資源簡(jiǎn)介

高中數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化運(yùn)算的小技巧
高中的題型中，思維難度最大的是數(shù)列和不等式，其次是函數(shù)，函數(shù)比較活，要靠平時(shí)積累。然而會(huì)做高難度題型顯然是不夠的，很多人栽在時(shí)間不夠和計(jì)算失誤上。在高考有限的時(shí)間內(nèi)能盡可能擠出時(shí)間去解決高難度題型是得高分的關(guān)鍵之一。下面推薦幾個(gè)方法，可以減少不少運(yùn)算，而且能有效提高計(jì)算準(zhǔn)確率。
假如能在高考中節(jié)約10分鐘，那都是異常寶貴的，更不用說(shuō)提高計(jì)算準(zhǔn)確率了。
注意：下面這些方法是高中沒(méi)有講的，在做題時(shí)一定注明用到的定理方法名稱(chēng)。否則遇到鉆牛角尖的改卷老師，只能白吃虧。
一.立體幾何
（強(qiáng)烈建議學(xué)會(huì)這個(gè)方法，其他的如果覺(jué)得理解困難可以不掌握。）
行列式簡(jiǎn)化運(yùn)算（大概減少5分鐘運(yùn)算）
在涉及法向量的計(jì)算時(shí)用行列式會(huì)非常簡(jiǎn)潔。
二階行列式
（即對(duì)角線(xiàn)乘積之差）
三階行列式
可以按照某一行或者某一列展開(kāi)（習(xí)慣按照行展開(kāi)）
（即某個(gè)元素乘以剔除這個(gè)元素所在行和列后所得的新行列式，注意第二個(gè)展開(kāi)式前面是負(fù)號(hào)，這里是最容易錯(cuò)的）
立體幾何里要用到向量乘法擴(kuò)展。
1.求平面法向量
做立體幾何的試題的模式化操作無(wú)非是建立直角坐標(biāo)系，然而有點(diǎn)難度的題都會(huì)考法向量的應(yīng)用，平常解方程組的方法求法向量非常麻煩，還要討論方向。但用這個(gè)方法非常簡(jiǎn)便，能節(jié)省不少時(shí)間。（大一開(kāi)始就要學(xué)這個(gè)，其實(shí)高中就應(yīng)該學(xué)。）
這是行列式最有用最簡(jiǎn)潔的地方
設(shè)方程組求解需要解三元一次方程還要指定一個(gè)變量為定值，比較麻煩而且容易出錯(cuò)。
下面的方法簡(jiǎn)單且容易記憶。
設(shè) 是 =( 1, 1, 1)， =( 2, 2, 2)所成的平面的法向量
則（ ， ， 是坐標(biāo)軸單位向量）
按第一行展開(kāi)，就求得 的向量表達(dá)式
當(dāng)然，還可以寫(xiě)成更簡(jiǎn)單的坐標(biāo)形式。
求出的法向量最好把長(zhǎng)度提出來(lái)寫(xiě)成單位向量乘以長(zhǎng)度， 即的形式，計(jì)算時(shí)直接算單位向量 要方便得多。
因?yàn)槟诚蛄?在單位向量 的方向的投影就是
步驟： =行列式=行列式展開(kāi)式=坐標(biāo)式=
順便說(shuō)一下| |=| || | < , >。（顯然，若 = ，則 , 共線(xiàn)，等效 = ）
的大小等于 ， 所成平行四邊形的面積
（這個(gè)就是向量積 = × ，也叫外積，向量積 是一個(gè)向量，而且垂直于 ， 。物理上的洛倫茲力表達(dá)式就是這個(gè)關(guān)系。
最后關(guān)于法向量 的方向：（ = × ）
右手定則：右手除了大拇指的其余四指，指頭所指的方向從向量 的方向彎向向量 的方向，彎過(guò)的角度小于180度，大拇指所在方向就是 的方向。
有時(shí)候二面角不容易判斷是鈍角還是銳角，要確定法向量的具體方向，在平面的哪一側(cè)。
可見(jiàn)使用向量外積可以直接確定法向量的精確坐標(biāo)，而設(shè)方程還要進(jìn)行方向的討論，非常麻煩。
2.求平行六面體體積
假設(shè) =( 1, 1, 1)， =( 2, 2, 2)， =( 3, 3, 3)，求 ， ， 組成的平行六面體體積 。
（行列式再加絕對(duì)值）
（混合積( × ) ，它的大小等于 ， ， 組成的平行六面體體積，高中生完全可以推出這個(gè)結(jié)論。解題時(shí)寫(xiě)到混合積……）
3.求三角形面積
設(shè) =( 1, 1, 1)， =( 2, 2, 2)，求 ， 所成三角形面積 。 因?yàn)?=1/2| || | < , >=1/2| |
所以按照上面的，先求出 ，再算 的大小，最后除以2。
（上面解題時(shí)寫(xiě)到向量積……）
如果是二維（平面）坐標(biāo)就更加簡(jiǎn)單了，已知 =( 1, 1)， =( 2, 2)，可看作三維坐標(biāo)下 ≡0，( × ) (0,0,1)，即三角形面積數(shù)值上等于高為1的平行六面體體積的1/2。
即
若已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出2個(gè)向量，按照這種方法很快就能求解，避免了大量的運(yùn)算。
這個(gè)可轉(zhuǎn)化為求三棱柱體積、三棱錐體積、四棱錐體積。
三棱柱體積等于平行六面體體積的1/2
三棱錐體積等于平行六面體體積的1/6（棱錐體積等于相應(yīng)棱柱體積的1/3 四棱錐體積等于平行六面體體積的1/3
二.解析幾何
解析幾何的思維難度不大，重點(diǎn)是簡(jiǎn)化運(yùn)算。下面給出幾個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，能大概簡(jiǎn)化3到5分鐘運(yùn)算。
高中解析幾何一般就涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題
