資源簡介

高中數學基礎知識歸類——獻給高三(文理科)考生
數學是理科的支柱，數學基礎不好往往影響到理化成績的提高，因此必須給予足夠重視。大家知道，高中數學分為幾大板塊：一是函數板塊，二是三角板塊，三是立體幾何板塊，四是解析幾何板塊，五是數列板塊，六是概率統計板塊，七是排列組合板塊，八是復數板塊，九是不等式板塊，十是算法板塊。要學好這些知識，首先要重視課堂聽講，要眼睛隨著老師轉，腦子隨著老師想。只有抓好了課堂學習，才能談得上課后復習。課堂上盡可能多聽講，課后自己再驗證，選擇一些有特色的問題去探索。要重視基礎知識的復習。每一章復習開始前一定要把課本看一遍，定理、公式等概念性的東西記住自不必說，例題的解法也要注意，特別是立體幾何，在以前高考中曾多次出現課本上的例題。學完一章或一部分后，要學會歸納總結，掌握規律性的東西，做一些綜合題，考前溫習一下筆記和自己歸納的東西，將基礎知識夯實打牢，注重在基本知識、基本技能和創造性問題的解決上多下功夫。
最后沖刺的訣竅：高考最后兩個月要拾遺補缺。抓基礎，理清頭腦中的知識網絡，而不應該去攻難度太大的題。可適當去做一些綜合性的題，對自己會很有好處的。如果以前有錯題本的話，現在應該看看了；最后一個月復習數學關鍵是“看”：看練習題，看復習資料。一眼能看出解題思路的，從此不管它；看不出的，就在草稿紙上演算，演算到理清思路為止，并在題前做“#”記號；很難的綜合題，則進行正規演算，目的仍是尋找思路，這種題一直做出了結果，就在題前做“*”記號。三五天或一周之后，再回過頭來看，有“#”的看一看，一般能看出從何處下手；有“*”的看一看，在草稿紙上演算，知道怎么做再停止。因為這個時候正確與否不重要，重要的是知道該如何下手解這些題，以及需要用哪些知識來解題。
基礎知識
一.集合與簡易邏輯
1.注意區分集合中元素的形式.如：—函數的定義域；—函數的值域；
—函數圖象上的點集.
2.集合的性質： ①任何一個集合是它本身的子集,記為.
②空集是任何集合的子集,記為.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:條件為,在討論的時候不要遺忘了的情況
如：,如果,求的取值.(答：)
④,；；
.
⑤.
⑥元素的個數：.
⑦含個元素的集合的子集個數為；真子集(非空子集)個數為；非空真子集個數為.
3.補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。
如：已知函數在區間上至少存在一個實數,使
,求實數的取值范圍.(答：)
4.原命題: ；逆命題: ；否命題: ；逆否命題: ；互為逆否的兩
個命題是等價的.如：“”是“”的 條件.(答：充分非必要條件)
5.若且,則是的充分非必要條件(或是的必要非充分條件或q的一個充分非必要條件是p或p的一個必要非充分條件是q).
6.注意命題的否定與它的否命題的區別: 命題的否定是；否命題是.
命題“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.
如：“若和都是偶數，則是偶數”的否命題是“若和不都是偶數,則是奇數”
否定是“若和都是偶數,則是奇數”.
7.常見結論的否定形式
原命題中含有全稱量詞（或存在量詞），命題的否定必有存在量詞(或全稱量詞)
原結論 否定 原結論 否定
是 不是 至少有一個 一個也沒有
都是 不都是 至多有一個 至少有兩個
大于 不大于 至少有個 至多有個
小于 不小于 至多有個 至少有個
對所有,成立 存在某,不成立 或 且
對任何,不成立 存在某,成立 且 或
二.函數
1.①映射:是：⑴ “一對一或多對一”的對應；⑵集合中的元素必有象且中不
同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集).
②一一映射:： ⑴“一對一”的對應；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.
2.函數: 是特殊的映射.特殊在定義域和值域都是非空數集！據此可知函數圖像與軸
的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個.
3.函數的三要素：定義域,值域,對應法則.研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則.
