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例析定積分計算的幾種方法
一、掌握方法
例1：求定積分的值.
解法1：（用定積分的定義計算定積分）
（1）分割：把區間[0，1]等分成n個小區間[]（i=1，2，…，n）.其長度為△x=，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，其面積記為△Si（i=1，2，…，n）.
（2）近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，
△Si=f（）△x=，（i=1，2，…，n）.
（3）求和：.
（4）取極限：S=.
所以 .
解法2：（用微積分基本定理計算定積分）
函數y＝的一個原函數是
所以
解法3：（用定積分的幾何意義計算定積分）
表示直線與軸所圍梯形（如圖所示）的面積．
所以＝
評注：（1）利用定義法求定積分過程較繁瑣，一般地，只有當其它方法計算定積分比較困難時考慮采用，同時應注意其四個步驟中的關鍵環節是求和，體現的思想方法是先分后合，以直代曲；（2）運用微積分基本定理計算定積分的關鍵是找到被積函數的原函數；（3）利用定積分的幾何意義計算定積分，一般必須滿足被積函數的圖象易畫，面積較易求出．
二、靈活運用
例2：求定積分的值.
分析：可先求出原函數，再利用微積分基本定理求解．
解：因為，
所以可求得函數的一個原函數是
所以
評注：本題由被積函數的特點考慮運用微積分基本定理進行計算，其關鍵是找到被積函數的原函數，若直接求不出原函數可先對被積函數變形，然后可求得．同時注意，為保萬無一失，可對原函數求導進行檢驗．
例3：求定積分的值.
分析：本題注意到函數的圖象即圓的一部分，故可利用定積分的幾何意義求解．
解：表示圓的一部分與直線軸所圍成的圖形（如圖所示）的面積，圖中陰影部分面積等于一圓心角為120o，半徑為2的扇形與一兩直角邊分別為1，的直角三角形的面積和．
所以＝
評注：本題如果用定積分的定義或微積分基本定理求解都比較麻煩，由聯想到圓的一部分，從而想到用定積分的幾何意義求解，從而簡化了運算．這也是數形結合思想的又一體現．運用定積分的幾何意義計算定積分，需要具備較強的觀察能力、分析能力．
　　總之，定積分的計算，在實際解題中應因題而異，注意題目特點，靈活運用解題方法，才能快速而準確地解決問題．

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