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微積分基本定理的理解與應(yīng)用
微積分基本定理揭示了定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用其求定積分dx，是求f（x）的一個(gè)原函數(shù)F（x），并計(jì)算其在端點(diǎn)的函數(shù)值的差，與用定積分的定義計(jì)算定積分比較顯得簡(jiǎn)單，具有比較大的優(yōu)越性，為計(jì)算定積分提供了一種十分簡(jiǎn)捷的方法．
一．微積分基本定理的理解
1．微積分基本定理：一般地，如果f（x）是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且=f（x），那么dx=F（b）－F（a）．
2．微積分基本定理中，通常是把求原函數(shù)與計(jì)算原函數(shù)值的差用一串等式表示出來(lái)．一般地，有dx=F（x）=F（b）－F（a）．注意，把積分上、下限代入原函數(shù)求差時(shí)，要按步驟進(jìn)行，以免發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤．
3．微積分基本定理的條件中是指任一原函數(shù)，而不是所有原函數(shù)．一般地，有dx=[F（x）+C]=[F（b）+C]－[F（a）+C]=F（b）－F（a）．
4．微積分基本定理的條件中是指任一原函數(shù)，而不是所有原函數(shù)．一般地，有dx=[F（x）+C]=[F（b）+C]－[F（a）+C]=F（b）－F（a）．
5．利用微積分基本公式求定積分．其步驟為：第一步：求f（x）的一個(gè)原函數(shù)F（x）；第二步：計(jì)算F（b）－F（a）．
6．應(yīng)用微積分基本公式還可以得到定積分的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)：如：
（1）dx=0，這是因?yàn)閐x=F（a）－F（a）=0；
（2）dx=－dx，這是因?yàn)閐x=F（b）－F（a），而dx=F（x）=F（a）－F（b）=－[F（b）－F（a）]．
二．微積分基本定理的應(yīng)用
1．計(jì)算問題
利用微積分基本定理求函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上的定積分問題是定積分部分最重要的應(yīng)用之一．有時(shí)是對(duì)單一的函數(shù)進(jìn)行積分，有時(shí)也對(duì)分段函數(shù)進(jìn)行積分，要注意加以區(qū)分和應(yīng)用．
例1．（2008年高考山東卷理，14）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+c（a≠0），若dx=f（x0），0≤x0≤1，則x0的值為________．
分析：求函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上的定積分，關(guān)鍵是求出函數(shù)f（x）的一個(gè)原函數(shù)，再加以計(jì)算，同時(shí)結(jié)合取值條件加以確定．
解析：由于dx=dx=（x3+cx）=+1=f（x0）=ax02+c，
則有x02=，由于0≤x0≤1，解得x0=，故填答案：．
點(diǎn)評(píng)：主要考查利用微積分基本定理來(lái)計(jì)算定積分與函數(shù)值問題．計(jì)算定積分應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是正確選擇被積函數(shù)，二是注意被積區(qū)間，其結(jié)果是原函數(shù)在[a，b]上的改變量F（b）－F（a）．
變形練習(xí)1：若dx=3+ln2，且a>1，則a的值為________．
答案：2．
2．證明問題
利用微積分基本定理的幾何性質(zhì)、定義和運(yùn)算性質(zhì)等，可以用來(lái)處理一些相關(guān)的證明問題．
例2．若函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0），且dx=1，求證：dx>1．
分析：利用微積分基本定理，通過(guò)積分作為媒介，結(jié)合積分的計(jì)算作為條件，再結(jié)合相關(guān)的計(jì)算和函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明的目的．
解析：由于dx=dx=（ax2+bx）=a+b，所以a+b=1，
所以dx=dx=dx
=（a2x3+abx2+b2x）=a2+ab+b2=（a+b）2+a2=1+a2>1，
故原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)微積分基本定理，綜合定積分的幾何性質(zhì)與對(duì)應(yīng)的運(yùn)算，結(jié)合函數(shù)等相關(guān)的性質(zhì)，可以解決相關(guān)的證明問題．
變形練習(xí)2：證明：函數(shù)f（a）=的最小值為1．
答案：由于==2+2a+a2，
所以f（a）=2+2a+a2=（a+1）2+1，
那么當(dāng)a=－1時(shí)，函數(shù)f（a）=的最小值為1，
故原結(jié)論成立．
3．應(yīng)用問題
利用微積分基本定理和定積分的相關(guān)知識(shí)，可以用來(lái)處理有關(guān)圖形的面積、曲面的體積、運(yùn)動(dòng)的路程、力的做功等幾何學(xué)中或物理學(xué)中的一些實(shí)際應(yīng)用問題．
例3．（2008年高考海南寧夏卷理，10）由直線x=，x=2，曲線y=及x軸所圍圖形的面積為________．
分析：利用微積分基本定理和定積分的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)曲邊梯形的面積公式，確定對(duì)應(yīng)曲線加以求解．
解析：如圖，所圍圖形的面積為S=dx=lnx=ln2－ln=ln=ln4=2ln2，
故填答案：2ln2．
點(diǎn)評(píng)：主要考查微積分基本定理來(lái)解決定積分的簡(jiǎn)單運(yùn)算和應(yīng)用．以y=f（x）（a≤x≤b）為曲邊的曲邊梯形的面積S為S=dx．在實(shí)際求解曲邊梯形的面積時(shí)要注意在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào)．
變形練習(xí)3：計(jì)算由曲線y2=2x，y=x－4所圍圖形的面積S．
答案：所求圖形的面積S===18．
通過(guò)定積分與微積分基本定理部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)．同時(shí)體會(huì)微積分的產(chǎn)生對(duì)人類文化發(fā)展的意義和價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神．

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