資源簡介

數
學
知
識
點
總
結
引言
1.課程內容：
必修課程由 5個模塊組成：
必修 1：集合、函數概念與基本初等函數（指、對、冪函數）
必修 2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
必修 3：算法初步、統計、概率。
必修 4：基本初等函數（三角函數）、平面向量、三角恒等變換。
必修 5：解三角形、數列、不等式。
以上是每一個高中學生所必須學習的。
上述內容覆蓋了高中階段傳統的數學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數、
數列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時，
進一步強調了這些知識的發生、發展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。
此外，基礎內容還增加了向量、算法、概率、統計等內容。
選修課程有 4個系列：
系列 1：由 2個模塊組成。
選修 1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。
選修 1—2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數、框圖
系列 2：由 3個模塊組成。
選修 2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、
空間向量與立體幾何。
選修 2—2：導數及其應用，推理與證明、數系的擴充與復數
選修 2—3：計數原理、隨機變量及其分布列，統計案例。
系列 3：由 6個專題組成。
選修 3—1：數學史選講。
選修 3—2：信息安全與密碼。
選修 3—3：球面上的幾何。
選修 3—4：對稱與群。
選修 3—5：歐拉公式與閉曲面分類。
選修 3—6：三等分角與數域擴充。
系列 4：由 10個專題組成。
選修 4—1：幾何證明選講。
選修 4—2：矩陣與變換。
選修 4—3：數列與差分。
選修 4—4：坐標系與參數方程。
選修 4—5：不等式選講。
選修 4—6：初等數論初步。
選修 4—7：優選法與試驗設計初步。
選修 4—8：統籌法與圖論初步。
選修 4—9：風險與決策。
選修 4—10：開關電路與布爾代數。
2．重難點及考點：
重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數
難點：函數、圓錐曲線
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高考相關考點：
⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件
⑵函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數與
指數函數、對數與對數函數、函數的應用
⑶數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列求和、數列的應用
⑷三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函
數的圖象與性質、三角函數的應用
⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數量積及其應用
⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應
用
⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規劃、圓、直線與圓的位置關系
⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應
用
⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量
⑽排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用
⑾概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態分布
⑿導數：導數的概念、求導、導數的應用
⒀復數：復數的概念與運算
高中數學 必修 1知識點
第一章 集合與函數概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含義與表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.
（2）常用數集及其記法
N 表示自然數集， N 或 N 表示正整數集，Z 表示整數集，Q 表示有理數集，R 表示實數集.
（3）集合與元素間的關系
對象a 與集合M 的關系是a M ，或者a M ，兩者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.
②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.
③描述法：{ x | x 具有的性質}，其中 x 為集合的代表元素.
④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.
（5）集合的分類
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①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做
空集( ).
【1.1.2】集合間的基本關系
（6）子集、真子集、集合相等
名稱 記號 意義 性質 示意圖
A B (1)A A
（或 A 中的任一元素都 (2) A
子集 A(B) B A
屬于 B (3)若 A B且B C ，則 A C
B A)
(4)若 A B且B A，則 A B 或
A B （1） A（A 為非空子集）
A B，且 B 中至
真子集 （或 少有一元素不屬于
(2)若 A B且B C ，則 A C B A
A
B A）

A 中的任一元素都
集合 (1)A B
A B 屬于 B，B 中的任 A(B)
相等 (2)B A
一元素都屬于 A
n
（7）已知集合 A 有n(n 1)個元素，則它有2 個子集，它有2
n 1 n n個真子集，它有2 1個非空子集，它有2 2
非空真子集.
【1.1.3】集合的基本運算
（8）交集、并集、補集
名稱 記號 意義 性質 示意圖
（1） A A A
{x | x A,且
A B （2） A
交集
（3） A B A
A B
x B}
A B B
（1） A A A
{x | x A,或
A B （2） A A
并集 B
（3） A B A
A
x B}
A B B
1 A ( A) U
{x | x U ,且x A}
U (A B) ( A) ( B)補集 U U U A
U (A B) ( U A) ( U B) 2 A ( U A) U
【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法
（1）含絕對值的不等式的解法
不等式 解集
| x | a(a 0) {x | a x a}
| x | a(a 0) x | x a 或 x a}
把 ax b 看成一個整體，化成 | x | a ，
| ax b | c,| ax b | c(c 0)
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| x | a(a 0)型不等式來求解
（2）一元二次不等式的解法
判別式
0 0 0
b2 4ac
二次函數
y ax2 bx c(a 0)
O
的圖象
一元二次方程 b b2 4ac
x1,2
ax2
b
bx c 0(a 0) 2a x1 x2 無實根
2a
的根 （其中 x1 x2 )
ax2 bx c 0(a 0) b
{x | x x1或 x x2} {x | x } R
2a
的解集
ax2 bx c 0(a 0)
{x | x1 x x2}
的解集
〖1.2〗函數及其表示
【1.2.1】函數的概念
（1）函數的概念
①設 A 、 B 是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則 f ，對于集合 A 中任何一個數 x ，在集合 B 中都有
唯一確定的數 f (x) 和它對應，那么這樣的對應（包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的對應法則 f ）叫做集合 A 到
B 的一個函數，記作 f : A B ．
②函數的三要素:定義域、值域和對應法則．
③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數．
（2）區間的概念及表示法
①設a,b是兩個實數，且a b ，滿足a x b 的實數 x 的集合叫做閉區間，記做[a,b]；滿足a x b 的
實數 x 的集合叫做開區間，記做 (a,b)；滿足a x b ，或a x b的實數 x 的集合叫做半開半閉區間，
分 別 記 做 [a b, )， (a,b] ； 滿 足 x a, x , a x , b 的x 實b數 x 的 集 合 分 別 記 做
[a , ) a, ( , ) b, ( ,． b ] , ( , )
注意：對于集合{x | a x b}與區間 (a,b)，前者a 可以大于或等于b ，而后者必須
a b ，（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）．
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（3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則：
① f (x) 是整式時，定義域是全體實數．
② f (x) 是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數．
③ f (x) 是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合．
④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于 1．

