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數學新課程高考考什么、怎么考
羅增儒 陜西師范大學數學系 710062
029-85308872 13609297766
E-mail :zrluo@snnu．edu．cn
筆者曾承擔陜西師范大學基礎教育課程研究中心項目：《新課程實施與數學高考命題改革的研究》（2007-2009），探討過“數學新課程高考考什么、怎么考”的問題，趁此機會就教于一線同行．
本文是基于這個研究的個人思考，內容涉及數學新課程理念的認識，“課程標準、現行教材、考試大綱”的關系，以及高考考什么、怎么考等問題．為著“便于交流”的目的，我們采用題目問答的形式（參見文【1】）．
問題1 如何認識數學新課程理念？
問題2 如何認識課程標準、現行教材、考試大綱的關系？
問題3 數學新課程高考考什么？
問題4 如何認識高考命題的“能力立意”？
問題5 如何認識數學思想方法？
問題6 宏觀上數學新課程高考怎么考？
問題7 微觀上數學新課程高考怎么考？
問題8 數學高考解題教學有何宏觀建議？
問題9 數學高考解題教學有何微觀建議？
問題10 數學新課程高考如何考創(chuàng)新？
問題11 如何認識數學高考與平時教學的關系？
問題12 由教材編擬訓練題有何建議？
問題13 高考試題是怎樣命制的？
問題14 如何把握新課程高考的難度？
問題15 如何認識部分試題中的“高等背景”？
問題16 如何認識陜西自主命題的學術風格？
問題1 如何認識數學新課程理念？
我們從教育和數學兩個維度談些初步的看法．
（1）教育維度．
現代學校教育制度實際上是工業(yè)經濟時代的產物，工業(yè)經濟時代學校教育模式的功能或價值可以概括為：把受教育者培養(yǎng)成為生產者和勞動者，成為生產和消費的工具．然而，在當前的知識經濟時代，這種教育模式的弊端引起了越來越多的有識之士的關注，越來越多的人認識到，如果不著手對基礎教育課程進行改革，將嚴重影響國家的經濟和社會發(fā)展．新世紀開始的新課程強調以學生為本，探究性學習，多元化評價；提出“知識與技能，過程與方法，情感態(tài)度與價值觀”三維目標；強調情景、過程、探索、發(fā)現；倡導：
①教學目標應是多元的；
②課程內容應是整合的；
③知識學習應是建構的；
④學生個體應是發(fā)展的；
⑤教師應是反思型的；
⑥教學過程應是互動的；
⑦學生學習應是主動的；
⑧教學手段應是多媒體的；
⑨教學評價應是綜合的．
（2）數學維度．
對于數學，新課程強調數學教學是數學活動的教學（而不僅僅是數學活動結果的教學）；強調觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動；強調動手實踐、自主探索和合作交流；強調學習內容應當是現實的、有意義的、富于挑戰(zhàn)性的；強調師生之間、學生之間交往互動與共同發(fā)展．在高中新課標中明確提出了10條基本理念：
①構建共同基礎，提供發(fā)展平臺；
②提供多樣課程，適應個性選擇；
③有利于形成積極主動、勇于探索的學習方式；
④有利于提高學生的數學思維能力；
⑤發(fā)展學生的數學應用意識；
⑥用發(fā)展的眼光認識“雙基”；
⑦返璞歸真，注意適度的形式化；
⑧體現數學的文化價值；
⑨注重信息技術與數學課程的整合；
⑩建立合理、科學的評價機制．
這些教學理念正在得到貫徹，數學教學的活動化取向、生活化取向、個性化取向正在熱情地展開（體現人本主義、大眾數學、建構主義），同時，出現的問題與爭議也不少了，主要涉及：
●關注過程和關注結果的關系；（過程與結果，預設與生成）
●學生自主學習和教師講授的關系；（教師與學生，講授與探究）
●合情推理和演繹推理的關系；（歸納與演繹）
●生活情境和知識系統(tǒng)性的關系；（生活經驗與知識體系）
●改革與繼承的關系．（傳統(tǒng)與創(chuàng)新）
（3）這兩個緯度上的理念都對高考有宏觀指導的作用，但數學維度的指導會更加直接．目前的現實是，理念轉變?yōu)椴僮鬟€存在困難，大家都在努力探索．
問題2 如何認識課程標準、現行教材、考試大綱的關系？
教育部課程編制的程序是這樣的：
●基礎教育課程改革綱要（試行）．
●普通高中課程方案（實驗）．
●普通高中數學課程標準（實驗）
●高中數學教科書．
●普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱．
由此可見，課標、教材、考綱有明顯的時間順序和上下位關系，僅從高考的角度指出3點．
●以課程標準為準繩．
●以現行教材為根本．
●以考試大綱為依據．
（1）以課程標準為準繩．（參見文【2】）
新課改對高考的指導意見主要有兩點．
①《綱要》第7條中指出：國家課程標準是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據．就是說，課程標準具有法定的性質，是教材編寫、教與學、課程管理與評價的法定依據，當然，高考命題也要以課程標準為準繩！
②《綱要》第15條中指出：高等院校招生考試制度改革，應與基礎教育課程改革相銜接．要按照有助于高等學校選拔人才、有助于中學實施素質教育、有助于擴大高等學校辦學自主權的原則，加強對學生能力和素質的考查，改革高等學校招生考試內容，探索提供多次機會、雙向選擇、綜合評價的考試、選拔方式．這指出了高考改革的方向和高考命題的原則．
有一句話是這樣說的：課程改革改到哪里，高考改革就改到哪里．
（2）以現行教材為根本．
教材是課程的載體，是課程標準所規(guī)定的課程目標、課程內容的具體化．因此高考命題“以課程標準為準繩”必然落實到“以現行教材為根本”．在具體實踐中可以看到：
①教材是考試內容的具體化；
②教材是中、低檔試題的直接來源；
③體現高校選拔需要的高檔題也是根據教材的基本內容、基本方法編擬的，只不過是在綜合性和靈活性上提出了較高要求．
④教材是學生解題能力的基本生長點．試想，離開了課堂和課本學生還能從哪里找到解題依據、解題方法、解題體驗？
離開了教材就離開了高考，問題在“怎樣抓”，這個問題看似簡單，實則復雜．高考復習的難度，在于如何用好教材；高考復習的成功，在于真正用好教材．
（3）以考試大綱為依據．（參見文【3】）
①考試大綱是對考試性質、考試內容、考試形式的規(guī)定與說明．可以說，考試大綱把“考什么、怎么考”都回答了．
●考試性質．普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試是合格的高中畢業(yè)生和具有同等學力的考生參加的選拔性考試，高等學校根據考生成績，按已確定的招生計劃，德、智、體、全面衡量，擇優(yōu)錄取，因此，高考應有較高的信度、效度，必要的區(qū)分度和適當的難度．
●考試內容．考試內容分為必考內容和選考內容．
文科必考內容：共20個知識塊，約260課時、180個知識點．
理科必考內容：共21個知識塊，約290課時、210個知識點．（附表1）
●考試形式．
考試采用閉卷、筆試形式．全卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．
全試卷包括Ⅰ卷和Ⅱ卷．Ⅰ卷為選擇題（江蘇不用選擇題）；Ⅱ卷為非選擇題．　　 試卷一般包括選擇題（江蘇除外）、填空題和解答題等題型．選擇題是四選一型
的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程；解答題
包括計算題、證明題和應用題等，解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程．
　　試卷由容易題、中等難度題和難題組成，總體難度要求適當，并以中等難度題為主．
②全國統(tǒng)一考試大綱是在課程標準的指導下編寫的，“依鋼不靠本”；各省的考試大綱說明既會考慮本省的學生實際，又會考慮本省的教材實際，常常是“依鋼靠本”．
③考試大綱的制定有利于克服考試工作中的盲目性，實現考試的科學化、標準化（包括限制命題的隨意性）；也有利于考生復習備考，克服盲目性，減輕不必要的負擔．可以說，考試大綱把“專家怎樣命題”、“學生怎樣應試”都回答了．
問題3 數學新課程高考考什么？
新課程實施不僅帶來了考試內容的變化，而且教育理念、課程目標、人才規(guī)格等也都發(fā)生了變化，這對命題提出新的挑戰(zhàn)，特別是三維目標中的“過程與方法”如何考查？“情感、態(tài)度與價值觀”如何考查？選考內容的平衡性如何保證等都是全新的課題．情況表明，各地基本上是：以“知識與技能”為主干，兼顧“過程與方法”，努力體現“情感態(tài)度與價值觀”．數學新課程高考“考什么”重點體現在以下的四個方面：
（1）考知識模塊．
①文科必考內容：共20個知識塊，約260課時、180個知識點．
●數學1：集合、函數概念與基本初等函數Ⅰ（指數函數、對數函數、冪函數）．
●數學2：立體幾何初步、平面解析幾何初步．
●數學3：算法初步、統(tǒng)計、概率．
