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高中數學二級結論
3V
1、任意的簡單
n
面體內切球半徑為
(V
是簡單
n
面體的體積，
S表是
S表
簡單
n
面體的表面積)
2、在任意△ABC
內，都有
tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
3、若
a
是非零常數，若對于函數
y＝f(x)定義域內的任一變量
x
點有下
列條件之一成立，則函數
y＝f(x)是周期函數，且
2|a|是它的一個周期。
①
f(x＋a)＝f(x－a)
②f(x＋a)＝－f(x)
③f(x＋a)＝1/f(x)
④f(x＋a)＝－1/f(x)
4、若函數
y＝f(x)同時關于直線
x＝a
與
x＝b
軸對稱，則函數
f(x)必為
周期函數，且
T＝2|a－b|
5、若函數
y＝f(x)同時關于點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函數
f(x)必為周期函數，且
T＝2|a－b|
6、若函數
y＝f(x)既關于點（a，0）中心對稱，又關于直線
x＝b
軸對稱，
則函數
f(x)必為周期函數，且
T＝4|a－b|
2
7、斜二測畫法直觀圖面積為原圖形面積的
倍
4
8、過橢圓準線上一點作橢圓的兩條切線，兩切點連線所在直線必經過
橢圓相應的焦點
1
x
1
9、導數題常用放縮ex

x 1、


ln
x

x
1
x、e

ex(x
1)
x
x
x2
y2
10、橢圓

1(a

0,b

0)的面積
S
為
S

πab
a2
b2
1
11、圓錐曲線的切線方程求法：隱函數求導
推論：①過圓
(x a)2

(y
b)2

r2
上任意一點
P(x0
,
y0
)
的切線方程為
(x0
a)(x a)
(y0
b)(y
b)

r
2
x2
y2
②
過
橢
圓

1(a

0,b

0)
上
任
意
一
點
P(x0
,
y0
)
的
切
線方
程
為
a2
b2
xx0
yy
0
1
a2
b2
x2
y2
③過雙曲線

1(a

0,b

0)
上任意一點
P(x0
,
y0
)
的切線方程為
a2
b2
xx0
yy
0
1
a2
b2
12、切點弦方程：平面內一點引曲線的兩條切線，兩切點所在直線的方
程叫做曲線的切點弦方程
①
圓
x2

y2
Dx Ey
F

0
的
切
點
弦
方
程
為
x0

x
y0

yx0x
y0
y

D
E

F

0
2
2
x2
y2
x
x
y
y
②橢圓

1(a

0,b

0)的切點弦方程為
0

0
1
a2
b2
a2
b2
x2
y2
x
x
y
y
③雙曲線

1(a

0,b

0)的切點弦方程為
0

0
1
a2
b2
a2
b2
④拋物線
y2

2px(p

0)的切點弦方程為
y0
y

p(x0

x)
⑤
二
次
曲
線
的
切
點
弦
方
程
為
x0
y

y0x
x0

x
y

yAx0x
B
Cy
y
D

E
0
0

F

0
2
2
2
x2
y2
13、①橢圓

1(a

0,b

0)與直線
Ax
By
C

0(A·B

0)相切的條件是
a2
b2
2
A2a2
B2b2
C2
x2
y2
②雙曲線

1(a

0,b

0)與直線
Ax
By
C

0(A·B

0)相切的條件是
a2
b2
|
A2a2
-
B2b2
|=
C2
14、橢圓的焦半徑(橢圓的一個焦點到橢圓上一點橫坐標為
x0的點
P
的距
離)公式
r1,2

a
ex0
（左加右減）
15、雙曲線的焦半徑(雙曲線上橫坐標為
x
的點
P
到焦點的距離)公式，
且
F1為左焦點，F2為右焦點，e
為雙曲線的離心率。
│PF1│=|a+ex|
，│PF2│=|a-ex|（對任意
x
而言，左加右減）
16、任意滿足axn
byn

r
的二次方程，過函數上一點
(x1,
y1)的切線方程為
ax
xn 11
by
n 1
1y

r
17、平行四邊形對角線平方之和等于四條邊平方之和
18、在銳角三角形中
sin
A sin
B sinC

cos
A cos
B cosC
x2
y2
19、y=kx+m
與橢圓

1(a

b

0)
相交于兩點，則縱坐標之和為
a2
b2
2mb2
a2k
2
b2
20、圓錐曲線的第二定義：
橢圓的第二定義：平面上到定點
F
距離與到定直線間距離之比為常數
c
e(即橢圓的偏心率，
e

