資源簡介

江蘇省高考數學復習知識點按難度與題型歸納（數學應試筆記）
第I卷 160分部分
一、填空題
答卷提醒：重視填空題的解法與得分，盡可能減少失誤，這是取得好成績的基石!
A、1～4題，基礎送分題，做到不失一題！
A1.集合性質與運算
1、性質：
①任何一個集合是它本身的子集，記為；
②空集是任何集合的子集，記為；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同時，那么A = B．
如果．
【注意】：
①Z= {整數}（√） Z ={全體整數} （×）
②已知集合S 中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集．（×）
③ 空集的補集是全集．
④若集合A=集合B，則CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）．
2、若Ａ={}，則Ａ的子集有個，真子集有個，非空真子集有個.
3、
4、 De Morgan公式:；.
【提醒】：數軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具.
在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。
A2.命題的否定與否命題
*1.命題的否定與它的否命題的區別：
命題的否定是,否命題是.
命題“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”.
*2.常考模式：
全稱命題p：；全稱命題p的否定p：.
特稱命題p：；特稱命題p的否定p：.
A3.復數運算
*1.運算律：⑴； ⑵； ⑶.
【提示】注意復數、向量、導數、三角等運算率的適用范圍.
*2.模的性質：
⑴； ⑵； ⑶.
*3.重要結論：
⑴；
⑵； ⑶； ⑷，；
⑸性質：T=4；.
【拓展】：或.
A4.冪函數的的性質及圖像變化規律：
(1)所有的冪函數在都有定義，并且圖像都過點；
(2)時，冪函數的圖像通過原點，并且在區間上是增函數．特別地，當時，冪函數的圖像下凸；當時，冪函數的圖像上凸；
(3)時，冪函數的圖像在區間上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖像在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖像在軸上方無限地逼近軸正半軸．
【說明】：對于冪函數我們只要求掌握的這5類，它們的圖像都經過一個定點(0,0)和(0,1)，并且時圖像都經過(1,1)，把握好冪函數在第一象限內的圖像就可以了.
A5.統計
1.抽樣方法：
(1)簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機樣數表法)常常用于總體個數較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽取.
(2)分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異.共同點：每個個體被抽到的概率都相等（）.
2.總體分布的估計就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.
總體估計掌握：一“表”(頻率分布表)；兩“圖”(頻率分布直方圖和莖葉圖).
⑴頻率分布直方圖
用直方圖反映樣本的頻率分布規律的直方圖稱為頻率分布直方圖。頻率分布直方圖就是以圖形面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小.
①頻率=.
②小長方形面積=組距×=頻率.
③所有小長方形面積的和=各組頻率和=1.
【提醒】：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數據的大小，小矩形的面積表示頻率.
⑵莖葉圖
當數據是兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，即第二個有效數字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數據的圖叫做莖葉圖。
3.用樣本的算術平均數作為對總體期望值的估計；
樣本平均數：
4.用樣本方差的大小估計總體數據波動性的好差(方差大波動差).
(1)一組數據
①樣本方差 ；
②樣本標準差
=
(2)兩組數據與,其中,.則,它們的方差為,標準差為
③若的平均數為，方差為，則的平均數為，方差為.
樣本數據做如此變換：，則，.
B、(5～9，中檔題，易丟分，防漏/多解)
B1.線性規劃
1、二元一次不等式表示的平面區域：
（1）當時，若表示直線的右邊，若則表示直線的左邊.
（2）當時，若表示直線的上方，若則表示直線的下方.
2、設曲線（），則或所表示的平面區域：
兩直線和所成的對頂角區域（上下或左右兩部分）.
3、點與曲線的位置關系：
若曲線為封閉曲線（圓、橢圓、曲線等），則，稱點在曲線外部；
若為開放曲線（拋物線、雙曲線等），則，稱點亦在曲線“外部”.
4、已知直線，目標函數.
①當時，將直線向上平移，則的值越來越大；直線向下平移，則的值越來越小；
②當時，將直線向上平移，則的值越來越小；直線向下平移，則的值越來越大；
5、明確線性規劃中的幾個目標函數（方程）的幾何意義：
（1），若，直線在y軸上的截距越大，z越大，若，直線在y軸上的截距越大，z越小.
（2）表示過兩點的直線的斜率，特別表示過原點和的直線的斜率.
（3）表示圓心固定，半徑變化的動圓，也可以認為是二元方程的覆蓋問題.
（4）表示到點的距離.
（5）；
（6）；
（7）；
【點撥】：通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓x2+y2=1上的點及余弦定理進行轉化達到解題目的。
B 2.三角變換：
三角函數式的恒等變形或用三角式來代換代數式稱為三角變換．
三角恒等變形是以同角三角公式，誘導公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和積化和差公式，萬能公式為基礎．
三角代換是以三角函數的值域為根據，進行恰如其分的代換，使代數式轉化為三角式，然后再使用上述諸公式進行恒等變形，使問題得以解決．
三角變換是指角(“配”與“湊”)、函數名(切割化弦)、次數(降與升) 、系數(常值“1”) 和 運算結構(和與積)的變換，其核心是“角的變換”.
角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.
變換化簡技巧：角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設元轉化，引入輔角，平方消元等.
具體地：
（1）角的“配”與“湊”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，還應注意一些配湊變形技巧，如下：
，；
，；
；
；
，；
；
等.
（2）“降冪”與“升冪”（次的變化）
利用二倍角公式和二倍角公式的等價變形，，可以進行“升”與“降”的變換，即“二次”與“一次”的互化.
（3）切割化弦（名的變化）
利用同角三角函數的基本關系，將不同名的三角函數化成同名的三角函數，以便于解題.經常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.
（4）常值變換
常值可作特殊角的三角函數值來代換.此外，對常值 “1”可作如下代換：等.
（5）引入輔助角
一般的，，期中.
特別的，;
，
等.
（6）特殊結構的構造
構造對偶式，可以回避復雜三角代換，化繁為簡.
舉例：，
可以通過兩式和，作進一步化簡.
（7）整體代換
舉例：
，，可求出整體值，作為代換之用.
B 3.三角形中的三角變換
三角形中的三角變換，除了應用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點．
(1)角的變換
因為在中，（三內角和定理），所以
任意兩角和：與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.
銳角三角形：①三內角都是銳角；②三內角的余弦值為正值；
③任兩角和都是鈍角；④任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
即，；；．
；；.
(2)三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理．
面積公式：.
其中為三角形內切圓半徑，為周長之半．
(3)對任意，；
在非直角中，．
(4)在中，熟記并會證明：
*1.成等差數列的充分必要條件是．
*2.是正三角形的充分必要條件是成等差數列且成等比數列．
*3.三邊成等差數列；.
*4.三邊成等比數列,.
(5)銳角中, ，；
.
【思考】：鈍角中的類比結論
(6)兩內角與其正弦值：
在中，，…
(7)若，則.
B 4.三角恒等與不等式
組一
組二
……
組三 常見三角不等式
(1)若，則；
(2) 若，則；
(3) ；
(4)在上是減函數；
B5.概率的計算公式：
⑴古典概型：；
①等可能事件的概率計算公式：；
②互斥事件的概率計算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)；
③對立事件的概率計算公式是：P()=1－P(A)；
④獨立事件同時發生的概率計算公式是：P(A B)＝P(A) P(B)；
⑤獨立事件重復試驗的概率計算公式是：
(是二項展開式[(1－P)+P]n的第(k+1)項).
⑵幾何概型：若記事件A={任取一個樣本點，它落在區域}，則A的概率定義為
注意：探求一個事件發生的概率，常應用等價轉化思想和分解(分類或分步)轉化思想處理：把所求的事件轉化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉化為若干個互斥事件中有一個發生的概率；利用對立事件的概率，轉化為相互獨立事件同時發生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發生的概率，但要注意公式的使用條件. 事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件.
【說明】：條件概率：稱為在事件發生的條件下，事件發生的概率。
注意：①；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
B6. 排列、組合
（1）解決有限制條件的(有序排列，無序組合)問題方法是：
①直接法：
②間接法：即排除不符合要求的情形
③一般先從特殊元素和特殊位置入手.
（2）解排列組合問題的方法有：
①特殊元素、特殊位置優先法
元素優先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；
位置優先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。
②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）)。
③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。
④不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。
⑤多排問題單排法。
⑥多元問題分類法。
⑦有序問題組合法。
⑧選取問題先選后排法。
⑨至多至少問題間接法。
⑩相同元素分組可采用隔板法。
涂色問題先分步考慮至某一步時再分類.