4.求定義域:使函數解析式有意義(如:分母;偶次根式被開方數非負;對數真數,底數
且；零指數冪的底數)；實際問題有意義；若定義域為,復合函數定義
域由解出；若定義域為,則定義域相當于時的值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函數類)；②逆求法(反函數法)；③換元法(特別注意新元的范圍).
④三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數,運用三角函數有界性來求值域；
⑤不等式法⑥單調性法；⑦數形結合：根據函數的幾何意義,利用數形結合的方法來求值域；
⑧判別式法（慎用）：⑨導數法(一般適用于高次多項式函數).
6.求函數解析式的常用方法：⑴待定系數法(已知所求函數的類型)； ⑵代換(配湊)法；
⑶方程的思想----對已知等式進行賦值，從而得到關于及另外一個函數的方程組。
7.函數的奇偶性和單調性
⑴函數有奇偶性的必要條件是其定義域是關于原點對稱的,確定奇偶性方法有定義法、圖像法等；
⑵若是偶函數,那么；定義域含零的奇函數必過原點()；
⑶判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：或；
⑷復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.
注意：若判斷較為復雜解析式函數的奇偶性，應先化簡再判斷；既奇又偶的函數有無數個
(如定義域關于原點對稱即可).
⑸奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性；
⑹確定函數單調性的方法有定義法、導數法、圖像法和特值法(用于小題)等.
⑺復合函數單調性由“同增異減”判定. （提醒：求單調區間時注意定義域）
如：函數的單調遞增區間是.(答：)
8.函數圖象的幾種常見變換⑴平移變換：左右平移---------“左加右減”（注意是針對而言）；
上下平移----“上加下減”(注意是針對而言).⑵翻折變換：；.
⑶對稱變換：①證明函數圖像的對稱性,即證圖像上任意點關于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖像上.
②證明圖像與的對稱性,即證上任意點關于對稱中心(軸)的對稱點仍在上,反之亦然.
③函數與的圖像關于直線(軸)對稱；函數與函數
的圖像關于直線(軸)對稱；
④若函數對時，或恒成立,則圖像關
于直線對稱；
⑤若對時,恒成立,則圖像關于直線對稱；
⑥函數,的圖像關于直線對稱(由確定)；
⑦函數與的圖像關于直線對稱；
⑧函數,的圖像關于直線對稱(由確定)；
⑨函數與的圖像關于原點成中心對稱；函數,
的圖像關于點對稱；
⑩函數與函數的圖像關于直線對稱；曲線：,關于
,的對稱曲線的方程為(或；
曲線：關于點的對稱曲線方程為：.
9.函數的周期性：⑴若對時恒成立,則 的周期為；
⑵若是偶函數,其圖像又關于直線對稱,則的周期為；
⑶若奇函數,其圖像又關于直線對稱,則的周期為；
⑷若關于點,對稱,則的周期為；
⑸的圖象關于直線,對稱,則函數的周期為；
⑹對時,或,則的周期為；
10.對數：⑴；⑵對數恒等式；
⑶；
；⑷對數換底公式；
推論：.
(以上且均不等于)
11.方程有解(為的值域)；恒成立,
恒成立.
12.恒成立問題的處理方法：⑴分離參數法(最值法)； ⑵轉化為一元二次方程根的分布問題；
13.處理二次函數的問題勿忘數形結合；二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：
一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關系；
14.二次函數解析式的三種形式： ①一般式：；②頂點式：
； ③零點式：.
15.一元二次方程實根分布:先畫圖再研究、軸與區間關系、區間端點函數值符號;
16.復合函數：⑴復合函數定義域求法：若的定義域為,其復合函數的定義域可由
不等式解出；若的定義域為,求的定義域，相當于時,求
的值域；⑵復合函數的單調性由“同增異減”判定.
17.對于反函數,應掌握以下一些結論：⑴定義域上的單調函數必有反函數；⑵奇函數的反函數
也是奇函數；⑶定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數；⑷周期函數不存在反函數；
⑸互為反函數的兩個函數在各自的定義域具有相同的單調性；⑹與互為
反函數,設的定義域為,值域為,則有,.
