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專題一：函數與導數
一．主要數學思想：
分類討論、形數結合、構建應用、函數與方程等。
常見討論：就導數的正負、就系數、就判別式、就根的大小、就對稱軸的位置，…等等。
構建應用：這里主要是指構建出一個函數，把問題轉化為考察函數的性質（如最值）來解決，如參數范圍中的變量分離法。多個變數時，可利用拼湊、同除等手段構建成某一整塊的函數，如。
函數與方程：方程解的個數、解的范圍等，轉化為函數圖象的交點個數及范圍，反之亦然。
二．主要解題思路：
定義域求導導數的正負？列表判斷
三．主要題型再現：
（一）選擇、填空：
1．若集合，則下列對應中，不是從P到Q的映射是( )
A． B． C． D．
2．對任意的函數，在公共定義域內，規定，若，則的最大值為 。
3．函數的定義域為且,已知為奇函數，當時，,那么當時的遞減區間是( )
A. B. C. D.
4．如果一個函數滿足：（1）定義域為；（2）任意，若，則；（3）任意，若，則，則可以是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是上的奇函數，當時，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
6．對于函數作代換，則不改變函數的值域的代換是( )
A． B． C． D．
7．已知映射其中，對應法則
對于實數，在集合A中不存在原象，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．以上都不對
8．函數在上的最大值與最小值之和為，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
9．設函數為奇函數，，則
A． B．1 C． D．5
10．已知是周期為的周期函數，那么是（ ）
A．周期為的周期函數 B．周期為的周期函數
C．周期為的周期函數 D．不是周期函數
11.設函數是上以3為周期的奇函數，若，則（ ）
A． B．且 C．且 D．
12．設函數在上單調遞增，則與的大小關系是
A. B. C. D不能確定
13若在內內單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函數滿足：，則
。
15．若函數是增函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（二）綜合大題：
1．（分式函數型）已知函數
（Ⅰ）當時求函數的最小值；
（Ⅱ）若對任意恒成立，試求實數的取值范圍。
2．（三次函數型）（14分）設函數的圖象在點處的切線的斜率為，且函數為偶函數.若函數滿足下列條件：①；②對一切實數，不等式恒成立.
（Ⅰ）求函數的表達式；
（Ⅱ）求證：.
3．（對數函數+一次函數型）（本小題滿分14分）設函數
（Ⅰ）求函數的極值點；
（Ⅱ）當時，若對任意的，恒有，求的取值范圍；
（Ⅲ）證明：.
4．（14分）已知（）
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）證明：（，，其中無理數）．
5．設,函數.
(1) 若，求曲線在處的切線方程；
(2) 若無零點,求實數的取值范圍；
(3) 若有兩個相異零點,求證: .
6．（對數+二次函數型）(本題滿分14分) 設函數，其中為常數。
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）證明：對任意不小于的正整數，不等式都成立。
7．（14分）已知函數，，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若恒成立，求實數的值；
（Ⅲ）設（）有兩個極值點、 （ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ），
求實數的取值范圍，并證明：．
8．（對數+分式型）（本題滿分14分）已知函數．
（1）若函數在上是增函數，求實數的取值范圍；
（2）若函數在上的最小值為3，求實數的值．
9．已知函數的圖象在點（為自然對數的底數）處的切線斜率為3．
⑴求實數的值；
⑵若，且對任意恒成立，求的最大值。
10．（對數+對勾型）（本題14分）已知函數R, .
(1) 求函數的單調區間；
(2) 若關于的方程為自然對數的底數)只有一個實數根, 求的值.
11．（乘積型）（本小題滿分14分）已知函數，在點處的切線方程是（為自然對數的底）。
（1）求實數的值及的解析式；
（2）若是正數，設，求的最小值；
（3）若關于的不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍.
