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高考數學中涂色問題的常見解法及策略
與涂色問題有關的試題新穎有趣,近年已經在高考題中出現，其中包含著豐富的數學思想。解決涂色問題方法技巧性強且靈活多變，因而這類問題有利于培養學生的創新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發學生的智力。本文擬總結涂色問題的常見類型及求解方法
一.區域涂色問題
根據分步計數原理，對各個區域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。
用5種不同的顏色給圖中標①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？
分析：先給①號區域涂色有5種方法，再給②號涂色有4種方法，接著給③號涂色方法有3種，由于④號與①、②不相鄰，因此④號有4種涂法，根據分步計數原理，不同的涂色方法有
根據共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數，再用加法原理求出不同的涂色方法種數。
例2、四種不同的顏色涂在如圖所示的6個區域，且相鄰兩個區域不能同色。
分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類：
（1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有；
（2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有；
（3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有；
（4）③與⑤同色、② 與④同色，則有；（5）②與④同色、③與⑥同色，則有；
所以根據加法原理得涂色方法總數為5=120
例3、如圖所示，一個地區分為5個行政區域，
現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，
現有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？
分析：依題意至少要用3種顏色
當先用三種顏色時，區域2與4必須同色，
區域3與5必須同色，故有種；
當用四種顏色時，若區域2與4同色，
則區域3與5不同色，有種；若區域3與5同色，則區域2與4不同色，有種，故用四種顏色時共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有+2=24+224=72
根據某兩個不相鄰區域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數，再用加法原理求出不同涂色方法總數。
例4用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個區域內，每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？
分析：可把問題分為三類：
四格涂不同的顏色，方法種數為；
有且僅兩個區域相同的顏色，
即只
有一組對角小方格涂相
同的顏色，涂法種數為
；
兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數為，
因此，所求的涂法種數為
根據相間區使用顏色的種類分類
例5如圖， 6個扇形區域A、B、C、D、E、F，現給這6個區域著色，要求同一區域涂同一種顏色，相鄰的兩個區域不得使用同一種顏色，現有4種不同的顏色可解（1）當相間區域A、C、E著同一種顏色時，
有4種著色方法，此時，
B、D、F各有3種著色方法，
此時，B、D、F各有3種著色方法
故有
種方法。
（2）當相間區域A、C、E著色兩不同的顏色時，有種著色方法，此時B、D、F有種著色方法，故共有種著色方法。
（3）當相間區域A、C、E著三種不同的顏色時有種著色方法，此時B、D、F各有2種著色方法。此時共有種方法。
故總計有108+432+192=732種方法。
說明：關于扇形區域區域涂色問題還可以用數列中的遞推公來解決。
如：如圖，把一個圓分成個扇形，每個扇形用紅、白、藍、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？
解：設分成n個扇形時染色方法為種
（1） 當n=2時、有=12種，即=12
（2）當分成n個扇形，如圖，與不同色，與 不同
色，，
與不同色，共有種染色方法， 但由于與
鄰，所以應排除與同色的情形；與同色時，可把、 看成一個扇形，與前個扇形加在一起為個扇形，此時有種染色法，故有如下遞推關系：
二.點的涂色問題
方法有：（1）可根據共用了多少種顏色分類討論，（2）根據相對頂點是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉化成區域涂色問題。
例6、將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是多少？
解法一：滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。
（1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。
（2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。
（3）若恰用五種顏色染色，有種染色法
綜上所知，滿足題意的染色方法數為60+240+120=420種。
解法二：設想染色按S—A—B—C—D的順序進行，對S、A、B染色，有種染色方法。
由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數，故分類討論：
C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是
解法三：可把這個問題轉化成相鄰區域不同色問題：如圖，
對這五個區域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？
二.線段涂色問題
對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：
根據共用了多少顏色分類討論
根據相對線段是否同色分類討論。
例7、用紅、黃、藍、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色　，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？
解法一：（1）使用四顏色共有種;
　　（2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有種，
　　（3）使用二種顏色時，則兩組對邊必須分別同色，有種
　　　　因此，所求的染色方法數為種
