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數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)
葉立軍
杭州師范學(xué)院理學(xué)院
yeatsylj@
基礎(chǔ)教育改革：尋找解決教學(xué)問(wèn)題
的大策略成為明顯趨勢(shì)。
21世紀(jì)國(guó)際教育委員會(huì)認(rèn)為：教學(xué)質(zhì)量和教師素質(zhì)的重要性無(wú)論怎樣強(qiáng)調(diào)都不過(guò)分。
引言
一、為什么要談數(shù)學(xué)思想方法
1、從數(shù)學(xué)思想方法的意義看
2、從當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀看
從數(shù)學(xué)思想方法的意義看
　　　21世紀(jì)是“知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代”，國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)是“創(chuàng)新能力”的競(jìng)爭(zhēng)，高科技的競(jìng)爭(zhēng)，若把“高科技”比作皇冠的話，數(shù)學(xué)就是皇冠上的一顆明珠。就是說(shuō)要培養(yǎng)21世紀(jì)高科技創(chuàng)新人才，首先應(yīng)培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維能力的“數(shù)學(xué)王子”。
　　在數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法是成為創(chuàng)造型人才的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)高科技研究型人才、迎接新世紀(jì)國(guó)際高科技挑戰(zhàn)的比由之路。
　　　思維是事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律性在人腦中的反映，它是智力的核心，而小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是要培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際操作能力的基礎(chǔ)上訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
從當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀看
　　多年來(lái)，我國(guó)小學(xué)實(shí)現(xiàn)依然存在時(shí)費(fèi)低效的現(xiàn)象，表現(xiàn)在教師講解例題多，學(xué)生套題解為多，對(duì)復(fù)雜化的題型束手無(wú)策，更談不上創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題。究其實(shí)質(zhì)，是思維訓(xùn)練沒(méi)有到位，從思維方法訓(xùn)練的角度得到反省，過(guò)去教師過(guò)分看重思維結(jié)果，偏重灌輸，忽視學(xué)生思維過(guò)程的展示，以及錯(cuò)誤思維過(guò)程的暴露，必須導(dǎo)致思維訓(xùn)練走過(guò)場(chǎng)，教師講的頭頭是道，學(xué)生解題摸不著門道的被動(dòng)局面，只有讓學(xué)生經(jīng)歷思考過(guò)程，獲得思維方法，才能真正內(nèi)行為經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，形成能力。
課堂教學(xué)應(yīng)試為主

教學(xué)目標(biāo)定位偏低
—— 鞏固知識(shí) 熟練技能
教學(xué)內(nèi)容膚淺狹窄
—— 已知知識(shí) 浮于淺表
局限課本 固守單科
教學(xué)過(guò)程預(yù)設(shè)過(guò)多
—— 嚴(yán)密周到 強(qiáng)迫牽制 被動(dòng)跟隨
教學(xué)方式講授演繹
—— 教師講析 師生問(wèn)答
學(xué)生活動(dòng)虛浮異化
—— 有形無(wú)實(shí) 效度不高 機(jī)械練習(xí)
數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求
“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法”是新一輪數(shù)學(xué)課程改革所設(shè)定的一個(gè)基本目標(biāo)。以國(guó)際上的相關(guān)研究為背景，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)。
理論依據(jù)
　　　數(shù)學(xué)教學(xué)主要是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，而不是單純的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，掌握數(shù)學(xué)思考方法，因此小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要有重大突破，就在于小學(xué)生思維發(fā)展的研究。這一教學(xué)原則改變了我們“滿堂灌”，“注入式”的教學(xué)方法，著眼于學(xué)生的思維的訓(xùn)練。給學(xué)生“思考”的機(jī)會(huì)，指導(dǎo)學(xué)生思維方法，使其形成良好的思維品質(zhì)。
教學(xué)從現(xiàn)代教育觀點(diǎn)看：當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)偏重書本知識(shí)和雙基訓(xùn)練，缺少對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情感、態(tài)度以及個(gè)體差異的關(guān)注，忽視研究性學(xué)習(xí)和實(shí)踐活動(dòng)。在學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng)方面，與發(fā)達(dá)國(guó)家相比，差距十分明顯。有學(xué)者指出，按照知識(shí)的外在程度，新經(jīng)濟(jì)時(shí)代把知識(shí)分為外顯部分與內(nèi)隱部分，它們構(gòu)成一個(gè)冰山模式，前者浮出海面，后者在下托起整個(gè)冰山。后者就是內(nèi)隱部分，即智慧、情感和態(tài)度，它深深地嵌入于實(shí)踐之中。人的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力主要依賴于內(nèi)隱部分。只有通過(guò)在行動(dòng)中學(xué)習(xí)，才能達(dá)到培養(yǎng)和提高的目的。當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀呼喚著符合時(shí)代要求的新數(shù)學(xué)課程的誕生。