⑤ y tan x 中， x k (k Z ) ．
2
⑥零（負）指數冪的底數不能為零．
⑦若 f (x) 是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義
域的交集．
⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知 f (x) 的定義域為[a,b]，其復合函數 f [g(x)]的定義域
應由不等式a g(x) b 解出．
⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論．
⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義．
（4）求函數的值域或最值
求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小
（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度
不同．求函數值域與最值的常用方法：
①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．
②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或
最值．
2
③判別式法：若函數 y f (x) 可以化成一個系數含有 y 的關于 x 的二次方程a(y)x b(y)x c(y) 0 ，則
2
在a(y) 0時，由于 x, y 為實數，故必須有 b (y) 4a(y) c(y) 0，從而確定函數的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值．
⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函
數的最值問題．
⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值．
⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值．
⑧函數的單調性法．
【1.2.2】函數的表示法
（5）函數的表示方法
表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．
解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對
應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．
（6）映射的概念
①設 A 、 B 是兩個集合，如果按照某種對應法則 f ，對于集合 A 中任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的
元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的對應法則 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，記
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作 f : A B．
②給定一個集合 A 到集合 B 的映射，且a A,b B ．如果元素a 和元素b 對應，那么我們把元素b 叫做元
素 a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．
〖1.3〗函數的基本性質
【1.3.1】單調性與最大（小）值
（1）函數的單調性
①定義及判定方法
函數的
定義 圖象 判定方法
性 質
如果對于屬于定義域I內 （1）利用定義
某個區間上的任意兩個 y y=f(X) （2）利用已知函數
自變量的值 x1、x2,當 x f(x )．1< 2 的單調性 ．
x．2．時，都有 f
（3）利用函數圖象
．(．x．1．)<．f．(．x．2．)， f(x1 )
（在某個區間圖
那么就說 f(x)在這個區
o x x x 象上升為增）
間上是增函數． 1 2
函數的 ．．． （4）利用復合函數
單調性 如果對于屬于定義域I內 （1）利用定義
某個區間上的任意兩個 y y=f(X) （2）利用已知函數
自變量的值 x1、x 的單調性 2，當 x．1．< f(x 1)
（3）利用函數圖象
x．2．時，都有 f．(．x．1．)>．f．(．x．2．)， f(x2 ) （在某個區間圖
那么就說 f(x)在這個區 o x x x 象下降為減） 1 2間上是減．函．數．． （4）利用復合函數
②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，
減函數減去一個增函數為減函數．
③對于復合函數 y f [g(x)]，令u g(x) ，若 y f (u) 為增，u g(x) 為增，則 y f [g(x)]為增；若
y f (u) 為減，u g(x)為減，則 y f [g(x)]為增；若 y f (u) 為增，u g(x)為減，則 y f [g(x)]為
減；若 y f (u) 為減，u g(x)為增，則 y f [g(x)]為減．
a
（2）打“√”函數 f (x) x (a 0) 的圖象與性質 y
x
f (x) 分別在 ( , a]、[ a , )上為增函數，分別在
[ a ,0) 、 (0, a]上為減函數．
（3）最大（小）值定義
①一般地，設函數 y f (x) 的定義域為 I ，如果存在實數M o x
滿足：（1）對于任意的 x I ，都有 f (x) M ；
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0) M ．那么，我們稱M 是函
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數 f (x) 的最大值，記作 fmax (x) M ．
②一般地，設函數 y f (x) 的定義域為 I ，如果存在實數m 滿足：（1）對于任意的 x I ，都有 f (x) m；
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0) m．那么，我們稱m 是函數 f (x) 的最小值，記作 fmax (x) m ．
【1.3.2】奇偶性
（4）函數的奇偶性
①定義及判定方法
函數的
定義 圖象 判定方法
性 質
如果對于函數 f(x)定義 （1）利用定義（要
域內任意一個 x，都有 先判斷定義域是否
．f(－．x．．)=．－．f．(．x．)．,那么函數 關于原點對稱）
f(x)叫做奇函數． （2）利用圖象（圖．．．
象關于原點對稱）
函數的
奇偶性 如果對于函數 f(x)定義 （1）利用定義（要
域內任意一個 x，都有 先判斷定義域是否
．f( －．x．．)=．f．(．x．)．, 那么函數 關于原點對稱）
f(x)叫做偶．函．數．．
（2）利用圖象（圖
象關于 y軸對稱）
②若函數 f (x) 為奇函數，且在 x 0 處有定義，則 f (0) 0．
③奇函數在 y 軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在 y 軸兩側相對稱的區間增減性相反．
④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函
數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數．
