資源簡介

第六章 不等式(一)
●知識網(wǎng)絡(luò)
●范題精講
【例1】 試問:與(a、b＜0)的大小關(guān)系，并說明理由.
分析:兩個數(shù)(或式)進行大小比較時，通常用作差法，它的一般步驟是:(1)作差；(2)變形；(3)定號.
作差的依據(jù)是:實數(shù)大小順序與實數(shù)運算性質(zhì)間的關(guān)系，即a＞ba－b＞0；a=b a－b=0；a＜ba－b＜0.
變形的方法是:采用配方法、因式分解法將差式化為若干個因式連乘積的形式或完全平方式的和的形式.
定號:由各因式的符號判斷差的符號.
解:－
=
=
=.
由于a＜0,b＜0,∴ab＞0,a+b＜0,a2＞0,b2＞0.
∴a2+b2＞0并且有2ab＞0.
則(a2+b2)(a+b)＜0.
要判斷與0的關(guān)系，需對a－b與0的關(guān)系分類:
(1)若0＞a＞b，則a－b＞0，則2ab(a－b)＞0，于是＜0.
此時，＜.
(2)若0＞b＞a，則a－b＜0，則2ab(a－b)＜0，于是＞0.
此時，＞.
(3)若0＞a=b，則a－b=0,則2ab(a－b)=0,于是
=0.
此時，= .
點評:此題在判斷符號時，要分類討論.分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想，要知道為什么分類，怎樣分類.分類時，要做到不重不漏.
【例2】 經(jīng)過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內(nèi),某公路段汽車的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(km/h)之間的函數(shù)關(guān)系為y=(v>0).
(1)在該時段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時,車流量最大 最大車流量為多少 (精確到0.1千輛/小時)
(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時,則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)
分析:本題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識,考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.
解:(1)依題意,y=≤=,
當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=40時,上式等號成立.
所以ymax=≈11.1(千輛/小時).
(2)由條件得>10,
整理得v2－89v+1600<0,
即(v－25)(v－64)<0.
解得25答:當(dāng)v=40 km/h時,車流量最大,最大車流量約為11.1千輛/小時.如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時,則汽車的平均速度應(yīng)大于25 km/h且小于64 km/h.
【例3】 求證:≥(a＞0,b＞0).
思路一:從結(jié)論入手，探求、分析上一步成立的充分條件.
證法一:(分析法)要證≥，
只要證a+b≥a+b，
即證+≥().
需證()(a－+b)≥()，
即a－+b≥，
也就是要證a+b≥2成立.a+b≥2顯然成立，∴原不等式成立.
思路二:從條件入手，利用已知不等式，逐次推理.
證法二:(綜合法)∵a、b為正實數(shù)，∴a+b≥2.
又+≥2, ①
+≥2， ②
①+②得+++≥2+2，
即≥成立.
證法三:(作差比較法)
()－()
=(－)+(－)=+
=
=.
∵a、b為正實數(shù)，
∴＞0,＞0,(－)2≥0.
于是有≥0.
∴≥.
●試題詳解
高中同步測控優(yōu)化訓(xùn)練(一)
第六章 不等式(一)(A卷)
說明:本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分，請將第Ⅰ卷選擇題的答案填入題后括號內(nèi)，第Ⅱ卷可在各題后直接作答.共100分，考試時間90分鐘.
第Ⅰ卷(選擇題 共30分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
1.若a、b、c為實數(shù)，則下列命題正確的是
A.若a＞b，則ac2＞bc2
B.若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2
C.若a＜b＜0，則＜
D.若a＜b＜0，則＞
解析:A.因為c2≥0,所以只有c≠0時才正確.c=0時，ac2=bc2，所以A是假命題.
變式:若ac2＞bc2,則a＞b，命題是真命題.
B.a＜b,a＜0a2＞ab,a＜b,b＜0ab＞b2，B是真命題.
C.由性質(zhì)定理a＜b＜0＞,C是假命題.
D.例如－3＜－2＜0,＜,D是假命題.
答案:B
2.若<<0,則下列不等式:①a+b|b|；③a2.正確的不等式有
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
分析:本題主要考查不等式的性質(zhì)及均值不等式的適用條件.
