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帶電粒子在有界磁場中的運動
一、帶電粒子在磁場中運動的分析方法
1．圓心的確定
帶電粒子進入一個有界磁場后的軌跡是一段圓弧，如何確定圓弧的圓心是解決問題的關鍵，確定圓心位置的一個最基本的思路是：圓心一定在與速度方向垂直的直線上。通常有兩種方法：
（1）已知入射方向和出射方向時，通過入射點和出射點分別作垂直于入射方向和出射方向的垂線，兩條直線的交點就是圓弧軌跡的圓心（如圖所示，圖中入射點P處和出射點M處的速度方向已知）。
（2）已知入射方向和出射點位置時，通過入射點作入射方向的垂線，再作入射點和出射點連線的中垂線，兩垂線的交點即為圓弧軌跡的圓心（如圖所示，圖中P為入射點，M為出射點）。
注意：圓心找到后，可畫出軌跡示意圖，無論是找圓心還是作軌跡示意圖，作圖時一定要認真、規范、克服隨意性，力求作圖準確，以有利于分析問題。
2．半徑的確定和計算
利用幾何關系，可求出帶電粒子的軌跡圓弧的半徑（或圓心角）。
如圖所示，若磁場寬度為l，偏轉位移為d，半徑為r，圓心角為θ，則有如下幾何關系：r2－l2＝(r－d)2 ， rsinθ＝l
一般利用上述關系即可求出r和θ。
注意：粒子速度的偏轉角φ等于圓弧軌跡所對的圓心角θ。
3．運動時間的確定
有兩種方法來求帶電粒子在磁場中的運動時間：
（1）粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧軌跡所對的圓心角為θ時，則其運動時間為：t＝T 或t＝T
（2）粒子的運動時間等于軌跡弧長與速率的比值，即△t=
4．圓周運動中的有關對稱規律
（1）粒子從某一直線邊界射入磁場后，又從同一邊界射出，則粒子的速度與邊界的夾角相等。（2）在圓形磁場區域內，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出。
二、帶電粒子在直線邊界磁場中的運動
這類問題的特點是：所涉及磁場的邊界或部分邊界是直線。如：
這類問題一般都是討論帶電粒子能飛出磁場的條件，粒子在磁場中運動的時間等等。
【例1】一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad長為L，現從ad中點O垂直于磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°，速度大小為v0的帶正電粒子，如圖所示，已知粒子的電荷量為q，質量為m（重力不計）。（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場，v0應滿足什么條件？（2）若要求粒子在磁場中運動時間最長，粒子應從哪一條邊界射出？出射點位于邊界上何處？最長時間為多少？
【分析】要粒子能從ab邊界射出，必須滿足兩點：①粒子的軌跡圓半徑不能太大，否則粒子會從cd邊射出磁場，因此粒子軌跡圓最多與cd邊相切； ②粒子的軌跡圓半徑不能太小，否則粒子會從ad 邊射出，因此粒子軌跡圓必須與ab邊相切或與ab邊相交。
【解】（1）當軌跡圓恰與cd邊相切時，是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最大的情況，設切點為Q1，易找到圓心O1，設此時半徑為R1。
由幾何知識可知，∠OO1Q1＝60°，則：R1cos60°＋＝R1 解得：R1＝L
當軌跡圓與ab邊相切時，是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最小的情況，設切點為Q2，易找到圓心O2，設此時半徑為R2，由幾何知識可知∠OO2Q2＝120°。
則R2sin30°＋R2＝ 解得：R2＝
故粒子從ab邊射出的條件是：軌跡圓半徑R滿足R2< R≤R1 ，即據 Bqv0＝ 得 v0＝ ∴（2）由粒子在磁場中運動的時間t＝·T可知，粒子在磁場區域內做勻速圓周運動的圓心角θ越大，粒子在磁場中運動的時間越長，由圖可知，粒子從cd邊射出，圓心角最大為60°；若粒子從ab邊射出，則圓心角最大為240°；粒子從ab邊射出，圓心角始終為300°，所以粒子從ad邊射出時，粒子在磁場中運動的時間最長，
最長時間tmax＝T＝
設此時出射點為P，由圖可知，P點是離O點距離最大的出射點，P到O的距離為：
PQ＝2R2sin30°＝ 所以出射點到O的距離不超過。
【啟迪】（1）確定粒子的運動軌跡， 軌跡可以是整個圓周，也可以是圓周的一部分（半圓、劣弧、優?。?br/>（2）確定圓心，利用幾何關系，求粒子運動的半徑。
（3）本題容易出現下列遺漏或錯誤：①不能正確分析粒子的運動軌跡，確定半徑和圓心角。②第一問中，要求粒子從ab射出v0應滿足的條件，容易只考慮到軌跡圓半徑的最大值，認為只要R≤L即可，而漏掉還必須滿足【例2】邊長為100cm的正三角形光滑且絕緣的剛性框架ABC固定在光滑的水平面上，如圖所示，內有垂直于框架平面B＝0.5T的勻強磁場，一質量為m＝2×10-4kg，帶電量為q＝4×10-3C的小球。從BC的中點小孔P處以某一大小的速度垂直于BC邊沿水平面射入磁場，設小球與框架相碰后不損失動能。求（1）為使小球在最短時間內從P點出來，小球的入射速度v1是多少？（2）若小球以v2＝1m/s的速度入射，則需要多少時間才能由小孔P處點出來？