18.依據單調性,利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題：
(或)(或)；
19.函數的圖像是雙曲線：①兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和
直線(由分子、分母中的系數確定)；②對稱中心是點；③反函數為；
20.函數：增區間為,減區間為.
如：已知函數在區間上為增函數,則實數的取值范圍是(答：).
三.數列
1.由求, 注意驗證是否包含在后面的公式中,若不符合要
單獨列出.如：數列滿足，求(答：).
2.等差數列(為常數)
；
3.等差數列的性質： ①,；
②(反之不一定成立)；特別地,當時,有；
③若、是等差數列,則(、是非零常數)是等差數列；
④等差數列的“間隔相等的連續等長片斷和序列”即 仍是等差數列；
⑤等差數列,當項數為時,,；項數為時,
,,且；.
⑥首項為正(或為負)的遞減(或遞增)的等差數列前n項和的最大(或最小)問題,轉化為解不等式
(或).也可用的二次函數關系來分析.
⑦若,則；若,則；
若,則Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；.
4.等比數列.
5.等比數列的性質
①,；②若、是等比數列，則、等也是等比數列；
③；④(反之不一定成
立)；. ⑤等比數列中(注：各項均不為0)
仍是等比數列. ⑥等比數列當項數為時,；項數為時,.
6.①如果數列是等差數列,則數列(總有意義)是等比數列；如果數列是等比數列,
則數列是等差數列；
②若既是等差數列又是等比數列,則是非零常數數列；
③如果兩個等差數列有公共項,那么由他們的公共項順次組成的數列也是等差數列，且新數列的公差
是原兩個等差數列公差的最小公倍數；如果一個等差數列和一個等比數列有公共項,那么由他們的
公共項順次組成的數列是等比數列,由特殊到一般的方法探求其通項；
④三個數成等差的設法：；四個數成等差的設法：；
三個數成等比的設法：；四個數成等比的錯誤設法：(為什么？)
7.數列的通項的求法：⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式.
⑵已知(即)求用作差法：.
⑶已知求用作商法：.
⑷若求用迭加法. ⑸已知,求用迭乘法.
⑹已知數列遞推式求,用構造法(構造等差、等比數列)：①形如,,
(為常數)的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為的等比數列后,
再求.②形如的遞推數列都可以用 “取倒數法”求通項.
8.數列求和的方法：①公式法：等差數列,等比數列求和公式；②分組求和法；③倒序相加；④錯位
相減；⑤分裂通項法.公式：；；
；；常見裂項公式；
；；
常見放縮公式：.
9.“分期付款”、“森林木材”型應用問題
⑴這類應用題一般可轉化為等差數列或等比數列問題.但在求解過程中，務必“卡手指”，細心計算
“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統一法”統一到“最后”解決.
⑵利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：若每期存入本金元,每期利
率為,則期后本利和為：(等差數列問
題）；②復利問題：按揭貸款的分期等額還款(復利)模型：若貸款(向銀行借款)元,采用分期等
額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清.如果每期利
率為（按復利），那么每期等額還款元應滿足：
(等比數列問題).
四.三角函數
1.終邊與終邊相同；終邊與終邊共線；終邊
與終邊關于軸對稱；終邊與終邊關于軸對稱
；終邊與終邊關于原點對稱；
終邊與終邊關于角終邊對稱.
2.弧長公式：；扇形面積公式：；弧度()≈.
3.三角函數符號(“正號”)規律記憶口訣：“一全二正弦,三切四余弦”.
注意： ；；
4.三角函數同角關系中(八塊圖)：注意“正、余弦三兄妹
、”的關系.
如等.
5.對于誘導公式,可用“奇變偶不變，符號看象限”概括；
(注意：公式中始終視 為銳角)
6.角的變換：已知角與特殊角、已知角與目標角、已知角
與其倍角或半角、兩角與其和差角等變換.
如：；；；；
等；“”的變換：；
7.重要結論：其中）；重要公式；
；；.
萬能公式：；；.
8.正弦型曲線的對稱軸；對稱中心；
余弦型曲線的對稱軸；對稱中心；
9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，處理三角形內的三角函數問題勿忘三
內角和等于,一般用正、余弦定理實施邊角互化；正弦定理：；
余弦定理：；
正弦平方差公式：；三角形的內切圓半徑；
面積公式：；射影定理：.
