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數列通項公式的求法
各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。本文總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。
一、觀察法
范例：根據數列的前幾項，寫出它的一個通項公式
⑴ 3，33，333，…… ⑵ ……
解： ⑴∴
⑵觀察各項的符號是“+”“-”號相間，用表示各項符號。
點評：這類問題主要是觀察數列中的與項數n的關系，發現規律，寫出通項。
二、定義法
直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目．
范例．等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，．求數列的通項公式.
解：設數列公差為
∵成等比數列，∴，
即
∵， ∴………………………………①
∵ ∴…………②
由①②得：，
∴
點評：利用定義法求數列通項時要注意不用錯定義，設法求出首項與公差（公比）后再寫
二、利用和的關系求的通項公式
要點：已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式
求解。
當n =1時，=s1成立，則兩式合一
范例．已知數列的前項和滿足．求數列的通項公式。
解：由
當時，有
……，
經驗證也滿足上式，所以
點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并．
三、由遞推式求數列通項法
對于遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。
類型1 遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
范例 已知數列滿足，，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，
即
所以
由，
類型2 （1）遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
范例. 已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又，
變式：已知， ，求。
解：
。
類型3 遞推式：
1、當 a=p a+q（p≠1，pq≠0）
解法：可轉化為特殊數列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的遞推式均可通過待定系數法對常數q分解法：設a+k=p（a+k）與原式比較系數可得pk－k=q，即k=，從而得等比數列{a+k}。
范例1：數列{a}滿足a=1，a=a+1（n≥2），求數列{a}的通項公式。
解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，
∴數列{ a－2}是以為公比，－1為首項的等比數列
∴a－2=－（） ∴a=2－（）
說明：這個題目通過對常數1的分解，進行適當組合，可得等比數列{ a－2}，從而達到解決問題的目的。
范例2：數列{a}滿足a=1，,求數列{a}的通項公式。
解：由得
設a，比較系數得解得
∴{}是以為公比，以為首項的等比數列
∴
點評：求遞推式形如（p、q為常數）的數列通項，可用迭代法或待定系數法構造新數列來求得,也可用“歸納—猜想—證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型．
2、當為n的一次式時，可轉化為特殊數列{a+An+B}的形式求解
范例．設數列：，求.
解: 設
整理得
∴2A=2且-3A+2B=-1,得A=1，B=1
設則,又，故代入（１）得
本題也可由 ,（）兩式相減得轉化為進而求出
說明：若為的二次式，則可設利用代定系數法進而求解
3、 當時，則遞推公式為（其中p，q均為常數）
解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：
從而化歸為（p、q為常數）型．
范例1：已知數列滿足， ，求．
解：將兩邊同除，得
設，則．令
．條件可化成，數列是以為首項，為公比的等比數列．．因,
．
范例2：已知數列中，,，求。
解：在兩邊乘以得：
令，則,應用例7解法得：
所以
類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解法：先把原遞推公式轉化為
其中s，t滿足，再應用前面類型3的方法求解。
范例1：已知數列中，,,，求。
解：由可轉化為
即或
這里不妨選用（當然也可選用），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即
又，所以。
范例2 數列中，，求數列的通項公式。
解：由得設
比較系數得，解得或
若取，則有
∴是以為公比，以為首項的等比數列
∴
由逐差法可得
=
==
類型5 雙數列型
解法：根據所給兩個數列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。
范例. 已知數列中，；數列中，。當時，,，求,.
解：因
所以
即…………………………………………（1）
又因為
所以……
.即………………………（2）
由（1）、（2）得：，
*四、特征根法
1、設已知數列的項滿足,其中求這個數列的通項公式。作出一個方程則當時，為常數列，即，其中是以為公比的等比數列，即.
范例．已知數列滿足：求
解：作方程
當時，
數列是以為公比的等比數列.于是
2、對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。
范例：已知數列滿足，求數列的通項公式。
解法一（待定系數——迭加法）
由，得
，
且。
則數列是以為首項，為公比的等比數列，于是
。把代入，得
，
，
，
……
。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：數列：， 的特征方程是：。
,
。
又由，于是
故
3、如果數列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數列。
范例1：
數列求數列的通項公式.
解：由已知，得，其特征方程為，解之，得
，
，
。
范例2、已知數列滿足性質：對于且求的通項公式.
解: 數列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有
∴
∴
即

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