●數學4：基本初等函數Ⅱ（三角函數）、平面向量、三角恒等變換．
●數學5：解三角形、數列、不等式．
●選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用．
●選修1-2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數系的擴充與復數的引入、框圖．
②理科必考內容：共21個知識塊，約290課時、210個知識點．
●數學1：集合、函數概念與基本初等函數Ⅰ（指數函數、對數函數、冪函數）．
●數學2：立體幾何初步、平面解析幾何初步．
●數學3：算法初步、統(tǒng)計、概率．
●數學4：基本初等函數Ⅱ（三角函數）、平面向量、三角恒等變換．
●數學5：解三角形、數列、不等式．
●選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何．
●選修2-2：導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與復數的引入．
●選修2-3：計數原理、統(tǒng)計與概率．
③選考內容主要有：
●選修4-1：幾何證明選講．
●選修4-4：坐標系與參數方程．
●選修4-5：不等式選講．
●也有考矩陣與變換的．
陜西考試說明加了一句話，“注意：涉及上述考試范圍的我省現行教材中，除標*號者外，所有內容均在考試范圍內．” （參見文【3】）
通常，一套試卷每一知識塊都會考到，一二百個知識點有不低于60%的覆蓋面．
教師在復習中，常常將理科考試內容合并為15塊（參見雙向細目表）：集合，函數，立體幾何，數列，解析幾何，概率統(tǒng)計，算法初步，三角，邏輯與推理，向量，不等式，導數與定積分，復數，計數原理，選修．（文科略有區(qū)別）
（2）考數學能力
高考以能力立意，全面考查體現數學學科特點的七個能力．（“能力立意”見問題4）
①空間想象能力：能根據條件作出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中的基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質．
②抽象概括能力：對具體的、生動的實例，在抽象概括的過程中，發(fā)現研究對象的本質；從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能用其解決問題或作出新的判斷．
③推理論證能力：根據已知的事實和已獲得的正確數學命題，論證某一數學命題真實性的初步的推理能力．推理包括合情推理和演繹推理，論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法．通常是運用合情推理進行猜想，再運用演繹推理進行證明．
④運算求解能力：會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理；能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能根據要求對數據進行估計和近似計算．
⑤數據處理能力：會收集、整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷．數據處理能力主要依據統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定的實際問題．
⑥應用意識（生活中簡單的數學問題）；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題；能應用相關的數學方法解決問題進而加以驗證，并能用數學語言正確地表達和說明．應用的主要過程是依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，將現實問題轉化為數學問題，構造數學模型，并加以解決．
⑦創(chuàng)新意識：能發(fā)現問題、提出問題，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題．創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現．對數學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現問題和解決問題的重要途徑，對數學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也越強．
（3）考思想方法． 試題關注對數學思想方法的考查．主要考查七個基本數學思想和七個常用解題方法：①基本數學思想．（數學思想的內涵見問題5）
●函數與方程的基本數學思想．（通過函數題）
●數形結合的基本數學思想．（通過函數題，解析幾何綜合題，構造圖形等）
●分類與整合的基本數學思想．（通過綜合題，排列組合題，參數討論題）
●化歸與轉化的基本數學思想．（通過綜合題）
●特殊與一般的基本數學思想．（通過綜合題）
●有限與無限的基本數學思想．（通過極限、微積分函數題）
●或然與必然的基本數學思想．（通過概率、統(tǒng)計題）
其中，函數與方程的數學思想方法、數形結合的數學思想方法、化歸與轉化的數學思想方法體現得最為突出．近年，或然與必然的基本數學思想逐漸加強．
②常用解題方法．
●待定系數法．
●換元法．
●配方法．
●反證法．
●代入法．
●消元法．
●數學歸納法．
（4）考個性品質．
如何考查個性品質有難度，需要探索，但不會回避．有三個方面可供努力：
①體現數學視野．
②體現數學價值．（科學價值、人文價值、理性思維、數學美）
③體現人文關懷．
問題4 如何認識高考命題的“能力立意”？
恢復高考以來，高考命題由“考知識”，經歷“出活題，考能力”，到“能力立意”，體現了由經驗型命題向科研型命題的方式轉變．（參見文【4】）
（1）能力立意的含義．試題包括立意、情境、設問三個方面，立意是試題的考查目的，情境是實現立意的材料和介質，設問是試題的呈現形式．
①以能力立意命題首先要確定試題的能力考查目標．根據能力考查的要求，選擇適宜的學科內容．根據能力要求和知識內容選定試題表述形式．情境與設問服務于能力考查的立意．
②以能力立意命題首先在命題理念上要體現從學習能力測試評價學生．
③在試卷框架結構上要突出全面的能力因素、多元化的能力層次結構和合理的難度分布．
④在命題構思上要堅持用數學基本方法解決數學問題，強化能力點的設計，淡化煩瑣的運算和冗長的邏輯推理．
⑤在試卷設計上要突出創(chuàng)新題型，開發(fā)、拓展已有題型的功能，發(fā)揮各種題型的組合功能．（參見文【5】）
（2）在新課程背景能力立意命題的新舉措．
①以數學內容為基點，以基本的推理能力和思維能力要求為立足點，突出考查學生一蹦能力的表現，測量學生的學習能力．
②以多元化、多途徑、開放式的設問背景，比較客觀、全面地測量學生觀測、實驗、聯想、猜測、歸納、類比、推廣等思維活動的水平，激發(fā)學生探索精神、求異創(chuàng)新思維．
③以源于社會、源于生活的問題考查學生，有效地測量學生抽象、概括以及建立數學模型的能力，對學生認識世界、把握問題本質、靈活運用所學知識分析問題、解決問題的能力提出了要求．（參見文【5】）
能力立意注重在知識交匯處設計試題．
問題5 如何認識數學思想方法？
（1）數學思想方法的內涵．
在中學界，數學思想方法是指對數學知識內容及其所使用的方法的本質認識，它蘊涵于具體的內容與方法之中，又經過了提煉與概括，成為理性認識．數學概念的掌握、數學理論的建立、解題方法的運用、具體問題的解決，無一不是數學思想方法的體現和應用．
在中學階段，往往不對“數學思想方法”與“數學思想”、“數學方法”作嚴格的理論區(qū)分，思想是其相應內容方法的精神實質，方法則是實現有關思想的策略方式(有數學方法是數學思想的程序化之說)．同一個數學成就，當人們用于解決問題時，稱之為方法；當人們評價其在數學體系中的價值和意義時，又稱之為思想；當人們用這種思想去觀察和思考問題時，則又成為觀點．一般說來，當用“數學思想”這個詞時，更多的是從知識內容的角度上說的，它體現為數學的理論；當用“數學方法”這個詞時，更多的是從實施策略的角度上說的，它聯系著數學的行為．
從中學數學教材的結構和數學學習的一般過程上看，中學數學中，除了包含有觀察、實驗、比較、分析、歸納、類比等一般科學方法外，還包含有符號化、公理化、模型化、結構化、化歸、數形結合等數學特有的思想方法(第一層次)，包含有分布在各數學分支中具體的數學思想方法(第二層次)，如用字母表示數的數學思想方法、集合與對應的數學思想方法、函數與方程的思想方法、數形結合的數學思想方法、分類與整合的數學思想方法、數學模型的數學思想方法、化歸與轉化的數學思想方法、特殊與一般的數學思想方法、有限與無限的數學思想方法、或然與必然的數學思想方法等．在這些具體的數學思想方法下面還涵蓋有具體進行解題的方法(第三層次)．包括:適應面較廣的求解方法（如消元法、換元法、代入法、降次法、待定系數法、反證法、同一法、數學歸納法及遞推法、坐標法、三角法、數形結合法、構造法、配方法等) ，適應面較窄的求解技巧（如因式分解法以及因式分解中的“裂項法”，函數作圖中的“描點法”以及三角函數作圖中的“五點法”，幾何證明中的“截長補短”法、“補形法”，數列求和中的“拆項相消法”，不等式證明中的比較法、放縮法等）．