10.中,易得：,①,,.
②,,. ③
④銳角中,,,,類比得鈍角結論.
⑤.
11.角的范圍：異面直線所成角；直線與平面所成角；二面角和兩向量的夾角；直線
的傾斜角；到的角；與的夾角.注意術語:坡度、仰角、俯角、方位角等.
五.平面向量
1.設,. (1)；(2).
2.平面向量基本定理：如果和是同一平面內的兩個不共線的向量,那么對該平面內的任一向
量,有且只有一對實數、,使.
3.設,,則；其幾何意義是等于的長度
與在的方向上的投影的乘積；在的方向上的投影.
4.三點、、共線與共線；與共線的單位向量.
5.平面向量數量積性質：設,,則；注意:
為銳角,不同向；為直角；為鈍角,不反向.
6.同向或有；反向或有
；不共線.
7.平面向量數量積的坐標表示：⑴若,,則；
； ⑵若,則.
8.熟記平移公式和定比分點公式. ①當點在線段上時,；當點在線段(或)
延長線上時,或.②分點坐標公式：若；且,；
則, 中點坐標公式：.
③,,三點共線存在實數、使得且.
9.三角形中向量性質：①過邊的中點：；
②為的重心；
③為的垂心； ④為
的內心；所在直線過內心. ⑤設,
. .
⑥為內一點,則.
10.,有()；.
六.不等式
1.掌握課本上的幾個不等式性質，注意使用條件，另外需要特別注意：
①若,,則.即不等式兩邊同號時,不等式兩邊取倒數,不等號方向要改變.
②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數式,要注意它的正負號,如果正負號未定,要注意分類討論.
2.掌握幾類不等式(一元一次、二次、絕對值不等式、簡單的指數、對數不等式)的解法,尤其注意
用分類討論的思想解含參數的不等式；勿忘數軸標根法,零點分區間法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,則(當且僅當時
取等號)使用條件：“一正二定三相等 ” 常用的方法為：拆、湊、平方等；(2)，
(當且僅當時,取等號)；(3)公式注意變形如：,
；(4)若,則(真分數的性質)；
4.含絕對值不等式：同號或有；異號或有
.
5.證明不等式常用方法：⑴比較法：作差比較：.注意：若兩個正數作差比較有困
難,可以通過它們的平方差來比較大小；⑵綜合法：由因導果；⑶分析法：執果索因.基本步驟：要證…
需證…,只需證…； ⑷反證法：正難則反；⑸放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的.
放縮法的方法有：①添加或舍去一些項,如：；.②將分子或分母放大(或縮小)
③利用基本不等式,如：.④利用常用結論： ；
(程度大)； (程度小)；
⑹換元法：換元的目的就是減少不等式中變量,以使問題化難為易,化繁為簡,常用的換元有三角換元
代數換元.如：知,可設；知,可設,
()；知,可設；已知,可設.
⑺最值法,如：,則恒成立.,則恒成立.
七.直線和圓的方程
1.直線的傾斜角的范圍是；
2.直線的傾斜角與斜率的變化關系(如右圖)：
3.直線方程五種形式：⑴點斜式：已知直線過點斜率為，則直線
方程為,它不包括垂直于軸的直線.⑵斜截式：已知直線在軸上的截距為
和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線. ⑶兩點式：已知直線經過
、兩點,則直線方程為,它不包括垂直于坐標軸的直線.
⑷截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為,它不包括垂直于坐標
軸的直線和過原點的直線.⑸一般式：任何直線均可寫成(不同時為0)的形式.
提醒：⑴直線方程的各種形式都有局限性.(如點斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截距式呢？)
⑵直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為.直線兩截距相等直線的斜率為或直線過
原點；直線兩截距互為相反數直線的斜率為或直線過原點；直線兩截距絕對值相等
直線的斜率為或直線過原點.
⑶截距不是距離,截距相等時不要忘了過原點的特殊情形.
4.直線與直線的位置關系：
⑴平行(斜率)且(在軸上截距)；
⑵相交；(3)重合且.