〖補充知識〗函數的圖象
（1）作圖
利用描點法作圖：
①確定函數的定義域； ②化解函數解析式；
③討論函數的性質（奇偶性、單調性）； ④畫出函數的圖象．
利用基本函數圖象的變換作圖：
要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函
數的圖象．
①平移變換
y f (x) h 0 ,左 移h 個單 位 y f (x h) y f (x) k 0 ,上 移k 個單 位 y f (x) k
h 0,右移|h|個單位 k 0,下移|k|個單位
②伸縮變換
y f (x) 0 1, 伸 y f ( x)
1,縮
y f (x) 0 A 1,縮 y Af (x)
A 1,伸
③對稱變換
y軸
y f (x) x 軸 y f (x) y f (x) y f ( x)
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直線y x
y f (x) 原 點 y f ( x) y f (x) y f 1(x)
去掉y軸左邊圖象
y f (x) y f (| x |)
保留y軸右邊圖象，并作其關于y軸對稱圖象
y f (x) 保 留 x軸 上 方圖 象 y | f (x) |
將x軸下方圖象翻折上去
（2）識圖
對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值
域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系．
（3）用圖
函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得
問題結果的重要工具．要重視數形結合解題的思想方法．
第二章 基本初等函數(Ⅰ)
〖2.1〗指數函數
【2.1.1】指數與指數冪的運算
（1）根式的概念
n
①如果 x a,a R, x R,n 1，且n N ，那么 x 叫做a 的n 次方根．當n 是奇數時，a 的n 次方根
用符號 n a 表示；當n 是偶數時，正數a 的正的n 次方根用符號 n a 表示，負的n 次方根用符號 n a 表示；0
的 n 次方根是 0；負數a 沒有n 次方根．
②式子 n a 叫做根式，這里n 叫做根指數，a 叫做被開方數．當n 為奇數時，a 為任意實數；當n 為偶數
時，a 0 ．
a (a 0)n n n n
③根式的性質： ( n a)n a ；當n 為奇數時， a a ；當n 為偶數時， a | a | ．
a (a 0)
（2）分數指數冪的概念
m
a n n am①正數的正分數指數冪的意義是： (a 0,m,n N ,且n 1) ．0 的正分數指數冪等于 0．
m m
1 1
②正數的負分數指數冪的意義是：a n ( ) n n ( )
m (a 0,m,n N ,且n 1) ．0 的負分數指數冪
a a
沒有意義． 注意口訣：底數取倒數，指數取相反數．
（3）分數指數冪的運算性質
r s r s
①a a a (a 0,r, s R) ② (ar )s ars (a 0,r, s R)
(ab)r arbr③ (a 0,b 0,r R)
【2.1.2】指數函數及其性質
（4）指數函數
函數名稱 指數函數
x
定義 函數 y a (a 0 且a 1)叫做指數函數
圖象 a 1 0 a 1
y y xa xy a y
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y 1 y 1 (0,1)
(0,1)
1 1
O x O x
定義域 R
值域 (0, )
過定點 圖象過定點 (0,1) ，即當 x 0 時， y 1．
奇偶性 非奇非偶
單調性 在 R 上是增函數 在 R 上是減函數
a x 1 (x 0) a x 1 (x 0)
函數值的
a x 1 (x 0) x a 1 (x 0)
變化情況
a x 1 (x 0) a x 1 (x 0)
a 變化對 圖象的影響 在第一象限內，a 越大圖象越高；在第二象限內，a 越大圖象越低．
〖2.2〗對數函數
【2.2.1】對數與對數運算
（1）對數的定義
①若ax N(a 0,且a 1) ，則 x 叫做以a 為底 N 的對數，記作 x log a Na N ，其中 叫做底數， 叫做真數．
②負數和零沒有對數．
③對數式與指數式的互化： x log N axa N(a 0,a 1, N 0)．
（2）幾個重要的對數恒等式
loga 1 0， log
b
a a 1， loga a b．
（3）常用對數與自然對數
常用對數： lg N ，即 log10 N ；自然對數： ln N ，即 loge N （其中e 2.71828…）．
（4）對數的運算性質 如果a 0,a 1,M 0, N 0，那么
M
①加法： loga M loga N loga (MN) ②減法： loga M loga N log a
N
log N
③數乘：n loga M log M
n
a (n R) ④a
a N
n log N
⑤ log b M
n loga M (b 0,n R) ⑥換底公式： log
b
a N (b 0,且b 1) a b logb a
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【2.2.2】對數函數及其性質
（5）對數函數
函數
對數函數
名稱
定義 函數 y loga x(a 0 且a 1)叫做對數函數
a 1 0 a 1
x 1 x 1
y y log x y
a y log xa
圖象
1 1(1 ,0)
O (1,0) O
0 x 0 x
定義域 (0, )
值域 R
過定點 圖象過定點 (1,0) ，即當 x 1時， y 0．
奇偶性 非奇非偶
單調性 在 (0, )上是增函數 在 (0, )上是減函數
loga x 0 (x 1) loga x 0 (x 1)
函數值的 loga x 0 (x 1) loga x 0 (x 1)
變化情況
loga x 0 (0 x 1) loga x 0 (0 x 1)
a 變化對 圖象的影響 在第一象限內，a 越大圖象越靠低；在第四象限內，a 越大圖象越靠高．
(6)反函數的概念
設函數 y f (x) 的定義域為 A ，值域為C ，從式子 y f (x) 中解出 x ，得式子 x (y) ．如果對于 y 在
C 中的任何一個值，通過式子 x (y) ，x 在 A 中都有唯一確定的值和它對應，那么式子 x (y) 表示 x 是 y
x f 1(y) y f 1的函數，函數 x (y) 叫做函數 y f (x) 的反函數，記作 ，習慣上改寫成 (x) ．
（7）反函數的求法
1
①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式 y f (x) 中反解出 x f (y) ；
x f 1③將 (y) 1改寫成 y f (x)，并注明反函數的定義域．
（8）反函數的性質
y f 1 ①原函數 y f (x) 與反函數 (x)的圖象關于直線 y x 對稱．
1
②函數 y f (x) 的定義域、值域分別是其反函數 y f (x) 的值域、定義域．
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' 1
③若P(a,b) 在原函數 y f (x) 的圖象上，則 P (b,a)在反函數 y f (x) 的圖象上．
④一般地，函數 y f (x) 要有反函數則它必須為單調函數．
〖2.3〗冪函數
（1）冪函數的定義