12．（三次函數+對數函數型）設命題：函數在區間上單調遞減；命題：函數的值域是．如果命題為真命題，為假命題，求的取值范圍．
13．已知函數，直線與的圖象相切．
（1）求實數a的值；
（2）若方程上有且僅有兩個解；
①求實數b的取值范圍； ②比較的大小．
14．（抽象函數型）（14分）已知是定義在區間上的奇函數，且，若，時，有。
（1）解不等式；
（2）若對所有、恒成立。求實數的取值范圍。
參答
（一）
（二）綜合大題：
1．（分式型）已知函數
（Ⅰ）當時求函數的最小值；
（Ⅱ）若對任意恒成立，試求實數的取值范圍。
解：（Ⅰ）當a=時,f(x)==x+,x∈[1,+∞)
∵ f(x)在[1,+∞)上單調遞增, ∴ 當x=1時f(x)的最小值為.
（Ⅱ）當任意x∈[1,+∞)時，函數f(x)=＞0恒成立不等式x2+2x+a＞0對 x∈[1,+∞)恒成立。
由x2+2x+a＞0，得 a＞－x2－2x，
令g(x)= －x2－2x=－(x+1)2+1 ，則g(x)在 [1,+∞)上遞減，
∴當x=1是g(x)最大=－3，因此 ，a＞－3
2．（三次型）（14分）設函數的圖象在點處的切線的斜率為，且函數為偶函數.若函數滿足下列條件：①；②對一切實數，不等式恒成立.
（Ⅰ）求函數的表達式；
（Ⅱ）求證：.
（Ⅰ）解：由已知得：. ……………1分
由為偶函數，得為偶函數，
顯然有. …2分 又，所以，即.……3分
又因為對一切實數恒成立，
即對一切實數，不等式恒成立. …………4分
顯然，當時，不符合題意. …………5分
當時，應滿足 注意到 ，解得. …7分 所以. ……8分
（Ⅱ）證明：因為，所以.………9分
要證不等式成立,
即證. …………10分
因為, ………12分
所以.
所以成立. ……………14分
3．（對數函數+一次函數型）（本小題滿分14分）設函數
（Ⅰ）求函數的極值點；
（Ⅱ）當p＞0時，若對任意的x＞0，恒有，求p的取值范圍；
（Ⅲ）證明：.
解：（1），
…………2分
當 上無極值點 …………3分
當p>0時，令的變化情況如下表：
x (0，)
+ 0 －
↗ 極大值 ↘
從上表可以看出：當p>0 時，有唯一的極大值點 ……………7分
（Ⅱ）當p>0時在處取得極大值，此極大值也是最大值，
要使恒成立，只需， ∴
∴p的取值范圍為[1，+∞ …………………10分
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，
∴ …………11分
∴
…………12分
∴結論成立 …………………14分
（含參單調性討論）14分）已知（）
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）證明：（，，其中無理數）．
21、【解】（Ⅰ）
當時，由得
∴在單調遞增，在單調遞減。
當且的判別式，即時，對恒成立。
∴在上單調遞減。
當時，由得：
解得：
由可得：或
∴在上單調遞增，在上單調遞減。
綜上所述：當時，在單調遞增，在單調遞減；
當時，在上單調遞增，
在上單調遞減；
當時，在上單調遞減。
（Ⅱ）由（Ⅰ）當時，在上單調遞減。
當時
∴，即
∴
設,函數.
(1) 若，求曲線在處的切線方程；
(2) 若無零點,求實數的取值范圍；
(3) 若有兩個相異零點,求證: .
20．（本題滿分14分）
解：方法一在區間上,. ……………………1分
（1）當時，，則切線方程為，即 …………3分
（2）①若,則,是區間上的增函數,
,,
,函數在區間有唯一零點. …………6分
②若,有唯一零點. …………7分
③若,令得: .
在區間上, ,函數是增函數;
在區間上, ,函數是減函數;
故在區間上, 的極大值為.
由即,解得:.
故所求實數a的取值范圍是. …………9分
方法二、函數無零點方程即在上無實數解 …………4分
令，則
由即得： …………6分
在區間上, ,函數是增函數;
在區間上, ,函數是減函數;
故在區間上, 的極大值為. …………7分
注意到時，；時；時，
故方程在上無實數解.
