資源簡介

立體幾何
一、高考動向：
考查思維能力和空間想象能力，特別是使用向量代數方法解決立體幾何幾何問題的能力，以順應幾何的改革方向，高考命題側重于直線與平面之間的各種位置關系的考查，從湘卷來看，一般是一小一大，17分左右。客觀題仍是側重于點線面位置關系及空間角，有可能涉及求表面積和體積問題，難度不會太大，主觀題估計向新課標靠攏。
錐體和柱體作為載體，傳統法和向量法都好解決問題仍是主旋律，主要考查線面的平行與垂直，角與距離考查可能減少，也可能出現新的題型，如開放性試題，立體幾何背景下的點的軌跡問題等，試題新穎，立意巧妙，要注意訓練。
二、主干知識整合
1．空間幾何體的三視圖
(1)正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；(2)側視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；(3)俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖．幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統稱為幾何體的三視圖．
2．斜二測畫水平放置的平面圖形的基本步驟
(1)建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐標系；(2)畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平平面；(3)畫對應圖形，在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x′軸，且長度保持不變；在已知圖形中平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y′軸，且長度變為原來的一半；(4)擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線(虛線)．
3．基本面積公式
4．空間幾何體的體積計算公式
5．平行關系的轉化
兩平面平行問題常常轉化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉化為直線與直線平行，所以要注意轉化思想的應用，以下為三種平行關系的轉化示意圖．
6．解決平行問題時要注意以下結論的應用
(1)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(2)兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線必平行于另一個平面．(3)一條直線與兩平行平面中的一個相交，那么它與另一個也相交．(4)平行于同一條直線的兩條直線平行．(5)平行于同一個平面的兩個平面平行．(6)如果一條直線與兩個相交平面都平行，那么這條直線必與它們的交線平行．
7．垂直關系的轉化
與平行關系之間的轉化類似，它們之間的轉化如下示意圖．
在垂直的相關定理中，要特別注意記憶面面垂直的性質定理：兩個平面垂直，在一個平面內垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面．當題目中有面面垂直的條件時，一般都要用此定理進行轉化．
三、熱身練習：
1. (1)[2011·山東卷] 如圖12－3是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如圖1；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如圖12－3；③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如圖12－3.其中真命題的個數是(　A　)
圖1 圖2
A．3 B．2 C．1 D．0
（2）如圖2一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是(　　)
A.＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋
2.(1) [2011·安徽卷] 一個空間幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的表面積為(　　)
圖3 圖4
A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80
(2)[2011·湖南卷] 設圖4是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　)
A．π＋12 B．π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18
3. [2011·遼寧卷] 已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S－ABC的體積為(　　)
A．3 B．2 C. D．1
4. 設m，n是平面α內的兩條不同直線；l1，l2是平面β內的兩條相交直線，則α∥β的一個充分而不必要條件是(　　)
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
5. （遼寧理8）。如圖，四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結論中不正確的是( )
（A）AC⊥SB （B）AB∥平面SCD
（C）SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
（D）AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角
6. (1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(　　)A．30° B．45° C．60° D．90°
圖5
(2)如圖6，在正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將△ABC沿DE，EF，DF折成正四面體P－DEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為_______．
圖6
四、例題講解
例1. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面底面，且，若、分別為、的中點.求證：（1）// 平面； （2）平面平面.
證明：（1）連結，∵ 底面是邊長為的正方形，
∴與互相平分，
∵為的中點， ∴為與的交點，
在中，∵為的中點， ∴//，
又 ∵平面，平面， ；
（2）∵ 面面，平面面，平面，， ∴ 平面，
∵平面， ，
又 ∵， ∴，
∴是等腰直角三角形，且，即，
　　 ∵ ， ∴ 面，
　　 又 ∵面， ∴ 面面.
例2. 如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和俯視圖在下面畫出（單位：cm）.
（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在所給直觀圖中連結，證明：面.