（3）分組問題：要注意區分是平均分組還是非平均分組，平均分成組問題別忘除以.
B7.最值定理
①，若積，則當時和有最小值；
②，若和，則當是積有最大值.
【推廣】：已知，則有.
（1）若積是定值，則當最大時，最大；當最小時，最小.
（2）若和是定值，則當最大時，最小；當最小時，最大.
③已知，若，則有：
④，若則有：
B8.求函數值域的常用方法：
①配方法：轉化為二次函數問題，利用二次函數的特征來求解；
【點撥】：二次函數在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意開口方向和對稱軸與所給區間的相對位置關系.
②逆求法：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍，型如的函數值域；
④換元法：化繁為間，構造中間函數，把一個較復雜的函數變為簡單易求值域的函數，其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，通過代換構造容易求值域的簡單函數，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，如轉化為只含正弦、余弦的函數，再運用其有界性來求值域；
⑥不等式法：利用基本不等式求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，型如，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧；
⑦單調性法：根據函數的單調性求值域，常結合導數法綜合求解；
⑧數形結合法：函數解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據函數的幾何意義，如斜率、距離、絕對值等，利用數與形相互配合的方法來求值域；
⑨分離常數法：對于分子、分母同次的分式形式的函數求值域問題，把函數分離成一個常數和一個分式和的形式，進而可利用函數單調性確定其值域．
⑩判別式法：對于形如（,不同時為）的函數常采用此法．
【說明】：對分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：
1.型，可直接用不等式性質；
2.型，先化簡，再用均值不等式；
3.型，通常用判別式法；
4.型，可用判別式法或均值不等式法；
導數法：一般適用于高次多項式函數求值域.……
B9.函數值域的題型
(一) 常規函數求值域：畫圖像，定區間，截段.
常規函數有：一次函數，二次函數，反比例函數，指數對數函數，三角函數，對號函數.
(二) 非常規函數求值域：想法設法變形成常規函數求值域.
解題步驟：(1)換元變形；
(2)求變形完的常規函數的自變量取值范圍；
(3)畫圖像，定區間，截段。
(三) 分式函數求值域 ：四種題型
(1) ：則且.
(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍.
(3)：
，則且.
(4)求的值域，當時，用判別式法求值域。
，值域.
(四) 不可變形的雜函數求值域： 利用函數的單調性畫出函數趨勢圖像，定區間，截段.
判斷單調性的方法：選擇填空題首選復合函數法，其次求導數；大題首選求導數，其次用定義。詳情見單調性部分知識講解.
(五) 原函數反函數對應求值域：原函數的定義域等于反函數值域，原函數值域等于反函數定義域.
(六) 已知值域求系數：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知值域對照求字母取值或范圍.
B10.應用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：
⑴湊系數（乘、除變量系數）.例1.當 時，求函的數最大值.
⑵湊項（加、減常數項）：例2.已知 ，求函數的最大值.
⑶調整分子：例3.求函數的值域；
⑷變用公式：基本不等式有幾個常用變形： , ，，.前兩個變形很直接，后兩個變形則不易想到，應重視；例4.求函數的最大值；
⑸連用公式：例5.已知，求的最小值；
⑹對數變換：例6.已知，且，求的最大值；
⑺三角變換：例7.已知，且，求的最大值；
⑻常數代換（逆用條件）：例8.已知，且，求的最小值.
B11.“單調性”補了“基本不等式”的漏洞：
⑴平方和為定值
若（為定值，），可設，其中.
①在上是增函數，在上是減函數；
②在上是增函數，在上是減函數；
③.令，其中.由，得，從而在上是減函數.
⑵和為定值
若（為定值，），則
①在上是增函數，在上是減函數；
②.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是減函數，在上是增函數.
③在上是減函數，在上是增函數；
⑶積為定值
若（為定值，），則
①.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是增函數；
②.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是減函數；
③在上是減函數，在上是增函數.
⑷倒數和為定值
若（為定值，），則成等差數列且均不為零，可設公差為，其中，則得.
①.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是增函數，在上減函數；
②.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是減函數，在上是增函數；
③.令，其中且，從而在上是增函數，在上是減函數.
B12.理解幾組概念
*1. 廣義判別式
設是關于實數的一個解析式， 都是與有關或無關的實數且，則是方程有實根的必要條件，稱“”為廣義判別式.
*2. 解決數學問題的兩類方法：
一是從具體條件入手,運用有關性質,數據,進行計算推導,從而使數學問題得以解決；二是從整體上考查命題結構,找出某些本質屬性,進行恰當的核算,從而使問題容易解決,這一方法稱為定性核算法.
*3. 二元函數
設有兩個獨立的變量與在其給定的變域中中，任取一組數值時，第三個變量就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應，那末變量稱為變量與的二元函數.記作：. 其中與稱為自變量，函數也叫做因變量，自變量與的變域稱為函數的定義域.
把自變量、及因變量當作空間點的直角坐標，先在平面內作出函數的定義域；再過域中得任一點作垂直于平面的有向線段，使其值為與對應的函數值；
當點在中變動時，對應的點的軌跡就是函數的幾何圖形.它通常是一張曲面，其定義域就是此曲面在平面上的投影.
*4. 格點
在直角坐標系中，各個坐標都是整數的點叫做格點（又稱整數點）.在數論中，有所謂格點估計問題.在直角坐標系中，如果一個多邊形的所有頂點都在格點上，這樣的多邊形叫做格點多邊形.特別是凸的格點多邊形，它是運籌學中的一個基本概念.
*5. 間斷點
我們通常把間斷點分成兩類：如果是函數的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把稱為函數的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.
*6. 拐點
連續函數上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點.
如果在區間內具有二階導數，我們可按下列步驟來判定的拐點.
(1)求；
(2)令，解出此方程在區間內實根；
(3)對于(2)中解出的每一個實根，檢查在左、右兩側鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點.
*7.駐點
曲線在它的極值點處的切線都平行于軸，即.這說明，可導函數的極值點一定是它的駐點(又稱穩定點、臨界點)；但是，反之，可導函數的駐點，卻不一定是它的極值點.
*8. 凹凸性
定義在上的函數，如果滿足：對任意的都有，則稱是上的凸函數.定義在上的函數如果滿足：對任意的都有，則稱上的凹函數.
【注】：一次函數的圖像（直線）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等號成立）.
若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續曲線凹與凸部分的分界點稱為曲線的拐點.
B13. 了解幾個定理
*1. 拉格朗日中值定理:
如果函數在閉區間上連續，在開區間內可導，那末在內至少有一點，使成立.這個定理的特殊情形，即：的情形.描述如下：
若在閉區間上連續，在開區間內可導，且，那么在內至少有一點，使成立.
*2. 零點定理：
設函數在閉區間上連續，且．那么在開區間內至少有函數的一個零點，即至少有一點（＜＜）使．
*3. 介值定理：
設函數在閉區間上連續，且在這區間的端點取不同函數值，，那么對于之間任意的一個數，在開區間內至少有一點，使得（＜＜）．
*4. 夾逼定理：
設當時，有，且，則必有
【注】：：表示以為的極限，則就無限趨近于零．（為最小整數）
C、10～12，思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力
C1.線段的定比分點公式
設，，是線段的分點，是實數，且（或=），則
（）
推廣1：當時，得線段的中點公式：
推廣2：則（對應終點向量）．
三角形重心坐標公式：△ABC的頂點，重心坐標：
注意：在△ABC中，若0為重心，則，這是充要條件．
【公式理解】：
*1.λ是關鍵()
(內分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0)
若P與P1重合，λ=0 P與P2重合，λ不存在 P離P2 P1無窮遠，λ=
*2.中點公式是定比分點公式的特例；
*3.始點終點很重要，如若P分的定比λ=，則P分的定比λ=2；
*4.知三求一；
*5.利用有界性可求一些分式函數取值范圍；
*6.＝則是三點共線的充要條件.
C 2. 抽象函數
抽象函數通常是指沒有給出函數的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等）的函數問題.
求解抽象函數問題的常用方法是：
(1)借助模型函數探究抽象函數：
①正比例函數型：.
②指數函數型：.
③對數函數型：.
④冪函數型：,.
⑤三角函數型：,,,.
,.
（2）利用函數的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）進行演繹探究：
（3）利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。
C 3.函數圖像的對稱性
(1)一個函數圖像自身的對稱性
性質1：對于函數，若存在常數使得函數定義域內的任意，都有的圖像關于直線對稱.
【注】：亦然.
【特例】，當時，的圖像關于直線對稱.
