入→積化和→差化積）
【解三】先 切化弦→通分→化同名，再拆角80°后用和差角公式求：
【注】無條件三角求值問題，是高考中常見題型，其變換是等價轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。（三角變換型）
例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x、x∈(0, )且x≠x，
求證：[f(x)＋f(x)]>f() （94年全國高考）
【證明】[f(x)＋f(x)]>f() [tgx＋tgx]>tg
…
S
A M
D N C
B
【注】 分析法證明過程中進行等價轉(zhuǎn)化。（分析證明型）
例5. 如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是側(cè)棱SC上的一點，使截面MAB與底面所成角等于∠NSC。求證：SC垂直于截面MAB。（83年全國高考）
【分析】 易證SC⊥AB，再在平面SDNC中證SC⊥DM。
【證明】
【注】立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解。
Ⅲ、鞏固性題組：
1. 正方形ABCD與正方形ABEF成90°的二面角，則AC與BF所成的角為_____。
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
2. 函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0f(b)，則下列各式中成立的是_____。
A. ab≤1 B. ab<1 C. ab>1 D. a>1且b>1
3. [－] (n∈N)的值為______。
A. B. C. 0 D. 1
4. (a＋b＋c)展開式的項數(shù)是_____。
A. 11 B. 66 C. 132 D. 3
5. 已知長方體ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝，則頂點A到截面A’BD的距離是_______。
6. 已知點M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，則|MN|的最大值為_________。
7. 函數(shù)y＝＋的值域是____________。
8. 不等式log（x＋x＋3）>log(x＋2)的解是____________。
9．設x>0，y>0，求證：(x＋y)>(x＋y) (86年上海高考)
10. 當x∈[0, ]時，求使cosx－mcosx＋2m－2>0恒成立的實數(shù)m的取值范圍。
11. 設△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若三邊a、b、c順次成等差數(shù)列，求復數(shù)z＝[cos(π＋)＋ｉsin(π＋)]·[sin(－)＋ｉcos(－)]的輻角主值argz的最大值。
12. 已知拋物線C：y＝(t＋t－1)x－2(a＋t)x＋(t＋3at＋b)對任何實數(shù)t都與x軸交于P(1,0)點，又設拋物線C與x軸的另一交點為Q(m,0)，求m的取值范圍。

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