)的點的集合(定點
F
不在定直線上，該常數為小于
a
1
的正數)
雙曲線第二定義：平面內，到給定一點及一直線的距離之比大于
1
且為
3
常數的點的軌跡稱為雙曲線
21、到角公式：若把直線
l1依逆時針方向旋轉到與
l2
第一次重合時所轉
k

k
的角是 ，則
tanθ=
2
1
1
k1
k2
x2
y2
22、過雙曲線

1(a

0,b

0)上任意一點作兩條漸近線的平行線，
a2
b2
ab
與漸近線圍成的四邊形面積為
2
過原點的直線與橢圓的兩個交點和橢圓上不與左右頂點重合的任一點
a2
構成的直線斜率乘積為定值
(a

b

0)
b2
23、拋物線焦點弦的中點，在準線上的射影與焦點
F
的連線垂直于該焦
點弦
24、雙曲線焦點三角形的內切圓圓心的橫坐標為定值
a(長半軸長)
推論：橢圓上不與左右頂點重合的任一點與左右頂點構成的直線斜率乘
a2
積為定值
(a

b

0)
b2
25、面積射影定理：如圖，設平面
α外的△
ABC
在平面
α內的射影為△
ABO，
分別記△
ABC
的面積和△
ABO
的面積為
S
和
S′
，記△
ABC
所在平面和平
面
α所成的二面角為
θ，則
cos
θ
=
S′
:
S
4
26、角平分線定理：三角形一個角的平分線分其對邊所成的兩條線段與
這個角的兩邊對應成比例
角平分線定理逆定理：如果三角形一邊上的某個點分這條邊所成的兩條
線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例，那么該點與對角頂點的連線是三角
形的一條角平分線
27、數列不動點：
定義：方程
f
(x)

x
的根稱為函數
f
(x)的不動點
利用遞推數列
f
(x)的不動點，可將某些遞推關系
an

f
(an 1)
所確定的數
列化為等比數列或較易求通項的數列，這種方法稱為不動點法
定理
1：若
f
(x)

ax
b(a

0,a
1),
p
是
f
(x)
的不動點，
an
滿足遞推關系
an

f
(an 1),(n
1)，則an

p

a(a
an 1

p)，即{an

p}是公比為
的等比數列.
ax

b
定
理
2
：
設
f
(x)

(c

0,ad

bc

0)
，
{an}
滿
足
遞
推
關
系
cx

d
an

f
(an 1),n
1，初值條件a1

f
(a1
)
(1)
若
f
(x)有兩個相異的不動點
p,q，
an

p
an 1

p
a

pc(2)
則

k

（這里
k

）
an

q
an 1

q
a

qc
1
1
2c
(2)若
f
(x)只有唯一不動點
p
，則


k
（這里
k

）
an

p
an 1

p
a

d
28、三余弦定理：設
A
為面上一點，過
A
的斜線
AO
在面上的射影為
AB，
AC
為面上的一條直線，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB
三角的余弦關系為：
cos∠OAC=cos∠BAC·cos∠OAB(∠BAC
和∠OAB
只能是銳角)
5
29、在
Rt△ABC
中，C
為直角，
內角
A，B，C
所對的邊分別是
a，b，c，
a
b