（Ⅰ）解：如圖
（Ⅱ）解：所求多面體體積為
；
（Ⅲ）證明：在長方體 ( http: / / www. )中，連結，則，
∵分別為、中點，∴，
∵，∴，
又∵面，平面，∴面.
例3. 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB = BC = 2 AD = 4， E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF ( 如圖 ) .
(1) 當x = 2時，求證：BD⊥EG；
(2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為 f ( x )，求f ( x ) 的最大值.
（1）證明: 作DH⊥EF于H，連結BH、GH，
由平面平面，得DH⊥平面EBCF，
∵ EG平面EBCF， ∴ EG⊥DH，
在梯形ABCD中，∵ EF∥BC，AD∥BC， ∴ EF∥AD，
∵∠ABC =∠BAD =， ∴ ∠EBC =∠BEF =∠AEF =，
∴ AE∥DH，∴ 四邊形AEHD為矩形，∴ AD = EH，
∵ AB = BC = 2 AD = 4，G是BC的中點， ∴ BG = EH，
∴ 四邊形BGHE為正方形， ∴ EG⊥BH，
∵ BHDH＝H，∴ EG⊥平面DBH，
而BD平面DBH，∴BD⊥EG；
（2）解：∵ AD∥BC，BC面BFC，AD面BFC，∴ AD∥面BFC，
∴ VD - BFC ＝ VA - BFC ＝＝
4(4-x)x，
即當時，有最大值為.
注意：平面圖形的翻折，要注意翻折前后的長度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個三角形中的角度、長度不變；
五、專項訓練：
1. 已知是平面，是直線，則下列命題中不正確的是（ ）
A、若∥，則　 B、若∥，則∥
C、若，則∥　 D、若，則
2. 設表示平面，表示直線，給定下列四個命題：
①；②；③；④.其中正確命題的個數有 ( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3. 已知一個實心鐵質的幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖都是半徑為3的圓，將6個這樣的幾何體熔成一個實心正方體，則該正方體的表面積為（ ）
A． B． C． D．
5. 如圖，水平放置的三棱柱的側棱長和底邊長均為2，
且側棱，正視圖是邊長為2的正方形，
該三棱柱的側視圖面積為（ ）
A. B. C. D.
6. 對于任意直線l與平面，在平面內必有直線m，使m與l（　　）.
（A）平行　　　　　（B）相交　　 （C）垂直　　　（D）互為異面直線
7. 將邊長為的正方體沿對角線折起，使得，則三棱錐的體積為 .
8. 已知一幾何體的三視圖如下，正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是 （寫出所有正確結論的編號）
① 矩形；
② 不是矩形的平行四邊形；
③ 有三個面為直角三角形，有一個面為
等腰三角形的四面體；
④ 每個面都是等腰三角形的四面體；
⑤ 每個面都是直角三角形的四面體.
9. 如圖，在四棱錐中，側面是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長為的菱形，，是中點，截面交于.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：⊥平面；
（Ⅲ）求三棱錐的體積.
10. 圖1是某儲蓄罐的平面展開圖，其中，
且，．若將五邊形看成底面，
為高，則該儲蓄罐是一個直五棱柱.
（1）圖2為面的直觀圖，請以此為底面將該儲
蓄罐的直觀圖畫完整；
（2）已知該儲蓄罐的容積為，求制作該
儲蓄罐所需材料的總面積（精確到整數位，材料厚
度、接縫及投幣口的面積忽略不計）．
11、如圖13－2，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，點E、G分別是CD、PC的中點，點F在PD上，且PF∶FD＝2∶1.
(1)證明：EA⊥PB；
(2)證明：BG∥平面AFC.
12、（湖南理19） 如圖5，在圓錐中，已知=，⊙O的直徑,是的中點，為的中點．（Ⅰ）證明：平面平面;
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
六、規律技巧提煉
1．真實圖形中和兩坐標軸平行的線段在直觀圖中仍然和兩坐標軸平行，在真實圖形中與x軸平行的線段在直觀圖中長度不變，在真實圖形中和y軸平行的線段在直觀圖中變為原來的一半．這種畫法蘊含著一個一般的規律，在斜二測畫法中，真實圖形的面積和直觀圖的面積之比是2.