5.直線系方程：①過兩直線：,：.交點的直線系方程可設
為；②與直線平行的直線系方程可設為
；③與直線垂直的直線系方程可設為.
6.到角和夾角公式：⑴到的角是指直線繞著交點按逆時針方向轉到和直線重合所轉的角,
且；
⑵與的夾角是指不大于直角的角且.
7.點到直線的距離公式；
兩條平行線與的距離是.
8.設三角形三頂點,,,則重心；
9.有關對稱的一些結論
⑴點關于軸、軸、原點、直線的對稱點分別是,,,.
⑵曲線關于下列點和直線對稱的曲線方程為：①點：；
②軸：；③軸：；④原點：；⑤直線：
；⑥直線：；⑦直線：.
10.⑴圓的標準方程：. ⑵圓的一般方程：
.特別提醒：只有當時,方程
才表示圓心為,半徑為的圓(二元二次方程
表示圓,且).
⑶圓的參數方程：(為參數),其中圓心為,半徑為.圓的參數方程主要應用是
三角換元：； .
⑷以、為直徑的圓的方程；
11.點和圓的位置關系的判斷通常用幾何法(計算圓心到直線距離).點及圓的方程
.①點在圓外；
②點在圓內；③點在圓上.
12.圓上一點的切線方程：點在圓上,則過點的切線方程為：；
過圓上一點切線方程為.
13.過圓外一點作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與軸垂直的直線.
14.直線與圓的位置關系,通常轉化為圓心距與半徑的關系,或者利用垂徑定理,構造直角三角形解
決弦長問題.①相離　?、谙嗲小　、巯嘟?br/>15.圓與圓的位置關系,經常轉化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關系.設兩圓的圓心距為,
兩圓的半徑分別為：兩圓相離；兩圓相外切； 兩
圓相交；兩圓相內切； 兩圓內含；兩圓同心.
16.過圓：,：交點的圓(相交弦)系方程
為.時為兩圓相交弦所在直線方程.
17.解決直線與圓的關系問題時,要充分發揮圓的平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成
直角三角形,切線長定理、割線定理、弦切角定理等等).
18.求解線性規劃問題的步驟是：(1)根據實際問題的約束條件列出不等式；(2)作出可行域,寫出目標
函數(判斷幾何意義)；(3)確定目標函數的最優位置,從而獲得最優解.
八.圓錐曲線方程
1.橢圓焦半徑公式：設為橢圓上任一點,焦點為,,
則(“左加右減”)；
2.雙曲線焦半徑：設為雙曲線上任一點,焦點為,,
則：⑴當點在右支上時,；⑵當點在左支上時,,
；(為離心率).另：雙曲線的漸近線方程為.
3.拋物線焦半徑公式：設為拋物線上任意一點,為焦點,則
；上任意一點,為焦點，則.
4.共漸近線的雙曲線標準方程為(為參數,).
5.兩個常見的曲線系方程： ⑴過曲線,的交點的曲線系方程是
(為參數).⑵共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中
.當時,表示橢圓；當時,表示雙曲線.
6.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或
(弦端點,由方程消去
得到,,為斜率). 這里體現了解幾中“設而不求”的思想；
7.橢圓、雙曲線的通徑(最短弦)為,焦準距為,拋物線的通徑為,焦準距為；
雙曲線的焦點到漸近線的距離為；
8.中心在原點,坐標軸為對稱軸的橢圓,雙曲線方程可設為(對于橢圓)；
9.拋物線的焦點弦（過焦點的弦）為,、,則有如下結論：
⑴；⑵,； ⑶.
10.橢圓左焦點弦,右焦點弦.
11.對于拋物線上的點的坐標可設為,以簡化計算.
12.圓錐曲線中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在橢圓中,
以為中點的弦所在直線斜率；在雙曲線中,以為中點的弦所
在直線斜率；在拋物線中,以為中點的弦所在直線的斜率.
13.求軌跡方程的常用方法：
⑴直接法：直接通過建立、之間的關系，構成,是求軌跡的最基本的方法.
⑵待定系數法：可先根據條件設所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數,代回所列的方程即可.
⑶代入法(相關點法或轉移法).