【注】：亦然.
性質2：對于函數，若存在常數使得函數定義域內的任意，都有的圖像關于點對稱.
【特例】：當時，的圖像關于點對稱.
【注】：亦然.
事實上，上述結論是廣義奇(偶)函數的性質.
性質3：設函數，如果對于定義域內任意的，都有，則的圖像關于直線對稱.(這實際上是偶函數的一般情形)廣義偶函數.
性質4：設函數，如果對于定義域內任意的，都有，則的圖像關于點對稱.(實際上是奇函數的一般情形)廣義奇函數.
【小結】函數對稱性的充要條件
函數關系式() 對稱性
函數圖像是奇函數
函數圖像是偶函數
或 函數圖像關于直線對稱
或 函數圖像關于點對稱
【注】：這里代數關系式中兩個“”（對應法則）內的“”（變量）前的正負號相異，如果把兩個“”放在“”的兩邊，則“”前的正負號也相異.因為對稱性關乎翻轉.
(2)兩個函數圖像之間的對稱性
1.函數與的圖像關于直線對稱.
2.函數與的圖像關于直線對稱.
3.函數與的圖像關于原點對稱.
4.函數與它的反函數的圖像關于直線對稱.
5.函數與的圖像關于直線對稱.
特別地，函數與的圖像關于直線對稱.
C4.幾個函數方程的周期(約定)
(1)若，或，則的周期；
(2)若，或，或 ，或，
或，或，或，
或，或，則的周期；
(3)若，則的周期；
(4)若，或，或，或
，或，或且，則的周期；
(5)若，則的周期；
(6)若，則的周期.
【說明】函數滿足對定義域內任一實數（其中為常數）,都有等式成立.上述結論可以通過反復運用已知條件來證明.
C5.對稱性與周期性的關系
定理1：若定義在上的函數的圖像關于直線和對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.
推論1：若函數滿足及，則是以為周期的周期函數.
定理2：若定義在上的函數的圖像關于點和直線對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.
推論2：若函數滿足及，則是以為周期的周期函數.
定理3：若定義在上的函數的圖像關于點和對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.
推論3：若函數滿足及，則是以為周期的周期函數.
C6.函數圖象的對稱軸和對稱中心舉例
函 數 滿 足 的 條 件 對稱軸(中心)
滿足的函數的圖像[或]
滿足的函數的圖像[或]
滿足的函數的圖像
滿足的函數的圖像
滿足的函數的圖像(偶函數)
滿足的函數的圖像(奇函數)
滿足與的兩個函數的圖像
滿足與的兩個函數的圖像
滿足與的兩個函數的圖像
C7.函數周期性、對稱性與奇偶性的關系
1、定義在上的函數,若同時關于直線和對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，，則函數是以為周期的周期函數，且是偶函數.
2、定義在上的函數,若同時關于直線和點對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，，則函數是以為周期的周期函數，且是奇函數.
3、定義在上的函數,若同時關于點和直線對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，，則函數是以為周期的周期函數，且是偶函數.
4、定義在上的函數,若同時關于點和點對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，，則函數是以為周期的周期函數，且是奇函數.
5、若偶函數關于直線對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.
6、若偶函數關于點對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.
7、若奇函數關于直線對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.
8、若奇函數關于點對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.
【拓展】：
1、若函數為偶函數，則函數的圖像關于直線對稱.
2、若函數為奇函數，則函數的圖像關于點對稱.
3、定義在上的函數滿足，且方程恰有個實根，則這個實根的和為.
4、定義在上的函數滿足，則函數的圖像關于點對稱.
C8.關于奇偶性與單調性的關系.
① 如果奇函數在區間上是遞增的,那么函數在區間上也是遞增的;
② 如果偶函數在區間上是遞增的,那么函數在區間上是遞減的;
【思考】：結論推導
C 9.幾何體中數量運算導出結論
數量運算結論涉及到幾何體的棱、側面、對角面、截面等數量關系及幾何性質.
1.在長方體中：
①體對角線長為，外接球直徑；
②棱長總和為；
③全(表)面積為，體積；
④體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為則有
cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.
⑤體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有
cos2+cos2+cos2=2，sin2+sin2+sin2=1.
2.在正三棱錐中：①側棱長相等(側棱與底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心；②側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心；③斜高長相等(側面與底面所成角相等)且頂點在底上在底面內頂點在底上射影為底面內心.
3.在正四面體中：設棱長為，則正四面體中的一些數量關系：
①全面積；②體積；③對棱間的距離；
④相鄰面所成二面角；⑤外接球半徑；⑥內切球半徑；
⑦正四面體內任一點到各面距離之和為定值.
4.在立方體中：
設正方體的棱長為，則
①體對角線長為，②全面積為，③體積，④內切球半徑為,外接球半徑為,與十二條棱均相切的球半徑為,則
,,,且
【點撥】：立方體承載著諸多幾何體的位置關系特征，只要作適當變形，如切割、組合、扭轉等處理，便可產生新幾何體.貌似新面孔，但其本原沒變.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球體等問題時，如果一般識圖角度受阻，不妨嘗試根據幾何體的結構特征，構造相應的“正方體”，將問題化歸到基本幾何體中，會有意想不到的效果.
5.在球體中：
球是一種常見的簡單幾何體．球的位置由球心確定，球的大小僅取決于半徑的大小．球包括球面及球面圍成的空間區域內的所有的點．球面是到球心的距離等于定長(半徑) 的點的集合．
球的截面是圓面，其中過球心的截面叫做大圓面．球面上兩點間的距離，是過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧長，計算球面距離的關鍵是“根據已知經緯度等條件，先尋求球面上兩點間的弦長”，因為此弦長既是球面上兩點間的弦長，又是大圓上兩點間的弦長．
球心和截面圓的距離與球的半徑及截面圓半徑之間的關系是.
掌握球面上兩點、間的距離求法：
⑴計算線段的長；⑵計算球心角的弧度數；⑶用弧長公式計算劣弧的長.
【注】：“經度是‘小小半徑所成角’，緯度是‘大小半徑的夾角’”.
【補充】：
一、四面體．
1．對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質：
①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心；
②四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點，這一點叫做此四面體的內接球的球心；
③四面體的四個面的重心與相對頂點的連接交于一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3︰1；
④12個面角之和為720°，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為180°．
2．直角四面體：有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當于平面幾何的直角三角形．（在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、外接球半徑、內切球半徑及側面上的高），則有空間勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD．
3．等腰四面體：對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形．根據定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體．
（在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內接球半徑為r，高為h），則有
①等腰四面體的體積可表示為；
②等腰四面體的外接球半徑可表示為；
③等腰四面體的四條頂點和對面重心的連線段的長相等，且可表示為；
④h = 4r．
二、空間正余弦定理．
空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D
空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
6.直角四面體的性質：
在直角四面體中,兩兩垂直,令,則
⑴底面三角形為銳角三角形；
⑵直角頂點在底面的射影為三角形的垂心；
⑶；
⑷；
⑸；
⑹外接球半徑R=.
7. 球的組合體
(1)球與長方體的組合體:
長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長．
(3)球與正四面體的組合體:
棱長為的正四面體的內切球的半徑為,
外接球的半徑為．
C10.圓錐曲線幾何性質
如果涉及到其兩“焦點”，優先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其“焦點”、“準線”或 “離心率”，優先選用圓錐曲線第二定義；此外，如果涉及到焦點三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質的應用.
橢圓方程的第一定義：
雙曲線的第一定義：
圓錐曲線第二定義（統一定義）：平面內到定點F和定直線的距離之比為常數的點的軌跡．簡言之就是 “（數的統一）”，橢圓，雙曲線，拋物線相對關系（形的統一）如右圖.
當時，軌跡為橢圓；
當時，軌跡為拋物線；
當時，軌跡為雙曲線；
當時，軌跡為圓（，當時）．
圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓錐曲線的變化趨勢.其中，橢圓中、雙曲線中.
圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：
特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其“頂點、焦點、準線等相互之間與坐標系無關的幾何性質”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點.
C11.函數圖像變換（主要有平移變換、翻折變換、對稱變換和伸縮變換等）.
1.平移變換
向量平移法則：
按平移得，即按平移得，當時，向右平移，時，向左平移.當時，向上平移，時向下平移.對于“從到”是“左加右減，上加下減”，對于平移向量“”是“左負右正，上正下負”.
【小結】：“按向量平移”的幾個結論
①點按向量平移后得到點.
②函數的圖像按向量平移后得到圖像，則的函數解析式為.