一般地，函數 y x 叫做冪函數，其中 x 為自變量， 是常數．
（2）冪函數的圖象
（3）冪函數的性質
①圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二
象限(圖象關于 y 軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖
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象只分布在第一象限．
②過定點：所有的冪函數在 (0, )都有定義，并且圖象都通過點 (1,1) ．
③單調性：如果 0 ，則冪函數的圖象過原點，并且在[0, ) 上為增函數．如果 0，則冪函數的圖象在
(0, )上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近 x 軸與 y 軸．
q
④奇偶性：當 為奇數時，冪函數為奇函數，當 為偶數時，冪函數為偶函數．當 （其中 p,q 互質， p
p
q q
和 q Z ），若 p 為奇數q 為奇數時，則 y x p 是奇函數，若 p 為奇數q 為偶數時，則 y x p 是偶函數，若 p 為
q
偶數q 為奇數時，則 y x p 是非奇非偶函數．

⑤圖象特征：冪函數 y x , x (0, ) ，當 1時，若0 x 1，其圖象在直線 y x 下方，若 x 1，其圖
象在直線 y x 上方，當 1時，若0 x 1，其圖象在直線 y x 上方，若 x 1，其圖象在直線 y x 下方．
〖補充知識〗二次函數
（1）二次函數解析式的三種形式
①一般式： f (x) ax2 bx c(a 0)②頂點式： f (x) a(x h)2 k(a 0)③兩根式：
f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) （2）求二次函數解析式的方法
①已知三個點坐標時，宜用一般式．
②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式．
③若已知拋物線與 x 軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求 f (x) 更方便．
（3）二次函數圖象的性質
2 b
①二次函數 f (x) ax bx c(a 0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為 x , 頂點坐標是
2a
b 4ac b2
( , )．
2a 4a
b b b
②當a 0時，拋物線開口向上，函數在 ( , ]上遞減，在[ , ) 上遞增，當 x 時，
2a 2a 2a
4ac b2 b b b
f a 0min (x) ；當 時，拋物線開口向下，函數在 ( , ]上遞增，在[ , ) 上遞減，當 x
4a 2a 2a 2a
4ac b2
時， fmax (x) ．
4a
③二次函數 f (x) ax2 bx c(a 0)當 b2 4ac 0時，圖象與 x 軸有兩個交點

M1(x1,0), M2 (x2 ,0),| M1M2 | | x1 x2 | ．
| a |
第 - 13 - 頁 共 102 頁
2
（4）一元二次方程ax bx c 0(a 0) 根的分布
一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統
和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次
函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布．
2 2
設一元二次方程ax bx c 0(a 0) 的兩實根為 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f (x) ax bx c ，從以下四個
b
方面來分析此類問題：①開口方向：a ②對稱軸位置： x ③判別式： ④端點函數值符號．
2a
①k＜x1≤x2
y y
b
x
f (k) 0 a 0 2a

O k O
k x x x x x1 2 1 2 x

b
x f (k) 0
2a a 0
②x1≤x2＜k
y y
b
f (k) 0 x
a 0 2a

O x O k2
x1 kx x x1 2 x

b
x a 0 f (k) 0
2a
③x1＜k＜x2 af(k)＜0
y y
a 0
f (k) 0

O k
x1 x x x2 1 O k x2 x
f (k) 0
a 0
④k1＜x1≤x2＜k2
y a 0 y bx
f (k1) 0
2a
f (k2 ) 0

x x k2 1 k1 2
O k k x O x x1 2 x1 2

b f (k1) 0

x f (k2 ) 0
2a
a 0
⑤有且僅有一個根 x（1 或 x2）滿足 k1＜x（1 或 x2）＜k2 f(k1)f(k2) 0，并同時考慮 f(k1)=0或 f(k2)=0
第 - 14 - 頁 共 102 頁
這兩種情況是否也符合
y
a 0 y
f (k1) 0 f (k1) 0

x k1 k2 2
O k x2 x O x1 x x1 k1 2

f (k2 ) 0
a 0 f (k2 ) 0
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
此結論可直接由⑤推出．
（5）二次函數 f (x) ax2 bx c(a 0)在閉區間[ p,q]上的最值
1
設 f (x) 在區間[ p,q]上的最大值為M ，最小值為m ，令 x0 ( p q) ．
2
（Ⅰ）當a 0時（開口向上）
b b b b
①若 p ，則m f ( p) ②若 p q ，則m f ( ) ③若 q ，則m f (q)
2a 2a 2a 2a
y b
a 0 x
a a 0
y b
2 a 0
y b
x x
2a 2a
f f f
f
(q)p (p) (p)
(q) q
O q x
p O q x p O x
f
b b
(p)b f ( ) f f ( )
f ( )2a 2a 2a(q)
b b
①若 x0 ，則M f (q) ② x0 ，則M f ( p)
2a 2a
y b
a 0 y b
a 0
x x

2a 2a f
f (p)
x q
x(0q)p
0
p
O q
O
x x
b
f f f ( )
b 2a
f (( p) ) (q) 2a
(Ⅱ)當a 0 時(開口向下)
b b b b
①若 p ，則M f ( p) ②若 p q ，則M f ( ) ③若 q ，則M f (q)
2a 2a 2a 2a
y a 0
y b
a 0 b a 0 y b f ( )
f ( ) f ( ) f 2a
2a 2a
f f (q)
p (p) q (p) q
O p x O p
O q x
x
f f f b
b b x
x ( q) 第 - 15 - 頁x 共 ( q1)0 2 頁 (p) 2a
2a 2a
b b
①若 x ，則0 m f (q) ② x ，則0 m f ( p)．
2a 2a
a 0 y b