解:由<<0可知b∴a+b<0,ab>0.∴a+b由>0, >0,而a≠b,∴+>2,④正確.
答案:B
3.若a＞b＞1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),則
A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q
分析:本題主要考查均值不等式與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.
解:a＞b＞1lga＞0,lgb＞0.
R＞Q＞P.
答案:B
4.角x,y滿足－＜x＜y＜,則x－y的取值范圍是
A.(－π,0) B.(－π,π)
C.(－,0) D.(－,)
分析:本題主要考查負數(shù)在不等式中的變化，不等式的性質(zhì).
解:由x＜y，得x－y＜0.又－π＜x－y＜π，
∴－π＜x－y＜0.
答案:A
5.下列命題中，真命題有
①若a+b＞0且ab＞0,則a＞0且b＞0
②若a＞b且ab＞0,則a＞b＞0
③若＞ad＞bc
④a＞b是＞成立的必要條件
A.①③ B.②③
C.②④ D.①④
分析:本題主要考查不等式的性質(zhì)，用排除法.
解:∵ab＞0,∴a、b同號.又a+b＞0,
∴a＞0且b＞0.①正確，排除B、C.
由③－＞0，得＞0，不能保證ad＞bc.③不正確.故應(yīng)選D.
答案:D
6.兩次購買同一種物品,可以有兩種不同的策略.第一種是不考慮物品價格的升降,每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降,每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.若兩次購買這種物品時價格不相同,則兩種策略中比較經(jīng)濟的情況為
A.第一種策略經(jīng)濟 B.第二種策略經(jīng)濟
C.兩種策略同樣經(jīng)濟 D.不能判斷
分析:本題主要考查不等式的應(yīng)用.本題關(guān)鍵是比較兩種不同的購買方式的平均價格的 大小.
解:(1)按第一種策略購物,設(shè)第一次購物時價格為p1,購n(kg),第二次購物時價格為p2,仍購n(kg).按這種策略購物時兩次購物的平均價格為=.
(2)若按第二種策略購物,第一次花m元錢,能購(kg)物品,第二次仍花m元錢,能購(kg)物品,兩次購物的平均價格為=.
比較兩次購物的平均價格－=－
==>0(∵p1≠p2),
∴第一種策略的平均價格高于第二種策略的平均價格.
因而,用第二種策略比較經(jīng)濟.
答案:B
7.函數(shù)f(x)=x++3在(－∞，－2］上
A.無最大值，有最小值7
B.無最大值，有最小值－1
C.有最大值7，有最小值－1
D.有最大值－1，無最小值
解析:f(x)=x++3=－(－x+)+3≤－4+3=－1.
故選D.
答案:D
8.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以v km/h速度勻速直達災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線長 400 km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于()2 km，那么這批物資全部到達災(zāi)區(qū)，最少需要
A.5 h B.10 h
C.15 h D.20 h
解析:時間t=［400+25()2］÷v=+
≥2=10.
答案:B
9.已知h＞0，設(shè)甲:兩實數(shù)a、b滿足|a－b|＜2h；乙:兩實數(shù)a、b滿足|a－1|＜h且 |b－1|＜h,則
A.甲是乙的充分但不必要條件
B.甲是乙的必要但不充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
分析:本題主要考查含絕對值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，充要條件.
解:|a－b|=|(a－1)－(b－1)|≤|a－1|+|b－1|＜2h.故應(yīng)選B.
答案:B
10.若x＞0,y＞0且≤a·(+)成立，則a的最小值是
A. B.
C.2 D.2
分析:本題主要考查≥()2,參數(shù)隔離法.
解:由≥()2，
∴≥,即a≥,amin=.故應(yīng)選A.
答案:A
第Ⅱ卷(非選擇題 共70分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)
11.設(shè)0＜x＜1，則a=2,b=1+x,c=中最大的一個是__________.
解析:∵b－c=(1+x)－=
=－＜0，
∴b＜c.又b=1+x＞2=a,∴c最大.
答案:c
12.已知不等式:①a2+3＞2a(a∈R)；②≥2；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a2+b2≥2(a－ b－1)(a,b∈R).其中正確的不等式的序號是__________.
分析:本題考查比較法，綜合法證明不等式，湊平方.