（2）中學數學中的基本數學思想方法．
中學數學中到底體現有哪些數學思想方法，認識是不一致的，但認為比較基本、比較重要的數學思想方法通常都包括如下10個（比高考明確要求多說3個）：
①用字母表示數的數學思想方法．
這是用字母來代替數字或式子，并形成符號結構的一種思想．
它是發(fā)展符號意識，進行量化刻劃的基礎，也是從常量研究過渡到變量研究的基礎．從“用字母表示數”到用字母表示未知元、表示待定系數、表示函數、表示字母變換等，是一整套的代數方法．代數思維的突出特征(凝聚)——從過程到對象，離不開用字母表示數的思想方法．具體解題中引進輔助元法、待定系數法、換元法等都體現了“用字母表示數”的作用．
②集合與對應的數學思想方法．
這是把對象的全體概括為集合，把對象的關系理解為對應的一種思想．
集合論是現代數學的基礎，它為數學的公理化、結構化、形式化、統(tǒng)一化提供了語言基礎與組織方式，中學數學中，集合是一種基本的數學語言和一種基本的數學工具，數學名詞的描述，數學關系的表達，都已經或都可以借助集合而獲得清晰、準確與一致的刻劃．比如，一個概念可以看做一個集合，其中為其內涵，為其外延；又如用集合表示數系或代數式，用集合表示空間的線面及其關系，用集合表示平面軌跡及其關系，用集合表示方程(組)或不等式(組)的解，用集合表示排列組合并進行組合計數，用集合表示基本邏輯關系與推理格式等．具體解題中的分類討論法、容斥原理等都與集合的分拆或交并運算有關．
集合之間的對應，為研究相依關系、運動變化提供了工具，使得能方便地由一種狀態(tài)確定地刻劃另一種狀態(tài)，由研究狀態(tài)過渡到研究變化過程．數軸與坐標系的建立，函數概念的描述，原理的精神實質等，都體現著集合之間的對應．具體解題中的抽屜原理無非是說，兩個有限集合之間如果元素不相等，就不能構成一一對應，必然存在一對多或多對一；函數是一種特殊的對應，用函數法分析和處理問題，都離不開集合思想的指導；分類討論法實質上是集合的分類；變換法的實質是將集合中的問題，轉換為集合中的問題，其中對應著．
用字母表示數的思想方法、集合與對應的思想方法是中學數學的兩大基石，函數與方程的思想方法則是這兩大基石的衍生．
③函數與方程的數學思想方法．
這是將問題歸結為方程或函數來解決的一種思想．
方程是初中數學的一項主體內容，并在高中數學中延續(xù)；函數從初中就開始研究，并成為高中數學的主體內容(基本初等函數)．可以說，方程與函數是中學數學中最重要的組成部分．
方程，可以表示兩個不同事物具有相同的數量關系，也可以表示同一事物具有不同的表達方式．方程的本質是含有未知量等式所提出的問題，在這個問題中，依等式而取值，問題依的取值而決定是否成為等式．解方程就是確定取值，使代入的位置時能使等式為真．這里有兩個最基本的矛盾統(tǒng)一關系，其一是，間形式與內容的矛盾統(tǒng)一，其二是客觀上已知與主觀上未知的矛盾統(tǒng)一，從這一意義上說，解方程就是改變，間形式的差異以取得內容上的統(tǒng)一，并使從主觀上的未知轉化為已知，運用方程觀點可以解決大量的應用問題(建模)、求值問題、曲線方程的確定及其位置關系的討論等問題，函數的許多性質也可以通過方程來研究．方程直接與用字母表示數、數學模型、化歸與轉換等數學思想方法相聯系．
函數概念是客觀事物運動變化和相依關系在數學上的反映，本質上是集合間的對應(一種特殊的對應)．它是中學數學從常量到變量的一個認識上的飛躍．教材中關于式、方程、不等式、排列組合、數列等重要內容都可以通過函數來表達、溝通與研究．具體解題中的構造函數法是構造法的重要內容．
理解并掌握方程與函數的思想方法是學好中學數學的一個關鍵．
④數形結合的數學思想方法．
這是從數與形兩個方面來認識和處理數學問題的一種思想．
數學是研究空間形式和數量關系的一門科學，數與形是中學數學中被研究得最多的兩個側面，數形結合是一種極富數學特點的信息轉換．它把代數方法與幾何方法中的精華都集中了起來，既發(fā)揮代數方法的一般性、解題過程的程序化、機械化優(yōu)勢，又發(fā)揮幾何方法的形象直觀特征，形成一柄雙刃的解題利劍，數軸和坐標系，函數及其圖象，曲線及其方程，復數及其復平面，向量、以及坐標法、三角法、構造圖形法等都是數形結合的輝煌成果．具體解題中的數形結合，是指對問題既進行幾何直觀的呈現，又進行代數抽象的揭示，兩方面相輔相成，而不是簡單地代數問題用幾何方法、或幾何問題用代數方法，這兩方面都只是單流向的信息溝通，惟雙流向的信息溝通才是完整的數形結合．
⑤分類與整合的數學思想方法．
這是從分與合兩個方面來認識和處理數學問題的一種思想．
分類是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法，是研究數學問題時經常使用的數學思想方法．要正確地對事物進行分類，通常應從所研究的具體問題出發(fā)，選取恰當的分類標準，然后根據對象的屬性，把它們不重不漏地劃分為若干個類別．科學的分類，一個是標準的統(tǒng)一，一個是不重不漏．雖然分類研究基本方向是“分”，但“分”與“合”既是矛盾的對立面，又是矛盾的統(tǒng)一體，有“分”必然有“合”，當分類解決完這個問題之后，還必須把它們整合到一起，因為我們研究的畢竟是這個問題的全體．這樣，有“分”有“合”，先“分”后“合”，不僅是分類與整合思想解決數學問題的主要過程，也是分類與整合思想的本質屬性．
分與合是一種辯證關系，在解題中以分求合，以合制分，分合并用體現了轉化統(tǒng)一、相反相成的辯證思想．比如二次方程是否有實根的討論，絕對值符號的討論，分段定義函數，等比數列求和時對公比是否為1的討論，使用點斜式寫直線方程時對斜率是否存在的討論，求三棱錐體積公式的推導等等，都是這一數學思想的具體應用．求曲邊梯形面積的定積分方法更是一與多，分與合，直與曲，有限與無限，離散與連續(xù)等辯證關系的綜合應用．
數學解題中的區(qū)分種種情況可以化整為零、化大為小，降低問題的難度．
數學解題中整體考慮是一種以合制分、著眼于全局的思考，可以擺脫局部細節(jié)上的糾纏，直達目標．
⑥數學模型的數學思想方法
這是通過建立數學模型上來解決數學問題的一種思想．
所謂數學模型，是指針對或參照某種事物系統(tǒng)的主要特征或數量相依關系，采用形式化的數學語言，概括或近似地表述出來的一種數學結構，數、式、方程、空間等都可以作為數學模型．中學數學中的數學模型按功能可分為概念型和方法型兩類，前者指客觀事物或現象直接抽象成概念；后者則指客觀事物或現象間的關系抽象成數學中的公式、運算法則等．
如今，數學這個領域已被稱作模式的科學，數學所揭示的是人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的數學結構．各種數學概念和各個數學命題都具有超越特殊對象的普遍意義，它們都是一種模式．并且數學的問題和方法也是一種模式，數學思維方法，就是一些思維模式．歐拉將“哥尼斯堡七橋問題”抽象為“一筆畫”的討論，清晰地展示了數學模型思想方法的應用過程：
●選擇有意義的實際問題；
●把實際問題“構建”成數學模型(建模是關鍵)；
●尋找適當的數學工具解決問題；
●把數學上的結論拿到實際中去應用、檢驗．
在具體解題中，構造“數學模型”的途徑是非常寬廣的，可以構造函數、構造方程、構造恒等式、構造圖形、構造算法等等．
⑦化歸與轉換的數學思想方法．
這是將所面臨的問題轉化為已解決（或比較容易解決）問題的一種思想．
由于數學結論呈現的公理化結構，使得數學上任何一個正確的結論都可以按照需要與可能而成為推斷其他結論的依據，于是任何一個待解決的問題只須通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決或比較容易解決的問題，即可獲得原問題的解決，這是一種極具數學特征的思想方法．它表現為由未知轉化為已知、由復雜轉化為簡單、由困難轉化為容易、由陌生轉化為熟悉．模式識別、分類討論、消元、降次等策略或方法，都明顯體現了將所面臨的問題化歸為已解決問題的想法；原理則是化歸思想的理論提煉；各種解題策略的運用，如分合并用、進退互化、動靜轉換、數形結合等，都強調了通過“對立面”(簡與繁、進與退、數與形、生與熟、正與反、倒與順、分與合、美與真)的綜合與相互轉化來達到解決問題的目的．
⑧特殊與一般的數學思想方法．
這是從特殊化與一般化兩個方面來認識和處理數學問題的一種思想．