⑷定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義,則可由曲線的定義直接寫出方程.
⑸交軌法(參數法)：當動點坐標之間的關系不易直接找到,也沒有相關動點可用時,可考慮
將、均用一中間變量(參數)表示,得參數方程,再消去參數得普通方程.
14.解析幾何與向量綜合的有關結論：
⑴給出直線的方向向量或.等于已知直線的斜率或；
⑵給出與相交,等于已知過的中點；
⑶給出,等于已知是的中點;
⑷給出,等于已知與的中點三點共線;
⑸給出以下情形之一： ①； ②存在實數,使； ③若存在實數,
且；使,等于已知三點共線.
⑹給出,等于已知是的定比分點,為定比,即
⑺給出,等于已知,即是直角,給出,等于已
知是鈍角或反向共線,給出,等于已知是銳角或同向共線.
⑻給出,等于已知是的平分線.
⑼在平行四邊形中,給出,等于已知是菱形.
⑽在平行四邊形中,給出,等于已知是矩形.
⑾在中,給出，等于已知是的外心(三角形的外心是外接圓
的圓心,是三角形三邊垂直平分線的交點).
⑿在中,給出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形
三條中線的交點).
⒀在中,給出，等于已知是的垂心(三角形的垂心
是三角形三條高的交點).
⒁在中,給出等于已知通過的內心.
⒂在中,給出等于已知是的內心(三角形內切圓
的圓心,三角形的內心是三角形三條角平分線的交點).
⒃在中,給出,等于已知是中邊的中線.
九.直線、平面、簡單幾何體
1.從一點出發的三條射線、、.若,則點在平面上的射影在
的平分線上；
2.立平斜三角余弦公式：(圖略)和平面所成的角是,在平面內,和的射影成,
設,則；
3.異面直線所成角的求法：⑴平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線.
⑵補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在
于容易發現兩條異面直線間的關系；
4.直線與平面所成角：過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段,是產生線面角的關鍵.
5.二面角的求法：⑴定義法；⑵三垂線法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面積射影公式
其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；
6.空間距離的求法：⑴兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線,所以一般先利用垂直作出公垂
線,然后再進行計算.⑵求點到直線的距離,一般用三垂線定理作出垂線再求解.
⑶求點到平面的距離,一是用垂面法,借助面面垂直的性質來作.因此,確定已知面的垂面是關鍵；
二是不作出公垂線,轉化為求三棱錐的高,利用等體積法列方程求解.
7.用向量方法求空間角和距離：⑴求異面直線所成的角：設、分別為異面直線、的方向向量,
則兩異面直線所成的角.⑵求線面角：設是斜線的方向向量,是平面的
法向量,則斜線與平面所成的角. ⑶求二面角(法一)在內,在內
,其方向如圖(略),則二面角的平面角.(法二)設,是二面角
的兩個半平面的法向量,其方向一個指向內側,另一個指向外側,則二面角的平面
角.（4)求點面距離：設是平面的法向量,在內取一點,則到的距離
(即在方向上投影的絕對值).
8.正棱錐的各側面與底面所成的角相等,記為,則.
9.正四面體(設棱長為)的性質：
①全面積；②體積；③對棱間的距離；④相鄰面所成二面角；
⑤外接球半徑；⑥內切球半徑；⑦正四面體內任一點到各面距離之和為定值.
10.直角四面體的性質：(直角四面體—三條側棱兩兩垂直的四面體).在直角四面體
中,兩兩垂直,令,則⑴底面三角形為銳角三角形；
⑵直角頂點在底面的射影為三角形的垂心；⑶；
⑷；⑸；⑹外接球半徑R=.
11.已知長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有
或；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成
的角分別為,則有或.
12.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；
13.球的體積公式,表面積公式；掌握球面上兩點、間的距離求法：
⑴計算線段的長；⑵計算球心角的弧度數；⑶用弧長公式計算劣弧的長.
十.排列組合和概率
1.排列數公式:,當時為全排列.
2.組合數公式：,.
3.組合數性質：；.