知識(shí)的冰山模型
明確知識(shí)
（是什么、為什么）
主要是事實(shí)和原理的知識(shí)
存于書本，可編碼（邏輯性）、可傳遞（共享性）、可反思（批判性）
默會(huì)知識(shí)
（怎么想、怎么做）
本質(zhì)上是理
解力和領(lǐng)悟
存于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)（個(gè)體
性）、嵌入實(shí)踐活動(dòng)
（情境性）
① 教學(xué)是兩組主體間的作用系統(tǒng)
——從被動(dòng)到互動(dòng)
尊重學(xué)生（需求、現(xiàn)狀、發(fā)展可能）
要求學(xué)生（強(qiáng)調(diào)適切性）
教師
學(xué)生

儒家文化：尊師重教
主導(dǎo)性主體
發(fā)展性主體
——從單一過(guò)程到復(fù)雜過(guò)程
存于實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的默會(huì)知識(shí)
存于書本的 明確知識(shí)
教師
學(xué)生
書本學(xué)習(xí)、行動(dòng)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)
——在主導(dǎo)原則下取得新平衡是關(guān)鍵
教改實(shí)踐要有不走極端而達(dá)到頂尖的集其大成的智慧
　　　國(guó)際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾稱之為“再創(chuàng)造”，他反復(fù)指出：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”。數(shù)學(xué)教育家的教學(xué)原則，為我們闡明了數(shù)學(xué)教育方法：就是在引導(dǎo)學(xué)生獲取知識(shí)時(shí)，為學(xué)生創(chuàng)造能夠利用已有的感性經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)條件，為學(xué)生提供思維的最近發(fā)展區(qū)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造．
基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能
雙基的內(nèi)涵與時(shí)代的發(fā)展
繁難偏舊的綜合
過(guò)度形式化演繹問(wèn)題
基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能
這是美國(guó)許多學(xué)生在做分?jǐn)?shù)加減時(shí)所犯的錯(cuò)誤，為此我們應(yīng)該考慮雙基的內(nèi)涵與時(shí)代的發(fā)展之間的關(guān)系.
1、從實(shí)物到算式的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程
---小學(xué)數(shù)學(xué)《有余數(shù)的除法》
7÷3=2 1
……
Freudenthal研究所的達(dá)朗其(Jan de Lange,1996)在ICME-8的大會(huì)報(bào)告中介紹了荷蘭的一堂課：81名家長(zhǎng)出席學(xué)校家長(zhǎng)會(huì)，每張桌子可坐6人，需要布置多少?gòu)堊雷樱恳活悓W(xué)生具體地?cái)[桌子；第二類學(xué)生經(jīng)歷了具體到形式的抽象；第三類學(xué)生套用算式去做。實(shí)際上，三類學(xué)生中只有第二類才真正體驗(yàn)到了“數(shù)學(xué)化”的含義。
問(wèn)題
糾纏于區(qū)分等分除、包含除等枝節(jié),未突出“有余數(shù)”這個(gè)要點(diǎn)
習(xí)慣于程式化訓(xùn)練：3×（ ）＜7
括號(hào)里最大能填幾？未關(guān)注試商的現(xiàn)實(shí)意義
(3)表面地尋找規(guī)律
16÷5＝3……1
17÷5＝3……2
18÷5＝3……3
19÷5＝3……4
余數(shù)(1、2、3、4）與除數(shù)（5）比較大小，得出余數(shù)小于除數(shù)
忘記了對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)“數(shù)學(xué)就是生活”
實(shí)物操作 表象操作 符號(hào)操作
分豆子 腦中分豆子 算式運(yùn)算
（具體） （半具體、半抽象） （抽象）

尋找規(guī)律
“分豆子”與布魯納的認(rèn)知理論
數(shù)學(xué)是在具體、半具體、半抽象、抽象中間的鋪排，是穿梭于實(shí)物與算式之間所作的形式化過(guò)渡。
豁然開朗：表象操作是形式化的重要中介 如退位減法23-8=？學(xué)生有多種思維水平：
第一種：
第二種：
形式化
尋找意義
23
－ 8
15
第三種：
第四種：說(shuō)出算理 23－8=10 +(13 －8)=15
23 －8=(20 －8)+3=15
23 －8=(23 －10)+2=15
停留于第一、第二種水平的學(xué)生“只會(huì)動(dòng)手做, 不會(huì)動(dòng)腦想”，從第二到第三種是關(guān)鍵的一步，通過(guò)表象操作，越過(guò)這一步，才能達(dá)到計(jì)算自動(dòng)化，或靈活運(yùn)用多種方法并說(shuō)出算理。
二、數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中
１數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展史
２數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
1．?dāng)?shù)學(xué)思想與方法
1,從詞義看：思想是指客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。
2,從哲學(xué)角度看，思想的涵義有二：一是與“觀念”同義，二是指相對(duì)于感性認(rèn)識(shí)的理性認(rèn)識(shí)成果。