2．空間幾何體的面積有側面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區分“是側面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉體的表面積除了球之外，都是其側面積和底面面積之和．
3．實際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺、球，往往是由柱、錐、臺、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體體積的基本方法就是“分解”，將組合體“分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺、球或其一個部分，分別計算其體積”，然后根據組合體的結構，將整個的體積轉化為這些“部分體積”的和或差
4．求二面角問題中，如果圖形中沒有顯示出二面角的棱，則要根據平面的三個公理作出這個二面角的棱．
5．在空間中線線平行和面面平行都有傳遞性，但線面平行沒有傳遞性．在空間任意平移兩條直線不改變兩條直線所成的角，同時注意兩直線所成角的范圍是.
6．兩異面直線所成的角歸結到一個三角形中的內角時，容易忽視這個三角形中的內角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角．
7．面面垂直的性質定理在立體幾何中是一個極為關鍵的定理，這個定理的主要作用是作一個平面的垂線，在一些垂直關系的證明中，在線面角、二面角的求解中很多情況都要借助這個定理作出平面的垂線．垂直問題的關鍵是線面垂直，通過線面垂直證明線線垂直(線面垂直的定義)，通過線線垂直證明線面垂直(線面垂直的判定定理)、面面垂直(面面垂直的判定定理)，在解決垂直問題中要把這些垂直關系理清，確定合理的推理論證順序．
8．空間向量證明位置關系的方法：
(1)線線平行：直線與直線平行，只要證明它們的方向向量平行．
(2)線面平行：用線面平行的判定定理，證明直線的方向向量與平面內一條直線的方向向量平行；用共面向量定理，證明平面外直線的方向向量與平面內兩相交直線的方向向量共面；證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
(3)面面平行：平面與平面的平行，除了用線面平行的判定定理轉化為線面平行外，只要證明兩平面的法向量平行即可．
(4)線線垂直：直線與直線的垂直，只要證明兩直線的方向向量垂直．
三、練習的參考答案：1. B 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C
6. 解析：抓住題中的關鍵詞“任意”與“必有”，那么l可以在平面外，也可以在平面內；當l在平面外時，還有與平面相交與平行兩種可能，不管在何種情況下，平面內必有直線m⊥l.
7. 解析：先作圖如下：
對照平面圖形（圖1）和立體圖形（圖2）可知：折疊前的線段DO和BO，它們在折疊后的長度未變，仍為. 由勾股定理的逆定理可得，在立體圖形（圖2）中，∠DOB = 90°. 折疊前與AC垂直的線段BD雖被折成兩段，但與AC的垂直關系并沒有改變，即DO⊥AC. 因此易知DO即為三棱錐
的高，從而易求出三棱錐的體積.
8. ①③④⑤
9. 證明：（Ⅰ）∵ 底面是邊長為的菱形，∴，
∵平面，平面，
∴平面， ……2分
∵平面，平面平面，
∴； ……4分
（Ⅱ）取的中點，連結、、，
∵ 底面是邊長為的菱形，，
∴ 是正三角形， ∴ ，
同理可得，，
又 ∵ ，∴平面，
∵ 平面， ∴， ………………6分
∵，是中點，∴， ………………8分
∵， ∴⊥平面； ………………9分
（Ⅲ）∵ 側面底面，側面底面，，
∴ 底面， ………………11分
∵ 是邊長為2的正三角形， ∴，
∵ 是邊長為2的正三角形， ∴，
∴ 三棱錐的體積V . …………14分
10. 解：(1) 該儲蓄罐的直觀圖如右圖所示；
(2) 設，則五邊形的面積為=，
∴ 該儲蓄罐的容積為，解得，
∴ 該儲蓄罐的展開圖的面積為
，
∴ 制作該儲蓄罐所需材料的總面積約為.
4
6
4
2
2
2
4
6
2
2
（俯視圖）
（正視圖）
（側視圖）
H
圖1
圖2
E
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