4.排列組合主要解題方法：①優先法：特殊元素優先或特殊位置優先；②捆綁法(相鄰問題)；
③插空法（不相鄰問題）；④間接扣除法；(對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件
的所有情況去掉）⑤多排問題單排法;⑥相同元素分組可采用隔板法（適用與指標分配，每部分至
少有一個）；⑦先選后排,先分再排(注意等分分組問題)；⑧涂色問題(先分步考慮至某一步時再分
類).⑨分組問題：要注意區分是平均分組還是非平均分組,平均分成組問題別忘除以.
5.常用性質：；即；；
6.二項式定理： ⑴掌握二項展開式的通項：；
⑵注意第r＋1項二項式系數與第r＋1項系數的區別.
7.二項式系數具有下列性質：⑴與首末兩端等距離的二項式系數相等；⑵若為偶數,中間一項
(第項)的二項式系數最大；若為奇數,中間兩項(第和項)的二項式系數最大.
⑶；.
8.二項式定理應用：近似計算、整除問題、結合放縮法證明與指數有關的不等式、用賦值法求展開式
的某些項的系數的和如展開式的各項系數和為,奇數項系數和為
,偶數項的系數和為.
9.等可能事件的概率公式：⑴； ⑵互斥事件有一個發生的概率公式為：
；⑶相互獨立事件同時發生的概率公式為；⑷獨立重復試驗
概率公式；⑸如果事件與互斥，那么事件與、與及事件
與也都是互斥事件；⑹如果事件、相互獨立，那么事件、至少有一個不發生
的概率是；（6）如果事件與相互獨立，那么事件與至少有
一個發生的概率是.
十一.概率與統計
1.理解隨機變量,離散型隨機變量的定義,能夠寫出離散型隨機變量的分布列,由概率的性質可
知,任意離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質：⑴；⑵.
2.二項分布記作為參數),,記.
… …
… …
3.記住以下重要公式和結論：
⑴期望值.
⑵方差.
⑶標準差；.
⑷若(二項分布),則, .
⑸若(幾何分布),則,.
4.掌握抽樣的三種方法：⑴簡單隨機抽樣(包括抽簽法和隨機數表法)；⑵(理)系統抽樣,也叫等距
抽樣；⑶分層抽樣(按比例抽樣),常用于某個總體由差異明顯的幾部分組成的情形.它們的共同點
都是等概率抽樣.對于簡單隨機抽樣的概念中,“每次抽取時的各個個體被抽到的概率相等”.如從
含有個個體的總體中,采用隨機抽樣法,抽取個個體,則每個個體第一次被抽到的概率為
,第二次被抽到的概率為,…,故每個個體被抽到的概率為,即每個個體入樣的概率為.
5.總體分布的估計：用樣本估計總體，是研究統計問題的一個基本思想方法,一般地,樣本容量越大,
這種估計就越精確,要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖；⑴學會用樣本平均數
去估計總體平均數；⑵會用樣本方差
去估計總體方差及總體標準差；⑶學會用修正的
樣本方差去估計總體方差,會用去估計.
6.正態總體的概率密度函數：,式中是參數,分別表示總體的平均
數與標準差；
7.正態曲線的性質：⑴曲線在時處于最高點,由這一點向左、向右兩邊延伸時,曲線逐漸降
低；⑵曲線的對稱軸位置由確定；曲線的形狀由確定,越大,曲線越矮胖；反過來曲線越高瘦.
⑶曲線在軸上方，并且關于直線x= 對稱；
8.利用標準正態分布的分布函數數值表計算一般正態分布的概率,可由變
換而得,于是有.
9.假設檢驗的基本思想：⑴提出統計假設，確定隨機變量服從正態分布；⑵確定一
次試驗中的取值是否落入范圍；⑶作出推斷：如果,接受統
計假設；如果,由于這是小概率事件,就拒絕假設.
十二.導數
1.導數的定義：在點處的導數記作.
2.可導與連續的關系：如果函數在點處可導,那么函數在點處連續,但是
在點處連續卻不一定可導.
3.函數在點處有導數,則的曲線在該點處必有切線,且導數值是該切線的斜率.但函數
的曲線在點處有切線,則在該點處不一定可導.如在有切線,但不可導.
