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第八屆“銳豐杯”初中數(shù)學邀請賽試題
(滿分150分)
一．選擇題（本大題共6小題，每小題6分，共36分，每題有且只有一個答案）
1．在測量某物理量的過程中，因為儀器和觀察的誤差，使得次測量分別得到共個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測得的物理量的“最佳近似值”是這樣一個數(shù)據(jù)：與其他近似值比較，與各個數(shù)據(jù)差的平方和最小。若三次測量得到的數(shù)據(jù)依次為、、，依據(jù)此規(guī)定，那么本次測量的“最佳近似值”為（ ）
A． B． C． D．
2．萬花筒是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的，如圖所示是看到的萬花筒的一個圖案，圖中所有小三角形均是全等的等邊三角形，其中的菱形ABCD可以看成是把菱形AEFG以A為中心（ ）
A．順時針旋轉(zhuǎn)60°得到
B．逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到
C．順時針旋轉(zhuǎn)180°得到
D．逆時針旋轉(zhuǎn)240°得到
3．在，，，，這5個數(shù)中，有理數(shù)的個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4．定義符號表示與自變量所對應的函數(shù)值。例如對于函數(shù)，當時，對應的函數(shù)值，則可以寫為：。在二次函數(shù)中，若對任意實數(shù)都成立，那么下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B. C. D.
5．如右圖，在中，過邊上的一點作交于點，使得的面積與梯形的面積之比為，連結(jié)，交于點，己知的面積為1則的
面積等于（ ）
A．3 B.4 C.5 D.
6. 很多整數(shù)都可以表示為幾個互異的平方數(shù)之和，例如，現(xiàn)將2012表示為個互異的平方數(shù)之和，則的最小值是（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
二．填空題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）
1．兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如圖2中的實心點個數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作，第2個五角形數(shù)記作，第3個五角形數(shù)記作，第4個五角形數(shù)記作，……，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則_________
2．在一個面積為1的正方形草地中先把各邊等分，然后如圖所示將各個等分連結(jié)起來，發(fā)現(xiàn)在正中央所形成的四邊形面積恰好為，則的值為_________
3．仲元中學高一，高二，高三每個年級都有20個班，現(xiàn)策劃進行一場全?；@球比賽，由每個班級派出一支球隊再加上教師代表隊1個隊共61支隊伍進行比賽。如果實行淘汰制（即全部隊伍抽簽進行比賽，勝方進入下一輪比賽，敗方則被淘汰出局，如果抽簽隊數(shù)為奇數(shù)則有一隊輪空，自動進入下一輪，經(jīng)過若干輪比賽后決出冠軍隊）則共有場比賽。如果實行單循環(huán)賽（任意的兩隊都會打一場，最后統(tǒng)計勝利場數(shù)，最高勝利場數(shù)則為冠軍，如果分數(shù)相同則名次并列，不再追加比賽場數(shù)）則共有場比賽。問
4．如圖，直角三角形中，為坐標原點，，。若點在反比例函數(shù)圖象上運動，那么點必在函數(shù)_____________的圖象上運動。（填寫該函數(shù)表達式）
5．設是實數(shù)，且有，則的值等于________
6． 方程的兩根為，若存在實數(shù)使得則我們就稱這樣的兩個根為一組“黃金根”，則這樣的“黃金根”共有________組。
（參考公式：）
解答題（本大題共3小題，共60分）
1．自變量為的二次函數(shù)。
（1）若，，求函數(shù)值的最大值與最小值；并分別指出所對應的自變量的值；
