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關于定積分的三個應用
定積分的應用非常廣泛，在高中階段常用來解決平面圖形的面積，變速直線運動及變力做功問題，下面舉例介紹其用法，供參考。
一、求平面圖形的面積
例1．求由曲線y=x2與y2=8x所圍成的封閉圖形的面積
解析：解由y=x2與y2=8x聯立的方程組得二交點為(0,0)及(2,4)，
由于封閉圖形的面積在第一象限，故而由y2=8x得y=2，則
面積為S=dx－=(x－x3)|=。
點評：在遇到與二次曲線有關的問題時，要根據實際情況將曲線方程轉化為函數表達式，以方便求出原函數。
二、變速直線運動問題
例2．一質點在直線上以速度v(t)=t2-4t+3(m/s)運動，求質點從時刻t=0s開始到t=4s時行使的路程。
解析：根據題意，作出草圖可知，所求路程即為圖2中陰影
部分的面積。所以所求路程為S=-
+=()|-()|
+()|=4(m).
答：質點行使的路程是4米。
點評：求行使的路程即陰影部分的面積，故而應求各曲邊梯形面積的代數和，如果直接求S=，則為質點從時刻t=0s開始到t=4s的位移，應注意分辯。
三、變力做功問題
例3．在彈性限度內，彈簧受壓時長度的改變量與所受外力成正比（虎克定律）。已知彈簧被壓縮0.5cm時，需壓力9.8N，現彈簧被壓縮了3cm，求壓力所做的功。
解析：設彈簧的彈性系數為k，則彈簧受力F(x)=kx(x表示彈簧被壓縮的長度），將x=0.005代入，得9.8=0.005k，解得k=1960，所以F(x)=1960x.彈簧在[x，x+△x]內移動時外力所做的功為△W，則△W=F(x)△x，所以W===(980x2)|=
0.882(J).
點評：在利用定積分計算壓力所做的功時，首先要將單位統一到功的單位上去，否則容易發生錯誤。

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