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不等式的證明的方法介紹
新疆奎屯市第一高級中學(xué)　王新敞 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀(jì)教育網(wǎng) )
不等式的性質(zhì)及常用的證明方法主要有：比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等. 要明確分析法、反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應(yīng)用范圍. 若能夠較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想，就能夠證明不等式的有關(guān)問題.
一、不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：.
作差比較的步驟：
①作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差.
②變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和.
③判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號.
注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小.
（2）綜合法：由因?qū)Ч?
（3）分析法：執(zhí)果索因.基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件.
②“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá).
（4）反證法：正難則反.
（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的.
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項，如：；；
②將分子或分母放大（或縮小）；
③利用基本不等式，如：；
；
④利用常用結(jié)論：
；
； （程度大）
； （程度小）
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元.
如：已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)()；
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)；
（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點．
⑻數(shù)學(xué)歸納法法：數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究.
二、題型示例
例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之.
分析：本例反映的事實質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知 .
解：由題意得.
證法一：（比較法）.
，，
.
證法二：（放縮法）
，
.
證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD.
，
.
例2 已知a，b∈R，且a+b=1. 求證：.
證法一：（比較法）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）.
證法二：（分析法）
因為顯然成立，所以原不等式成立.
點評：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件.
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）.
證法四：（反證法）假設(shè)，則 .
由a+b=1，得，于是有.
所以，這與矛盾.
所以.
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝＝右邊.
點評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式.
證法六：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊.
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立.
點評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元.
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，
所以，
因為，所以，即.
故.
例3 設(shè)實數(shù)x，y滿足y+x2=0，0證明：（分析法）要證，
，只要證：，
又，
只需證：.
∴只需證，
即證，此式顯然成立.
∴原不等式成立.
例4 設(shè)m等于，和1中最大的一個，當(dāng)時，求證：.
分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于，和1中最大的一個”翻譯為符號語言“，，”，從而知.
證明：（綜合法），.
.
例5 已知，，求證：
解 ( http: / / wxc. )　∵ ∴ 1= ∴
又 ∵
∴ .
用同樣的思路可以推證關(guān)于三個正數(shù)和為1時各數(shù)與其倒數(shù)和的平方和的最值問題：
已知，，求證：
證明 ( http: / / wxc. )　∵
∴ 1=
∴
又 ∵
∴
∴ ( http: / / wxc. / )
猜想關(guān)于n個正數(shù)和為1時各數(shù)與其倒數(shù)和的平方和的最值如何？
證明不等式不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面.如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點.
在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等.
比較法是證明不等式最常用最基本的方法.
分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個重要策略原則的具體運(yùn)用，兩個重要策略原則是：正難則反原則，即若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯；簡單化原則，即尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復(fù)雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個較易證明的不等式.
凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法.
換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題.
含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件.
有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度.

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