3,數(shù)學(xué)思想：對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的思想觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想。例：化歸思想、分類思想、模型思想、極限思想、統(tǒng)計(jì)思想、最優(yōu)化思想。
4,數(shù)學(xué)方法：從數(shù)學(xué)角度提出問(wèn)題、解決問(wèn)題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題）的過(guò)程中采用的各種方式、手段、途徑等，其中包括變換數(shù)學(xué)形式。求和可以考慮分解組合的方法，變換問(wèn)題的數(shù)學(xué)形式。
二、數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展和演進(jìn)
數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科，它從萌芽時(shí)期發(fā)展至今已經(jīng)有數(shù)千年的歷史。數(shù)學(xué)的發(fā)展史不只是一些新概念、新命題的簡(jiǎn)單堆砌，它包含著數(shù)學(xué)思想和方法的積淀，尤其是數(shù)學(xué)本身許多質(zhì)的飛躍，即數(shù)學(xué)思想方法的重大突破。
1，古代的數(shù)學(xué)思想和方法
從遠(yuǎn)古到公元前5世紀(jì)左右的數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期是一個(gè)漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程。 （人們積累了算術(shù)和幾何方面的零碎知識(shí)，逐漸形成了抽象意義下的數(shù)和圖形的概念，產(chǎn)生了計(jì)數(shù)法和各種數(shù)制下的算法，出現(xiàn)了測(cè)地術(shù)。此時(shí)尚未形成一般的數(shù)學(xué)理論，還談不上有什么重要的數(shù)學(xué)思想。但是一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)法（對(duì)應(yīng)思想）和記數(shù)符號(hào)的使用有力地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。另外，直接的觀察和體念被作為最重要的認(rèn)識(shí)方法。
數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的萌芽時(shí)期，在古巴比倫、埃及和中國(guó)積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)之后，匯成了兩股不同的數(shù)學(xué)源流，
形成了兩個(gè)各具特色、風(fēng)格各異的數(shù)學(xué)體系。一個(gè)是以巴
比倫和埃及數(shù)學(xué)為源頭的，在希臘匯合后又得到長(zhǎng)足進(jìn)步
與發(fā)展的古希臘數(shù)學(xué)，另一個(gè)則是以解決問(wèn)題為宗旨、以
注重算法為特點(diǎn)的古代中國(guó)數(shù)學(xué)。
古希臘的數(shù)學(xué)融數(shù)學(xué)與哲學(xué)為一體，以哲學(xué)促進(jìn)數(shù)學(xué)
理論的建立，提出了一系列思辯性的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、理論和方
法。首先 ，古希臘人對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有了根本性的變化。他
們認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅可用來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，更重要的是他
們?cè)噲D用數(shù)學(xué)來(lái)理解世界，把數(shù)學(xué)看作是理解宇宙的一把
鑰匙，是研究自然的一部分，其深刻的數(shù)學(xué)思想對(duì)后世影
響很大。其次，古希臘人用演繹證明方法研究幾何，使幾
何學(xué)成為一個(gè)演繹系統(tǒng)。歐幾里得的《幾何原本》和阿波
羅尼斯的《圓錐曲線》是演繹數(shù)學(xué)的代表著作。把邏輯證
明系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)奠基于邏輯之上，這是對(duì)數(shù)學(xué)
認(rèn)識(shí)的一個(gè)質(zhì)的飛躍。由此得來(lái)數(shù)學(xué)思想方法的更新——
公里化的思想和演繹推理進(jìn)入了數(shù)學(xué)。值得一提的是，古
希臘雖然非常強(qiáng)調(diào)演繹推理，但數(shù)學(xué)思想發(fā)展的歷史表明，他們的數(shù)學(xué)創(chuàng)造也離不開觀察、實(shí)驗(yàn)，離不開歸納、猜想和分析。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)是以問(wèn)題為中心的算法體系，《九章算術(shù)》的成書是其形成的標(biāo)志。
2、近代的數(shù)學(xué)思想和方法
17～18世紀(jì)，歐洲的數(shù)學(xué)創(chuàng)造也進(jìn)入了一個(gè)嶄新的時(shí)期，這個(gè)時(shí)期，數(shù)學(xué)不僅產(chǎn)生了許多新的分支，而且產(chǎn)生了許多新的思想和方法，它突出表現(xiàn)在從演繹幾何到幾何代數(shù)化、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)以及從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)的幾個(gè)重大轉(zhuǎn)折上。
3、現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想和方法
美國(guó)的基礎(chǔ)教育
馬力平（原華師大碩士）在《數(shù)學(xué)的認(rèn)知和教學(xué)》例舉了這樣一個(gè)例子：
象
考察20個(gè)小學(xué)教師，62%的教師沒(méi)有答對(duì)（樣本雖小，但他們中18個(gè)具有學(xué)士學(xué)位，6個(gè)具有碩士或博士學(xué)位）
美國(guó)小學(xué)（三至五年級(jí)）不教分?jǐn)?shù)
美國(guó)也在學(xué)習(xí)中國(guó)的基礎(chǔ)教育，因此，我們得尋找中西方的最佳結(jié)合點(diǎn)——中間地帶
一條船上有75頭牛和32頭羊，
問(wèn)船長(zhǎng)幾歲？
這是學(xué)校把學(xué)生越教越笨的表現(xiàn).