　　人們對一類新事物的認識往往是從這類事物的個體開始的，通過對某些個體的認識與研究，積累對這類事物的了解，由淺入深，由現象到本質，由局部到整體，由實踐到理論，逐漸形成對這類事物總體的認識，這種認識事物的過程是由特殊到一般的認識過程．但這并不是目的，還需要用理論指導實踐，用所得到的特點和規(guī)律解決這類事物中的新問題，這種認識事物的過程是由一般到特殊的認識過程．于是這種由特殊到一般再由一般到特殊反復認識的過程，就是人們認識世界的基本過程之一．數學研究也不例外，這種由特殊到一般的研究數學問題的基本認識過程，就是我們數學研究中的特殊與一般的思想．
在數學教學過程中，對公式、定理、法則的學習往往都是從特殊開始，通過總結歸納得出來的，證明后，又使用它們來解決相關的數學問題．在數學中經常使用的歸納法、演繹法就是特殊與一般思想的集中體現．此外，通過構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊點，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解決一般問題、抽象問題、運動變化的問題、不確定的問題，等等．都有特殊與一般的思想．
⑨有限與無限的思想．
這是一種通過無限化有限、有限化無限來解決數學問題的思想．
把對無限的研究化成對有限的研究，是解決無限問題的有效途徑，反之，當積累了解決無限問題的經驗之后，可以將有限問題轉化成無限問題來解決，這種無限化有限，有限化無限的解決數學問題的方法就是有限與無限的思想．
在使用由特殊到一般的歸納思想時，含有有限與無限的思想；在使用數學歸納法證明時，解決的是無限的問題，體現的是有限與無限的思想；立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來解決，實際上是先進行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數學思想的應用；極限和定積分是有限與無限思想的典型應用．
⑩或然與必然的思想．
隨機現象有兩個最基本的特征：結果的隨機性，頻率的穩(wěn)定性．在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題就是或然與必然的思想．
隨著新教材的實施，高考中對概率內容的考查已經放在了重要的位置，通過對等可能事件的概率，互斥事件有一個發(fā)生的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率，次獨立重復試驗發(fā)生了次的概率，隨機事件的分布列與數學期望等重點內容的測試，一方面可以考查學生基本概念和基本方法，另一方面可以考查學生在解決實際問題中能否運用或然與必然的辯證關系，從而體現了或然與必然的思想．
問題6 宏觀上數學新課程高考怎么考？
數學新課程高考“怎么考”主要體現在七條命題原則上．
（1）依綱靠本．
命題嚴格依據國家課程標準和《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》的要求，高考命題的依據是《考試說明》，而《考試說明》的依據是《課程標準》，教材是課程的載體．因此高考命題最具體、最方便的依據是教材．一般說來，本省命題以本省教材為主，多版本教材并存的地方常說“依鋼不靠本”、不要“以本代綱”，但這并不是說高考命題要遠離教材與教學，而是為了公平，要平等地對待各個版本，不刻意向某一版本傾斜．
（2）兩個有利．
既有利于高等學校選拔人才．又有利于中學推進素質教育．
（3）體現三維目標．
體現普通高中課程改革的十個理念，試題的解答能反映出學生的知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀．
（4）突出基礎性、靈活性、開放性、探究性、應用性和創(chuàng)新性．
試題設計力求突出基礎性和創(chuàng)新性，密切聯系學生的生活經驗和社會實際，既注重考查學生的基礎知識、基本能力，基本方法、基本經驗，又注重考查學生分析問題和解決問題的能力，體現出靈活性、開放性、探究性；既全面覆蓋又重點突出（重點知識重點考察）．
（5）體現公平性．
試題素材和解答要求對所有考生公平，避免需要特殊背景知識和特殊解答方式的題目．
（6）注重科學性．
注重試卷整體設計，力求題型結構、內容比例、知識覆蓋面等構成科學、合理，試題有適當的難度、區(qū)分度，試卷有
良好的信度和效度．
（7）注重考試的可操作性．命題要有利于考試的組織和評卷的實施．（考試管理的需要）
問題7 微觀上數學新課程高考怎么考？
微觀上，數學高考采用閉卷、筆試、解題的形式來考．試卷結構主要包括
（1）內容結構．
通常，一套試卷每一知識塊都會考到，一二百個知識點有不低于60%的覆蓋面．知識、能力、方法等要求會列成雙向細目表．（附錄2）
（2）題型結構．
試卷一般包括選擇題（江蘇除外）、填空題和解答題三類題型．陜西的分值依次為50分，25分，75分，數量依次為10道，5道，6道． 解答題突出學科的主干內容．與課程結構相一致，有選做題．
（3）難度結構．
①所有題目的難度系數都在0．20～0．90之間，多數題在0．30~0．70之間；區(qū)分度都在0．20以上．
②題目難度的易、中、難比例約為3：5：2（或4：4：2），整套試卷以中低檔題為主體，以前試卷難度多在0．50～0．55之間，現在多在0．55～0．60之間．
（4）層次結構．
試卷的三類題型呈現兩種從易到難的三個小高潮，一方面是三類題型之間從易到難，選擇題難度約為0．70～0．75，填空題難度約為0．55～0．60，解答題難度約為0．45～0．50；另一方面每類題型內部也有從易到難分布，選擇題可為4：5：1或5：5：0，填空題可為2：2：1或2：3：0，解答題可為1：3：2或0：4：2．
表1：難度與區(qū)分度的技術指標
難度系數（） 區(qū)分度（）
1 容易題0．70 優(yōu)秀0．40
2 中檔題0．400．70 良好0．300．40
3 難題0．40 及格0．200．30
4 低（無）效題0．20 不及格0．20
（5）試卷長度．
●全卷21題，約28～30問．
●試卷控制在2000個印刷符號，考生書寫控制在3000個印刷符號以內．
問題8 數學高考解題教學有何宏觀建議？
有4條建議：（參見文【6】）
●明確解題概念．
●明確高考解題教學的指導思想．
●明確高考解題與平時解題的區(qū)別．
●要解決好“會而不對、對而不全”．
（1）明確解題概念．
①什么叫數學題？數學上要求回答或解釋的事情，需要研究或解決的矛盾，稱為數學題．
對數學家而言，重在第二句話：“需要研究或解決的矛盾”．
在數學教學中，重在第一句話：“要求回答或解釋的事情”．內容包括一個待進行的運算、一個待推理的證明、一個待完成的作圖、一個待建立的概念、一個待論證的定理、一個待解決的實際問題等．（特別提醒：如何構建概念、如何發(fā)現定理、如何論證定理等也是題！比如：什么叫圓？什么叫橢圓？敘述并證明余弦定理等都是題）
數學題的標準形式包括兩個最基本的要素：條件，結論．“未知的結論”一方面像空著的位置，需要加以填充，另一方面又由“已知的條件”客觀決定著，構成“已隱蔽地確定”與“未明顯地給出”的統(tǒng)一．這就是教學中的數學題．
②什么叫數學解題？解題就是求出數學題的答案，這個答案在數學上也叫做“解”，這個“解”的重要特征是“溝通條件與結論之間的聯系”，自動包括“溝通聯系”中每一步的數學依據，所以解題有四個要素：條件、結論、解和解題依據．
“尋找條件與結論之間的聯系”永遠是數學解題的思考中心，這是一個“將已有知識用于新情境”的探索過程、發(fā)現過程．通常是從模仿開始、經過練習、學會發(fā)現．
③什么叫數學試題？為了實現診斷、預測、甄別、選拔等特定目的，而組織化、系統(tǒng)化、標準化的數學問題組織形式，叫做數學試題．
④什么叫高考解題？高考解題就是將課堂上獲得的數學知識、數學方法和數學經驗用于解決高等學校招生考試的新試題．這是一個從記憶模仿到探索發(fā)現的過程，關鍵在探索發(fā)現，核心是通過推理、論證得出一個符合數學事實的結論．一個重要的建議是化歸為課堂上已經解過的題，化歸為往年的高考題（或其變形）．
（2）明確高考解題教學的指導思想．
高考選拔的特點是以解題能力的高低為標準，一次性閉卷來決定勝負的，因此，高考復習要以解題訓練為中心，并最終表現為學生解題能力的提高．
①以解題訓練為中心，
②以中檔綜合題為重點，
③以近年高考試題為基本素材．
（3）明確高考解題與平時解題的區(qū)別．
①平時解題是一種認識活動，是對概念、定理的繼續(xù)學習，是對方法的繼續(xù)熟練，是在發(fā)生數學和掌握數學；而高考解題則是“通過解題水平來看數學思維水平”，是一種評估活動，是以解題能力的高低為考核標準、一次性筆試決定勝負的．如果說平時作業(yè)要求“全做全對”的話，那么高考是加總分錄取，不需要“全做全對”．一道數學題成為高考題后，就成了一把“診斷、預測、甄別、選拔”的尺子，已具有不同于平時作業(yè)題的諸多特性，如
●能力的代表性；（評價性質而非學習本身）
●分數的選拔性；（是考試就只能由成績來說話）
●時間的限定性；（有速度要求，不要求全做全對）
