資源簡介

一　今天我當家——小數乘法
一、小數乘整數
1.小數乘整數的意義。
小數乘整數的意義與整數乘法的意義相同,都是求幾個相同加數的和的簡便運算。
如2.5×6,表示6個2.5的和是多少。
2.小數乘整數的計算方法。
(1)按照小數乘整數的意義計算:求幾個相同加數的和是多少。
如3.1×3,就是把3個3.1相加,即3.1+3.1+3.1=9.3。
(2)把小數乘法轉化成整數乘法計算。
如3.1×3中的3.1可以看成是3.1元,即31角,然后按照整數的乘法列豎式計算。
因為是在單位換算情況下完成的計算,所以要把積“93角”換成以“元”為單位的,是9.3元,即9.3為最終結果。
(3)利用積的變化規律直接列豎式計算。
將小數轉化為整數,按整數乘法算出積,根據因數擴大到原來的倍數,將算得的積縮小相同的倍數,點上小數點。
如
即小數乘整數先按整數乘法計算,再看小數中有幾位小數,就從積的右邊起數出幾位,點上小數點。如計算1.25×4,先算125×4=500,由于因數1.25中有兩位小數,就從積的右邊起數出兩位,點上小數點,即1.25×4=5.00=5。
若積的小數位數不夠時,要在積的前面用0補足。如計算0.0125×4,先算125×4=500,由于因數0.0125中有四位小數,此時積的小數位數不足四位,要用0補足,即0.0125×4=0.05。
3.整數乘小數的意義與計算方法。
(1)第二個因數是小數的乘法意義與整數乘法的意義不同。當第二個因數是純小數時,可以理解為求一個數的幾分之幾是多少。
如6×0.9,0.9表示9個十分之一,即,故可理解為求6的是多少。
(2)計算整數乘小數時,先按照整數乘法的計算法則算出積,再看因數中共有幾位小數,積就有幾位小數。如4×0.25=1.00=1。
注意:乘得的積的末尾有“0”時,要先點小數點,再根據小數的性質去掉小數末尾的“0”。
二、小數乘小數
1.小數乘小數的計算,同小數乘整數、整數乘小數一樣,先按整數乘法計算出結果,再看這兩個因數中一共有幾位小數,就從積的右邊起數出幾位,點上小數點。
2.積的小數位數與因數的小數位數的關系:兩個因數中一共有幾位小數,積就有幾位小數。
3.小數乘小數的一般計算方法。
(1)先按整數乘法算出積,再給積點上小數點。
(2)給積點小數點時,可以看因數中一共有幾位小數,就從積的右邊起數出幾位,點上小數點。
(3)當積的小數位數不夠時,要在積的前面用“0”補足,再點小數點。
4.比較小數乘積的大小。
a×b=c(a≠0),當b<1時,c1時,c>a;當b=1時,c=a。即當一個非0自然數乘比1小的數,積比這個數小;當一個非0自然數乘比1大的數,積比這個數大。
三、積的近似值
1.用“四舍五入”法求積的近似值。
(1)保留整數,即精確到個位,就要看十分位。若十分位滿5,就要向個位進1,否則舍去。如1.7×0.9=1.53≈2(保留整數)。
(2)保留一位小數,即精確到十分位,就要看百分位。若百分位滿5,就要向十分位進1,否則舍去。如5.02×1.7=8.534≈8.5(保留一位小數)。
(3)保留兩位小數,即精確到百分位,就要看千分位。若千分位滿5,就要向百分位進1,否則舍去。如0.11×0.53=0.0583≈0.06(保留兩位小數)。
2.小數乘法取近似值的方法。
(1)先按照小數乘法的計算方法進行計算,再根據需要,對乘積用“四舍五入法”保留一定的位數。
(2)有時還要根據實際情況合理保留近似值,如人民幣最小的單位是“分”,在計算需要多少元錢的問題時,通常只算到“分”,即得數保留兩位小數即可。
如黃瓜每千克1.02元,媽媽買了1.8千克,一共需要多少元?