y
f ( ) a 0 bff( )2a 2a
f
(q)
(p) x0 q x p 0
O p x O q x
f
b fx (
b
q) x
2a
(p) 2a
第三章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對于函數 y f (x)(x D)，把使 f (x) 0 成立的實數 x 叫做函數 y f (x)(x D)
的零點。
2、函數零點的意義：函數 y f (x)的零點就是方程 f (x) 0 實數根，亦即函數 y f (x)的圖象與 x 軸
交點的橫坐標。即：
方程 f (x) 0 有實數根 函數 y f (x)的圖象與 x 軸有交點 函數 y f (x)有零點．
3、函數零點的求法：
求函數 y f (x)的零點：
○1 （代數法）求方程 f (x) 0 的實數根；
○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 y f (x)的圖象聯系起來，并利用函數的
性質找出零點．
4、二次函數的零點：
二次函數 y ax2 bx c(a 0)．
１）△＞０，方程ax2 bx c 0 有兩不等實根，二次函數的圖象與 x 軸有兩個交點，二次函數有兩個
零點．
2
２）△＝０，方程ax bx c 0 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 x 軸有一個交點，二次
函數有一個二重零點或二階零點．
2
３）△＜０，方程ax bx c 0 無實根，二次函數的圖象與 x 軸無交點，二次函數無零點．
高中數學 必修 2知識點
第一章 空間幾何體
1.1 柱、錐、臺、球的結構特征
（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這
些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
' ' '
表示：用各頂點字母，如五棱柱 ABCDE A B C D 'E ' '或用對角線的端點字母，如五棱柱 AD
幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的
截面是與底面全等的多邊形。
（2）棱錐
第 - 16 - 頁 共 102 頁
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
P A' ' ' ' '表示：用各頂點字母，如五棱錐 B C D E
幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的
平方。
（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等
表示：用各頂點字母，如五棱臺P A'B 'C 'D 'E '
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側面是梯形 ③側棱交于原棱錐的頂點
（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。
（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。
（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。
（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。
1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖
1 三視圖：
正視圖：從前往后 側視圖：從左往右 俯視圖：從上往下
2 畫三視圖的原則：
長對齊、高對齊、寬相等
3 直觀圖：斜二測畫法
4 斜二測畫法的步驟：
（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；
（2）.平行于 y 軸的線長度變半，平行于 x，z 軸的線長度不變；
（3）.畫法要寫好。
5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖
1.3 空間幾何體的表面積與體積
（一 ）空間幾何體的表面積
1 棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和
2
2 圓柱的表面積 S 2 r l 2 r 2 3 圓錐的表面積 S rl r
2
4 圓臺的表面積 S rl r Rl R
2
5 球的表面積 S 4 R
2
（二）空間幾何體的體積
1
1 柱體的體積 V S底 h 2 錐體的體積 V S底 h
3
1
3 臺體的體積 V （S上 S上S下 S下 ) h 4 球體的體積
3
4 3
V R
3
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第二章 直線與平面的位置關系
2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系
2.1.1
1 平面含義：平面是無限延展的
2 平面的畫法及表示
0
（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成 45，且橫邊畫成鄰邊的 2倍長（如圖）
（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂
點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面 AC、平面 ABCD等。
3 三個公理：
（1）公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內
符號表示為 D C
A∈L
A
B∈L => L α α α ·
L A B A∈α
B∈α
公理 1作用：判斷直線是否在平面內
（2）公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 A B
符號表示為：A、B、C 三點不共線 => 有且只有一個平面α， α · C ·
·
使 A∈α、B∈α、C∈α。
公理 2作用：確定一個平面的依據。
（3）公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直 線。
β
符號表示為：P∈α∩β =>α∩β=L，且 P∈L
公理 3作用：判定兩個平面是否相交的依據 α P
· L
2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系
1 空間的兩條直線有如下三種關系：
相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；
共面直線
平行直線：同一平面內，沒有公共點；
異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點。
2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
符號表示為：設 a、b、c是三條直線
a∥b =>a∥c
c∥b
強調：公理 4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。
公理 4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。
3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
4 注意點：
① a'與 b'所成的角的大小只由 a、b的相互位置來確定，與 O 的選擇無關，為簡便，點 O 一般取在兩直線中的
一條上；
② 兩條異面直線所成的角θ∈ (0， )；
2
第 - 18 - 頁 共 102 頁
③ 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 a⊥b；
④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；
⑤ 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系
1、直線與平面有三種位置關系：
（1）直線在平面內 —— 有無數個公共點
（2）直線與平面相交 —— 有且只有一個公共點
（3）直線在平面平行 —— 沒有公共點
指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用 a α來表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直線、平面平行的判定及其性質
2.2.1 直線與平面平行的判定
1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
簡記為：線線平行，則線面平行。
符號表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面與平面平行的判定
1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。
符號表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種：
（1）用定義；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。
2.2.3 — 2.2.4 直線與平面、平面與平面平行的性質
1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
簡記為：線面平行則線線平行。
符號表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。
第 - 19 - 頁 共 102 頁
2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。
符號表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行
2.3 直線、平面垂直的判定及其性質
2.3.1 直線與平面垂直的判定
1、定義
如果直線 L與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 L與平面α互相垂直，記作 L⊥α，直線 L叫
