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聚焦定積分的五種基本題型
定積分部分是高中數(shù)學(xué)課程的新增內(nèi)容，也是與高等數(shù)學(xué)相銜接的內(nèi)容，同時該部分又與實際生活聯(lián)系密切，所以它已成為高考命題的熱點(diǎn)，其基本題型主要有以下幾種：
利用微積分基本定理求定積分
例1：計算以下定積分：
（1） （2） （3）
解析：（1）函數(shù)的一個原函數(shù)是，
所以==.
（2）函數(shù)的一個原函數(shù)是，所以
==.
（3）=+=+=.
評注：本題考查了利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù).
用定積分的幾何意義求定積分
例2：求定積分.
解析：設(shè)，則，表示由曲線在上的一段與坐標(biāo)軸所圍成的面積，即在第一象限部分的圓的面積，所以=
.
評注：本題考查了利用定積分的幾何意義來求定積分，其關(guān)鍵是將被積函數(shù)的圖象在坐標(biāo)系中畫出來，再根據(jù)積分區(qū)間確定圖形的范圍與大小，利用相關(guān)的面積公式求出其面積，即得到定積分的值.
利用定積分求平面圖形的面積
例3：求由曲線和直線和所圍成的圖形的面積.
解析：如圖，為了確定圖形的范圍，先求出這些曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)A(1, 1)，B(2, 4)，
因此，所求圖形的面積為S=+=
+=.
評注：本題考查了定積分的幾何意義、微積分基本定理，借助圖象，求出兩曲線的交點(diǎn)，利用微積分基本定理即可.
定積分求參數(shù)
例4：已知直線分拋物線與x軸圍成圖形面積為相等的兩部分，求k的值.
解析：因為拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，拋物線與x軸圍成圖形面積為S===，又，由此可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)，所以==，又知S=，所以，所以.
評注：本題考查了利用定積分幾何意義及微積分基本定理來求參數(shù)這一基本應(yīng)用，這種題型是近幾年高考命題的熱點(diǎn).
利用定積分的物理意義解題
例5：一點(diǎn)在直線上從時刻開始以速度運(yùn)動，求：
(1)在的位置； (2)在運(yùn)動的路程.
解析：（1）在時刻時該點(diǎn)的位移為==.即在時刻該點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn).（2）=，∴在區(qū)間[0，1]及[3，4]上的 ≥0，在區(qū)間[1，3]上≤0，所以在時的路程為—+=4.
評注：本題考查了定積分的物理意義在解決物理問題中的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)知識與生活實際相聯(lián)系的典例.
例5備用題：
將一彈簧壓縮x米需要4x牛頓的力，現(xiàn)將其從自然長度壓縮5米，求壓力所做的功.
解析：由題意知，彈簧的彈性系數(shù)為k=4，根據(jù)定積分的物理意義知壓力所做的功即為壓力F=kx關(guān)于x的定積分，所以W===50（焦）.

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