中國(guó)的中小學(xué)生有92.5% 給出答案
法國(guó)四年級(jí)小學(xué)生給答案的為65%
（荷蘭）甲離學(xué)校10公里，乙離甲3公里， 問(wèn)乙離學(xué)校幾公里？
訓(xùn)練學(xué)生的表示能力
甲、乙、學(xué)校在一條直線上？ 沒(méi)有說(shuō)
校 乙 甲 乙‘
數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用舉例
1、數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)模型方法
數(shù)學(xué)從內(nèi)容到方法都顯示出極其高度的抽象性
(1).數(shù)學(xué)抽象方法
1．1數(shù)學(xué)抽象的概念
數(shù)學(xué)抽象是抽象方法在數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用，也就是利用抽象方法把大量生動(dòng)的關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的直觀背景材料進(jìn)行去偽存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提煉數(shù)學(xué)概念，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)理論。
1．2 數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)
(1)數(shù)學(xué)抽象的特殊內(nèi)容：數(shù)學(xué)只是量的科學(xué)。1，1頭牛，1只羊
（2) 數(shù)學(xué)抽象的特殊高度：和一般的自然科學(xué)相比，數(shù)學(xué)抽象的又一特點(diǎn)在于它所達(dá)到的高度，數(shù)學(xué)的抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了自然科學(xué)中的一般抽象。
首先，數(shù)學(xué)抽象往往是在其他學(xué)科抽象基礎(chǔ)上的再抽象。（例如，正比例函數(shù)是物理學(xué)中勻速直線運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的再抽象。
　　其次，數(shù)學(xué)抽象具有逐級(jí)抽象的特點(diǎn)。更為重要的是，數(shù)學(xué)抽象的特殊高度表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中一些概念與真實(shí)世界的距離是如此遙遠(yuǎn)以致常常被看成“思維的自由想象物和創(chuàng)造物”，這即為數(shù)學(xué)中所謂的“理想元素”（如無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）
（3)數(shù)學(xué)抽象的特殊方法。
數(shù)學(xué)抽象就是一種建構(gòu)的活動(dòng)，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是通過(guò)邏輯建構(gòu)活動(dòng)來(lái)得到構(gòu)造的。
2.數(shù)學(xué)抽象的基本方法
2．1 理想化抽象
在純粹理想的狀態(tài)下，對(duì)事物進(jìn)行簡(jiǎn)單化與完善化的加工處理，撇開事物的具體內(nèi)容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本質(zhì)的屬性，抽象出相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的方法。
2．2 強(qiáng)抽象與弱抽象
強(qiáng)抽象是指在已知概念中，加強(qiáng)對(duì)某一屬性的限制，抽象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過(guò)擴(kuò)大原概念的內(nèi)涵來(lái)建立新概念的抽象方法。
例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對(duì)邊給予適當(dāng)限制，則得平行四邊形和梯形的概念。
若從平行四邊形概念出發(fā)，再對(duì)邊或角分別適當(dāng)限制，有得到矩形、菱形及正方形的概念。
弱抽象：指在已知概念中，減弱對(duì)某一屬性的限制，抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新概念的特例的方法。即通過(guò)縮小原概念的內(nèi)涵來(lái)建立新概念的抽象方法。
例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲得相似形與等積形的概念，它們分別保留了“形狀相同”及“面積相等”的特性。
2．3 等置抽象
從一類對(duì)象（具體的或抽象的個(gè)體）中抽象出其中的某種共同屬性的抽象方法。
例：自然數(shù)的概念就是用等置抽象的思想建立起來(lái)的。每個(gè)自然數(shù)實(shí)際上都是一類等價(jià)集合的標(biāo)記，它反映這類集合中元素的數(shù)目是該類集合的類的標(biāo)記，它反映這類集合中元素的數(shù)目，是該類集合的類的特征。
2．4 存在性抽象
先用假設(shè)的方法肯定抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念存在性，并由此發(fā)展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證，從而確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性。