按照小數乘整數的計算方法可以算出一共需要1.02×1.8=1.836(元),但是在收付現款時,通常只需要算到“分”,所以結果需保留兩位小數,即1.84元。
四、小數四則混合運算
1.小數四則混合運算的運算順序與整數相同。
在只有同級的運算中,要從左往右依次計算;在沒有括號的算式里,有第一級運算和第二級運算,要先算第二級運算,再算第一級運算;在有括號的算式里,先算括號里面的,再算括號外面的。
2.整數乘法的運算律對于小數同樣適用。
乘法交換律:兩數相乘,交換兩個因數的位置,積不變。
乘法結合律:三個數相乘,先把前兩個數相乘,或者先把后兩個數相乘,積不變。
乘法分配律:一個數與兩個數的和相乘等于把這個數分別與兩個數相乘,再把積相加。
　0.25×4.78×4
=0.25×4×4.78→(乘法交換律)
=1×4.78
=4.78
　0.65×201
=0.65×(200+1)
=0.65×200+0.65×1→(乘法分配律)
=130+0.65
=130.65
小數乘整數可以按照小數乘整數的意義轉化成加法來計算。此方法不適用于相對復雜的計算,如43.8×11。
易錯警示:
積的末尾有“0”時,要先點小數點,再根據小數的性質去掉小數末尾的“0”。整數末尾的“0”不能去掉。
小數乘小數,積的變化規律仍然適用:一個因數擴大到原來的m(m≠0)倍,另一個因數擴大到原來的n(n≠0)倍,則積擴大到原來的m×n倍;一個因數縮小到原來的(m≠0),另一個因數縮小到原來的(n≠0),則積縮小到原來的。
易錯警示:
求積的近似值時常出現以下幾種錯誤:一是沒有根據實際情況取積的近似值;二是取了近似值,但還是用的“=”,而不是用“≈”;三是取近似值時,近似值末尾有“0”,此時小數末尾的“0”不能去掉。
易錯警示:
在小數四則混合運算中,暫時沒有計算到的部分,必須按原式抄寫下來,不可遺漏,也不能顛倒,否則會造成計算錯誤。
在小數四則混合運算中,有時可以運用運算律進行簡便計算,做題時要根據具體情況,靈活選擇合理的算法。
牢記25×4=100,125×8=1000,并依據積的變化規律(如0.25×4=1)做到在簡便運算中熟練應用。
二　圖案美——對稱、平移與旋轉
一、軸對稱圖形
1.定義。
將圖形沿著一條直線對折,如果直線兩側的部分能夠完全重合,這樣的圖形叫作軸對稱圖形,折痕所在的這條直線叫作它的對稱軸。
軸對稱圖形中,有的只有1條對稱軸,有的不止1條對稱軸。
正方形:4條　長方形:2條　菱形:2條
等腰直角三角形:1條　等邊三角形:3條　圓:無數條
2.畫對稱軸。
(1)找出軸對稱圖形的任意一組對稱點;(2)連接對稱點;(3)畫出對稱點所連線段的垂直平分線(經過某一條線段的中點,并且垂直于這條線段的直線,叫作這條線段的垂直平分線),就可以得到該圖形的對稱軸。
3.畫圖形的另一半,使之成為軸對稱圖形。
(1)先在圖形中找到幾個關鍵點;(2)根據每個點到對稱軸的距離找到這些點的對稱點;(3)最后把這些點連起來。
二、平移
1.定義。
平移是指在平面內,將一個圖形上所有的點都按照同一個方向移動相同的距離,這樣的運動叫作圖形的平移運動,簡稱平移。
2.性質。
(1)圖形平移前后的形狀和大小沒有變化,只是位置發生變化。
(2)新圖形與原圖形的對應點所連的線段平行(或在同一直線上)。
3.平移的兩個要素。
一是平移要有方向;二是平移要移動一定的距離,兩者缺一不可。
4.平移畫圖的步驟。
(1)分析要求,確定平移方向和平移的距離。
(2)分析原圖形,確定關鍵點。
(3)畫出關鍵點的對應點,標注相應的字母。
三、旋轉
1.定義。
在平面內,將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一定的角度,這樣的運動叫作圖形的旋轉。這個定點叫旋轉中心,這個方向叫旋轉方向,旋轉的角度稱為旋轉角。旋轉中心、旋轉方向、旋轉角是圖形旋轉的三要素。
2.順時針旋轉和逆時針旋轉。
與時針旋轉方向相同的是順時針旋轉;與時針旋轉方向相反的是逆時針旋轉。
圖1　　　　圖2
圖1中圖形圍繞O點按順時針方向旋轉了90°;圖2中圖形圍繞O點按逆時針方向旋轉了90°。