即所求實數a的取值范圍是. …………9分
[注:解法二只說明了的值域是,但并沒有證明.
(3) 設
,
原不等式
令,則,于是. …………12分
設函數,
求導得:
故函數是上的增函數,
即不等式成立,故所證不等式成立. ……………………14分
4．（對數+二次函數型）(本題滿分14分) 設函數，其中為常數。
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）證明：對任意不小于的正整數，不等式都成立。
解：（1）當時，函數，
此時有惟一極小值點， ……… 3分
則當時，，所以在上為減函數，
當時，，所以在上為增函數。…… 5分
（2）由（1）知時，函數，有惟一極小值點，
且時，，所以在上為減函數。
因為當時，，所以恒有，……8分
即恒有。所以當時恒有成立。…… 10分
令函數，則，
所以當時，，又在處連續，所以時為增函數。…… 12分
因為當時，，所以，即，
所以，
綜上可知，當時不等式都成立 ……………… 14分。
（本小題滿分14分）(理)設函數，其中
(Ⅰ)當判斷在上的單調性．
(Ⅱ)討論 的極值點．
解：(理)由題設函數定義域是，…………………………………………1分
函數………………①
………………………………………………２分
(Ⅰ)．當時，①式的的，
，又
　　　　　………………………………………………４分
在上的單調遞增． ………………………………………………５分
(Ⅱ)．
當時，由(Ⅰ)知，
在上的單調遞增，故無極值點．……………………………７分
當時，由解得，此時
當或時，
當時，
………………………………………………８分
當時，，，
時，，
，
在上單減，在上單增，
為極小值點，無極大值點．………………………………１０分
當時，，，
當或時，
時，
在上單減，在和上單增，
為極大值點，為極小值點．……………１２分
綜上，時，為極小值點，無極大值點；時，為極大值點，為極小值點；時，無極值點．　　　　　　　　　　　　　　………………………………………………１４分
5．（對數+分式型）（本題滿分14分）已知函數．
（1）若函數在上是增函數，求實數的取值范圍；
（2）若函數在上的最小值為3，求實數的值．
（本題滿分14分）解：（1）∵，∴．
∵在上是增函數，
∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．
令，則≤．
∵在上是增函數，∴．∴≤1．所以實數的取值范圍為．
（2）由（1）得，．
①若，則，即在上恒成立，此時在上是增函數．
所以，解得（舍去）．
②若，令，得．當時，，所以在上是減函數，當時，，所以在上是增函數．
所以，解得（舍去）．
③若，則，即在上恒成立，此時在上是減函數．
所以，所以．
綜上所述，．
已知函數的圖象在點（為自然對數的底數）處的切線斜率為3．
⑴求實數的值；
⑵若，且對任意恒成立，求的最大值。
21.（1）解：因為，所以．
因為函數的圖像在點處的切線斜率為3，
所以，即．
所以．
（2）解：由（1）知，，
所以對任意恒成立，即對任意恒成立．
令，
則，
令，
則，
所以函數在上單調遞增．
因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以
．
所以．
故整數的最大值是3．
6．（14分）已知函數，，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若恒成立，求實數的值；
（Ⅲ）設（）有兩個極值點、 （ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ），
求實數的取值范圍，并證明：．
（14分）解：（Ⅰ）G(x) , HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4
在上遞減，在上遞增
………………………3分
（Ⅱ）
所以 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 的必要條件是，得 HYPERLINK "http://www." ………………………5分
當時，由(1)知恒成立。 所以 ……………6分
（Ⅲ），
，有兩個極值點、等價于
方程在上有兩個不等的正根
得 ………………………9分
（方法1）由得， （）
設，
得， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
所以 ……………………14分
（方法2）由得，又
所以
得
所以
所以 ………………………………………14分
7．（對數+對勾型）（本小題滿分14分）
已知函數R, .
(1) 求函數的單調區間；
(2) 若關于的方程為自然對數的底數)只有一個實數根, 求的值.