如：自然數(shù)“無(wú)限延伸”以及無(wú)理數(shù)、負(fù)數(shù)、虛數(shù)都是由存在性抽象方法建立起來(lái)的。
應(yīng)用舉例：
例1．7只杯放在桌子上，三只杯口朝上，四只杯口朝下，現(xiàn)要求每次同時(shí)翻轉(zhuǎn)其中四只使杯口朝向相反，問(wèn)能否經(jīng)過(guò)有限次翻轉(zhuǎn)后，使所有杯子杯口均朝下？
分析：+1表示杯口朝上，-1表示杯口朝下
起始狀態(tài)：三個(gè)+1，四個(gè)-1
（+1）（+1）（+1）（+1）（-1）（-1）（-1）
終點(diǎn)狀態(tài)是七個(gè)-1，即 （-1）
翻轉(zhuǎn)一只杯子使其朝向相反，不是+1
也即在（+1）或（-1）上乘以（-1）。現(xiàn)欲將四只杯子同時(shí)翻轉(zhuǎn)，可見每次“運(yùn)算”（即翻轉(zhuǎn)杯子）的總結(jié)果是乘以（－１）
原問(wèn)題就抽象為如下問(wèn)題：
能否每次同時(shí)改變四個(gè)符號(hào)使起始狀態(tài)變?yōu)榻K點(diǎn)狀態(tài)，顯然不可能。
因?yàn)椋鹗紶顟B(tài)結(jié)果為＋１，終點(diǎn)狀態(tài)為－１
例 男女若干人圍坐在一個(gè)圓桌，在相鄰兩人間插上一朵花；同性者中間插一朵紅花，異性者中間插一朵蘭花。若所插的紅花與蘭花一樣多，證明：男女人數(shù)總和是4的倍數(shù)。

例 （1906年匈牙利）設(shè)a 為1，2，3，… 的 某種排列，證明，若n為奇數(shù)，則積
（ 為偶數(shù)。
由上例可以編出下列習(xí)題
例（1968年英國(guó)）
設(shè)a 為整數(shù)， 為它們的一個(gè)排列，證明：數(shù)（ 為偶數(shù)。
例４．任選六個(gè)人在一起集合，試證其中要么至少有三個(gè)人彼此不認(rèn)識(shí)，要么至少有三個(gè)人互相認(rèn)識(shí)。（此問(wèn)題常稱為六人集合問(wèn)題，現(xiàn)用理想化抽象的方法處理）
例
在哥尼斯堡七橋問(wèn)題中，一筆畫問(wèn)題就是七橋問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。
例．將1到100這一百個(gè)自然數(shù)寫在一起成為一個(gè)多位數(shù)：1234567891011121314…9899100
試從這個(gè)數(shù)中去掉一百個(gè)數(shù)字，而使剩下的數(shù)最大，問(wèn)應(yīng)怎樣去法？最后剩下的數(shù)是什么數(shù)？
按照題意，應(yīng)使最后剩下的這個(gè)數(shù)的前面幾位數(shù)字盡量地大。
（1）去掉12345678，共8個(gè)數(shù)字，使剩下的第一位數(shù)字為9；
（2）去掉第一個(gè)9后面的101112131415161718，再去掉19的1，這樣共去掉19個(gè)數(shù)字，使剩下的第二位數(shù)字為9，再去掉第二個(gè)9后面的2021222324252627282共19個(gè)數(shù)字，使剩下的第三位數(shù)字位9，如此繼續(xù)下去……至剩下第五個(gè)9時(shí)，算一算就知道去掉了84個(gè)數(shù)字。
（3）去掉第五個(gè)9后面的14個(gè)數(shù)字50515253545556，這樣一共去掉98個(gè)數(shù)字，再可去掉兩個(gè)數(shù)字，若去掉57，則剩下的第六位數(shù)字為5，不算大，因此只去掉一個(gè)數(shù)字5，使剩下的第六位數(shù)字為7。
（4）最后再去掉7后面的一個(gè)數(shù)字5，使剩下的第七位字為8。
由上面得到的剩下的最大數(shù)為：
9999978596061…9899100。
例:計(jì)算：
提示： 分子=
=
分母=
答案為2。
整體化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
　　整體把握法是指全面地、總體地考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意分析問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)，從整體角度思考，從宏觀上理解和認(rèn)識(shí)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的。
例1　設(shè)都是非零實(shí)數(shù)，則行列式
中至少有一項(xiàng)是負(fù)數(shù)，有一項(xiàng)是正數(shù)。
1.　挖掘問(wèn)題的整體化特征
例2．在正方形內(nèi)部給出2000個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)在用M來(lái)表示該正方形的４個(gè)頂點(diǎn)和上述個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，并按下式規(guī)則把上述正方形紙片剪成一些三角形，使得：每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)都是M中元素；除頂點(diǎn)之外，每個(gè)三角形不再含M中的元素，試問(wèn)：
　①共可剪出多少個(gè)三角形？
　②如果三角形每邊剪一刀，共要剪幾刀？
故共剪出4200個(gè)三角形。