3.旋轉的特點、性質與畫圖。
特點:(1)圖形的旋轉是由旋轉中心和旋轉的角度決定的;(2)旋轉過程中,旋轉中心始終保持不動;(3)旋轉過程中,旋轉的方向是相同的;(4)旋轉停止時,圖形上每個點的旋轉角度是一樣的;⑤旋轉不改變圖形的大小和形狀。
性質:(1)對應點到旋轉中心的距離相等;(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;(3)旋轉前、后的圖形大小相等。
旋轉畫圖的步驟和方法:(1)確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角;(2)找出圖形的關鍵點;(3)將圖形的關鍵點和旋轉中心連接起來,然后按旋轉方向分別將它們旋轉一個旋轉角度數,得到這些關鍵點的對應點;(4)按原圖形順次連接這些對應點,所得到的圖形就是旋轉后的圖形。
古今中外,有許多著名建筑也是對稱的。
故宮
黃鶴樓
埃菲爾鐵塔
泰姬陵
物體在平移的過程中,各個部分移動的距離都是一樣的。平移的過程中,圖形自身的方向始終沒有發生變化。
旋轉90°的方法:
(1)找出原圖形的關鍵點或關鍵線段。
(2)借助三角板或量角器畫原圖形關鍵點或線段與旋轉中心所在線段的垂線。
(3)在所畫垂線上量出或數出與原線段相等的長度(即找到原圖關鍵點的對應點)。
(4)順次連接所找到的對應點,即可得到原圖形旋轉90°后的圖形。
三　游三峽——小數除法
　一、小數除以整數
1.小數除法的意義。
小數除法的意義與整數除法的意義相同,都是已知兩個因數的積與其中的一個因數,求另一個因數的運算。
　　如9.84÷3的意義就是表示已知兩個因數的積9.84與其中的一個因數3,求另一個因數是多少的運算。　
2.除數是整數的小數除法的計算方法。
(1)除數是整數的小數除法,按照整數除法的法則計算。
(2)商的小數點要和被除數的小數點對齊。
(3)被除數的整數部分不夠商1時,要先在商的個位上寫0,點上小數點后再除。
(4)如果除到被除數的末尾仍有余數,就在余數的后面添“0”繼續除。
如22.4÷4=5.6,1.8÷12=0.15。
3.
整數除法中不能除盡的計算方法。
整數除法中,除到個位不能除盡時,應在商的個位數字后點上小數點,余數添“0”繼續除。如15÷4=3.75。　　　
4.
商大于1還是小于1的判斷方法。
被除數大于除數,商大于1;被除數小于除數,商小于1;被除數等于除數,商等于1。
二、除數是小數的除法
1.除數是小數的除法。
利用商不變的性質將除數轉化成整數,同時被除數擴大相同的倍數,然后按照除數是整數的方法去除。如
2.除數是小數的豎式計算方法。
(1)計算思路:利用商不變的性質,使除數變成整數。
(2)計算方法:
①移動除數的小數點,使它變成整數;
②除數的小數點向右移動幾位,被除數的小數點也向右移動幾位(位數不夠的,在被除數的末尾用“0”補足);
③按照除數是整數的小數除法進行計算。
如計算7.004÷0.68。
　　除數是兩位小數,要擴大到原來的100倍,除數的小數點向右移動兩位,被除數的小數點也向右移動兩位。
然后按照除數是整數的小數除法進行計算。
3.商與被除數的大小比較。(被除數≠0)
當除數大于1時,商小于被除數。
當除數小于1時,商大于被除數。
當除數等于1時,商等于被除數。
4.小數除法中商的變化規律。
(1)兩個數相除,被除數擴大或縮小,除數不變,商也擴大或縮小相同的倍數。如0.12÷0.3=0.4→1.2÷0.3=4。
(2)兩個數相除,除數擴大或縮小,被除數不變,商則縮小或擴大相同的倍數。如0.12÷0.3=0.4→0.12÷3=0.04。
三、商的近似值
(1)商的近似值。
實際中有時不需要用精確的數描述一個量,如求錢數只需要計算到“分”或“元”,這時就要根據需要用“四舍五入法”保留一定的位數,求出商的近似值。
(2)求商的近似值的方法。
求商的近似值,一般先除到比需要保留的小數位數多一位,再按照“四舍五入法”取商的近似值。
例:一個玩具廠試制了35架玩具飛機,共花費1560元。平均每架玩具飛機花費多少元?