1.拋物線(xiàn)切線(xiàn)
若拋物線(xiàn)是 = 2，則求導(dǎo)求切線(xiàn)更容易。
2.關(guān)于何時(shí)消 ，
一般來(lái)說(shuō)消 就行了
以下幾種情況會(huì)事半功倍
(1)雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)口朝哪根軸就消那個(gè)
這樣可以避免直線(xiàn)垂直曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸時(shí)的討論
例：拋物線(xiàn)為 2=2 ，直線(xiàn)設(shè) = + 最佳（不平行 軸）。
(2)直線(xiàn)交坐標(biāo)軸于 ，與圓錐曲線(xiàn)交于 ( 1, 1) ( 2, 2)， 分 的比為 。
若 在 軸上則消
若 在 軸上則消
因?yàn)檫@樣，比如：若 在 軸上， 1=± 2，簡(jiǎn)化運(yùn)算。
3.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交線(xiàn)長(zhǎng)度
設(shè)直線(xiàn) = + 與圓錐曲線(xiàn) 2+ 2+ + + =0
消去 后得到 2+ + =0 一般我們常常會(huì)用到
如果按照韋達(dá)定理帶入表達(dá)式計(jì)算，那樣容易出錯(cuò)。其實(shí)很容易證明：
比如，交線(xiàn)長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)公式
消去 后得到 2+ + =0
由于是個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，前面最好寫(xiě)上直線(xiàn)設(shè)成 = + 時(shí)同理，注意此時(shí)斜率為1/ 。
4.幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算或提供思考方向
圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)（第一定義）、三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)……不一一舉例
*我就說(shuō)一些不常見(jiàn)的，有點(diǎn)難的。關(guān)于幾個(gè)初中定理的反推（這幾個(gè)定理本來(lái)就是充分必要條件，只是在初中只講充分條件的部分），主要用于提供思考方向，一般對(duì)很難的問(wèn)題來(lái)說(shuō)可能有些幫助。
(1)初中的切割線(xiàn)定理，反之若那種情形的比值條件成立，則相應(yīng)的直線(xiàn)與圓相切。
(2)初中的圓周角相等定理，反之，即三點(diǎn)，2定點(diǎn)，1動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)與而定點(diǎn)所成的角為定值，則這三點(diǎn)在一個(gè)圓上，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓。
三．求極限0/0和∞/∞型
求極限的簡(jiǎn)便方法，我推薦大家最好掌握，萬(wàn)一遇到抽筋的極限可以輕松解決。
在一般的不定型極限里也是事半功倍。 ( ) / ( )是0/0和∞/∞型（只有這2種時(shí)才能用） ( ) / ( )= ′( ) / ′( )
注意：后者無(wú)窮時(shí)前者也無(wú)窮，后者擺動(dòng)時(shí)前者可能還存在極限。
例： →1， 2 / 1有極限，求這個(gè)極限。
一般的做法要求出 ，而這個(gè)做法就可以繞過(guò)它。 上下分別求導(dǎo)得 →1 2 1= →12 =2
當(dāng)然這是小兒科級(jí)別，對(duì)于一般難求的極限，這個(gè)法則的作用就大了，求導(dǎo)一般來(lái)說(shuō)可以降次，從而有效簡(jiǎn)化運(yùn)算。
注意：解大題時(shí)寫(xiě)上由洛必達(dá)法則……
四.求導(dǎo)
求導(dǎo)有比較多的簡(jiǎn)化方法。其中只說(shuō)隱函數(shù)求導(dǎo)法則
一個(gè)函數(shù)，例如拋物線(xiàn)： 2=2 ( >0)，也可以寫(xiě)成。
前者就是隱函數(shù)，后者就是顯函數(shù)。 是一個(gè)關(guān)于 的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知，所以對(duì) ( )求導(dǎo) ′( ) ′。 兩邊求導(dǎo)2 ′=2 ， ′= ，代入，即得
如果對(duì)于關(guān)系復(fù)雜的顯函數(shù)求導(dǎo)，比如，求導(dǎo)比較痛苦。
然而如果我們用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，兩邊取對(duì)數(shù) =1/2( | 1|+ | 2| | 3|)
兩邊求導(dǎo)
代入
上面類(lèi)似的根式形式都可以用這個(gè)做法。
這個(gè)東西考得比較少，可以不掌握。但建議掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法則，在解某些物理題時(shí)，隱函數(shù)數(shù)求導(dǎo)是事半功倍的，詳見(jiàn)后面《高中物理的一些概念闡明、基本結(jié)論及計(jì)算技巧》。

展開(kāi)更多......

收起↑