(1)解: 函數的定義域為.
∴.
① 當, 即時, 得,則.
∴函數在上單調遞增. ……2分
② 當, 即時, 令 得,
解得.
(ⅰ) 若, 則.
∵, ∴,∴函數在上單調遞增. …… 4分
(ⅱ)若,則時, ;
時, ,
∴函數在區間上單調遞減, 在區間上單調遞增.
綜上所述, 當時, 函數的單調遞增區間為; …… 6分
當時, 的減區間為, 增區間為. … 8分
(2) 解: 由, 得, 化為.
令, 則.令, 得.
當時, ; 當時, .
∴函數在區間上單調遞增, 在區間上單調遞減.
∴當時, 函數取得最大值, 其值為. …… 10分
而函數,
當時, 函數取得最小值, 其值為. …… 12分
∴ 當, 即時, 方程只有一個根. …… 14分
(本題滿分14分) 設函數，其中為常數。
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）證明：對任意不小于的正整數，不等式都成立。
解：（1）當時，函數，
此時有惟一極小值點， ……… 3分
則當時，，所以在上為減函數，
當時，，所以在上為增函數。…… 5分
（2）由（1）知時，函數，有惟一極小值點，
且時，，所以在上為減函數。
因為當時，，所以恒有，……8分
即恒有。所以當時恒有成立。…… 10分
令函數，則，
所以當時，，又在處連續，所以時為增函數。…… 12分
因為當時，，所以，即，
所以，
綜上可知，當時不等式都成立 ……………… 14分。
（本小題滿分14分）已知函數，在點處的切線方程是（e為自然對數的底）。
（1）求實數的值及的解析式；
（2）若是正數，設，求的最小值；
（3）若關于x的不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍.
（本小題滿分14分）解：（1）依題意有……1分
；……3分
故實數……4分
（2）， 的定義域為；……………5分
……………6分
……………8分
增函數減函數
……………10分
（3）
由(2)知
…………11分
對一切恒成立
…………13分
故實數的取值范圍.…………14分
8．（本小題滿分14分）已知函數，在點處的切線方程是（e為自然對數的底）。
（1）求實數的值及的解析式；
（2）若是正數，設，求的最小值；
（3）若關于x的不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍.
（本小題滿分14分）解：（1）依題意有……1分
；……3分
故實數……4分
（2）， 的定義域為；……………5分
……………6分
……………8分
增函數減函數
……………10分
（3）
由(2)知
…………11分
對一切恒成立
…………13分
故實數的取值范圍.…………14分
（三次函數+對數函數）設命題：函數在區間上單調遞減；命題：函數的值域是．如果命題為真命題，為假命題，求的取值范圍．
16、解：
　 　　　　　　　　
由題意P和q有且只有一個是真命題
綜上所述：　　　　　　　　　
（三次函數+對數函數）已知函數，直線與的圖象相切．
（1）求實數a的值；
（2）若方程上有且僅有兩個解；
①求實數b的取值范圍； ②比較的大小．
20、解：（1）設切點，
（2）令
則有
已知，
上遞增.
①依題意有： 解得
②依題意有
（抽象函數）（14分）已知是定義在區間上的奇函數，且，若，時，有。
（1）解不等式；
（2）若對所有、恒成立。求實數的取值范圍。
19、解：（1）任取，且，則（4分）
，，（5分）
即不等式的解集為（7分）
（2）由于，，。
即：。
所以。10分
把由
（13分）
（14分）
（本小題滿分14分）已知函數，在點處的切線方程是（e為自然對數的底）。
（1）求實數的值及的解析式；
（2）若是正數，設，求的最小值；
（3）若關于x的不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍.
（本小題滿分14分）解：（1）依題意有……1分
；……3分
故實數……4分
（2）， 的定義域為；……………5分
……………6分
……………8分
增函數減函數
……………10分
（3）
由(2)知
…………11分
對一切恒成立
…………13分
故實數的取值范圍.…………14分

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