由題列式:1560÷35=44.571…(元)
計算時發現,如果除下去,永遠除不完。而現實生活中最小的人民幣單位是“分”,因此商保留兩位小數就夠了。計算時只需除到商的小數點后第三位即可。
保留兩位小數:1560÷35≈44.57(元)
保留一位小數:1560÷35≈44.6(元)
保留整數:1560÷35≈45(元)
(3)求商的近似值與求積的近似值的相同點與不同點。
相同點:都要用到“四舍五入法”,并且都要看保留那一位的下一位。
不同點:求積的近似值,要先算出積的精確值,再求近似值;求商的近似值,不需求出商的精確值,只要求出要保留的下一位就可以了。
四、有限小數、無限小數與循環小數
有限小數:小數部分的位數是有限的小數,如2.125。
無限小數:小數部分的位數是無限的小數,如
3.1818…
循環小數:像58.3333…,2.86363…,2.1756756…,小數部分從某一位起,一個數字或者幾個數字依次不斷地重復出現,這樣的小數叫作循環小數。
循環節:一個循環小數的小數部分,依次不斷重復出現的數字,如5.6060…的循環節是“60”,2.466…的循環節是“6”。
寫循環小數時,可以只寫一個循環節。如果循環節只有一位時,在它的上方點一個圓點;如果循環節超過一位時,就在這個循環節的首位和末位數字上方分別點一個圓點。
如2.466…=2.4;5.6060…=5.;2.1756756…=2.15。
求循環小數的近似值的方法:先把循環小數多補充幾位,再運用“四舍五入法”按要求求出近似值。
易錯點:用豎式計算小數加減法時,必須對齊小數點;但是在計算乘法時,要末尾對齊;計算除法時,商的小數點要和被除數的小數點對齊。
巧記小數除法的計算方法:
小數除法不難算,
數點對齊是關鍵。
整數部分不夠除,
商0再點小數點。
末位如果有余數,
添0再把商來算。
要想驗證商對錯,
除數乘商來驗算。
商不變的性質:被除數和除數同時乘或除以相同的數(0除外),商不變。
計算口訣:一看(除數是幾位小數),二移(用商不變的性質移動小數點),三算(按除數是整數的方法計算)。
求商的近似值時,如果小數末尾有“0”,則末尾的“0”不能去掉。
在解決問題的時候,有時還會根據實際情況選擇“進一法”和“去尾法”求商的近似值。
循環小數:①必須是無限小數;②小數部分必須依次不斷地重復出現一個數字或幾個數字。
循環小數一定是無限小數,無限小數不一定是循環小數。
四　走進動物園——簡易方程
一、方程
1.用字母表示數。
在數學中,可以用字母表示任何一個數,用字母表示數可以簡明運算律或表達問題中的數量關系,還可以用字母表示未知數。如用a、b、c分別表示三個數,則運算律表示為:
加法交換律:a+b=b+a
加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交換律:a×b=b×a
乘法結合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c
2.方程。
含有未知數的等式叫作方程。方程必須具備兩個條件:①含有未知數;②必須是等式。
如20+x=50、3x=27、5x+9=54、a÷9=8等都是方程。30+x、3x+1>5、x-12.5<5、3+6.5=9.5等不是方程。
3.看圖列方程的方法。
(1)弄清已知數和未知數之間的關系;(2)找出題中的等量關系,列出方程。
二、利用等式的性質解方程(一)
1.等式的性質1。
等式兩邊同時加上或減去同一個數,等式仍然成立。如x=50→x+20=50+20;a=b→a-c=b-c。
2.方程的解及解方程。
使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫作方程的解。
求方程的解的過程叫解方程。
3.利用等式的性質1解方程。
例:　　　x+20=100
解:
x+20-20=100-20(方程兩邊同時減20)
x=80
檢驗:方程左邊=x+20
=80+20
=100
=方程右邊