【解析】（1）粒子在運動過程中與框架碰撞次數越少，運動時間就越短，由對稱性可知，粒子經AB、AC的中點反彈后恰好能從P點射出，這種情況下粒子與框架碰撞次數最少（僅兩次），粒子在磁場中運動時間最短，此時粒子的運動半徑是：R1＝0.5m
由Bqv1＝m得：v1＝＝5m/s
（2）據粒子運動軌跡的半徑分析粒子運動的軌跡特點，即可求出粒子運動的時間。
由Bqv2＝m得：R2＝＝0.1m
由R2=0.1m可知粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示，由圖可知粒子在磁場中運動了6.5個周期，故粒子運動時間為：
t＝6.5T＝6.5×＝4.1s
【啟迪】此類問題的處理方法是：根據題給條件和幾何關系確定粒子軌跡半徑，分析粒子運動的軌跡的特點，并注意利用軌跡的對稱性來確定粒子運動周期的數目。
三、帶電粒子在圓形邊界磁場中的運動
此類問題的特點是：所涉及磁場的邊界是圓，一般是要研究粒子在磁場中運動的時間，粒子能飛出磁場的條件，粒子在磁場中運動的偏轉角等問題。
【例1】如圖，一半徑為R的圓形勻強磁場區域，圓心為O，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度為B，距O點2R 處有一屏MN，MN垂直紙面放置，AO為垂直于屏的半徑，其延線與屏交于C，一個帶負電的粒子，以初速v0沿AC方向進入磁場區域，最后打在屏上D點，D、C相距，不計粒子重力。求：（1）粒子在磁場中運動的軌跡半徑和粒子荷質比。（2）粒子從A運動到D的時間。
【分析】在圓形磁場區域內，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出，由此可確定粒子射出磁場的位置。
【解】連接OD交磁場邊界于E，則E為粒子的出射點，找出粒子運動軌跡的圓心O1，設軌跡半徑為r。
tan∠COD＝＝ ∠COD＝60°∴∠AO1E＝60°
軌跡圓半徑r＝R ctg30°＝R
由Bqv0＝ 得：
（2）粒子從A到E的運動時間t1＝·＝ ， 粒子從E到D的運動時間t2＝＝ ∴粒子從A到D的運動時間t＝t1＋t2＝(3＋)
【例2】帶電粒子的質量為m，電量為q，以初速度v沿y軸正方向從原點O射入一半徑為r的圓形磁場區域后，又從磁場射出。圓形磁場垂直于xoy平面，磁場邊界過坐標原點O，磁感應強度為B，帶電粒子的重力不計，它在磁場中作勻速圓周運動，軌跡圓半徑R>r。（1）改變磁場區域的位置，可以改變帶電粒子穿越磁場時的速度偏轉角，為使偏轉角有最大值，該磁場區域的圓心應在什么位置，最大偏轉角多大？（2）為使帶電粒子從圓形磁場區域中射出后能通過ox軸上某點，該磁場區域半徑應滿足怎樣的條件？
【分析】粒子在磁場中作半徑為R的圓周運動，因磁場有界，磁場的位置不同，軌跡圓弧所對的弦長不同，弦長越大，偏轉角越大，當弦長為圓形磁場的直徑時，弦長最大，偏轉角最大。
【解】（1）設粒子的P點射出磁場時，偏轉角最大，則OP為磁場區域的直徑，磁場的圓心為OP中點O1（如圖所示），其坐標為：
x＝rcosα＝ y＝rsinα＝
設最大偏轉角為φ， 則sin＝ ∴φ＝2arc sin
（2）要粒子能通過ox軸，粒子的最大偏轉角φ必須大于，
即：2arcsin>，所以> 即： r>R
所以磁場區域的半徑r必須滿足r>R，才能使帶電粒子能通過ox軸上某點。
【啟迪】帶電粒子在磁場中運動的速度偏轉角等于軌跡圓弧所對的圓心角，了解軌跡圓弧所對的弦長最大時，速度偏轉角最大，是解決本題的關鍵，在圓形磁場區域中，軌跡圓弧所對的最長的弦即為圓形磁場的直徑。
四、確定有界磁場的邊界
此類問題的特點是根據帶電粒子在磁場中運動的特點研究有界磁場的邊界。
【例1】在xoy平面內有許多電子（每個電子質量為m，電量為e），從坐標原點O不斷地以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限?，F加上一個垂直于xoy平面的磁感應強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過該磁場后都平行于x軸正方向運動，試求出符合該條件的磁場的最小面積（不考慮電子之間的相互作用）。
【解析】電子在磁場中運動的半徑為R＝
由O點射入的所有電子中，沿y軸正方向射出的電子轉過圓周，速度變為沿x軸的正方向，這條軌跡即為最小磁場區域的上邊界。下面確定磁場區域的下邊界。
設某一電子離開磁場時，其速度方向變為沿x軸正方向，其出射點坐標為（x，y），如圖所示，由于出射點就是軌跡與磁場邊界的交點，故找出x、y的關系方程，即找出了磁場的邊界方程，設該電子初速度方向與x軸正方向成θ角，由圖中幾何關系可得：
x＝Rsinθ y＝R－Rcosθ
聯立兩式消去參數θ，可求出磁場區域的下邊界方程為：
x2＋(R－y)2＝R2 （x>0，y>0），這是一個圓方程，圓心在（0，R）處
所以最小的磁場區域為圖中兩條圓弧所圍成的區域，其面積為：
S＝2×(πR2－R2)＝＝
【啟迪】確定有界磁場的邊界一般有兩種途徑（1）通過分析一些特殊粒子的運動軌跡得出部分，如本題中磁場區域上邊界的確定。（2）研究一般粒子的運動，利用幾何知識求出其出射點坐標所滿足的關系方程，即得到磁場的邊界方程，如本題中磁場區域下邊界的確定就是利用這種方法。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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