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關(guān)于超幾何分布和二項(xiàng)分布的小題目
在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)完超幾何分布和二項(xiàng)分布以后，學(xué)生不能正確的理解好什么是超幾何分布（古典概型利用組合數(shù)計(jì)數(shù)）、什么是二項(xiàng)分布（利用獨(dú)立性，互斥性）及其區(qū)別.下面我通過幾個例子說明一下兩者的區(qū)別
超幾何分布：在產(chǎn)品質(zhì)量的不放回抽檢中，若N件產(chǎn)品中有M件次品，抽檢n件時所得次品數(shù)X=k
　　則P(X=k)
　　此時我們稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布（hypergeometric distribution）
　　1）超幾何分布的模型是不放回抽樣
　　2）超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n
　　上述超幾何分布記作X~H(n，M，N)。
二項(xiàng)分布：二項(xiàng)分布（Binomial Distribution），即重復(fù)n次的伯努力試驗(yàn)（Bernoulli Experiment）,
　　用ξ表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.
　　如果事件發(fā)生的概率是P,則不發(fā)生的概率q=1-p，N次獨(dú)立重
復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生次的概率是
上述二項(xiàng)分布記作
下面我通過幾個例子說明一下兩者的區(qū)別
【例1】某人參加一次英語考試，已知在備選題的10道試題中能答出其中的4道題，規(guī)定每次考試從備選題中隨機(jī)抽取3題進(jìn)行測試，求答對題數(shù)的分布列？
解：由題意得，，，.服從參數(shù)為,,的超幾何分布.
故的分布列
點(diǎn)評：這是一道超幾何分布的題目，學(xué)生在做的時候容易把它看到是二項(xiàng)分布問題，把事件發(fā)生的概率看做是0.4。
【例2】甲乙兩人玩秒表游戲，按開始鍵，然后隨機(jī)按暫停鍵，觀察秒表最后一位數(shù)，若出現(xiàn)，，，則甲贏，若最后一位出現(xiàn)，，，則乙贏，若最后一位出現(xiàn)，是平局.玩三次，記甲贏的次數(shù)為變量 ，求的分布列
解：由題意得：，，，
故的分布列
點(diǎn)評：學(xué)生這是一道二項(xiàng)分布的題目，學(xué)生容易看成超幾何分布，認(rèn)為服從,,的超幾何分布。
【例3】已知一批種子發(fā)芽率為0.4現(xiàn)在從中選取三顆進(jìn)行測試，記其發(fā)芽數(shù)為，求的分布列。
解：由題意得，，，.
故的分布列
點(diǎn)評：與例2比較這兩個題目是完全相同的。二項(xiàng)分布應(yīng)滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：
①每一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果（要么發(fā)生，要么不發(fā)生）.
②任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都一樣.
③每次試驗(yàn)間是相互獨(dú)立的互不影響的.
例1在抽取過程中可以認(rèn)為是不放回的抽取，兩次抽取之間是有影響的不是獨(dú)立的。例2、例3在抽取過程中可以認(rèn)為是有放回的抽取，兩次抽取過程中是互不影響的。
【例4】（2006·廣東，16）某運(yùn)動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：
現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為.
求的分布列？
解：由題意得，，，，.
故的分布列為
點(diǎn)評：學(xué)生容易把本題看做是超幾何分布，理解成【例5】，本題利用課本上推到二項(xiàng)分布公式的原理中事件的獨(dú)立性和互斥性。
【例5】一個袋中裝有10個大小相同的小球，其中標(biāo)號為7的球2個，標(biāo)號為8的球3個，標(biāo)號為9的球3個，標(biāo)號為10的球2個.從盒中任取兩球記較大的一個球的標(biāo)號為，求的分布列？
解：由題意得，，，.
當(dāng)時包含一個球標(biāo)號為和一個球標(biāo)號比小，和兩個標(biāo)號都是
故的分布列為
【例6】一個袋中裝有20個大小相同的小球，其中標(biāo)號為7的球4個，標(biāo)號為8的球6個，標(biāo)號為9的球6個，標(biāo)號為10的球4個.從盒中任取兩球記較大的一個球的標(biāo)號為，求的分布列？
答案：
點(diǎn)評：【例5】和【例6】雖然球所占的比例相同，但分布列也不同。兩次試驗(yàn)都可以看做是不放回的抽取，兩次抽取不是相互獨(dú)立的。對比同學(xué)看以看一下下面兩道超幾何分布問題
①袋中有10個完全相同球，其中白球3個，黑球7個，從中,取出2個球記錄其中白球個數(shù)為，求的分布列.
②袋中有20個完全相同球，其中白球6個，黑球14個，從中,取出2個球記錄其中白球個數(shù)為，求的分布列.
【例7】一個袋中裝有10個大小相同的小球，其中標(biāo)號為7的球2個，標(biāo)號為8的球3個，標(biāo)號為9的球3個，標(biāo)號為10的球2個.從盒子中任意取出一個球，放回后第二次再任取一個球，記兩次球標(biāo)號較大的為，求的分布列？
方法一：
解：，，，.由【例1】中類似的方法
方法二：由分步計(jì)數(shù)原理共計(jì)有種取法，當(dāng)時有種取法.
故分布列為
點(diǎn)評：【例7】可以看做是又放回的抽取，每次抽取是相互獨(dú)立的。
小結(jié)：當(dāng)抽取的方式從無放回變?yōu)橛蟹呕兀瑤缀畏植甲優(yōu)槎?xiàng)分布，當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)N很大時，超幾何分布變?yōu)槎?xiàng)分布。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)際原型是有放回的抽樣檢驗(yàn)問題，但在實(shí)際應(yīng)用中，從大批產(chǎn)品中抽取少量樣品的不放回檢驗(yàn)，可以近似的看做此類型。

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