所以,x=80是方程x+20=100的解。
三、利用等式的性質解方程(二)
1.等式的性質2。
等式兩邊同時乘或除以同一個數(0不作除數),等式仍然成立。如x=50→x×2=50×2;50=4a→50÷4=4a÷4。
2.利用等式的性質2解方程。
例:　　3x-2=4
解:
3x-2+2=4+2(方程兩邊同時加2)
3x=6
3x÷3=6÷3(方程兩邊同時除以3)
x=2
檢驗:方程左邊=3x-2
=3×2-2
=4
=方程右邊
所以,x=2是方程3x-2=4的解。
四、列方程解應用題
1.列方程解應用題的方法和步驟。
(1)審題(弄清已知數和未知數之間的關系);
(2)寫出等量關系式,可以借助線段圖分析;
(3)找出等量關系式中的未知數;
(4)根據等量關系式列出方程;
(5)解方程;
(6)檢驗并寫出答案。
2.列方程常用的數量關系式。
(1)速度×時間=路程、路程÷速度=時間、路程÷時間=速度
(2)單價×數量=總價、總價÷單價=數量、總價÷數量=單價
(3)工作效率×工作時間=工作總量、工作總量÷工作效率=工作時間、工作總量÷工作時間=工作效率
3.列方程與算術方法解應用題對比。
列方程解應用題是一種不同于算術解法的新的解題方法,兩者解法的不同點:
列方程解應用題:
(1)未知數用字母表示,參與列式;
(2)根據題意找出等量關系,列出含有未知數的等式,也就是方程。
用算術方法解應用題:
(1)未知數不參與列式;
(2)根據已知數和未知數之間的關系,確定解題步驟,再列式計算。
列方程解應用題的優越性體現在可以使未知數直接參與運算。
等式包含方程,方程也屬于等式,方程是特殊的等式。
等式的性質1可簡記為同加同減。
檢驗的過程就是把求出的未知數的值代入原方程,看左右兩邊是否相等。
等式的性質2可簡記為同乘同除。
設未知數的方法有兩種:
一種是直接設未知數,即求什么就設什么;
另一種是間接設未知數,當直接設未知數不易列出方程時,就設與要求相關的間接未知數。
易錯警示:
(1)列方程解應用題,設未知數時一定要帶上單位名稱。
(2)方程的解不要帶單位名稱。
(3)在答句中要把單位名稱寫清楚。
五　生活中的多邊形——多邊形的面積
一、平行四邊形的面積
1.用割補法求平行四邊形的面積。
方法一:用剪刀過平行四邊形的一個頂點,沿著平行四邊形底邊上的高剪開,剪成一個三角形和一個直角梯形,把三角形拼在直角梯形的右邊,使平行四邊形變成一個長方形。
方法二:用剪刀沿平行四邊形的一條高剪開,剪成兩個直角梯形,平移后拼合,使平行四邊形變成一個長方形。
觀察拼出的長方形和原來的平行四邊形,發現平行四邊形的底等于長方形的長,平行四邊形的高等于長方形的寬,平行四邊形的面積等于長方形的面積。
2.平行四邊形的面積公式。
　　　　　平行四邊形的面積=底×高
　↓　
　　
　↓
　↓
　　　　　　　長方形的面積=長×寬
用S表示平行四邊形的面積,a表示底,h表示高,則平行四邊形的面積公式為S=ah。
二、三角形的面積
1.求三角形的面積。
拼接法1:
兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。
觀察拼成的平行四邊形和原來的三角形,三角形的底和高分別是平行四邊形的底和高,三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半。
拼接法2:用剪刀沿三角形兩邊中點的連線剪開,也可以拼成一個平行四邊形。
觀察拼成的平行四邊形和原來的三角形,三角形的面積等于平行四邊形的面積。
2.三角形的面積公式。
由上面的拼接可知,三角形的面積=底×高÷2。如果用S表示三角形的面積,a表示三角形的底,h表示三角形的高,那么三角形的面積計算公式為S=ah÷2。
三、梯形的面積
1.求梯形的面積。
(1)兩個完全相同的梯形可以拼成一個平行四邊形。
梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。
