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集合五問
集合是現代數學中一個原始的、不加定義的概念。教材上給出“集合”的概念，只是對集合描述性的說明。初次接觸集合感到比較抽象，難以把握。實質上，集合元素的三個性質是我們解決集合有關概念問題的重要依據。子集、真子集的定義是解決兩個集合之間關系的法寶。下面通過五個問題對同學們容易忽略的知識進行解答，以期對同學們有所幫助。
一問：你已掌握集合概念中所描述的集合的全體性了嗎？
例1：函數y=x2+x-1的定義域為（ ）。
①｛R｝ ②｛一切實數｝ ③ R ④｛實數｝ ⑤ 實數
A ①② B ②③
C ③④ D ④⑤
分析：任何一個實數都能使函數y=x2+x-1有意義，故函數的定義域應為全體實數。所以③正確。R與一切實數都表示一個整體，它們是一個集合，放在大括號內是表示以集合為元素的單元素集，所以①②不正確。④表示實數的全體，正確。⑤表示元素，不正確。
答案：C
點評：用符號｛｝表示集合時，它表示大括號內元素的全體。在表示定義域時，大括號內的元素應是使函數有意義的實數，而不應該是一個集合。
二問：用描述法表示集合時，你注意到代表元素的代表性了嗎？
例2：設集合A=｛x│y=x2-1｝，B=｛y│y=x2-1｝，C=｛（x，y）│y=x2-1｝，D=｛y=x2-1｝
分別寫出集合A、B、C、D的意義，A表示 ，B表示 ，C表示 ，D表示 。
分析：集合表示的是代表元素的全體，豎線后面表示代表元素滿足的條件，故A表示自變量x的全體是函數的定義域，B表示因變量y的全體是函數的值域，C表示滿足函數的點的全體是函數的圖像，D是用列舉法表示以方程y=x2-1為元素的單元素集。
答案：A表示函數的定義域，
B表示函數的值域，
C表示函數的圖像，
D表示以方程y=x2-1為元素的單元素集。
點評：集合的代表元素規定了集合的類型。
三問：你注意到集合元素的互異性了嗎？
例3：設集合A=｛1，3，a｝，B=｛1，a2－a＋1｝，若BA，求a的值。
分析：因為BA，所以B中的元素1，a2－a＋1都是A中的元素，但是要考慮到元素的互異性。
解答：因為B HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 A，故可分兩種情況：
⑴ 由a2－a＋1=3，解得a=－1，。2，經檢驗符合題意。
⑵ 由a2－a＋1=a，解得a=1，此時A中元素有重復，不滿足集合元素的互異性，舍掉a=1。
綜上所述：a=－1，或a=2。
點評：集合元素的互異性是檢驗解出的未知數的值是否符合題意的重要依據。
四問：集合與集合之間不能使用屬于符號嗎？
例4：設集合A=｛a，b｝,B=｛x│xA｝,C=｛x│xA｝。
則 B= ，
C= ，
A C（填集合A與C的關系）。
分析：因為集合B的代表元素xA，所以x的全體為a、b，故A=B。又因為集合C的代表元素x HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 A，即x是A的子集，所以x的全體為、｛a｝、｛b｝、｛a、b｝。
解答：B=｛a，b｝，
C=｛、｛a｝、｛b｝、｛a、b｝｝，
AC。
點評：在特殊情況下，一個集合是另一個集合的子集，集合與集合的之間也可以用符號“ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ”。
五問：特殊集合，你給予格外關注了嗎？
例5：已知A=｛x│x2－2x－3=0｝,B=｛x│ax－1=0｝,若BA，求a的值。
分析：因為BA，所以可分兩種情況：B= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 和B≠進行討論。
解答：因為A=｛x│x2－2x－3=0｝=｛－1，3｝，且BA，
所以 ⑴當B=，即方程ax－1=0無解時，a=0。
⑵當B HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即B=時,
若=-1時，則a=-1,滿足B HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 A,
若=3時，則a=,滿足BA.
綜上可知：a=-1或a= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 。
點評：當已知BA,千萬不要忘記B=的情況。

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