（2）當變化時，該二次函數(shù)圖象是否經(jīng)過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由；
（3）若該二次函數(shù)圖象與軸有兩個不同的交點，而且兩交點的橫坐標均小于，求的取值范圍。
2．如圖，分別以邊長2為的等邊三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作三個等圓，得交點，連接交于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，交邊于點，連接，求的長。
3. 長隆歡樂世界團購票價如下表:
購票人數(shù) 以上
每人門票價 元 元 元
今有甲、乙兩個旅游團，若分別購票，兩團總計應付門票費元；若合在一起作為一個團體購票，總計支付門票費元.問這兩個旅游團各有多少人
第八屆“銳豐杯”初中數(shù)學邀請賽參考答案
一．選擇題
1．解：C
2．解：D
3．解：B
為有理數(shù)。
當時，考慮與是否有可能同時取到完全平方數(shù)，假設它們都是完全平方數(shù)，令，則有，即，又因為都是大于0的整數(shù)且所以只可能，沒有整數(shù)解，與假設矛盾，所以不是有理數(shù)。故有三個有理數(shù)，，。
4．解：C
因為，而。當為等腰三角形時，底邊只能是，當，此時對應的腰滿足條件；當，此時對應的腰滿足條件；當時，只能，此時對應的不符整數(shù)條件或不符合三角形形成條件；當時，，此時對應的腰滿足條件或者也滿足條件；故有4種不同的面積。
5．解：C
的面積與梯形的面積之比為且則可知都是三等分點且，連結(jié)則可知，，
所以
6．答案：C
解：因奇平方數(shù)模8余1，偶平方數(shù)模4余0，若2012為兩數(shù)平方和，即，而2012模8余4，模4余0。則只能為偶數(shù).記，化為，而503模8余7則無論為奇數(shù)或偶數(shù)都不能滿足條件.故k≥3.
當k=3時，設，則同上分析可知只能為偶數(shù).記，化為.而503模8余7則無論為奇數(shù)或偶數(shù)都不能滿足條件.
故k≥4. 當k=4時，設，當都為奇數(shù)時，或都為偶數(shù)時有可能成立，可以找到一組解
因此，k的最小值為4.
二．填空題
1． 51
2． 82 正中央所形成的四邊形也為正方形，邊長為，所以有
即，所以。
3．解：
個球隊，淘汰賽每打一場則會淘汰一個球隊，最后只剩下冠軍隊，所以有場比賽。
單循環(huán)賽每個球隊都有跟其它個隊打一場有場，但是每一場都算了兩次所以有場，，現(xiàn)在共有61支球隊，所以
4．解：
自分別做軸的垂線，那么與相似，
則，，那么
即，故有
5．解：或
左邊，右邊
原式可得：，令則可得，即
得：或，所以或
6．解：3組
由根與系數(shù)的關系得，再由題中關系式得
，即
（1）若，則。
（2）若則，于是所以或，即有如下三組的值滿足條件
或或，則與之對應的兩根為或或共三組
三．解答題
1．解：
（1）
因為，開口向上，對稱軸
所以當時，有最小值，當 時，有最大值
（2）將二次函數(shù)整理成
令，將代入，則
經(jīng)過驗證點滿足函數(shù)表達式，所以該二次函數(shù)圖象經(jīng)過一個定點，坐標為。
（3）由（2）的結(jié)論，再由開口向上，可以知道該二次函數(shù)圖象必與軸有兩個交點，
將代入表達式，得到相應的函數(shù)值為，要想兩交點的橫坐標均小于，
只需要
所以。
2． 解：如圖，過點作，連結(jié)，易得為正三角形，所以，又，，，，
又由對稱性可知關于對稱，且，所以為等邊三角形，即。
3．解：人數(shù)若不超過人，費用至多元，所以，兩個旅游團的總?cè)藬?shù)超過人.
又，知兩個旅游團總?cè)藬?shù)為人.
設兩個旅游團人數(shù)分別為人、人.由，知中至少有一個大于.又由，可知與不會都大于.
若一個旅游團超過人，另一個旅游團不足人時，門票總錢數(shù)至多為。
于是，可以斷定有一個旅游團人數(shù)不超過人，另一個旅游團人數(shù)超過人但不超過人.
不妨設，，則有.
解得，，即兩個旅游團的人數(shù)分別為41人和71人.
座位號
學?！　　　　　　　　　　士甲C號　　　　　　　　　　　姓名
　　……………..………….密………………..…………….封……………………………..線…………………….

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