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《第1章
集合與邏輯》章節復習
【內容提要】（教材23頁）
１、集合的概念與表示：
（1）
集合是一些確定對象的全體．集合中的元素具有確定、無序、不重復的特征；常用數
集有、、、等；
（2）空集是不含任何元素的集合；
（3）當時，滿足的所有實數組成的集合記作開區間，滿足
的所有實數組成的集合記作閉區間等；
2、集合的關系與運算：
（1）子集關系可分為兩類：真子集與相等的集合；
（2）集合與的交集是這兩個集合的所有公共元素所組成的集合；記作：；集合
與的并集是這兩個集合的所有元素所組成的集合，記作：；
（3）相對于全集，其任一子集犃均有補集．一個集合的補集是指在全集中而不在中的全體元素所組成的集合，記作：；
3、命題：
（1）命題是指能判斷其真假的語句．
（2）
命題有真、假兩類．
4、充分條件與必要條件：
（1）
當αβ
時，α是β的充分條件；β是α的必要條件；
（2）
當αβ
時，α是β的充要條件；此時，在推理過程中α與β能互相替換；
5、反證法，是指通過否定結論，推出矛盾，進而證明結論成立的證明方法；
【典例例析】
題型1、集合的有關概念
例1、若集合中的三個元素可構成某個三角形的三條邊長，則此三角形一定不是（
）
A．直角三角形
B．銳角三角形
C．鈍角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根據集合中元素的互異性可知，正確；給取特值可知，不正確.
【詳解】根據集合中元素的互異性可知，，所以此三角形一定不是等腰三角形，故正確；
當時，三角形為直角三角形，故不正確；
當時，三角形為銳角三角形，故不正確；
當時，三角形為鈍角三角形，故不正確；
故選：D.
【說明】本題考查了集合中元素的互異性，屬于基礎題.
題型2、集合間的關系
例2、設集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，則M與N之間有什么關系？
【解析】集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.
【說明】一般地，對于較為復雜的兩個或兩個以上的集合，要判斷它們之間的關系，應先確定集合中元素的形式是數還是點或其他，屬性如何．然后將所給集合化簡整理，弄清每個集合中的元素個數或范圍，再判斷它們之間的關系。
題型3、集合間的關系與運算
例3、集合，，，
，則下面正確的是（
）
A．
B．
C．
D．
【提示】根據集合中元素的特點判斷即可；
【答案】D
【解析】對于集合，當時，則，與B集合中元素相同；
當時，則，與集合C中元素相同；
當時，則，與集合D中元素相同；
所以.
故選：D
【說明】本題考查集合間的基本關系判斷，解答的關鍵在于分析清楚各集合中元素的規律，較簡單.
題型4、集合的有關概念、關系與運算的綜合
例4、（1）已知命題“若，則”是真命題，集合滿足，集合滿足.下列判斷正確的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由題意可得出是成立的充分條件，再根據充分條件與集合的包含關系可得出合適的選項.
【詳解】由于命題“若，則”是真命題，則是成立的充分條件，
因為集合滿足，集合滿足，.
故選：B.
（2）下列五個關系式：①；②；③；④；⑤，其中正確的序號是___
【答案】①③⑤
【分析】由元素與集合、集合與集合間的關系逐個判斷即可得解.
【詳解】
對于①，由可得，故①正確；
對于②，為單元素集，中不含元素，所以，故②錯誤；
對于③，由元素與集合的關系可得，故③正確；
對于④、⑤，、均為集合，所以，故④錯誤，⑤正確.
故答案為：①③⑤.
【說明】本題考查了元素與集合、集合與集合間關系的判斷，屬于基礎題.
題型5、分類討論思想在集合中的應用
例5、（1）若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值組成的集合；
（2）若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可取值組成的集合.