●評分的階段性．（分段給分、分段扣分，做對的題會存在“潛在丟分”或“隱含失分”，而不會做的題又可以得分不少．）
②高考解題需要我們迅速解決“從何處下手、向何方前進”這兩個基本問題，臨場的思維策略主要有模式識別，差異分析，數形結合，層次解決，當然，最重要的還是學會分析．
③高考既是數學知識的較量又是心理素質的較量．
（4）要解決好“會而不對、對而不全”．
高考閱卷啟示我們，許多中上水平的考生常常在“會而不對、對而不全”上產生分野，拉開錄取與落榜的距離．這是一個“老大難”問題．
①會而不對．有的考生并不缺乏基本功，拿到一道題目也不是束手無策，而是在正確的思路上或考慮不周，或推理不嚴，或書寫不準，最后答案卻是錯的或是不完全的，這叫“會而不對”．
②對而不全．另有一些考生，思路大體正確，最終結論也出來了，但丟三落四，或缺少重大步驟、中間某一邏輯點過不去，或遺漏某一極端細節(jié)，討論不夠完備，或是潛在假設、或是以偏概全，這叫做“對而不全”．
問題9 數學高考解題教學有何微觀建議．
我們對高考解題教學的基本建議是（6條）：（參見文【6】）
（1）明確解題過程；（四步程序）
●弄清問題
●擬定計劃
●實現計劃
●回顧，
（2）夯實解題基礎；（四個基礎）
●知識因素
●能力因素
●經驗因素
●情感因素
（3）防止解題錯誤；（四種類型）
●知識性錯誤
●邏輯性錯誤
●策略性錯誤
●心理性錯誤．
（4）掌握解題策略；（四個策略）（參見文【7】）
●模式識別
●差異分析
●數形結合
●層次解決
（5）精通三類題型；
●選擇題
●填空題
●解答題
（6）運用答題技術． （參見文【7】）
●提前進入角色
●迅速摸清“題情”
●執(zhí)行“三個循環(huán)”
●做到“四先四后”（先易后難、先熟后生、先高后低、先同后異）
●答題“一慢一快”
●立足中下題目，力爭高上水平
●立足一次成功，重視復查環(huán)節(jié)
●運用解題策略于分段得分（分解分步—缺步解答、引理思想—跳步解答、以退求進—退步解答、正難則反—倒步解答、掃清外圍—輔助解答）．
解題練習（思路與反思）
例1-1 若的角滿足
，
則 ．
（2011年高中數學聯賽一試B卷第5題）
例1-2 若的角滿足
，
則 ．
例1-3 若的內角滿足
，
則 ．
例1-4 若的內角滿足
，
則 ．
（形同而質異，怎樣找思路？反思出錯題沒有？）
例2　（2011上海市理科卷第13題） 設是定義在上、以1為周期的函數，若在上的值域為，則在區(qū)間上的值域為 ．
點評 ：本題考查了一次函數、周期函數、函數定義域、值域的概念，突出了基礎．同時，題目十分靈活，要求學生對這些基礎知識有深刻的理解，有較強的分析問題能力．遇到這樣的試題，該如何分析？如何找到突破口？我們要從涉及到的基本概念出發(fā)：由已知，對整數，有
，
就是說，自變量增加（減少）個周期時，函數值也增加（減少）個周期，從到最小值點減少了13個周期，最小值為；最大值點增加了6個周期，最大值為．所以，在區(qū)間上的值域為．這樣的小題目能激發(fā)創(chuàng)新意識． （參見文【8】）
例3 （2010年北京理科第20題、13分）已知集合
對于HYPERLINK "http://www./"，，定義與的差為
HYPERLINK "http://www./"
與之間的距離為．
（Ⅰ）證明：HYPERLINK "http://www./"，且；
（Ⅱ）證明：HYPERLINK "http://www./"三個數中至少有一個是偶數；
(Ⅲ) 設，中有個元素，記中所有兩元素間距離的平均值為．證明：．（信息遷移題）
分析 題目給出了三個相繼的定義：集合，集合上兩元素間的差，兩元素間的距離（新信息）．要理解：
（1）是向量，如，可以有個元素；
（2）因，故差還是向量；
（3）因，所以中至少有兩個相等的，，，中也至少有兩個相等的．
（Ⅰ）要證，只需證
（Ⅱ）要證三個數中至少有一個是偶數，只需三個數的和是偶數.
(Ⅲ)因為，故要證，只需證
．
又因為中每個元素都是由個數組成的，所以只需證明中所有元素的同一個位置上的數字兩兩之差的絕對值之和小于或等于．
設中所有元素的第個位置的數字中共有個1，個0，由乘法原理可知：中所有元素的第個位置上的數字兩兩之差的絕對值之和為．再由均值不等式可得
．
從而問題得證．
證明 （I）設，，
因為，所以中至少有兩個相等的．
當 時，有
．
當 時，有
．
當 時，有
．
求和得．
(II)因為，所以當中至少有兩個數相等，這就有且只有兩種情況：
①三個數相等（同時為0，或同時為1），則
，為偶數．
②恰有兩個數相等（同時為0，或同時為1），第三個數不等，則
，為偶數．
因為恒為偶數，所以
，為偶數，
則，，三個數中至少有一個是偶數．
（III）設中所有元素的第個位置的數字中共有個1，個0，則
=，
得 ．
問題10 數學新課程高考如何考創(chuàng)新？
主要通過創(chuàng)新試題來考創(chuàng)新意識．數學創(chuàng)新試題是指在試題背景、試題形式、試題內容或解答方法等方面具有一定的新穎性與獨特性的數學試題，其基本目的在于培養(yǎng)或診斷考生的數學創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力．主要形式有
（1）開放探索題：高考中的開放探索題是指條件完備，但結論不確定、需要探索的數學問題．有時候結論是開放的，但為了閱卷方便，只要求考生寫出一二個，不同的考生答案會不一樣；有時候敘述為“是否存在…？請說明理由”，需要考生自己去探索出結論并加以證明．把開放性與探索性結合起來是這類題目的顯著特點．
（2）信息遷移題：高考中的信息遷移題是在題目中即時提供一個新的數學情景（或給出一個名詞概念，或規(guī)定一種規(guī)則運算等），讓考生學習陌生信息后立即解答相關問題（遷移）．這類題目背景公平，能有效考查學生的真實水平．由于高考的選拔性質，即時提供的新信息常常有一定的高等數學背景，但不是考高等數學知識．即時接收信息、并立即加以遷移是兩個相關的要點．
（3）情景應用題：這是一類有現實情境、重視應用的題目．要求考生通過文字語言、符號語言、圖形語言、表格語言等的轉換，揭示題目的本質屬性，構建解決問題的數學模型．函數、方程、數列、不等式、概率統(tǒng)計等主體內容是高考應用題建模的主要載體．閱讀理解和數學建模是解題的兩個關鍵．
（4）過程操作題：這是一類通過具體操作過程， 從中獲得有關數學結論的題目，可以用來考查三維目標中的“過程與方法”．由于高考條件的限制，“經歷過程”無法“動手實踐”，只能是一些“語言描述的操作過程”，但有的描述和操作會有現實情境、而不完全是數學內部的過程與操作．
（5）歸納（類比）猜想題：這是在觀察相關數學情境的基礎上，通過歸納或類比作出數學猜想的一類題目．本來，由歸納或類比作出的猜想可能對也可能錯，但考試總是要求寫出正確的猜想（學生中“有一定道理”的猜想可能會被判錯）．應該說，這是一類探索中的題型．
例4-1 （2010年寧夏理科第14題、5分）正視圖為一個三角形的幾何體可以是______（寫出三種）（三視圖對應的幾何體是否唯一？）
點評：這是開放題，為考生搭建了一個自主探究的活動平臺，使考生的才能得到充分發(fā)揮，使不同基礎、不同水平、不同志向的考生都得到成功的體驗，創(chuàng)新意識得到發(fā)展．體現新課程關于評價的新理念． （參見文【5】）
例4-2 （2011年陜西理科第21題、14分）設函數定義在上，，導函數
（Ⅰ）求的單調區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）討論與的大小關系；（探索題）
（Ⅲ）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．（探索題）
點評：第（Ⅱ）、（Ⅲ）問都需要考生自己去探索出結論并加以證明．
例5-1 （2010年四川理科第16題）函數定義域為，若且時總有，則稱為單函數．例如，函數是單函數．下列命題：
①函數是單函數；
②若為單函數，且則；
③若為單函數，則對于任意，它至多有一個原象；
④函數在某區(qū)間上具有單調性，則一定是單函數．其中的真命題是 ．（寫出所有真命題的編號）（信息遷移）
例5-2 （2011江蘇省數學卷第19題）已知a，b是實數，函數 和是的導函數，若在區(qū)間上恒成立，則稱和在區(qū)間上單調性一致
（1）設，若函數和在區(qū)間上單調性一致,求實數的取值范圍；
（2）設且，若函數和在以為端點的開區(qū)間上單調性一致，求的最大值．（信息遷移題）
點評：本題在考生理解了函數的單調性的基礎上，新定義了“單調性一致”的概念，考生需要把新的定義與自己已有的知識融合，這種解決新問題的能力是考生在今后學習中非常重要的．試題的第（2）問，實際是討論不等式在區(qū)間上恒成立問題，需要分類討論，運用函數性質及實數運算的符號法則分析結果．解決問題的過程中所用到的知識和方法并不深奧，但分析問題、解決問題的能力要求很高，屬于對高層次數學思維和數學素質的考查．