做平面α的垂線，平面α叫做直線 L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點 P叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；
b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。
2.3.2 平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4 直線與平面、平面與平面垂直的性質
1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。
2 性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。
本章知識結構框圖
平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）
空間直線、平面的位置關系
第 - 20 - 頁 共 102 頁
直線與直線的位置關系 直線與平面的位置關系 平面與平面的位置關系
第三章 直線與方程
3.1 直線的傾斜角和斜率
3.1 傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角的概念：當直線 l 與 x 軸相交時, 取 x 軸作為基準, x 軸正向與直線 l 向上方向之間所成的角
α叫做直線 l的傾斜角.特別地,當直線 l與 x軸平行或重合時, 規定α= 0°.
2、 傾斜角α的取值范圍： 0°≤α＜180°. 當直線 l與 x軸垂直時, α= 90°.
3、直線的斜率:
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母 k 表示,也就是 k = tan
α
⑴當直線 l與 x軸平行或重合時, α=0°, k = tan0°=0;
⑵當直線 l與 x軸垂直時, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一條直線 l的傾斜角α一定存在,但是斜率 k不一定存在.
4、 直線的斜率公式:
給定兩點 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線 P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2 兩條直線的平行與垂直
1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它
們平行，即
注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立．即如果
k1=k2, 那么一定有 L1∥L2
2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，
那么它們互相垂直，即
3.2.1 直線的點斜式方程
1、 直線的點斜式方程：直線 l 經過點P (x , y )，且斜率為k y y k(x x )
0 0 0 0 0
2、、直線的斜截式方程：已知直線 l 的斜率為k ，且與 y 軸的交點為 (0,b) y kx b
3.2.2 直線的兩點式方程
1、直線的兩點式方程：已知兩點P (x , x ),P (x , y ) 其中 (x x , y y ) y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
2、直線的截距式方程：已知直線 l 與 x 軸的交點為 A (a,0)，與 y 軸的交點為 B (0,b)，其中a 0,b 0
3.2.3 直線的一般式方程
1、直線的一般式方程：關于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0（A，B 不同時為 0）
2、各種直線方程之間的互化。
3.3 直線的交點坐標與距離公式
第 - 21 - 頁 共 102 頁
3.3.1 兩直線的交點坐標
1、給出例題：兩直線交點坐標
L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0
3x 4y 2 0
解：解方程組
2x 2y 2 0
得 x=-2，y=2
所以 L1 與 L2 的交點 坐標為 M（-2，2）
2 2
3.3.2 兩點間距離 P1P2 x2 x2 y2 y1
兩點間的距離公式
3.3.3 點到直線的距離公式
1．點到直線距離公式：
Ax0 By0 C
點 P(x0 , y0 )到直線 l : Ax By C 0的距離為：d
A2 B 2
2、兩平行線間的距離公式：
已知兩條平行線直線 l1和 l2 的一般式方程為 l1： Ax By C1 0，
C1 C2
l2 Ax By C 0，則 l1 與 l2 的距離為d 2
A2 B 2
第四章 圓與方程
4.1.1 圓的標準方程
1、圓的標準方程： (x a)2 (y b)2 r2
圓心為 A(a,b),半徑為 r 的圓的方程
2、點M (x0 , y
2 2 2
0)與圓 (x a) (y b) r 的關系的判斷方法：
（1） (x0 a)
2 (y b)2 > r
2
0 ，點在圓外 （2） (x0 a)
2 (y b)2 = r
2
0 ，點在圓上
2 2 2
（3） (x r0 a) (y0 b) < ，點在圓內
4.1.2 圓的一般方程
2
1 、 圓 的 一 般 方 程 ： x y
2 Dx Ey F 0
2、圓的一般方程的特點：
(1)①x2 和 y2的系數相同，不等于 0． ②沒有 xy這樣的二次項．
(2)圓的一般方程中有三個特定的系數 D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了．
第 - 22 - 頁 共 102 頁
(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓
心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。
4.2.1 圓與圓的位置關系
1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系．
D E
設直線 l ：ax by c 0，圓C ： x2 y 2 Dx Ey F 0，圓的半徑為 r ，圓心 ( , ) 到直線的距
2 2
離為 d ，則判別直線與圓的位置關系的依據有以下幾點：
（1）當 d r 時，直線 l 與圓C 相離；（2）當 d r 時，直線 l 與圓C 相切；
（3）當 d r 時，直線 l 與圓C 相交；
4.2.2 圓與圓的位置關系
兩圓的位置關系．
設兩圓的連心線長為 l ，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點：
（1）當 l r1 r2時，圓C1 與圓C2 相離；（2）當 l r1 r2時，圓C1 與圓C2 外切；
（3）當 | r1 r2 | l r1 r2 時，圓C1 與圓C2 相交；
（4）當 l | r1 r2 | 時，圓C1 與圓C2 內切；（5）當 l | r1 r2 |時，圓C1 與圓C2 內含；
4.2.3 直線與圓的方程的應用
1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；
2、過程與方法
用坐標法解決幾何問題的步驟：
第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問
題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論． R
4.3.1 空間直角坐標系 M
O Q y
1、點 M 對應著唯一確定的有序實數組 (x, y, z) ， x 、 y 、 z 分別是 P、Q、R 在 x 、
P M'
y 、 z 軸上的坐標
x
2、有序實數組 (x, y, z) ，對應著空間直角坐標系中的一點
3、空間中任意點 M 的坐標都可以用有序實數組 (x, y, z) 來表示，該 數 組
z
叫做點 M 在此空間直角坐標系中的坐標，記 M (x, y, z) ，x 叫做點 M 的 橫
坐標， y 叫做點 M 的縱坐標， z 叫做點 M 的豎坐標。 P
2
4.3.2 空間兩點間的距離公式 P1
O
M H N y
第 2 - 23 - 頁 共 102 頁 2M
1 M
N
1 N
x
1、空間中任意一點 P1(x1, y1, z1)到點P2 (x2 , y2 , z2 )之間的距離公式
P1P2 (x1 x
2
2 ) (y
2
1 y2 ) (z1 z2 )
2
高中數學 必修 3知識點
第一章 算法初步
1.1.1 算法的概念
1、算法概念：
在數學上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必
須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.
2. 算法的特點:
(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.
(2)確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可.
(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前
一步是后一步的前提，只有執行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.
(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經過有限、事先設計好
的步驟加以解決.
1.1.2 程序框圖
1、程序框圖基本概念：
（一）程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算
法的圖形。
一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。
（二）構成程序框的圖形符號及其作用
程序框 名稱 功能
表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不
起止框
可少的。
表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法