(2)用剪刀沿梯形兩腰中點的連線剪開,也可以拼成一個平行四邊形。
梯形的面積等于拼成的平行四邊形的面積。
2.梯形的面積公式。
由上面的拼接可知,梯形的面積=(上底+下底)×高÷2。如果用S表示梯形的面積,a表示梯形的上底,b表示梯形的下底,h表示梯形的高,那么梯形的面積計算公式為S=(a+b)h÷2。
四、組合圖形的面積。
1.計算組合圖形面積的方法。
(1)分割法:將組合圖形分成幾個基本圖形,求幾個基本圖形面積的和。
(2)添補法:將組合圖形補成一個基本圖形,求大小兩個基本圖形面積的差。
(3)割補法:將組合圖形的一部分剪割下來,拼補成一個基本圖形,直接求基本圖形的面積。
五、公頃、平方千米
(1)相鄰面積單位之間的進率是100。
1平方米=100平方分米　　　　1
m2=100
dm2
1平方分米=100平方厘米　　　1
dm2=100
cm2
1平方厘米=100平方毫米　　　1
cm2=100
mm2
1平方千米=100公頃　　　　　1
km2=100
hm2
(2)邊長是100米的正方形,面積是1公頃。
1公頃=10000平方米　
1平方千米=1000000平方米=100公頃
平行四邊形的面積公式中,底和高必須是對應的。
把長方形框架拉成平行四邊形,周長不變,面積變小。
三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。
計算圓木、鋼管等的根數:(頂層根數+底層根數)×層數÷2
求組合圖形的面積時,可以把組合圖形分成幾個基本圖形,再把這幾個基本圖形的面積加起來;或者從一個基本圖形面積里減去另外一個或幾個基本的圖形面積,所得的差就是這個組合圖形的面積。
　　
相鄰兩個面積單位之間的進率是100。高級單位換算成低級單位,乘進率;低級單位換算成高級單位,除以進率。
六　團體操表演——因數與倍數
一、因數與倍數
1.因數與倍數的意義。
如果a×b=c(a、b、c都是不為0的整數),我們就說a和b都是c的因數,c是a和b的倍數。
2.找因數和倍數的方法。
(1)找一個數的因數,可以利用積與因數的關系一對一對地找。如12的因數有1,12,2,6,3,4。也可從最小的因數1找起,一直找到它本身。如12的因數有1、2、3、4、6、12,共6個。
(2)找一個數的倍數,可以用這個數分別乘自然數1、2、3……如2的倍數有2×1=2,2×2=4,2×3=6……
注意:
(1)一個數的因數中,最小的因數是1,最大的因數是它本身,所以它的因數的個數是有限的。
(2)一個數的倍數的個數是無限的,最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數。
(3)因數與倍數是相互依存的,不能單獨地說某個數是倍數,某個數是因數。
二、2、3、5的倍數的特征
1.
2、5的倍數的特征。
(1)個位上是0、2、4、6、8的數都是2的倍數。
(2)個位上是0或5的數都是5的倍數。
(3)是2的倍數的數叫作偶數,不是2的倍數的數叫作奇數。
偶數的個位上是0、2、4、6、8,奇數的個位上是1、3、5、7、9。0是最小的偶數,1是最小的奇數。
2.
3的倍數的特征。
一個數各個數位上數的和是3的倍數,這個數就是3的倍數。
三、質數與合數
1.
質數與合數的意義。
(1)一個數,只有1和它本身兩個因數,這樣的數叫質數(或素數)。如3、7、13等都是質數。
(2)一個數,除了1和它本身外還有其他的因數,這樣的數叫合數。如4、9、12等都是合數。
(3)1只有一個因數,它既不是質數,也不是合數。
2.
判斷一個數是質數還是合數的方法。
先找各數的因數,再根據質數和合數的意義去判斷。如果只有1和它本身兩個因數,它就是質數;如果有三個或三個以上的因數,它就是合數。
質數與奇數是本質不同的兩個概念,一是從能否被2整除來斷定某數是否為奇數;一是從含有因數個數來斷定某數是否為質數。因此,奇數不一定是質數,質數也不一定是奇數。
合數與偶數也是兩個不同的概念,分析原理同上,牢記2是唯一的偶質數。
3.