學生進人高校或社會后能否繼續(xù)發(fā)展，在很大程度上取決于他們的學習能力．具有良好的閱讀理解力是繼續(xù)學習的前提．近年的高考試卷對閱讀理解能力，特別是對數學語言，包括文字語言、圖形語言、符號語言、圖表語言的閱讀理解能力的考查加大了力度，教師在日常教學中應多加關注．（參見文【8】）
例6-1 （2010年高考安徽卷理科（21）題） 品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優(yōu)劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試．根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分．
現設，分別以表示第一次排序時被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時的序號，并令
，
則是對兩次排序的偏離程度的一種描述．
(Ⅰ)寫出的可能值集合；
(Ⅱ)假設等可能地為1，2，3，4的各種排列，求的分布列；
(Ⅲ)某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有，
(i)試按(Ⅱ)中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；
(ii)你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由．
（情景應用題）
解 列表，計算1，2，3，4的全排列及相應的值
1，2，3，4 0 0 0 0 0
1，2，4，3 0 0 1 1 2
1，3，2，4 0 1 1 0 2
1，3，4，2 0 1 1 2 4
1，4，2，3 0 2 1 1 4
1，4，3，2 0 2 0 2 4
2，1，3，4 1 1 0 0 2
2，1，4，3 1 1 1 1 4
2，3，1，4 1 1 2 0 4
2，3，4，1 1 1 1 3 6
2，4，1，3 1 2 2 1 6
2，4，3，1 1 2 0 3 6
3，1，2，4 2 1 1 0 4
3，1，4，2 2 1 1 2 6
3，2，1，4 2 0 2 0 4
3，2，4，1 2 1 1 2 6
3，4，1，2 2 2 2 2 8
3，4，2，1 2 2 1 3 8
4，1，2，3 3 1 1 1 6
4，1，3，2 3 1 0 2 6
4，2，1，3 3 0 2 1 6
4，2，3， 1 3 0 0 3 6
4，3，1，2 3 1 2 2 8
4，3，2，1 3 1 1 3 8
合 計 1 3 7 9 4
　　
（I）由表可見，的可能值集合為．
　 理論說明：在1，2，3，4中奇數與偶數各有兩個，所以中的奇數個數等于中的偶數個數，因此與的奇偶性相同，從而
．
必為偶數．
的值非負，且易知其值不大于8．
所以X的值等于0，2，4，6，8．
（II）由列表的值，在等可能的假定下，得到
0 2 4 6 8
（III）（i）由（II）有，，將三輪測試都有的概率記作，由上述結果和獨立性假設，得．
（ii）由于是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有的結果的可能性很小，所以我們認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測．（概率統(tǒng)計作壓軸題）
例6-2 （2011年湖北理科第17題、文科第19題）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數．當橋上的的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當時，車流速度是車流密度的一次函數．
（Ⅰ）當時，求函數的表達式;
（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/每小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）．（情景應用題）
講解 （Ⅰ）由題意：當；當時，可設
．
再由已知得
解得 ，
故函數的表達式為
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得
當為增函數，故當時，其最大值為60×20=1200；
當時，
，
當且僅當，即時，等號成立．
因為，所以，當在區(qū)間[20，200]上取得最大值約為．
．
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．
例6-3 （2011年湖南理科第20題）如圖1，長方形物體在雨中沿面（面積為）的垂直方向作勻速移動，速度為，雨速沿移動方向的分速度為．移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：
（1）或的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與成正比，比例系數為；
（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為移動過程中的總淋雨量，當移動距離，面積時． 圖1
（Ⅰ）寫出的表達式
（Ⅱ）設，，試根據的不同取值范圍，確定移動速度，使總淋雨量最少．
解 （I）由題意知，移動時單位時間內的淋雨量為，故
．
（II）由(I)知，當時，
當時，
合并得
(1)當時，是關于的減函數．故當時，．
(2) 當時，在上，是關于的減函數；在上，是關于的增函數；故當時，．
點評：《普通高中數學課程標準（實驗稿）》強調“發(fā)展學生的數學應用意識”，“高中數學在數學應用和聯系實際方面需要大力加強”，這種理念在近年高考試題中體現得日漸鮮明．2011年數學高考卷中又出了不少聯系現實、聯系生活的應用試題．除例6-3、例6-3外，還有江蘇的包裝盒的面（體）積與正方形紙板裁剪方式的函數關系的應用題、福建的商品銷售量與銷售價格函數關系的應用題、山東的容器的建造費與容器兩端半球形半徑函數關系的應用題、安徽的以進入核電站完成某項具有高輻射危險任務為背景的概率應用題等．這些試題的背景考生都了解，所用的知識方法又是考生應知應會的，考生能否解決問題，能體現他們關注生活、關注數學應用、運用數學知識分析和解決問題的能力；同時試題充分體現了數學的文化價值與應用價值，能使學生感覺到數學有用，數學很親切，數學就在我們身邊．（參見文【8】）
例7-1 （2010年寧夏理科第13題、5分）設為區(qū)間上的連續(xù)函數，且恒有，可以用隨機模擬方法近似計算積分，先產生兩組（每組N個）區(qū)間上的均勻隨機數和，由此得到個點，再數出其中滿足的點數，那么由隨機模擬方案可得積分的近似值為 ．（過程操作題）
例7-2 （2011年高考數學陜西理科第19題、12分）如圖2，從點作軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交與點．再從作軸的垂線交曲線于點，依次重復上述過程得到一系列點：，記點的坐標為（）．
（Ⅰ）試求與的關系（）； 圖2
（ Ⅱ）求． （過程操作題）
點評：本例通過指數函數的導數產生切線，由切線產生點列，由點列的橫坐標產生等差數列、縱坐標產生等比數列．并且第（Ⅱ）問既是等比數列的前項和，也是小矩形的面積和，它正是定積分的近似值.同時，本題有牛頓切線法的背景，一般地，過曲線上一點作曲線的切線交軸于點，有，可得遞推公式．所以，這道題也能體現數學視野．
例8-1 （2011年高考數學陜西理科第13題）觀察下列等式
照此規(guī)律，第個等式為 ．（歸納（類比）猜想題）
解法1 由特殊到一般，分別找等式左右兩邊的規(guī)律．
（1）等式左邊的首項：由已知等式首項分別為1，2，3，4，可猜想第個等式的首項為．
（2）等式左邊的末項：由已知等式分別為1，3，5，7項之和，可猜想第個等式的為項之和，據等差數列通項公式，得等式左邊的末項為
．
（3）等式的右邊：由已知等式右邊均為項數的平方（），可猜想第個等式的右邊為．得第個等式為
．
驗證知（等差數列部分和），這確實是恒等式．
解法2 由特殊到一般，分別找等式左右兩邊的規(guī)律．
（1）等式左邊的首項：由已知等式首項分別為1，2，3，4，可猜想第個等式的首項為．
（2）等式的右邊：由已知等式右邊均為項數的平方：，可猜想第個等式的右邊為．
（3）等式左邊的末項：由等差數列求和公式，得等式左邊的末項為．得第個等式為
　　　　．
可見，本題以等差數列求和為載體，考查歸納猜想．等差數列的通項公式或求和公式都是實質考到的．
例8-2 （2011年高考數學山東理科第15題）設函數，觀察:
……
根據以上事實，由歸納推理可得：
當且時， ．
（歸納（類比）猜想題）
答案：
思路1
思路2
思路3 .