（２）每個(gè)三角形共有三邊，故每個(gè)三角形共要剪３刀，4200個(gè)三角形共 邊。但原四邊形的四邊不必剪，并且注意到其余每邊都是兩個(gè)三角形的公共邊，故應(yīng)剪的刀數(shù)是
(
故共要剪去6100刀。
（圖1 正方形）
分析與思考：（１）如果逐點(diǎn)或逐個(gè)三角形來(lái)考慮，那就太繁瑣了。由于三角形三內(nèi)角和為定值，而正方形每個(gè)頂點(diǎn)不管這樣剪總可以提供90°，內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)可以提供360°，因此可以從三角形內(nèi)角和總數(shù)方面作整體性考慮。如圖，中有兩類點(diǎn)：
第一類為四邊形的頂點(diǎn)，即 等。
第二類是四邊形內(nèi)部的那2000個(gè)點(diǎn)，如 等。
研究以第一類點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形的相關(guān)角，如以D為公共頂點(diǎn)的∠１，∠２，∠３，它們的和為90°。
以第二類點(diǎn)中每個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的相關(guān)角的和為360°，例如，以P為頂點(diǎn)的三角形有3個(gè)，其中，以P為公共頂點(diǎn)的３個(gè)角之和為 ，
故符合條件的所有三角形的內(nèi)角和為
2、從全局入手解決局部問(wèn)題
本來(lái)是個(gè)局部的數(shù)學(xué)問(wèn)題，為解決它，“升格”為全局問(wèn)題，通過(guò)對(duì)全局問(wèn)題的研究，導(dǎo)致原問(wèn)題的解決。
例3 求包含在正整數(shù)　與（　）之間的分母為3的所有不同約分?jǐn)?shù)之和。
思考與分析：這樣的所有分?jǐn)?shù)是
它既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列，當(dāng)然不好求和，但我們看到包含正整數(shù)與之間的可約分分?jǐn)?shù)為
它的各項(xiàng)和容易求出為　　　　　　 。
這兩類分?jǐn)?shù)統(tǒng)一在整體
之中，而這整體分?jǐn)?shù)為等差數(shù)列，各項(xiàng)和為
所以所求分?jǐn)?shù)之和為
3、從整體結(jié)構(gòu)考慮，抓住整體的不變性
　　在研究一個(gè)題目時(shí)，當(dāng)一些條件變化了，而另一些條件或者研究對(duì)象的整體保持不變，這些整體的不變性可以直接影響題目的結(jié)果，我們就要從整體上去發(fā)現(xiàn)和抓住這些不變的因素。
例4 設(shè)　　名選手兩兩之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，沒(méi)有平局，第i名選手勝場(chǎng)　，負(fù)　，求證：
我們考慮比賽總場(chǎng)數(shù)這一整體。
因?yàn)槊恳粓?chǎng)比賽，沒(méi)有平局，必有一人勝，一人負(fù)，所以，所有人所有勝場(chǎng)總和等于所有人所有負(fù)場(chǎng)總和，即
。這是一個(gè)不變量。
另外，對(duì)于每個(gè)選手都是比賽了　　場(chǎng)，因此有　　　　
（這又是一個(gè)不變量）。
利用這兩個(gè)不變量，本題很容易解決
于是
利用這兩個(gè)不變量，本題很容易解決
于是
　于是　
4、從整體性質(zhì)出發(fā)對(duì)已知條件整體運(yùn)用
　　對(duì)已知條件要克服單抓一二項(xiàng)，而忽視其他，要從整體性質(zhì)出發(fā)對(duì)已知條件整體運(yùn)用，挖掘已有條件的地位與作用，從而達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生整體思考能力。
例５　已知
　
　　求　　　　的值。
思考與分析：把四個(gè)方程變成一個(gè)整體，即以　　　為根的關(guān)于　的方程　
　　　　　　　　　　　　　　（１）
這是一個(gè)關(guān)于　的分式方程，可以化為關(guān)于　的四次方程
　　　　　　　　　　　　　　　　 （２）
又因?yàn)椤　　榉匠蹋?）的根，則
　　　　　　　　　　　　　　
整理得 　　　　　　　　　　　　　（３）
比較方程（2）和（3）中的系數(shù)　　可得
　　　　　+84=
　　　　　　＝３６
5．利用配對(duì)策略，把局部補(bǔ)成整體
　　通過(guò)題目中的某個(gè)式子A的特點(diǎn)，配上一個(gè)A的對(duì)偶式B，使得A和B從整體上有些比較明顯的結(jié)果。
例６ 已知　　均為正實(shí)數(shù)，且滿足
求證：不等式　　　　　　　　　對(duì)正整數(shù)　　成立。
6．挖掘結(jié)論的整體性
　　題目的結(jié)論整體性很強(qiáng)，而從局部并不容易去思考，這時(shí)，我們常常把結(jié)論的對(duì)象看做一個(gè)整體，并從整體上去研究結(jié)論的特征，從而獲得解題的方法。
例7 今有男女各2n人，圍成內(nèi)外兩圈跳邀請(qǐng)舞，每圈各2n人，有男有女，跳舞規(guī)則如下：每當(dāng)音樂(lè)一起，如面對(duì)面是一男一女，則男的邀請(qǐng)女的跳舞，如果均是男的，或者均是女的，則鼓掌助興，曲終時(shí)，外圈的人均向前一步，如此繼續(xù)，試證：在整個(gè)跳舞過(guò)程中，至少有一次起舞的男女不小于n。
思考與分析：我們不能局限在哪一次起舞的過(guò)程，也沒(méi)有辦法去確定哪一次起舞的男女不小于對(duì)，只能對(duì)本題的結(jié)果整體思考。
我們?cè)O(shè)內(nèi)圈的人為 ， 外圈的人為 ，并設(shè)男的為+1，女的為—1。