質因數、分解質因數。
(1)質因數的意義:每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式,其中每個質數都是這個合數的因數,叫作這個合數的質因數。
(2)分解質因數:把一個合數用質數相乘的形式表示出來,叫作分解質因數。如6=2×3,24=2×2×2×3。
(3)分解質因數的方法。
①逐步分解法:先把合數分解成較小數的乘積,再把其中的合數進行分解,直到所有因數都是質數為止。　　
②分解質因數時,通常用短除法。先用一個能整除這個合數的質數去除(一般從最小的開始),如果得出的商是質數,就把除數和商寫成相乘的形式;如果得出的商是合數,就繼續除下去,直到得出的商是質數為止;再把各個除數和最后的商寫成連乘的形式。
例:
只有在因數和積都是整數的情況下,才能討論因數和倍數的概念。
為了避免一些不必要的麻煩,研究因數和倍數的時候,一般將0排除在外。
注意:0也是偶數。
最小的合數是4;最小的質數是2,它也是唯一的偶質數。沒有最大的質數和合數,質數和合數的個數是無限的。
按因數個數把自然數分為質數、合數和1;按能否被2整除的特征把自然數分為奇數和偶數。
分解質因數時不能有1,因為1不是質數。
用短除法分解質因數時,一定要除到所得的商為質數為止。
七　綠色家園——折線統計圖
一、折線統計圖
1.折線統計圖的特點。
(1)折線統計圖是用一個單位長度表示一定的數量,根據數量的多少描出各點,然后把各點用線段順次連接起來,以折線的上升或下降來表示統計數量增減變化的統計圖。
(2)優點:折線統計圖不但可以表示出數量的多少,而且能夠清楚地表示數量增減變化的情況。
2.條形統計圖與折線統計圖的區別。
(1)觀察下面的條形統計圖可以發現,條形統計圖能夠清楚直觀地表示出數量的多少。
2006—2012年中國青少年機器人大賽參賽隊伍統計圖
(2)觀察下面的折線統計圖可以發現,折線統計圖不僅能表示出數量的多少,通過折線的起伏還能清楚地表示出數量增減變化的情況。
2006—2012年中國青少年機器人大賽參賽隊伍統計圖
3.
繪制折線統計圖的方法和步驟。
(1)根據統計的數據,畫出互相垂直的縱軸和橫軸。①在橫軸上等間隔地標注項目,并在橫軸尾端標注項目名稱。②在縱軸上標注數據刻度,使得最大刻度能表示最大數據,并在縱軸頂端標注單位。
(2)根據數量的多少找到對應的橫軸和縱軸的交點,并標上數據,按照同樣的方法根據數據大小描出其他各點。
(3)在各點旁注明數據,順次連接相鄰的兩個點。
(4)寫出折線統計圖的名稱、日期。
如小丁上學期五次數學測驗成績統計表的繪制:
4.折線統計圖與條形統計圖的繪制區別。
條形統計圖是用直條的高低長短表示數據的大小,折線統計圖是在每一項目的豎線上描點表示數據的大小,描完點后用線段把這些點順次連接起來。
5.折線統計圖的分析。
分析折線統計圖時,要重點注意分析數據在什么時間達到最多或最少;數據上升和下降的時間段及變化快慢情況;哪兩個時間段的數據相比變化的趨勢明顯一些。
根據折線走勢看數據變化趨勢的方法:
①折線圖起始數據低,而終端數據較高,則數量呈上升趨勢;
②如果起始數據、中間數據、終端數據變化不大,則數量平穩;
③起始數據高,終端數據較低,數量呈下降趨勢。
二、折線統計圖的選擇
(1)條形統計圖能清楚地表示出每個項目的具體數目,且方便兩種數據的對比。如果數據之間相互獨立(不是描述同一項目的數據),應該選擇條形統計圖。
(2)折線統計圖能清楚地反映事物隨時間的變化趨勢,且方便兩種數據的對比。如果數據隨時間變化,則選擇折線統計圖。
條形統計圖適合用來表示數據之間相互獨立,不是同一項目的數據對比。
折線統計圖中的點表示數量,折線表示數量的增減變化情況。
折線統計圖既可以看到它每一部分的變化趨勢,也可以看到它的整體變化趨勢,每相鄰兩點間的線段越長,說明增減越大,也可以看出每一年的數量多少……
畫圖時注意:一“點”(描點)、二“連”(連線)、三“標”(標數據)。
數量是用多、少來形容;增減變化是用快、慢來形容。

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