問題11 如何認識數學高考與平時教學的關系？
三點看法：
（1）高考內容與教學內容（教材）是一致的，教學內容決定高考內容．
“是教什么就考什么，而不是考什么就教什么”，所以有高考命題“以現行教材為根本”的提法．如上所說，高考命題的依據是《考試大綱》，而《考試大綱》的依據是《課程標準》，教材是課程的載體和具體化，因此高考命題最具體、最方便的依據是教材．
（2）教學與考試是教育的兩個不同過程，選拔需要決定高考重點．
平時教學是學生從不知到知（或從知之較少到知之較多）、從能力較低到能力較高的一個學習過程，而高考只檢驗學生學習的結果，是對結果的一個評估過程．這是性質不同的兩件事情，選拔的需要決定高考的重點．
（3）平時教學要面對全體學生，按教學規(guī)律進行，如果平常教學按高考水平來要求“考什么就教什么、怎么考就怎么教”，那是應試教育，不對的；而高考的基本任務是為高校選拔新生，必須在全體考生的成績中“拉開距離”，高考試題的難度是由成績前50%左右考生的水平決定的，所以高考復習要按考試規(guī)律進行，“考什么就練什么、怎么考就怎么練”沒錯．
做個比喻，如圖3，課本是整個瓶子，其結構易、中、難（由下而上）大致為6：3：1或7：2：1；高考試題內容就是瓶內的裝物（空白部分），其結構易、中、難（由下而上）大致為5：3：2．不抓 圖3
瓶子就抓不住高考，但抓住瓶子卻倒不出里面的裝物，就是沒有駕馭教材的能力，就是拿著書看不出里面的數學實質，就是“睜眼瞎”．因此，
●高考研討的中心，應是如何用好教材；
●高考復習的難度，在于如何用好教材；
●高考復習的成功，在于真正用好教材．
問題12 由教材編擬訓練題有何建議？
（1）編擬基本題的途徑．
①選編課本原題．考試用成題存在公平性的問題，通常是要避免的，但課本成題卻是一個小小的例外．因為它對每個考生是公平的，問題是要有典型性、數量適度、并盡量減少“導致死記硬背”的負面影響．
課本中有很多體現核心知識、基本方法或典型模式的例題、習題（重要定理的內容、證法及應用，自然構成典型模式）．不僅基本題可以用，綜合題也可以用，用好了還能提供“踏踏實實鉆研教材”的導向，抵制“資料泛濫”或“題海戰(zhàn)術”的歪風．
②仿制課本類題．根據課本的題目類型與編擬思想，或變換數據、或變更情境，編成試題．
③生成課本變題．直接由定義、定理、公式、法則、以及基本運算、基本推理、基本作圖、基本方法、基本經驗、基本思想等編擬理解題，相當于日常教學的變式練習．
（2）由教材編擬綜合題的途徑．
綜合題更注重知識的整體性結構，更注重概念的實質性理解，更注重能力的綜合性與靈活性應用（高、中檔題）．高考綜合題多集中在集合與函數、不等式、數列、概率統(tǒng)計、立體幾何、解析幾何、導數的應用等重點內容．由教材編擬綜合題可考慮如下７個技術措施：
①多個公式、多道習題、多個方法的串聯、并聯與綜合．
②習題的延伸或推廣．
③增加習題的層次．（如給條件增加充分條件、給結論增加必要條件．又如換元、把字母換成代數式等）
④改變設問的方向．（如改變知識的形態(tài)、從新形態(tài)的視角設問．又如交換條件與結論的位置產生逆向問題）
⑤引進討論的參數．（如把已知數據換成要討論的字母．又如隱去條件、反過來問當什么情況下時有結論成立）
⑥設置隱含的條件．
⑦創(chuàng)設新情景．（如分散條件、或引進應用情景等）
具體實施時．常常是多項措施的同時使用．
問題13 高考試題是怎樣命制的？
高考試題的命制包括命制單題和組拼試卷兩項工作（參見文【9】）．具體的工作步驟是：確定試卷結構，編制命題雙向細目表，單題命制，拼題組卷和卷面設計，參考答案和評分標準的設計．具體流程可分為10步：
（1）熟悉大綱、教材、確定學科命題指導思想和命題原則；
（2）設計命題雙向細目表；（參見附錄：雙向細目表）
（3）分配編題任務；
（4）編制試題；（基本參考是課本背景、高等背景，還會有競賽背景；往年背景；名題背景；生活背景）
（5）反復研磨試題；（包括查重）
（6）組卷；
（7）反復研磨試卷；（題型、知識點覆蓋、難度估計、能力要求、分值、作答時間）
（8）確定評分參考；
（9）預估試題、試卷的難度；
（10）定稿完成；
問題14 如何把握新課程高考的難度？
我們認為新課程高考會減輕份量，降低難度，理科達到0．55～0．60（0．6只不過是及格而已，為什么理科大學新生還要數學不及格呢？），文科達到0．50～0．55．主要有5條理由
（1）高考一年復習必須改變；（提供素質教育的導向）
（2）“減負等于加壓”必須改變；（提供素質教育的導向）
（3）新教材體現了從“窄而深”到“寬而淺”的轉變；
（4）高考錄取率已提高到60%，高等教育已經大眾化；
（5）高考對社會的影響．（穩(wěn)定是第一位的、高考命題寧易莫難）
題目難度可以通過試做，參照往年同類題，和絕對難度分析（知識點的個數、運算步驟數、推理轉折點個數、情景的新鮮度、陷阱個數、賦分方式）得出．
降低難度不是鼓勵平庸，而是騰出更多的空間來搞創(chuàng)新．
問題15 如何認識部分試題中的“高等背景”？
由于高考的首要任務是為高等院校選拔新生的，由于高考命題是以高校教師為主體的，為了給創(chuàng)新試題提供新鮮情景，為了考查學生繼續(xù)深造的潛能，“試題在主體上考查中學數學的同時，體現進一步學習高等數學的需要”是很自然的．如遞推數列，函數方程，函數不動點，微分中值定理，泰勒展開式，伯恩斯坦多項式，矩陣，數論同余，曲線相切，牛頓切線法等背景都出現過．但是，這些高等背景只是“考能力的載體”（考知識應是超綱的），其解答只用到中學的知識與方法，所以，重要的是教學生“化歸為課堂上已經解決的問題”、“化歸為往年的高考題”．我們不贊成去做“高等數學補課”，那是“盲目提高教學要求”，加重學生負擔，而且，永遠也補不完．
問題16 如何認識陜西自主命題的學術風格．
個人認為，陜西自主命題的學術風格是兩句話：在深刻背景下立意、在貼近教材中提高．（參見文【10】、【11】、【12】）
（1）在貼近教材中提高，主要指以教材為依據編擬中低檔綜合題、并以中低檔綜合題為試卷的主體，以中低檔綜合題為創(chuàng)新的基本載體．如2011年理科卷第1題、第9題直接考課本概念，第18題直接考課本定理，第14題、第17題都有課本題的背景．這樣做可以為中學教學實施素質教育創(chuàng)造寬松的環(huán)境，為高考復習提供“依綱靠本”的導向．
（2）在深刻背景下立意，主要指思想方法背景，知識交匯背景和高等數學背景．如2011年理科卷廣泛涉及七個基本數學思想，其中，較突出的是函數與方程的數學思想（如理科第3，6，7，11，12，14，19，21等題），數形結合的數學思想（如理科第2、3、5、6、7、8、9、12、15、16、17、18、19共13道題都不同程度涉及數形結合，其中有9道題目配了圖形），化歸與轉化的數學思想方法（如理科第4，6，10，12，14，16，17，18，19，21等題），或然與必然的基本數學思想（如理科第8，9，10，20題）．這樣做有助于考查進入高等學校學習的潛能，有利于高等學校選拔人才．
參考資料
【1】羅增儒．數學新課程高考考什么、怎么考．中學數學教育，2012，1～2
【2】中華人民共和國教育部制訂．普通高中數學課程標準（實驗）．人民教育出版社，2003，4
【3】陜西省招生委員會辦公室編．普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試陜西卷（數學　英語）考試說明課程標準實驗版2011．西北大學出版社，2011，1
【4】任子朝． 能力立意命題的理論與實踐．數學通報，2008，1
【5】任子朝、陳昂．實施《課程標準》后高考數學能力考查研究．數學通報，2012，1
【6】羅增儒．高考復習20問．《中學數學教學參考（上旬）》，2010，5
【7】羅增儒．高考臨場20招．《中學數學教學參考（上旬）》，2010，3～4
【8】本刊特約數學試題評閱組．2011年高考數學試題“紅黑榜”．基礎教育課程，2011，9
【9】張奠宙、宋乃慶主編．數學教育概論．高等教育出版社．2004．10
【10】羅衾、羅增儒．數學高考改革與陜西自主命題——高考數學陜西自主命題研究之一．中學數學教學參考（上旬），2009，5
【11】羅衾、羅增儒．穩(wěn)定：高考數學陜西卷的一個關鍵詞——高考數學陜西自主命題研究之二．中學數學教學參考（上旬），2009，6
【12】羅衾、羅增儒．高考數學陜西卷的高等背景——高考數學陜西自主命題研究之三．中學數學教學參考（上旬），2009，7
附件1：數學理科知識點統(tǒng)計表
模塊 知識點 個數
集合（4課時） 集合的概念，集合的表示法，子集與包含關系，集合的交并補運算 4