解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的順序進行，對AB、BC涂色有種涂色方法。
由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數，故分類討論：　當CD與AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇CD與AB不同色時，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD、DA涂色有種涂色方法。
由乘法原理，總的涂色方法數為種
　　　　例8、用六種顏色給正四面體的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？
解：（1）若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有種方法。
（2）若恰用四種顏色涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內對棱涂同色，但組與組之間不同色，故有種方法。
（3）若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有種方法。
（4）若恰用六種顏色涂色，則有種不同的方法。
綜上，滿足題意的總的染色方法數為種。
三.面涂色問題
例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？
分析：顯然，至少需要3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進行討論
解：根據共用多少種不同的顏色分類討論
（1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側面，則其余3個面有3！種涂色方案，根據乘法原理
（2）共用五種顏色，選定五種顏色有種方法，必有兩面同色（必為相對面），確定為上、下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側面，此時的方法數取決于右側面的顏色，有3種選擇（前后面可通過翻轉交換）
；(3)共用四種顏色,仿上分析可得
；(4)共用三種顏色,
例10、四棱錐，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？
解：這種面的涂色問題可轉化為區域涂色問題，如右圖，區域1、2、3、4相當于四個側面，區域5相當于底面；根據共用顏色多少分類：
最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時有種；
當用4種顏色時，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，此時有；故滿足題意總的涂色方法總方法交總數為
用三種不同的顏色填涂如右圖3方格中的9個區域，要求
每行、每列的三個區域都不同色，則不同的填涂方法種數共有（ D ）
A、48、 B、24 C、12 D、6
“立幾”中的計數問題求解策略
在近幾年的高考試題和各地模擬試題中頻繁出現以“立幾”中的點、線、面的位置關系為背景的計數問題，這類問題題型新穎、解法靈活、多個知識點交織在一起，綜合性強，能力要求高，有一定的難度，它不僅考查相關的基礎知識，而且注重對數學思想方法和數學能力的考查。現結合具體例子談談這種問題的求解策略。
直接求解
例1：從平面上取6個點，從平面上取4個點，這10個點最多可以確定多少個三棱錐？
解析: 利用三棱錐的形成將問題分成平面上有1個點、2個點、3個點三類直接求解共有個三棱錐
例2: 在四棱錐P-ABCD中，頂點為P，從其它的頂點和各棱的中點中取3個，使它們和點P在同一平面上，不同的取法有 A.40 B. 48 C. 56 D. 62種
解析: 滿足題設的取法可以分成三類
在四棱錐的每一個側面上除P點外取三點有種不同取法；
在兩個對角面上除點P外任取3點，共有種不同取法；
過點P的每一條棱上的3點和與這條棱異面的棱的中點也共面，共有種不同取法,故共有40+8+8=56種
評注：這類問題應根據立體圖形的幾何特點，選取恰當的分類標準，做到分類不重復、不遺漏。
結合“立幾”概念求解
例3: 空間10個點無三點共線，其中有6個點共面，此外沒有任何四個點共面，則這些點可以組成多少個四棱錐？
解析:
結合“立幾”圖形求解
如果把兩條異面直線看作“一對”，那么六棱錐的棱和底面所有的12條直線中，異面直線有：A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 B
用正五棱柱的10個頂點中的5個頂點作四棱錐的5個頂點，共可得多少個四棱錐？
分類：以棱柱的底面為棱錐的底面 ;
以棱柱的側面為棱錐的底面
以棱柱的對角面為棱錐的底面
以圖中(梯形)為棱錐的底面
構造幾何模型求解
在正方體的8個頂點的所有連線中，有多少對異面直線？
與空間不共面的四點距離相等的平面有多少個？
（05年湖北）以平面六面體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為
A. B. C. D. A
在知識的網絡交匯點初設計命題是近幾年高考命題改革強調的重要觀念之一，在復習備考中，要把握好知識間的縱橫聯系和綜合，使所學知識真正融會貫通，運用自如，形成有序的網絡化知識體系。
對于已知直線a,如果直線b同時滿足下列三個條件: ① 與直線a異面;② 與直線a所成的角為定值;③ 與直線a的距離為定值d.那么這樣的直線b有
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 無數條
2. 如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
3. 設四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面去截這個四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面
A. 不存在 B. 只有1個 C. 恰有4個 D. 有無窮多個
4. 如圖,點分別是四面體的頂點或棱的中點,那么在同一平面上的四點組共有 個
5. 在正方體的一個面所在的平面內,任意畫一條直線,則與它異面的正方體的棱的條數是
6. 正方體的8個頂點中任取4個不在同一平面上的頂點組成的二面角為的大小可能值有 個.
答案
D 2. B 3. D 4. 33 5. 4或6或7或8 6. 8個
②
①
③
④
①
②2
③
④
⑤
⑥
2
4
3
1
5
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
⑤
⑤
EMBED Equation.DSMT4 ⑤
⑤
⑤
⑤
S
C
D
A
B
5
3
2
1
4
A
B
C
D
P

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