有了以上的賦值，可以使問(wèn)題數(shù)學(xué)化。
考查
若 和 都是男的或者都是女的，依題設(shè)，則不起舞，此時(shí)有
若 和 一是男的，一是女的，依題設(shè)，則起舞，此時(shí)有 。
考慮結(jié)論的整體，假定每次起舞都小于 n 對(duì) ，即結(jié)論不成立，我們可尋求可能發(fā)生的矛盾。
由于總對(duì)數(shù)為2n對(duì)，若每次起舞者都小于n對(duì)，則起舞者小于不起舞者，則有
將以上2n個(gè)不等式相加得
（ （1）
下面針對(duì)（1）式，研究
設(shè)內(nèi)圈有k個(gè)男的，則有2n-k女的，此時(shí)外圈有2n-k 個(gè)男的， k個(gè)女的。
于是
兩式相乘得
（ （2）
（1）與（2）發(fā)生矛盾。
于是，一定有一次起舞的男女不少于n對(duì)。
例:在一串分?jǐn)?shù)：
（1）第幾個(gè)分?jǐn)?shù)？
（2）第400個(gè)分?jǐn)?shù)是幾分之幾？
解:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+7=88
88+2（10-7）=94
1+3+5+
所以第400個(gè)分?jǐn)?shù)為
例在1到100的自然數(shù)集合中，任取51個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。
　　構(gòu)造抽屜：設(shè)P為1到100之間的奇數(shù)，按P×2（的形式可以將1到100的所有自然數(shù)分成符合要求的50類：
　由于從50類中任取51個(gè)數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)在同一類中。
化歸思想
例 將1976 分拆成自然數(shù)之和，再將其相乘，試求（并證明）所有這種乘積中之最大值。



特殊化方法與極端化方法
例1 在等式 中的括號(hào)內(nèi)填上兩個(gè)不同的自然數(shù)。
分析：小的一個(gè)數(shù)必須大于7而小于14，即只有8到13六種情況，若是8，必
須 是一個(gè)分子為1的分?jǐn)?shù)。注意到
（1）
便知8與56即為所求。同時(shí)易知只有一組解（8，56）
推廣一、7能否換成別的自然數(shù)？
注意到（1）式中等式右端的分子1是有8-7而得到，一般有：
（2）
此式是否只有 一組解？
事實(shí)上，由 知，只有為素?cái)?shù)時(shí)才是唯一。
極端化就是通過(guò)對(duì)極端位置或狀態(tài)下問(wèn)題特性的考察，以獲得有益啟示，從中引出一般位置或狀態(tài)下的性質(zhì)，從而獲得解決問(wèn)題的思路。數(shù)學(xué)中的“極端”情況很多。例如，點(diǎn)是圓的半徑為零的極端情況，切線是割線的極端情況等。
例2 兩人輪流在一張圓桌上擺放大小相同的硬幣，每次只能平放一個(gè)，不能重疊，在桌上放下最后一枚硬幣者為游戲的勝利者。試問(wèn)是先放者取勝，還是后放者取勝？
分析與思考：先考慮極端情形。假設(shè)硬幣恰與圓桌一樣大小，則先擺必勝。這是因?yàn)橹灰延矌艛[在桌子中心即可。從極端情形中可以獲得啟示：先擺的人可以把第一枚硬幣占據(jù)桌子中心，由于桌面為中心對(duì)稱，以后不論對(duì)方把硬幣放至何處，先擺的人總可以把硬幣擺在與其成中心對(duì)稱的位置，故必先擺者取勝。
對(duì)于一時(shí)難以入手的一般問(wèn)題，一個(gè)使用最普遍而又較為簡(jiǎn)單易行的化歸途徑，乃是把它向特殊的形式轉(zhuǎn)化，這就是特殊化法。
有趣的數(shù)學(xué)
趣味數(shù)學(xué)的啟示——角谷猜想：
例：任取一個(gè)大于2的自然數(shù)反復(fù)進(jìn)行下述兩種運(yùn)算：
（1） 若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘以3再加上1
（2） 若是偶數(shù)，則將該數(shù)除以2
對(duì)3反復(fù)進(jìn)行這樣的運(yùn)算：
對(duì)4，5，6進(jìn)行運(yùn)算其結(jié)果也是1
對(duì)7
運(yùn)用枚舉歸納法，建立了這樣一個(gè)猜想：
從任意一個(gè)大于2的自然數(shù)出發(fā)，反復(fù)進(jìn)行（1）、（2）兩種運(yùn)算，最后必定得到1。
這個(gè)猜想后來(lái)被多次檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)對(duì)7000億以下的數(shù)都是正確的，但是否對(duì)大于2的一切自然數(shù)都是正確，至今還不得而知。
數(shù)學(xué)中的黑洞
　　　　　美國(guó)賓夕法尼大學(xué)數(shù)學(xué)教授米歇爾.埃克寫了不少“數(shù)學(xué)黑洞”的文章，其中最簡(jiǎn)單的一個(gè)是123黑洞。
　　　在古希臘神話中，科林斯國(guó)王西西佛斯受到天譴，天神罰他把一塊巨石推倒一座山上，但無(wú)論他怎樣努力，這塊石頭總是在快要到達(dá)山頂之前不可避免地滾下來(lái)，于是他只能重新在推，就這樣沒(méi)完沒(méi)了，永無(wú)休止。
　　　在數(shù)學(xué)中，同樣的事情也可能發(fā)生。開始我們可以取任何一數(shù)字串，位數(shù)不限，例如
　　　948856371
　　接著是數(shù)一數(shù)其中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，奇數(shù)個(gè)數(shù)以及總數(shù)的數(shù)字個(gè)數(shù)，把它們寫成一個(gè)三數(shù)組。對(duì)上例來(lái)說(shuō)，便是4，5，9，并略去其中的逗號(hào)，濃縮地記為459