輸入、輸出框
中任何需要輸入、輸出的位置。
賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、公
處理框
式等分別寫在不同的用以處理數據的處理框
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內。
判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明
判斷框
“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。
學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規則，畫程序框圖的規則如下：
1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數流程圖符號只
有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”
與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內
描述的語言要非常簡練清楚。
（三）、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。
1、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是
由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。
順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而
下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A 框和 B A
框是依次執行的，只有在執行完 A 框指定的操作后，才能接著執
行 B 框所指定的操作。 B
2、條件結構：
條件結構是指在算法中通過對條件的判斷
根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。
條件 P 是否成立而選擇執行 A 框或 B 框。無論 P 條件是否成立，只能執行 A 框或 B 框之一，不可能同時執
行 A 框和 B 框，也不可能 A框、B框都不執行。一個判斷結構可以有多個判斷框。
3、循環結構：在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情況，這就是
循環結構，反復執行的處理步驟為循環體，顯然，循環結構中一定包含條件結構。循環結構又稱重復結構，循環
結構可細分為兩類：
（1）、一類是當型循環結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件 P 成立時，執行 A 框，A 框執行完畢后，
再判斷條件 P 是否成立，如果仍然成立，再執行 A 框，如此反復執行 A 框，直到某一次條件 P 不成立為止，此
時不再執行 A 框，離開循環結構。
（2）、另一類是直到型循環結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件 P 是否成立，如果 P
仍然不成立，則繼續執行 A 框，直到某一次給定的條件 P 成立為止，此時不再執行 A 框，離開循環結構。
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A
A
P P
成立
不成立 成立 不成立
當型循環結構 直到型循環結構
注意：1 循環結構要在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來判斷。因此，循環結構中一定包含條件結
構，但不允許“死循環”。2 在循環結構中都有一個計數變量和累加變量。計數變量用于記錄循環次數，累加變
量用于輸出結果。計數變量和累加變量一般是同步執行的，累加一次，計數一次。
1.2.1 輸入、輸出語句和賦值語句
1、輸入語句
（1）輸入語句的一般格式
圖形計算器 （2）輸入語
格式
INPUT“提示內容”；變量 INPUT “提示內容”，變量 句的作用是
實現算法的
輸入信息功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）
輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數，不能是函數、變量或表達式；（5）提示內容與變量之間用分號“；”
隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。
2、輸出語句
（1）輸出語句的一般格式
圖形計算器
格式 （2）輸
PRINT“提示內容”；表達式 Disp “提示內容”，變量
出 語 句 的
作用是實現算法的輸出結果功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數據；
（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。
3、賦值語句 圖形計算器
（1）賦值語句的一般格式
變量＝表達式 格式 表達式 變量
（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數學中的等號
的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值
語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量或算式；（5）對于一個變量可以多
次賦值。
注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X 是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”
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“B=A”的含義運行結果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）
④賦值號“=”與數學中的等號意義不同。
1．2．2 條件語句
1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IF—THEN—ELSE 語句；（2）IF—THEN 語句。2、IF—THEN—ELSE 語
句
IF—THEN—ELSE 語句的一般格式為圖 1，對應的程序框圖為圖 2。
IF 條件 THEN
否
語句 1 滿足條件？
ELSE 是
語句 2 語句 2
語句 1
END IF
圖 1
圖 2
分析：在 IF—THEN—ELSE 語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句 1”表示滿足條件時執行的操作內容；“語
句 2”表示不滿足條件時執行的操作內容；END IF 表示條件語句的結束。計算機在執行時，首先對 IF 后的條
件進行判斷，如果條件符合，則執行 THEN 后面的語句 1；若條件不符合，則執行 ELSE 后面的語句 2。
3、IF—THEN 語句
IF—THEN 語句的一般格式為圖 3，對應的程序框圖為圖 4。
IF 條件 THEN 是
語句 滿足條件？
END IF （圖 3） 語句
否
（圖 4）
注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執行的操作內容，條件不滿足時，結束程序；END IF
表示條件語句的結束。計算機在執行時首先對 IF 后的條件進行判斷，如果條件符合就執行 THEN 后邊的語句，
若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而執行其它語句。
1．2．3 循環語句
循環結構是由循環語句來實現的。對應于程序框圖中的兩種循環結構，一般程序設計語言中也有當型
（WHILE 型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結構。即 WHILE 語句和 UNTIL語句。
1、WHILE 語句
（1）WHILE語句的一般格式是 對應的程序框圖是
循環體
WHILE 條件
循環體 是
滿足條件？
WEND
否
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（2）當計算機遇到 WHILE 語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行 WHILE 與 WEND 之間的循環
體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。
這時，計算機將不執行循環體，直接跳到 WEND 語句后，接著執行 WEND 之后的語句。因此，當型循環有時
也稱為“前測試型”循環。
2、UNTIL 語句
（1）UNTIL語句的一般格式是 對應的程序框圖是
DO
循環體
循環體
LOOP UNTIL 條件 否
滿足條件？
是
（2）直到型循環又稱為“后測試型”循環，從 UNTIL 型循環結構分析，計算機執行該語句時，先執行一次循環
體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續返回執行循環體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，
直到某一次條件滿足時，不再執行循環體，跳到 LOOP UNTIL 語句后執行其他語句，是先執行循環體后進行條件
判斷的循環語句。
分析：當型循環與直到型循環的區別：（先由學生討論再歸納）
（1） 當型循環先判斷后執行，直到型循環先執行后判斷；
在 WHILE 語句中，是當條件滿足時執行循環體，在 UNTIL語句中，是當條件不滿足時執行循環
例題： 設計計算 1 3 5 ... 99 的一個算法.（見課本P21）
S 1 S 1
S 1 I 1 I 1
For I From 3 To 99 Step 2 While I 97 While I 99
S S I I I 2 S S I
End For S S I I I 2
Pr int S End While End While
Pr int S Pr int S