函數（30課時） 函數的概念，函數的表示，函數的定義域，函數的值域，映射，函數的單調性，函數的奇偶性，分段函數，二次函數，冪函數，指數冪，冪的運算性質，指數函數的圖像，指數函數的性質，對數的概念，對數的運算，換底公式，對數函數的圖像，對數函數的性質，函數與方程，二分法求方程的近似解，函數模型，函數模型的應用 23
立體幾何（24課時） 簡單幾何體，簡單幾何體的直觀圖，三視圖，空間圖形的公理，空間兩條直線的位置關系，直線與平面平行關系的判定，直線與平面平行關系的性質，直線與平面垂直關系的判定，直線與平面垂直關系的性質，平面與平面平行關系的判定，平面與平面平行關系的性質，平面與平面垂直關系的判定，平面與平面垂直關系的性質，簡單幾何體的表面積，簡單幾何體的體積，用向量討論平行關系，用向量討論垂直關系，用向量計算夾角，用向量計算距離 19
數列（12課時） 數列的概念，數列的表示，數列的單調性，等差數列，等差數列的通項公式，等差數列的前n項和公式，等比數列，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式，等差等比數列的應用 10
解析幾何（32課時） 直線的方程，直線的傾斜角與斜率，兩條直線的位置關系，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，圓，圓的標準方程，圓的一般方程，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，空間直角坐標系，空間直角坐標系中點的坐標，空間兩點間的距離公式，橢圓，橢圓的標準方程，橢圓的簡單幾何性質，拋物線，拋物線的標準方程，拋物線的簡單幾何性質，雙曲線，雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單幾何性質，曲線與方程，直線與圓錐曲線的交點，圓錐曲線的簡單應用 25
概率統(tǒng)計（46課時） 隨機抽樣，簡單隨機抽樣方法，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，樣本與總體，樣本數據的數字特征，頻率分布直方圖，統(tǒng)計圖表，用樣本估計總體，兩個變量的相關性，散點圖，最小二乘法，隨機事件，頻率，概率，互斥事件，概率加法公式，古典概型，古典概型的計算公式，隨機事件的概率，隨機數的意義，用模擬方法估計概率，幾何概型，離散型隨機變量，分布列，超幾何分布，超幾何分布的應用，條件概率，兩個事件相互獨立的概念，獨立重復試驗，二項分布，離散型隨機變量的均值，離散型隨機變量的方差，回歸分析，獨立性檢驗 35
算法初步（12課時） 算法的基本思想，程序框圖的基本邏輯結構，基本算法語句 3
　三角（32課時） 任意角的概念，弧度制，正弦函數的定義、余弦函數的定義、正切函數的定義，正弦函數的圖像與性質，余弦函數的圖像與性質，正切函數的圖像與性質，誘導公式，同角三角函數的基本關系式，函數的圖像和性質，三角函數的簡單應用，兩角和與差的三角函數公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形中的幾何計算，解三角形應用舉例 18
向量（18課時） 平面向量的概念，兩個向量相等的含義，向量的幾何表示，向量的加法和減法，向量加法和減法的幾何意義，兩個向量共線的含義，向量的線性運算，平面向量基本定理，平面向量的坐標表示，平面向量運算的坐標表示，平面向量的數量積，平面向量的數量積的坐標表示，平面向量的簡單應用，空間向量的概念，空間向量的線性運算，空間向量基本定理，空間向量的坐標表示，空間向量運算的坐標表示，空間向量的數量積，空間向量的數量積的坐標表示，空間向量的簡單應用 21
邏輯與推理（16課時） 合情推理的含義，歸納推理，類比推理，演繹推理的含義，綜合法，分析法，反證法，數學歸納法，命題的概念，四種命題，充分條件和必要條件，邏輯聯結詞，全稱量詞和存在量詞的意義，全稱命題和特稱命題的否定 14
不等式（12課時） 不等關系，一元二次不等式的解法，一元二次不等式的應用，基本不等式，用基本不等式解決最大值最小值問題，平面區(qū)域，簡單線性規(guī)劃，簡單線性規(guī)劃的應用 8
導數與定積分（22課時） 導數概念的實際背景，導數的概念，導數的幾何意義，基本初等函數的導數公式，導數的四則運算法則，復合函數的導數，用導數研究函數的單調性，函數的極值，閉區(qū)間上函數的最大值與最小值，定積分的實際背景，定積分的基本思想，定積分的概念，微積分基本定理，定積分的簡單應用 14
計數原理（12課時） 分類加法計數原理，分步乘法計數原理，排列的概念，排列數公式，組合的概念，組合數公式，簡單計數問題，二項式定理，二項展開式的有關簡單問題 9
復數（4課時） 復數的概念，復數相等的充要條件，復數的加法和減法，復數的乘法和除法，復數及其運算的幾何意義 5
幾何證明選講（18課時） 相似三角形的定義與性質，平行截割定理，直角三角形射影定理，圓周角定理，圓的切線判定定理與性質定理，相交弦定理，圓內接四邊形的性質定理與判定定理，切割線定理 　　6
坐標系與參數方程（18課時） 平面直角坐標系的伸縮變換，極坐標的概念，極坐標系中點的極坐標表示，極坐標與直角坐標互化，簡單圖形的極坐標方程，參數方程中參數的意義，簡單曲線的參數方程
不等式選講（18課時） 絕對值不等式，絕對值不等式的解法，絕對值不等式的幾何意義，不等式的證明方法
合計 　　　　　　　　294課時 214個
說明1：知識點的統(tǒng)計標準不唯一，僅供參考．每個把關教師都應有自己的統(tǒng)計．
說明2：知識點之間有的是遞進關系、有的是并列關系．如數列的概念，數列的表示，等差數列，等比數列一共4個知識點，前2個到后2個是遞進關系，而后2個本身是并列關系．
附表2：雙向細目表
知識模塊/知識點/課時 題號/分值 難度/得分 解題步驟 考查內容 總分 百分比
知識點 能力 思想方法
1集合知識點/課時
2函數知識點/課時
3立體幾何知識點/課時
4數列知識點/課時
5解析幾何知識點/課時
6概率與統(tǒng)計知識點/課時
7算法初步知識點/課時
8三角知識點/課時
9向量知識點/課時
10邏輯與推理知識點/課時
11不等式知識點/課時
12導數與定積分知識點/課時
13計數原理知識點/課時
14復數知識點/課時
15A不等式選講知識點/課時
15B幾何證明選講知識點/課時
15C坐標系與參數方程知識點/課時
合 計知識點/課時
附表3：2011年新課程卷題型、題量、分值、自選模塊統(tǒng)計表（13套）
時間 地區(qū) 解答題 填空題 選擇題 自選模塊的處理方式
2007 廣東 6題80分 5+（2選1）題30分 8題40分 填空題2選1（幾何證明選講，坐標系與參數方程），5分
2007 山東 6題74分 4題16分 12題60分
2007 海南寧夏 5+（3選1）題70分 4題20分 12題60分 解答題3選1（22，23，24）（幾何證明選講，坐標系與參數方程，不等式選講），10分
2008 江蘇 8+（4選1）9題90分 14題70分 無 附加題21，22，23，解答21題4選2（幾何證明選講，矩陣與變換，坐標系與參數方程，不等式選講），20分
2009 天津 6題80分 6題30分 8題40分 填空題必做（幾何證明選講），5分
2009 遼寧 5+（3選1）題70分 4題20分 12題60分 解答題3選1（幾何證明選講，坐標系與參數方程，不等式選講），10分
2009 浙江 5題72分 7題28分 10題50分 選修另考，每題10分，可選可不選（坐標系與參數方程，不等式選講），
2009 福建 6題80分 5題20分 10題50分 解答（21）題3選2（矩陣與變換，坐標系與參數方程，不等式選講），14分
2009 安徽 6題75分 5題25分 10題50分
2009 上海 5題74分 14題56分 4題20分
2010 北京 6題80分 6題30分 8題40分 選擇題（坐標系與參數方程，幾何證明選講）10分，必做
2010 陜西 6題80分 4+（3選1）題25分 10題50分 填空題3選1（幾何證明選講，坐標系與參數方程，不等式選講），5分
2010 湖南 6題75分 5+（3選2）題35分 8題40分 填空題3選2（坐標系與參數方程、不等式選講、幾何證明選講）10分
2010 黑龍江 同寧夏、海南（全國新課標卷）
2010 吉林
2011 山西
2011 新疆
2011 河南
2011 江西 6題75分 4+（2選1）題25分 10題50分 填空題2選1（坐標系與參數方程、不等式選講）5分
注：2012年還將有河北、云南、湖北、內蒙進入新課程高考．

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