4.函數在點處的導數的幾何意義是指：曲線在點處切線的斜率,
即曲線在點處的切線的斜率是,切線方程為.
5.常見函數的導數公式:(為常數)；.；；
；；.
6.導數的四則運算法則：；；.
7.復合函數的導數：.
8.導數的應用：
(1)利用導數判斷函數的單調性：設函數在某個區間內可導,如果,那么為增
函數；如果,那么為減函數；如果在某個區間內恒有,那么為常數；
(2)求可導函數極值的步驟：①求導數；②求方程的根；③列表：檢驗在方程
根的左右的符號，如果左正右負,那么函數在這個根處取得最大值；如果左負
右正,那么函數在這個根處取得最小值；
(3)求可導函數最大值與最小值的步驟：①求在內的極值；②將在各極值點
點的極值與、比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.
十三.復數
1.理解復數、實數、虛數、純虛數、模的概念和復數的幾何表示.
2.熟練掌握與靈活運用以下結論：⑴且；⑵復數是
實數的條件：①；②；③.
3.復數是純虛數的條件: ①是純虛數且； ②是純虛數
；③是純虛數.
4.⑴復數的代數形式：；⑵復數的加、減、乘、除運算按以下法則進行：設,
,則,,
.
5.幾個重要的結論：
⑴；⑵；⑶若為虛數,則.
6.運算律仍然成立：(1) ⑴； ⑵；⑶.
7.注意以下結論：⑴；⑵,；⑶；
⑷.
十四.注意答題技巧訓練
1.技術矯正：考試中時間分配及處理技巧非常重要,有幾點需要必須提醒同學們注意：
⑴按序答題,先易后難.一定要選擇熟題先做、有把握的題目先做.
⑵不能糾纏在某一題、某一細節上,該跳過去就先跳過去,千萬不能感覺自己被卡住,這樣會心慌，
影響下面做題的情緒.
⑶避免“回頭想”現象,一定要爭取一步到位,不要先做一下,等回過頭來再想再檢查,高考時間較緊
張,也許待會兒根本顧不上再來思考.
⑷做某一選擇題時如果沒有十足的把握,初步答案或猜估的答案必須先在卷子上做好標記,有時間
再推敲,不要空答案,否則要是時間來不及瞎寫答案只能增加錯誤的概率.
2.規范化提醒：這是取得高分的基本保證.規范化包括：解題過程有必要的文字說明或敘述,注意解完
后再看一下題目,看你的解答是否符合題意,謹防因解題不全或失誤,答題或書寫不規范而失分.總
之,要吃透題“情”,合理分配時間,做到一準、二快、三規范.特別是要注意解題結果的規范化.
⑴解與解集：方程的結果一般用解表示(除非強調求解集)；不等式、三角方程的結果一般用解集(集
合或區間)表示.三角方程的通解中必須加.在寫區間或集合時,要正確地書寫圓括號、方括
號或大括號,區間的兩端點之間、集合的元素之間用逗號隔開.
⑵帶單位的計算題或應用題,最后結果必須帶單位,解題結束后一定要寫上符合題意的“答”.
⑶分類討論題,一般要寫綜合性結論.
⑷任何結果要最簡.如等.
⑸排列組合題,無特別聲明,要求出數值.
⑹函數問題一般要注明定義域(特別是反函數).
⑺參數方程化普通方程,要考慮消參數過程中最后的限制范圍.
⑻軌跡問題：①軌跡與軌跡方程的區別：軌跡方程一般用普通方程表示,軌跡則需要說明圖形形狀.
②有限制條件的必須注明軌跡中圖形的范圍或軌跡方程中或的范圍.
⑼分數線要劃橫線,不用斜線.
3.考前寄語：①先易后難,先熟后生；②一慢一快：審題要慢,做題要快；③不能小題難做,小題大做,
而要小題小做,小題巧做；④我易人易我不大意,我難人難我不畏難；⑤考試不怕題不會,就怕會題
做不對；⑥基礎題拿滿分,中檔題拿足分,難題力爭多得分,似曾相識題力爭不失分；⑦對數學解題
有困難的考生的建議：立足中下題目,力爭高上水平,有時“放棄”是一種策略.

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