③圖像按向量平移后得到圖像，若的解析式，則的函數解析式為.
④曲線：按向量平移后得到圖像，則的方程為.
⑤向量按向量平移后得到的向量仍然為.
2.翻折變換
(1)由得到，就是把的圖像在軸下方的部分作關于軸對稱的圖像，即把軸下方的部分翻到軸上方，而原來軸上方的部分不變.
(2)由得到，就是把的圖像在軸右邊的部分作關于軸對稱的圖像，即把軸右邊的部分翻到軸的左邊，而原來軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變.
3.伸縮變換
(1)設點是平面直角坐標系內的任意一點，在變換的作用下，點對應于點，函數在變換下得到
(2)將的橫坐標變為原來的倍，縱坐標變為原來的倍，得到
即
4.對稱變換
(1)函數的圖像可以將函數的圖像關于軸對稱即可得到；
(2)函數的圖像可以將函數的圖像關于軸對稱即可得到；
(3)函數的圖像可以將函數的圖像關于原點對稱即可得到；
(4)函數的圖像可以將函數的圖像關于直線對稱得到.
(5)函數的圖像可以將函數的圖像關于直線對稱即可得到；
.
【注意】：函數圖像平移和伸縮變換應注意的問題
(1) 觀察變換前后位置變化：.函數圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點、特殊線也作相應的變換.
(2) 觀察變換前后量變化：直線、雙曲線、拋物線通過伸縮變換后仍分別為直線、雙曲線、拋物線，但可以改變直線的傾斜角，雙曲線的離心率、拋物線的開口大小及它們的位置；
深刻理解圓錐曲線在形和數上的統一.
(2)圖像變換應重視將所研究函數與常見函數（正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、對數函數、指數函數、三角函數、“函數”及函數等）相互轉化.
(3)理解等軸雙曲線與反比例函數圖像的本質聯系.
(4)應特別重視“二次三項式”、“二次方程”、“二次函數”、“二次曲線”之間的特別聯系,理解函數、方程、曲線及不等方程的聯系.
C 12. 借助圖象比較大小
C 13.常用的近似計算公式（當充分小時）
(1)；.
(2)；.
(3)；.
(4)（為弧度）；（為弧度）；（為弧度）.
C 14.大小比較常用方法：
①作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；
②作商（常用于分數指數冪的代數式）；
③分析法；
④平方法；
⑤分子（或分母）有理化；
⑥利用函數的單調性；
⑦尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；
⑧圖像法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.
C 15.不定項填空題易誤知識點拾遺：
(1)情況存在的“個數”問題
①空間中到四面體的四個頂點距離都相等的平面＿＿個.（7個）；
②過直線外一點有＿＿個平面與該直線平行（無數個）；
③一直線與一平面斜交，則平面內有＿＿條直線與該直線平行.（0）；
④3條兩兩相交的直線可以確定＿＿個平面（1個或3個）；
⑤經過空間外一點，與兩條異面直線都平行的平面有＿＿條（0或1）；
⑥3個平面可以把空間分＿＿個部分.（4或6或7或8）；
⑦兩兩相交的4條直線最多可以確定＿＿個平面（6個）；
⑧兩異面直線成60°，經過空間外一點與它們都成30°（45°，60°，80°）的直線有＿＿條.（1；2；3；4）；
(2)平面與空間的“區分”問題
1.錯誤的命題
①垂直于同一條直線的兩直線平行；
②平行于同一直線的兩平面平行；
③平行于同一平面的兩直線平行；
④過直線外一點只有一條直線與已知直線垂直；
⑤兩個不同平面內的兩條直線叫做異面直線；
⑥一直線與一平面內無數條直線垂直，則該直線與這個平面垂直……
2.正確的命題
①平行于同一條直線的兩條直線平行；
②垂直于同一條直線的兩個平面平行；
③兩平面平行，若第三個平面與它們相交且有兩條交線，則兩直線平行；
④兩相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面……
(3)易誤提點：
①是為鈍角的必要非充分條件.
②截距不一定大于零，可為負數，可為零；
③常常會是等式不成立的原因，模為0，方向和任意向量平行，卻不垂直；
④在導數不存在的點，函數也可能取得極值；導數為0的點不一定是極值點，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”或“左負右正”；
⑤直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.
C16．關于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應關系作對比：
多面體 多邊形； 面 邊
體 積 面 積 ； 二面角 平面角
面 積 線段長； … ….
D、13～14，把關題，考點靈活/題型新穎/方法隱蔽
D1.熟知幾個重要函數
1.
(1) 時，為“雙鉤函數”：
① 定義域：；值域為；
② 奇偶性：奇函數（有對稱中心）；
③ 單調性：在區間上單調遞增；
在區間上單調遞減.
④ 極值：時取到極大值，時取到極小值.
⑤ 記住的圖像的草圖.
⑥ 不等式性質：時，；
時， .
(2) 時，在區間上為增函數.
【思考】：圖像大致如何分布.
(3)常用地，當時，的特殊性質略.
【探究】：①函數的圖像變化趨勢怎樣？
②的有關性質.
2.
化簡為，
①定義域：；值域為的一切實數；
②奇偶性：不作討論；
③單調性：當時，在區間上單調遞增；
當時，在區間上單調遞減.
④對稱中心是點；
⑤兩漸近線：直線和直線；
【注意】：兩條漸近線分別由分母為零和分子、分母中的系數確定.
⑥平移變換：可由反比例函數圖像經過平移得到；
⑦反函數為；
【說明】：分式函數與反比例函數，離心率均為，同源于雙曲線.
3.三次函數圖像與性質初步
*1.定義：形如的函數叫做三次函數. 定義域為,值域為.
*2.解析式：①一般式：；
②零點式：
*3.單調性：
【探究】：要嘗試研究一個陌生函數的一些性質，以往在研究二次函數問題時，我們需要考慮的因素：①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號.在研究三角函數問題時，又采用過“五點”作圖法.
那三次函數的圖像及性質，要從那里入手呢？
再結合探究工具“導數”，我們不妨從函數圖像幾何特征角度，如零點、極值點、拐點、凹凸性、極值點區間等，確定研究的方向，把握三次函數的一些粗淺性質.
所以，，導函數對稱軸.
【注意】：拐點橫坐標所在處，也有可能是駐點所在處.
（“極值判別式”，當判別式小于等于零時，無極值點）
（一）若
令，由根與系數關系知：，
兩極值點：
（1）當，，，約定，則拐點在軸左邊，極值點分布在軸左邊.根據零點的個數，嘗試做出如下圖像：
（2）當，，時，拐點在軸左邊，極值點分布在軸兩邊，且左極值點絕對值大于右極值點絕對值；
（3）當，，時，拐點在軸右邊，極值點分布在軸右邊，且左極值點絕對值大于右極值點絕對值.圖略
（4）當，，時，拐點在軸右邊，極值點分布在軸兩邊，且左極值點絕對值小于右極值點絕對值.圖略
（二）若
由知：無極值點，拐點橫坐標仍為，所以圖像如右圖所示.
（三）若 即時，在 R上恒成立， 即在為增函數.
(-∞，) （，+∞)
的符號 + 0 +
的單調性 ↗ ↗
*4.極值：
函數在某點取得極值的充要條件是什么？等價表述，和單調性的聯系
(1)若，則在R上無極值；
(2) 若，則在R上有兩個極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.
*5.零點個數(根的性質)
函數的圖像與軸有幾個交點？和函數的哪些性質相聯系？
（聯系函數的極值，進行等價轉化）
一個交點：極大值小于0，或者是極小值大于0.也可以表述為“極大值與極小值同號”；
兩個交點：極大值等于零，或者極小值等于零；
三個交點：極大值大于零，極小值小于零.
D2.幾個重要圖像
1.（） 2.（）
3.（） 4.（）
5. 6.
D3.函數的零點處理：
（1）的零點（不是點而是數）的根
與軸的交點的橫坐標
的交點問題.
（2）注意討論周期函數（特別是三角函數）在某區間內零點個數問題.
（3）零點存在定理：單調且端點值異號使.
【說明】：
1.方程在上有且只有一個實根，與不等價，前者是后者的一個必要而不是充分條件.
特別地，方程有且只有一個實根在內，等價于，或且，或且.
2.在上連續，且，則在上至少有一個零點（奇數個零點），可能有無數個零點.，在上可能無零點也可能有無數個零點.
3.兩個相同的根只能算一個零點，零點的表示方法不能用有序實數對.
D4.比例的幾個性質
①比例基本性質：；
②反比定理：； ③更比定理：；
④合比定理；； ⑤分比定理：；
⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；
⑧等比定理：若，，則.