【解析】（1）P＝{－3,2}．當a＝0時，S＝?，滿足S?P；[2分]
當a≠0時，方程ax＋1＝0的解為x＝－
,[4分]
為滿足S?P可使－＝－3或－＝2，
即a＝或a＝－.[6分]
故所求集合為{0，，－}．[7分]
（2）當m＋1>2m－1，即m<2時，B＝?，滿足B?A；[9分]
若B≠?，且滿足B?A，如圖所示，
則即∴2≤m≤3.[13分]
故m<2或2≤m≤3，即所求集合為{m|m≤3}．[14分]
【方法歸納】在解決兩個數集關系問題時，避免出錯的一個有效手段即是合理運用數軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數的不等式(或方程)時，要對參數進行討論，分類時要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對于每一類情況都要給出問題的解答；
【易錯提醒】（1）容易忽略a＝0時，S＝?這種情況；（2）想當然認為m＋1<2m－1忽略“>”或“＝”兩種情況。
題型6、充要條件的判斷
例6、給出下列命題，試分別指出p是q的什么條件．
（1）、p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
（2）、p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等．
（3）、p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實根．
（4）、p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等．
【解析】（1）∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，∴p是q的充分不必要條件．
（2）∵兩個三角形相似兩個三角形全等；但兩個三角形全等?兩個三角形相似．
∴p是q的必要不充分條件．
（3）∵m<－2?方程x2－x－m＝0無實根；方程x2－x－m＝0無實根m<－2.
∴p是q的充分不必要條件．
（4）∵矩形的對角線相等，∴p?q；而對角線相等的四邊形不一定是矩形，∴qp.
∴p是q的充分不必要條件；
題型7、充要條件的證明
例7、設a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.
【證明】（1）必要性：設方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
則x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，
兩式相減可得x0＝，將此式代入x＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，
（2）充分性：∵∠A＝90°，
∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①
將①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
將①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故兩方程有公共根x＝－(a＋c)．
所以方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°；
【方法歸納】有關充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結論，由“條件”?“結論”是證明命題的充分性，由“結論”?“條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環節：一是充分性；二是必要性．
題型8、集合與邏輯中的轉化與化歸思想
例8、
(14分)已知兩個關于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求兩方程的根都是整數的充要條件．
【解析】∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
∴m≠0.
[2分]
另一方程為x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，兩方程都要有實根，
∴
解得m∈[－，1]．
[6分]
∵兩根為整數，故和與積也為整數，
∴，
[10分]
∴m為4的約數，∴m＝－1或1，當m＝－1時，
第一個方程x2＋4x－4＝0的根為非整數，
而當m＝1時，兩方程均為整數根，
∴兩方程的根均為整數的充要條件是m＝1.
[14分]
【方法歸納】本題涉及到參數問題，先用轉化思想將生疏復雜的問題化歸為簡單、熟悉的問題解決，兩方程有實根易想Δ≥0.求出m的范圍，要使兩方程根都為整數可轉化為它們的兩根之和與兩根之積都是整數；
【易錯提醒】易忽略一元二次方程這個條件隱含著m≠0，不易把方程的根都是整數轉化為兩根之和與兩根之積都是整數；
題型9、正難則反或數形結合判斷充要條件
例9、“”是“或”的(
)
A．充分非必要條件
B．必要非充分條件
C．充要條件
D．既非充分又非必要條件
【提示】根據命題的等價命題，結合充分性、必要性的定義、特例法進行判斷即可.
【答案】A
【解析】命題若“”，則“或”的等價命題是：
若“且”，則“”，
當“且”成立時，顯然成立，
當時，不一定能推出且，
例如，滿足，但且不成立，
因此“且”是“”的充分不必要條件，
所以“”是“或”的充分不必要條件.
故選：A
【說明】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了等價命題的應用；試一試：利用直角坐標系“數形結合”解之。
題型10、反證法
例10、已知與均為正有理數，且與均為無理數．證明：也是無理數．
【提示】先假設為有理數，推導出為有理數，與已知條件矛盾，由此證得也是無理數．
【解析】假設為有理數，則有，而，所以仍為有理數．所以應為有理數．從而為有理數，與已知條件矛盾．
故假設不成立，所以也是無理數．
【說明】當直接推導不易得出結論時，可以用反證法證明．反證法的格式為：假設結論不成立，即其否定成立，由此推理得出的結論與已知條件（或定理）矛盾，說明假設不成立，原命題正確。
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