解:①a2+3－2a=(a－1)2+2＞0.
②a為負值不正確.
③a5+b5－a3b2－a2b3=a3(a2－b2)－b3(a2－b2)=(a3－b3)(a2－b2)=(a+b)(a－b)2(a2+ab+b2)，其值大于零不一定成立.當(dāng)a≠b且均為負值或一負值一零值時，其值為負值，當(dāng)a=b時其值為零.不正確.
④a2+b2－2a+2b+2=(a－1)2+(b+1)2≥0.
答案:①④
13.b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g糖(m>0),則糖水就變甜了.試根據(jù)這個事實,提煉一個不等式:__________.
分析:本題主要考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.加糖以后,糖水變甜了,說明濃度變大了.
解:加糖以前,糖水的濃度為,而加入m g糖以后,糖水濃度為,糖水變甜了,說明濃度變大了,即>.
答案: >
14.已知三個不等式:①ab＞0；②－＜－；③bc＜ad.以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，則可以組成__________個正確的命題.
分析:本題考查綜合運用不等式的性質(zhì)，證明不等式.
解:由②，＞0,又ab＞0bc－ad＞0，
即bc＞ad，說明由①②③.同理可證明其他情況.
答案:0
三、解答題(本大題共5小題，共54分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分8分)設(shè)x、y、z∈R,比較5x2+y2+z2與2xy+4x+2z－2的大小.
分析:本題考查不等式的性質(zhì)與比較法.
解:(5x2+y2+z2)－(2xy+4x+2z－2)=(x－y)2+(2x－1)2+(z－1)2≥0.
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z－2
(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=且z=1時等號成立).
16.(本小題滿分10分)比較下列兩個數(shù)的大小:
(1) －1與2－；
(2)2－與－；
(3)從以上兩小題的結(jié)論中，你能否得出更一般的結(jié)論？并加以證明.
解法一:(變形后利用平方求差)
(1)( +)2－(2+1)2=2－4＞0.
故+＞2+1，即－1＞2－.
(2)(2+)2－(+)2=4－2=2－2＞0.
故2+＞+ ,即2－＞－.
(3)一般結(jié)論:若n是正整數(shù)，
則有－＞－.
證明過程與(1)(2)類似，從略.
解法二:(利用分子有理化)
(1)∵－1=,2－=，而＞，故－1＞2－.
(2)∵2－=, －=，
而＞,故2－＞－.
(3)同解法一.
注:本題的結(jié)論可推廣到對一切n∈R+都成立.
17.(本小題滿分12分)已知a>b>0,求證:<－<.
分析:本題主要考查利用分析法證明不等式.
證明:要證原不等式,只需證
()2<(－)2<()2
<－<
<1<
1+<2<+1
<1<
<1<. (*)
由題設(shè)知不等式(*)成立,以上過程可逆,原不等式成立.
18.(本小題滿分12分)某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米造價45元，頂部每平方米造價20元，試算:倉庫底面積S的最大允許值是多少？此時鐵柵長為多少？
分析:本題考查不等式在實際中的應(yīng)用.
解:設(shè)鐵柵長x m，一堵墻長y m，則有S=xy.
由題意得40x+2×45y+20xy=3200.
應(yīng)用二元均值不等式，得3200≥2+20xy=120+20xy=120+20S.
∴S+6≤160.
∴(－10)(+16)≤0.
由于+16＞0,∴－10≤0，即S≤100.
因此S的最大允許值是100 m2，當(dāng)且僅當(dāng)40x=90y,
而xy=100,解得x=15，
即鐵柵的長應(yīng)為15 m.
19.(本小題滿分12分)設(shè)f(x)=x2－x+B,實數(shù)a滿足|x－a|＜1,求證:|f(x)－f(a)|＜2(|a|+1).
分析:本題考查絕對值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的應(yīng)用.
證明:∵f(x)－f(a)=x2－x+B－a2+a－B=x2－a2－(x－a)=(x－a)(x+a－1)，
又∵|x－a|＜1,
∴|f(x)－f(a)|=|x－a|·|x+a－1|＜|x+a－1|
=|x－a+2a－1|≤|x－a|+|2a－1|＜1+|2a|+1=2(|a|+1).
∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|+1).

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