D5.（1）三角形中的 “三線定理”（斯德瓦定理）
在△ABC中，D是BC上任意一點，則．
①若AD是BC上的中線，；
②若AD是∠A的平分線，，其中為半周長；
③若AD是BC上的高，，其中為半周長．
（2）三角形“五心”的向量性質(P為平面ABC內任意一點)：
①為的重心
②為的垂心
；
③為的內心
④為的外心
；
⑤為中的旁心；
D6.含絕對值不等式
(1)復數集內的三角形不等式：
其中左邊在復數z1、z2對應的向量共線且反向（同向）時取等號，右邊在復數z1、z2對應的向量共線且同向（反向）時取等號.
(2)向量不等式：
【注意】：同向或有；
反向或有；
不共線.(這些和實數集中類似)
(3)代數不等式：
同號或有；
異號或有.
D7.重要不等式
1、和積不等式：(當且僅當時取到“”)．
【變形】：①（當a = b時，）
【注意】： ，
② (當且僅當時取“=”號)．
2、均值不等式：
兩個正數的調和平均數、幾何平均數、算術平均數、均方根之間的關系，即“平方平均算術平均幾何平均調和平均”
【拓展】：
①冪平均不等式：
② “算術平均幾何平均（a1、a2…an為正數）”：
（a1=a2=…=an時取等）
3、含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數）：
①
②
（，）；
4、柯西不等式：
①（代數形式）設均為實數，則
，其中等號當且僅當時成立.
②（向量形式）設，為平面上的兩個向量，則，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立.
③（三角形式）設為任意實數，則：
【思考】：三角形不等式中等號成立的條件是什么？
④（推廣形式）設則
等號成立當且僅當時成立．（約定時，）
5、絕對值不等式：
雙向不等式：
（左邊當時取得等號，右邊當時取得等號.）
6、放縮不等式：
①，則.
【說明】：（，糖水的濃度問題）.
【拓展】：.
②，，則；
③，；
④，.
⑤,.
D8.三角函數最值題型及解題捷徑
①；
②；
③；
④（均值不等式法）；
⑤含有或；
⑥.
D9.數論中的一些淺顯結論
數論可以分為：初等數論，代數數論，幾何數論，解析數論等.數論問題，常常涉及整數的整除性、帶余除法、奇數與偶數、質數與合數、約數與倍數、整數的分解與分拆.
主要結論有：
①帶余除法：若是兩個整數，，則存在兩個整數使得（），是唯一的.特別地，如果，那么.這時被整除，記作，也稱是的約數，是的倍數.
②若，，且互質，則.
③唯一分解定理：每一個大于1的自然數都可以寫成質數的連乘積，即其中為質數，為自然數，并且這種表示是唯一的.（1）式稱為的質因數分解或標準分解.
④約數個數定理：設的標準分解式為（1），則它的正約數個數為：
⑤整數集的離散性：與之間不再有其他整數.因此，不等式與是等價的.
二、解答題
做題提醒：獲得高分不僅需要采取多奪分策略，還須謹記堅持少丟分策略
第十五題（三角基礎題）——基礎題你答對了嗎？
15.1、正弦定理
1.知識工具：
在△ABC中，（是外接圓直徑 ）.
【變式】：①；
②；
③。
④
在這個式子當中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角.
【注明】：正弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應用：
(1)三角形內角和定理：
(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊
(3)面積公式：
(4)三角函數的恒等變形
，，，
2.三種題型
①利用正弦定理公式原型解三角形
②利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形：關于邊或角的齊次式可以直接邊角互化.
③三角形解的個數的判定：
方法一：畫圖觀察
已知，其中，
⑴為銳角時：
①時，無解；
②時，一解（直角）；
③時，兩解（一銳角，一鈍角）；
④時，一解（一銳角）.
⑵為直角或鈍角時：
①時，無解；
②時，一解（銳角）.
方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內角和與三邊的不等關系檢驗解出的結果是否符合實際意義，從而確定解的個數.
15.2、余弦定理
1.知識工具：
等三個；等三個。
【注明】：余弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，當題中含有二次項時，常使用余弦定理.在變形中，注意三角形中其他條件的應用.
2.三種題型
①利用余弦定理公式的原型解三角形.
②利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：
凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉化成邊或所有邊轉化成角，在轉化過程中需要構造公式形式.
③判斷三角形的形狀.
根據余弦定理，當，，中有一個關系式成立時，該三角形為鈍角三角形，而當，，中有一種關系式成立時，并不能得出該三角形為銳角三角形的結論.
判斷三角形形狀的方法：
(1)將已知式所有的邊和角轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.
(2)將已知式所有的邊和角轉化為內角三角函數間的關系，通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，這時要注意使用這個結論.
在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取出公因式，以免漏解.
15.3、正余弦定理實際應用
求距離 兩點間不可通又不可視 兩點間可視但不可達 兩點都不可達
求高度 底部可達 底部不可達
①計算高度；
②計算距離；
③計算角度；
④測量方案的設計
實際應用題型的本質就是解三角形，無論是什么樣的現象，都要首先畫出三角形的模型，再通過正弦定理和余弦定理進行求解.
15.3、常見結論
1.①三角學中的射影公式：在中，.
②三角學中的射影定理：在中，；.
【思考】“射影定理”、“勾股定理”關系.
2.正切定理：.
3.三角形面積公式
（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
；
； （R為外接圓半徑）；
【變形】：S＝＝＝．
（r為內切圓半徑）；
【說明】：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內心，其余3個是旁心．
如圖：圖1中的I為S△ABC的內心， S△=Pr，圖2中的I為S△ABC的一個旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
圖1
附：三角形的五個“心”：
重心：三角形三條中線交點．
外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點．
內心：三角形三內角的平分線相交于一點．
垂心：三角形三邊上的高相交于一點．
旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點．
（5）已知⊙O是△ABC的內切圓，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s為△ABC的半周長,即]，則： AE==1/2（b+c-a）；
BN==1/2（a+c-b）；
FC==1/2（a+b-c）；
綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）．
特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內切圓半徑r=（如圖3）．
；
；.
第十六題（立幾基礎題）——推證不漏一個條件
16.1、位置關系證明（主要方法）：
（1）線面平行
思考途徑 I.轉化為直線與平面無公共點；
II.轉化為線線平行；
III.轉化為面面平行
支持定理 ①； ②； ③
配圖助記
（2）線線平行：
思考途徑 I.轉化為判定共面二直線無交點；
II.轉化為二直線同與第三條直線平行；
III.轉化為線面平行；
IV.轉化為線面垂直；
V.轉化為面面平行.
支持定理
①；②；③；④
配圖助記
（3）面面平行：
思考途徑 I.轉化為判定二平面無公共點；
II.轉化為線面平行；
III.轉化為線面垂直.
支持定理 ①；②；③
配圖助記
（4）線線垂直：
思考途徑 I.轉化為相交垂直；
II.轉化為線面垂直；
III.轉化為線與另一線的射影垂直；
IV.轉化為線與形成射影的斜線垂直.
支持定理
① ；②所成角為900；③(三垂線及逆定理)；
配圖助記
（5）線面垂直：
思考途徑 I轉化為該直線與平面內任一直線垂直；
II轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；
III轉化為該直線與平面的一條垂線平行；
IV轉化為該直線垂直于另一個平行平面；
V轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.
支持定理
①；②；③；④
配圖助記
（6）面面垂直：
思考途徑 I.轉化為判斷二面角是直二面角；
II.轉化為線面垂直.
支持定理 ①二面角900；②；③
配圖助記
16.2、求解空間角、距離和體積
(一)求角： （步驟------Ⅰ.找或作平面角；Ⅱ.求角）
⑴異面直線所成角的求法：
①平移法：平移直線，構造三角形；
②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，發現兩條異面直線間的關系.
(理科還可用向量法，轉化為兩直線方向向量的夾角.)
⑵直線與平面所成的角：
①直接法（利用線面角定義）；
②先求斜線上的點到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin.
（理科還可用向量法，轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角.）
⑶二面角的求法：
①定義法：在二面角的棱上取一點（特殊點），作出平面角，再求解；
②三垂線法：由一個半面內一點作（或找）到另一個半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；
③射影法：利用面積射影公式：,其中為平面角的大小；
【注】：對于沒有給出棱的二面角，應先作出棱，然后再選用上述方法；
（理科還可用向量法，轉化為兩個班平面法向量的夾角.）
（二）求距離：（步驟------Ⅰ.找或作垂線段；Ⅱ.求距離）
⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進行計算；
⑵點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解；
⑶點到平面的距離：
①垂面法：借助面面垂直的性質作垂線段（確定已知面的垂面是關鍵），再求解；
②等體積法；
（理科還可用向量法：.）
⑷球面距離（步驟）：
①求線段的長；
②求球心角的弧度數；
③求劣弧的長.