　　　對(duì)上述三數(shù)組重復(fù)上述步驟，就得到123。一旦得到了123，以后永遠(yuǎn)都是它，再也擺脫不掉了，所以對(duì)數(shù)字“宇宙”來(lái)說(shuō)，123就是一個(gè)真正的黑洞。不管什么樣的數(shù)字，是否最后都會(huì)跌到123呢？讓我們?cè)倌靡粋€(gè)龐大的數(shù)字串來(lái)試試，例如，
　　　122333444455555666666777777788888888999999999
　　　　這個(gè)數(shù)字串的偶數(shù)個(gè)數(shù)、奇數(shù)個(gè)數(shù)以及全部數(shù)字個(gè)數(shù)分別是20，25，45。寫成202545，在重復(fù)上述過(guò)程得到426，在重復(fù)得到303，在重復(fù)最后就得到123。
英語(yǔ)中的正直數(shù)
　　　1947年，悉尼.克拉伊茲發(fā)表了一篇奇妙論文《幸運(yùn)的語(yǔ)言》中發(fā)現(xiàn)一種獨(dú)特的映射，揭露了英語(yǔ)單詞的極限問(wèn)題，他的發(fā)現(xiàn)如下：
　　　用英語(yǔ)書寫任意一個(gè)數(shù)詞，數(shù)一下它的字母?jìng)€(gè)數(shù)，得到一個(gè)自然數(shù)，稱為原先的數(shù)詞在這種特殊映射下的像。然后再把該數(shù)換為與之等價(jià)的英語(yǔ)數(shù)詞，再重新數(shù)一下其字母?jìng)€(gè)數(shù)，從而又能得到一個(gè)新的數(shù)詞……反復(fù)執(zhí)行這兩類操作（英語(yǔ)單詞變?yōu)樽匀粩?shù)，自然數(shù)變?yōu)橛⒄Z(yǔ)單詞）的結(jié)果，最后一定會(huì)收斂于4，因此，4是數(shù)列的“極限”。
　　例如，先任意寫出一個(gè)英語(yǔ)單詞Twenty-three,數(shù)一下它的字母有11個(gè)，以表示此映射，于是我們得到
　　（Twenty-three）=11
　　與11等價(jià)的英語(yǔ)單詞是eleven,用表示此種映射，則
　（11）= eleven
　　顯然，不是的逆映射。
　反復(fù)執(zhí)行這兩類操作的情況如下：
　　eleven→6→six→3→three→5→five→4→four→4
　　讀者不妨寫個(gè)數(shù)字，自己嘗試一下，定會(huì)感到其味無(wú)窮。
教學(xué)對(duì)策
深入挖掘教材內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想和方法
數(shù)學(xué)思想方法是前人探索數(shù)學(xué)真理過(guò)程的積累，但數(shù)學(xué)教材并不是探索過(guò)程的真實(shí)記錄。數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂，它支配著整個(gè)教材。使數(shù)學(xué)概念、命題、問(wèn)題的解決相互緊扣，從而組成一個(gè)完整的聯(lián)合體系。
2 重視教學(xué)過(guò)程，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)
隨著數(shù)學(xué)教育改革的不斷深入，數(shù)學(xué)大眾化已經(jīng)逐漸被人們接受。數(shù)學(xué)教育的最終目的是全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生形成各種數(shù)學(xué)能力是提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的根本途徑。因此，必須改變重結(jié)果、重知識(shí)鏈的教學(xué)方式，建立起重視教學(xué)過(guò)程的教學(xué)方式。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，大體可以分為知識(shí)發(fā)生和應(yīng)用（整理）兩個(gè)階段。知識(shí)發(fā)生是指揭示和建立新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生得到新知識(shí)的過(guò)程，它包括概念的概括與形成、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)、教學(xué)方法的探究與思考過(guò)程等；知識(shí)應(yīng)用（整理）階段是指對(duì)已有概念、定理、公式、法則和方法的鞏固和應(yīng)用中進(jìn)一步理解的過(guò)程。
3 加強(qiáng)解題研究，突出思想方法的指導(dǎo)作用
加強(qiáng)解題教學(xué)，不是搞題型訓(xùn)練，更不是搞題海戰(zhàn)術(shù)。其準(zhǔn)確涵義是通過(guò)解題和反思活動(dòng)，在解題基礎(chǔ)上總結(jié)和歸納解題的方法，并提煉上升到思想的高度。同時(shí)，通過(guò)解題活動(dòng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對(duì)發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，突出數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的指導(dǎo)作用。
謝謝！歡迎批評(píng)指正！

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