c
則△ABC
的內切圓半徑為
2
30、立方差公式：a3
b3

(a b)(a2
ab b2)立方和公式：
a3
b3

(a b)(a2
ab b2)
31、向量與三角形四心：在△ABC
中，角
A，B，C
所對的邊分別是
a，
b，c
(1)OA OB OC

0

O是 ABC的重心
(2)OA OB
OB
OC
OC
OA
O為 ABC的垂心
(3)aOA bOB
cOC

0 O為 ABC的內心
(4)
OA

OB

OC

O為 ABC的外心
32、正弦平方差公式：
sin2
sin2


sin(

)sin(

)
33、對任意圓錐曲線，過其上任意一點作兩直線，若兩射線斜率之積為
定值，則兩交點連線所在直線過定點
34
、
點
(x,y)
關
于
直
線
Ax+By+C=0
的
對
稱
點
坐
標
為

2A(Ax

By
C)
2B(Ax

By
C)


x

,
y


A2

B
2
A2

B2

35、 an 為公差為
d
的等差數列， bn 為公比為
q
的等比數列，若數列 cn
c

q2c

c
滿足
cn

an
bn，則數列 c
的前
n
項和
S
為
S

n 1
n
1
n
n
n
(q
1)2
（錯位相減法）
36
、
若
圓
的
直
徑
端
點
A x1,
y1

,
B x2
,
y2

，
則
圓
的
方
程
為
6
x
x1
x
x2


y
y1

y
y2


0
37、過橢圓上一點做斜率互為相反數的兩條直線交橢圓于
A、B
兩點，
則直線
AB
的斜率為定值
38、二項式定理的計算中不定系數變為定系數的公式：
kCk

nC
k 1n
n 1
39、三角形五心：
(1)三角形的重心：中線的交點（1、重心到頂點的距離與重心到對邊中
點的距離之比為
2︰1。2、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的
算術平均數，即其重心坐標為（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3。3、以
重心為起點，以三角形三頂點為終點的三條向量之和等于零向量。）
(2)三角形的垂心：高線的交點
(3)三角形的外心：中垂線的交點(外接圓圓心，正弦定理求外接圓半徑）
(5)三角形的內心：角平分線交點（內切圓圓心，面積法求內切圓半徑）
a2
b2

c2
40、在△ABC
中，角
A，B，C
所對的邊分別是
a，b，c，則
AB

AC

2
41、洛必達法則：若函數
和
滿足：
，
；
則
42、圓錐曲線弦長公式
d
=
=
=
=
d
=
7
43、拋物線焦點弦長公式：
=2px，過焦點直線交拋物線于
A(x1,y1）和
B(x2,y2）兩點，則
AB
弦長：d=p+x1+x2
44、三垂線定理：平面內搭一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射
影垂直，那么它也就和這條斜線垂直。由于定理中涉及三條與平面內已知直
線有垂直關系的直線（如圖，PA⊥a，PB⊥a，AB⊥a），故稱為三垂線定
理。
45、向量法解立體幾何公式總結
一、
基本知識點
直線
l,m的方向向量分別為a,b，平面
,
的法向量分別為n1
,n2（若只涉及一個
平面 ，則用
n表示其法向量）并在下面都不考慮線線重合、面面重合及線在面
內的情況。
3、夾角問題
A
B

1
）異面直線
AB,CD
所成的角

（范圍：
0


）
2
C
A
B
C
D
c
o
s

c
o sA
B
C,D

D
A
B.
C
D
8

a
n
2）線面角
（范圍：0


），sin

cos

a,n


2
a

n




a,n






a,n

2
2
3）二面角
（范圍：0

）



n1,n2



n1,n2

n
cos


1
n2
n
n
n

n
cos

1
2
1
2
n1

n2
4、距離問題
2
2
2
1）點
A到點
B的距離：
AB

(xA

xB
)

(yA

yB
)

(zA

zB
)
2）點
A到線
l的距離d
在直線
l
上任取點B
AB
a
cos

cos

AB,a


，
AB

a
sin

1 cos2
，
d

AB
sin
3）點
A到面
的距離d
在平面
上任取點B
AB
n
cos

cos

AB,n


AB

n
AB
n
AB
n
d

AB
cos

AB


AB

n
n
9
第
10
頁

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