（三）求體積
常規方法：直接法（公式法）、分割法、補形法、等積法(位置轉換)、比例法(性質轉換)等.
16.3、重要定理
（1）面積射影定理：
(平面多邊形及其射影的面積分別是和,它們所在平面所成銳二面角的為).
（2）三余弦定理：
設是內的任一條直線，是的一條斜線在內的射影，且，垂足為，設與所成的角為， 與所成的角為，與所成的角為．則.
（3）三射線定理：
若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ；
(當且僅當時等號成立).
（4）最小角定理 (立平斜公式)：
設AC是內的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.
【探究】：最小角定理的應用（∠PBN為最小角）
簡記為：
①成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條．
②成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條．
③成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條．
④成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有．
（5）三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.　
逆定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內的射影垂直.
【提煉】：（1）
（2）相當于斜線與平面所成角
（3）相當于二面角
（4）（定理）
（5）（逆定理）
（6）垂線段最短（前提是在平面外由同一點引的所有線段）
（7）最小角定理（涉及到不等問題時要想到這里）
16.4重要性質
（1）在三棱椎中,設頂點在底面的射影為，即.
①正三棱椎中,則有,,,在底面的射影是的中心.
②若,,則為的垂心.
③若,則為的外心.
④若PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC垂足分別為D、E、F且PD=PE=PF. 則點是△ABC的內心;
（2）①若∠POA=∠POB，則PO在面AOB上的射影是∠AOB的角平分線；
②若∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別E、F且PE=PF.則點P在面AOB上的射影在∠AOB平分線.
第17題（解幾綜合題）——從平幾中尋突破到解幾中找關系
17.1、圓錐曲線中的精要結論：
1.焦半徑：(1)橢圓：； （左“+”右“-”）；
橢圓：
(2)雙曲線：
“長加短減”原則：
構成滿足
（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）
雙曲線：
；
(2)拋物線：
2.弦長公式：
；
【注】：(1)焦點弦長：i．橢圓：；
ii．拋物線：＝；
(2)通徑（最短弦）：i．橢圓、雙曲線：；
ii．拋物線：.
3.過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為： （同時大于0時表示橢圓，時表示雙曲線）；
4.橢圓中的結論：
(1)內接矩形最大面積：；
(2)P，Q為橢圓上任意兩點，且，則 ；
(3)橢圓焦點三角形：
i．，（）；
ii．點 是內心，交于點，則；
(4)當點與橢圓短軸頂點重合時最大；
(5)共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數，的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程．
5.雙曲線中的結論：
(1)雙曲線（）的漸近線：；
(2)共漸進線的雙曲線標準方程為為參數，≠0）；
(3)雙曲線焦點三角形：
i．，（）；
ii．是雙曲線－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一點，F1、F2分別為左、右焦點，則△PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為；
(4)等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為(漸近線互相垂直)，離心率．
(5)共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為．
(6) 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線．與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：．
(7) 若P在雙曲線，則常用結論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準線的距離比為m︰n．
簡證： = ．
常用結論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b．
(8) 直線與雙曲線的位置關系：
區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；
區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；
區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；
區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；
區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線．
小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條．
若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號．
6.拋物線中的結論：
(1)拋物線的焦點弦性質：
i．；；
ii． ；
iii．以為直徑的圓與準線相切；
iv．以（或）為直徑的圓與軸相切；
v．.
(2)拋物線內結直角三角形的性質：
i． ；
ii．恒過定點；
iii．中點軌跡方程：；
iv．，則軌跡方程為：；
v． .
(3)拋物線，對稱軸上一定點，則：
i．當時，頂點到點距離最小，最小值為；
ii．當時，拋物線上有關于軸對稱的兩點到點距離最小，最小值為.
17.2、兩個常見的曲線系方程
(1)過曲線,的交點的曲線系方程是(為參數).
(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.
當時,表示橢圓；當時,表示雙曲線.
17.3、圓
1、圓系方程
(1)過點,的圓系方程是
,其中是直線的方程,λ是待定的系數．
(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數．
(3)過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數．
特別地，當時，就是表示：
①當兩圓相交時，為公共弦所在的直線方程；
②向兩圓所引切線長相等的點的軌跡（直線）方程，有的稱這條直線為根軸；
2、點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有三種
若，則點在圓外；
點在圓上；
點在圓內.
3、直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有三種():
；
；
.
4、兩圓位置關系的判定方法:設兩圓圓心分別為半徑分別為，
；
；
；
；
.
5、圓的切線方程及切線長公式
(1)已知圓．
①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程．求切點弦方程，還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定.
②過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓的切線方程．
①若P(,)是圓上的點，則過點P(,)的切線方程為.特別地，若，切線方程為；
若P(,)是圓外一點，由P(,)向圓引兩條切線，切點分別為A，B則直線AB的方程為.特別地，若，
②圓，斜率為的圓的切線方程為.
(3) 過圓外一點的切線長為.
17.4、解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：
（1）給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交，等于已知過的中點；
在中，給出，則是中邊的中線；
（3）給出，等于已知是的中點；
（4）給出，等于已知與的中點三點共線；
（5）給出以下情形之一：①；②存在實數；
③若存在實數，等于已知三點共線.
（6）給出，等于已知是的定比分點，為定比，即
（7）給出，等于已知，即是直角，給出，等于已知是鈍角，給出，等于已知是銳角；
（8）給出，等于已知是的平分線；
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形；
（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形；
（11）設，.
；
（12）為內一點，則；
（13）在中，給出，則通過的內心；
17.5、解題規律盤點
1、點
(1)交點
①直線與圓錐曲線交于不同的兩點：直線與二次曲線聯立，當二次項系數不為0時，，與二次曲線聯立，；
②直線與圓錐曲線相切：直線與二次曲線聯立，
③直線與二次曲線有一個公共點：
二次項系數為0，表示平行于漸近線的兩條直線；二次項系數為0，△=0 二次項系數為0，表示平行于對稱軸的一條直線；二次曲線不為0，△=0
(2)定點處理思路；
(3)①設參數方程；橢圓的參數方程是：；
圓的參數方程：
②拋物線上的動點可設為：或或，其中，以簡化計算.
2、直線
(1)設直線方程分斜率存在、不存在兩種情況討論。如果什么信息也沒有：討論斜率不存在情形，當斜率存在時，往往設為斜截式：；
巧設直線方程回避討論及運算等問題
當直線過定點時，若設成有時會出現下列情況：
(i)容易忽視斜率不存在的情形；(ii)運算較繁，有時還會陷入僵局.
(2)過軸上一點的直線一般設為可以避免對斜率是否存在的討論
(3)直線的方向向量
(4)兩解問題：
3、角
(1)余弦定理;
(2)到角公式:
(3)向量的夾角公式
4、直線與圓錐曲線
(1)直線與圓錐曲線問題解法：
1.直接法（通法）：聯立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解.
【運算規律】：直線與圓錐曲線位置關系運算程式
(1)已知曲線()與直線方程聯立得：
()
【注意】：當曲線為雙曲線時，要對與0進行比較.
由根與系數關系知：
【后話】:聯立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解時，注意以下問題：①聯立的關于“”還是關于“”的一元二次方程？②二次項系數系數為0的情況討論了嗎？③直線斜率不存在時考慮了嗎？④判別式驗證了嗎？
2.設而不求（代點相減法）——處理弦中點與直線斜率問題
步驟如下：
已知曲線，①設點、中點為，②作差得；；對拋物線有.
【細節盤點】
*1.用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后，注意用判別式、韋達定理、弦長公式；注意對參數分類討論和數形結合、設而不求思想的運用；注意焦點弦可用焦半徑公式，其它用弦長公式.
*2.在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，常與“弦”相關，“平行弦”問題的關鍵是“斜率”、“中點弦”問題關鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度(弦長)”問題關鍵是長度(弦長)公式或“小小直角三角形”.
*3. 在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，涉及到“交點”時，轉化為函數有解問題；先驗證因所設直線斜率存在，造成交點漏解情況，接著聯立方程組，然后考慮消元建立關于的方程還是的方程，接著討論方程二次項系數為零的情況，再對二次方程判別式進行分析，即時，直線與曲線相切，……
*4.求解直線與圓錐曲線的“弦長”、“交點”問題時，必要條件（注意判別式失控情況）是他們構成的方程組有實數解，當出現一元二次方程時，務必先有“”. 求解直線與圓錐曲線的其它問題時，如涉及到二次方程問題，必須優先考慮“二次項系數”與“判別式”問題.
*5.解決直線與圓的關系問題時，要充分發揮圓的平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等).
*6.韋達定理在解幾中的應用：①求弦長； ②判定曲線交點的個數； ③求弦中點坐標；④求曲線的方程.
(2)直線與圓錐曲線相交的弦長公式 :
或
【注】：弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率，.
(3)拋物線的切線方程
①拋物線上一點處的切線方程是.
②過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
③拋物線與直線相切的條件是.
5、幾何定值、極值問題
幾何極值問題實際上就是以幾何條件出現的極值問題，通常運用幾何中的有關不等式和定理解決，有時運用“對角”變換及局部調整法，有時運用三角方法，如有關三角函數性質、正弦定理、三角形面積公式等轉化為三角極值問題解決.有關面積與周長的極值問題除了運用有關面積的幾何知識外，常常需要用如下結論：
①周長一定的三角形中，以正三角形的面積最大；
②周長一定的矩形中，以正方形面積最大；
③面積一定的三角形中，以正三角形的周長最小；
④周長一定的平面曲線中，圓所圍成的面積最大；
⑤在面積一定的閉曲線中，圓的周長最小；
⑥在邊長分別相等的多邊形中，以圓內接多邊形的面積最大；
⑦在等周長的邊形中，以圓內接多邊形的面積最大；
⑧在面積一定的邊形中，正邊形的周長最小.
幾何定值問題主要是研究和解決變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素的北歐諧幾何性質或位置保持不變等問題.
常見的幾何定值中的定量問題為定角、定長（線段長、周長、距離之和等）、定比（線段比、面積比）、定積（面積、線段積）等.
常見的幾何定值中的定位問題為過定點、過定直線等.
幾何定值問題可以分為兩類：一類是絕對的定值問題，即需要證明的定值為一確定的常數.這種定值為所給圖形的位置、大小、形狀無關；另一類是相對定值問題，即要證明的定值與題設圖形中的某些定量有關，這種定值是隨題設圖形的位置、大小和形狀的變化而改變的，因此，只有相對的意義，也就是證明題推斷的幾何量可以用題設已知量的某種確定的關系來表示.
解決定值問題常用的處理思路和方法：
（1）利用綜合法證明時，需要改變題目的形式，把一般定值題轉化為特殊情況，因此，常作輔助圖形；其次要明確圖形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析問題時要圍繞著固定元素和定量進行，把定值固定在已知量上；
（2）利用參數法證明時，要根據題設的條件，選取適當的參數，然后將所要證明的定值用參數表示出來，最后消去參數，便求得用常量表示的定值；
（3）利用計算法證明時，通常借助于正、余弦定理或坐標法將有關量用某些特定的量表示出來，再通過計算證明所求的式子的值為定值；
（4）綜合運用幾何、代數、三角知識證題.
6、求軌跡方程的常用方法：
⑴直接法：直接通過建立、之間的關系，構成，是求軌跡的最基本的方法.
⑵待定系數法：可先根據條件設所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數，代回所列的方程即可.
⑶代入法(相關點法或轉移法).
⑷定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程.
⑸交軌法(參數法)：當動點坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將、均用一中間變量(參數)表示，得參數方程，再消去參數得普通方程.
7、定義解題
①橢圓：第一定義：平面上一動點P到平面上兩個定點F1、F2的距離和為定值，且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,則P點軌跡為橢圓。
②雙曲線：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2|
③三種圓錐曲線的統一定義：（e∈(0,1)：橢圓；e=1：拋物線；e>1：雙曲線
第18題（數列綜合題）——穩步作答，步步為營
18.1、判定數列是基本數列的方法
（1）判定數列是否是等差數列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法.
（2）解題常用判定數列是等差數列有以下三種方法：
①
②2()
③(為常數)．
【思考】：那等比數列呢？
（1）判定數列是否是等比數列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法
（2）解題常用判定數列是等比數列有以下四種方法：
①
②(，)
③(為非零常數)．
④正數列{}成等比的充要條件是數列{}（）成等比數列．
18.2、數列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數列求和公式. ②等比數列求和公式.
③，，
……
【特別聲明】：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時分類討論.
（2）分組求和法
（3）倒序相加法
（4）錯位相減法
（5）裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①； ②；
③；；
④； ⑤；
⑥；
⑦； ⑧；
⑧； ⑨.
……
用例：；
（6）通項轉換法
若一階線性遞歸數列，則總可以將其改寫變形成如下形式：()，于是可依據等比數列的定義求出其通項公式；
18.3、數列通項求解思路：
㈠由非遞推關系求通項
⑴定義法：根據等差等比數列的等價條件，套用公式.
⑵公式法：①已知(即)求用作差法：
.
②已知求用作商法：.
㈡由遞推式求數列通項
⑴由遞推式，求用迭加法.
⑵由遞推式，求用迭乘法，還可以用迭代法.
①（迭乘法）
②
（迭代法）
⑶遞推式為，可以作如下具體分解，均可用構造法求解(先引入可化簡輔助數列，再求目標通項).
類型1 (常數)變形為
可用解題途徑：①轉化等差、等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由確定．
①轉化等差、等比：．
②選代法：
．
③用特征方程求解：
④由選代法推導結果：
類型2 (常數)變形為
類型3 (常數)變形為
類型4 (常數)變形為
⑷遞推式為與的關系式 (或)，可利用進行求解.
⑸遞推式為()或()，可變形為，或.
⑹對于數列，是常數且）其特征方程為，變形為(*).
若(*)有二異根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值.這樣數列是首項為，公比為的等比數列，于是這樣可求得.
若(*)有二重根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值.這樣數列是首項為，公差為的等差數列，于是這樣可求得.
⑺遞推式為()，可變形為.
⑻遞推式為（其中均為常數），可把原遞推公式轉化為，其中滿足，特征方程為(*).
若(*)有二異根，則可令(是待定常數）
若(*)有二重根，則可令(是待定常數）
（p、q為二階常數）用特證根方法求解．
具體步驟：
①寫出特征方程（對應，x對應），并設二根
②若可設，若可設；
③由初始值確定．
㈢雙數列型
可根據所給兩個數列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解.
【說明】：一些特殊數列，如①周期數列，不一定能求通項，但由遞推關系，可得出周期等有效量，同樣也可確定數列中的對應關系；②階差數列，如二階等差等比數列等；③還有些數列，只是起到過渡作用，如數列，通過數列建立聯系，這時就不一定可求通項，其實也不一定要求出來.
18.4、數列中蘊含的幾種數學思想：
1、函數的思想
2、等價轉化的思想：
（1）將“非等差、等比數列”轉化為“等差數列、等比數列”，如：錯位相減
（2）之間的轉化
3、分類討論的思想：
（1）由.
（2）等比數列的求和公式：，或
（3）項數分奇、偶討論.
4、從特殊到一般的思想（“歸納、猜想”）
從一般到特殊的思想：時成立，則n=1,2也應該均成立.如：2004江蘇高考第20數列題.
5、解方程組思想：五個變量“知三求二”
6、回歸基本量的思想：首項、公差決定等差數列；首項、公比決定等比數列
7、遞推的思想：如：已知，求 析：，兩式相減得：,所以為等比數列
再如：求數列通項時的疊加法、疊乘法；求數列前n和時，總體指導思想：欲求和，先研究通項（錯位相減法、倒序相加法、分組求和法、裂項相消法）.總之，對于數列章節的學習，不光是掌握幾個公式，而更要很好地從數學的思想方法.
18.5、攻克數列不等式證明問題的若干策略
策略一：放縮法
數列問題的兩大特點是求和與遞推，因此要證關于項和或通項的不等式，可先尋找關于通項或相鄰兩項的不等式，這便是放縮的思想，即先放縮再求和或迭代。
1.利用最簡單的不等式關系進行放縮
2.利用由條件得到的不等關系進行放縮
3.利用由基本不等式得到的不等關系進行放縮
4.利用由倒數（函數單調性）得到的不等關系進行放縮
5.利用由二項式定理得到的不等關系進行放縮
策略二：利用數列的單調性
1.由定義確定數列的單調性
2.構造函數、利用導數確定數列的單調性
策略三：數學歸納法
第19題（實際應用題）——人難我不畏難，人易我不大意
19.1、解應用題的一般思路可表示如下：
19.2、解應用題的一般程序
（1）讀: 閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，理順數量關系，這一關是基礎
（2）建: 將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型 熟悉基本數學模型，正確進行建“模”是關鍵的一關
（3）解: 求解數學模型，得到數學結論 一要充分注意數學模型中元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優化過程
（4）答: 將數學結論還原給實際問題的結果
19.3、中學數學中常見應用問題與數學模型
（1）優化問題: 實際問題中的“優選”“控制”等問題，常需建立“不等式模型”和“線性規劃”問題解決
（2）預測問題: 經濟計劃、市場預測這類問題通常設計成“數列模型”來解決
（3）最（極）值問題: 工農業生產、建設及實際生活中的極限問題常設計成“函數模型”，轉化為求函數的最值
（4）等量關系問題: 建立“方程模型”解決?
（5）測量問題: 可設計成“圖形模型”利用幾何知識解決
第二十題（函數綜合題）——不怕繁雜的代數推理題
20.1、不等式證明常用方法：
(1)比較法：
①作差比較：
步驟：a.作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差.
b.變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和.
c .判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號.
【注意】：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小.
②求商比較法：要證，且，只要證.
(2)綜合分析法：由因導果，執果索因；要證……，只需證……，只需證……
(3)利用基本不等式(柯西不等式)
(4)反證法：對于“至多”“至少”問題、存在性問題、否定形式的命題等，總之“正難則反”
(5)放縮法：
1.定義：指若直接證明不等式較困難，而借助一個或多個中間變量通過適當的放大或縮小，而達到證明不等式成立的一種方法.即證明，可構造出函數式，使，且，其中數學式，常通過將放大，或將縮小而構成.
2.放縮法證明不等式的依據：①不等式的傳遞性；
②等量加不等量為不等量；
③同分子異分母（或同分母異分子）的兩個分式大小的比較等；
3.放縮法的實質是非等價轉化，放縮沒有確定的準則和程序，放縮目的性很強，需按題意適當放縮.即通過放縮將復雜的一邊化簡，湊出另一邊的形式.
4.放縮法的一些操作技巧：
①添加或舍去一些項，如：；；
②將分子或分母放大（或縮小）；
③利用基本不等式，如：；
；
④利用常用結論：
i、；
ii、（程度大）；
（程度小）；
iii、；
，則.
【特例】：，等.
可推知：
5.放縮法的常見題型：
①一邊為無限項的和或積，另一邊為定值；
②在證明涉及求和的不等式時，通過逐項放縮的手段，一方面放縮，另一方面使放縮之后便于求和，以達到求和目的；
③恰當引入輔助函數，通過函數單調性達到放縮目的；
④對涉及正整數的不等式，可以先考慮用數學歸納法進行整體放縮；
⑤運用公式性質，函數單調性；
⑥運用絕對值不等式；
⑦運用二項式定理，利用三角有界性放縮，利用三角形的三邊關系進行放縮；
⑧舍棄或添加一些項進行放縮.將部分項放縮，或每項放縮；
⑨裂項利用一些熟悉的關系式放縮；
6.放縮尺度：
放縮法證明不等式，需要根據不等式兩端的特點及已知特點，謹慎的采取措施，進行適當的放縮，任何不適宜都會導致推證的失敗，也就是運用放縮法證明不等式要把握放縮的尺度；
放縮法是一種證題技巧，要想用好證題，必須有明確的目標.目標可以從要證明的結論中考查，即要認真的分析結論特點，由結論的特點探究解題規律；
放縮尺度：放縮到可裂項，放縮到可用公式，……
(6)利用函數的單調性（本質仍然是放縮法，與換元法、最值法緊密聯系）
(7)換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元. 如：
已知，可設；
已知，可設()；
已知，可設；
已知，可設；
(8)最值法，如：，則恒成立.，則恒成立.
(9)構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；具體運用：是構造斜率、點到直線距離、兩點間距離、直線與圓的位置關系、輔助圓等.
(10)數學歸納法
20.2、三個“二次”
1 二次函數的基本性質
(1)二次函數的表示法：
y=ax2+bx+c; y=a(x－x1)(x－x2); y=a(x－x0)2+n
(2)當a>0,f(x)在區間［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0=(p+q)
若－若p≤－若x0≤－若－≥q,則f(p)=M,f(q)=m
2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件
(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在區間(p,q)內有兩根
(4)二次方程f(x)=0在區間(p,q)內只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內成立
(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p3 二次不等式轉化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α)∪［β,+∞a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)當a>0時，f(α)當a<0時，f(α)|β+|;
(3)當a>0時，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或
(4)f(x)>0恒成立
20.3、閉區間上的二次函數的最值
二次函數在閉區間上的最值只能在處及區間的兩端點處取得，具體如下：
(1)當a>0時，若，則；
若，則，.
(2)當a<0時，若，則，
若，則，.
20.4、一元二次方程的實根分布
若，則方程在區間內至少有一個實根.設，則
（1）方程在區間內有根的充要條件:或；
（2）方程在區間內有根的充要條件:
或，或，或；
（3）方程在區間內有根的充要條件: ，或.
20.5、定區間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據
(1)在給定區間的子區間（形如，，不同）上含參數的二次不等式(為參數)恒成立的充要條件是.
(2)在給定區間的子區間上含參數的二次不等式(為參數)恒成立的充要條件是.
(3)恒成立的充要條件是，或.
20.6、恒成立問題的基本類型及處理思路
1、利用一次函數的性質
類型1：對于一次函數有：
(ⅰ)，或(ⅱ)；亦可合并定成；
2、利用一元二次函數的判別式
類型2：設
（1）上恒成立；
（2）上恒成立.
類型3：設
（1）當時，上恒成立，
上恒成立
（2）當時，上恒成立
上恒成立
3、利用函數的最值（或值域）
類型4：.
類型5：對于任意的恒成立，或在上的圖像始終在的上方.（通常移項，使即可；
若的最值無法求出，則考慮數形結合，只需在上的圖像始終在的上方即可.）
20.7、定區間上含參數的不等式恒成立(或有解)的條件依據
(1)在給定區間的子區間（形如，，不同）上含參數的不等式(為參數)恒成立.
充要條件：.
(2)在給定區間的子區間上含參數的不等式(為參數)恒成立.
充要條件：.
(3)在給定區間的子區間上含參數的不等式(為參數)的有解.
充要條件：.
(4)在給定區間的子區間上含參數的不等式(為參數)有解.
充要條件：.
對于參數及函數.
若恒成立，則；
若恒成立，則；
若有解，則；
若有解，則；
若有解，則.
（若函數無最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應結論）.
【知識疏漏】：
1.對數的換底公式 : (,且,,且, ).
對數恒等式：(,且, ).
【推論】：(,且, ).
2．對數的四則運算法則:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1); (2) ;
(3); (4) 。
3.設函數,記.若的定義域為,則且;若的值域為,則，且。
4. 對數換底不等式及其推廣：設，，，且，則
（1）.　　　（2）.
5.平均增長率的問題（負增長時）
如果原來產值的基礎數為N，平均增長率為，則對于時間的總產值，有.
6.等差數列的通項公式：；
廣義通項：.
其前n項和公式為：.
7.等比數列的通項公式：；
廣義通項：.
其前n項的和公式為　或.
8.等比差數列:的通項公式為；
其前n項和公式為：.
9.分期付款(按揭貸款) ：每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
10.平面向量基本定理
如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使得=λ1+λ2．
不共線的向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
三點A、B、C共線的充要條件： (M為任意點)
11.夾角公式
(1).　(，,)
(2).(,,).
直線時，直線l1與l2的夾角是.
12. 到的角公式
(1).(，,)
(2).(,,).
直線時，直線l1到l2的角是.
13. 三角函數的周期公式
函數，x∈R及函數，x∈R(A,ω,為常數，且A≠0)的周期；函數，(A,ω,為常數，且A≠0)的周期
C
B
A
A
0F
P
k
e>1 e=1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
b
a
C
h
B
D
O
C
A

a
a

b
a
a
b


a

b
O
a



a
b
P
A
O
a

l
b
a
O
a
l
a

a
b

a
a
A
B
A
P
C
圓外一點引兩條長度相等的割線，割線長度不等于直徑
截得平行線的弦長
相等（斜率不存在）
圓外一點引切線（斜率不存在）
a=0
實際問題
數學化
數學問題
實際問題結論
數學問題結論
轉化為數學問題
回到為實際問題
問題解決
問題解答

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