S 1 S 1
I 1 I 1
Do Do
S S I I I 2
I I 2 S S I
Loop Until I 100 (或者 I 99 ) Loop Until I 99
Pr int S Pr int S

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S 1 S 1
I 1 I 1
Do While I 99 (或者I 100 ) Do While I 97 (或者I 99 )
S S I I I 2
I I 2 S S I
Loop Loop
Pr int S Pr int S

顏老師友情提醒：
1. 一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出
算法畫出流程還要寫出偽代碼。
2. 在具體做題時，可能好多的同學感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿
紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。
3. 書寫程序時一定要規范化，使用統一的符號，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可
能同學會看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時還會碰到我們沒有見過的語言，希望大家能以課本為依
據，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！
1.3.1 輾轉相除法與更相減損術
1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：
S R
（1）：用較大的數 m除以較小的數 n得到一個商 0 和一個余數 0
R
；（2）：若 0 ＝0，則 n為 m，n的最大公約數；
R0 R若 ≠0，則用除數 n除以余數 0
S
得到一個商 1
R
和一個余數 1
R
；（3）：若 1
R
＝0，則 1為 m，n的最大公約數；
R R R S R R
若 1≠0，則用除數 0 除以余數 1得到一個商 2 和一個余數 2 ；…… 依次計算直至 n ＝0，此時所得
R
到的 n 1 即為所求的最大公約數。
2、更相減損術
我國早期也有求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數的步驟：
可半者半之，不可半者，副置分母 子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。
翻譯為：（1）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用 2約簡；若不是，執行第二步。（2）：以較
大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為
止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。
例 2 用更相減損術求 98與 63的最大公約數.
分析：（略）
3、輾轉相除法與更相減損術的區別：
（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除
法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。
（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為 0 則得到，而更相減損術則以減數與差相等而
得到
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1.3.2 秦九韶算法與排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=a xn+a xn-1n n-1 +….+a1x+a0 求值問題
f(x)=a xn+a xn-1+….+a x+a =( a xn-1+a xn-2n n-1 1 0 n n-1 +….+a )x+a n-2 n-31 0 =(( anx +an-1x +….+a2)x+a1)x+a0
=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即 v1=anx+an-1
然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即
v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0
這樣，把 n 次多項式的求值問題轉化成求 n 個一次多項式的值的問題。
2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數放入數組的第１個元素中，以后讀入的數與已存入
數組的數進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀
入的新數填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比較相鄰的兩個數,把大的放前面,小的放后面.即首先比較第 1 個數和第 2 個數,大數放前,小數
放后.然后比較第 2 個數和第 3 個數......直到比較最后兩個數.第一趟結束,最小的一定沉到最后.重復上過程,
仍從第 1 個數開始,到最后第 2 個數...... 由于在排序過程中總是大數往前,小數往后,相當氣泡上升,所以叫冒
泡排序.
1.3.3 進位制
1、概念：進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。可使用數字符號的個數稱為基
數，基數為 n，即可稱 n 進位制，簡稱 n 進制。現在最常用的是十進制，通常使用 10 個阿拉伯數字 0-9 進行記
數。對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數 57，可以用二進制表示為 111001，也可
以用八進制表示為 71、用十六進制表示為 39，它們所代表的數值都是一樣的。
一般地，若 k是一個大于一的整數，那么以 k為基數的 k進制可以表示為：
anan 1...a1a0(k ) (0 an k,0 an 1,...,a1,a0 k)，
而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如 111001(2)表示二進制數,34(5)表示 5進制數
第二章 統計
2.1.1 簡單隨機抽樣
1．總體和樣本
在統計學中 , 把研究對象的全體叫做總體．
把每個研究對象叫做個體．
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把總體中個體的總數叫做總體容量．
為了研究總體 的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分： ， ， ，
研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數稱為樣本容量．
2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨
機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼
此間無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較
小和數目較少時，才采用這種方法。
3．簡單隨機抽樣常用的方法：
（1）抽簽法；⑵隨機數表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統計軟件直接抽取。
在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。
4．抽簽法:
（1）給調查對象群體中的每一個對象編號；
（2）準備抽簽的工具，實施抽簽
（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調查
例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。
5．隨機數表法：
例：利用隨機數表在所在的班級中抽取 10 位同學參加某項活動。
2.1.2 系統抽樣
1．系統抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：
把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單
隨機抽樣的辦法抽取。
K（抽樣距離）=N（總體規模）/n（樣本規模）
前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規則分布。
可以在調查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中
的分布承某種循環性規律，且這種循環和抽樣距離重合。
2．系統抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。
更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使
用系統抽樣可以大大提高估計精度。
2.1.3 分層抽樣
1．分層抽樣（類型抽樣）：
先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或
層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。
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兩種方法：
1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。
2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統抽樣的方法
抽取樣本。
2．分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該
子總體，所有的樣本進而代表總體。
分層標準：
（1）以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。
（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。
（3）以那些有明顯分層區分的變量作為分層變量。
3．分層的比例問題：
（1）按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取子樣本的方法。
（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便
于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數據資
料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。
2.2.2 用樣本的數字特征估計總體的數字特征
x1 x2 xn
1、本均值： x
n
(x 2 2 22
、．樣本標準差： s s 1
x) (x2 x) (xn x)
2
n
3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏
差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。
雖然我們用樣本數據得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但
這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。
4．（1）如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變
（2）如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數 k，標準差變為原來的 k 倍
（3）一組數據中的最大值和最小值對標準差的影響，區間 (x 3s, x 3s) 的應用；
“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理
2.3.2 兩個變量的線性相關
1、概念:
（1）回歸直線方程（2）回歸系數
2．最小二乘法
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3．直線回歸方程的應用
（1）描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關系
（2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量 x）代入回歸方程對預報量（即因變量 Y）進行估
計，即可得到個體 Y 值的容許區間。
（3）利用回歸方程進行統計控制規定 Y 值的變化，通過控制 x 的范圍來實現統計控制的目標。如已經得
到了空氣中 NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中 NO2的濃度。
4．應用直線回歸的注意事項
（1）做回歸分析要有實際意義；
（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；
（3）回歸直線不要外延。
第三章 概 率
3.1.1 —3.1.2 隨機事件的概率及概率的意義
1、基本概念：
（1）必然事件：在條件 S 下，一定會發生的事件，叫相對于條件 S 的必然事件；
（2）不可能事件：在條件 S 下，一定不會發生的事件，叫相對于條件 S 的不可能事件；
（3）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件 S 的確定事件；
（4）隨機事件：在條件 S 下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件 S 的隨機事件；
（5）頻數與頻率：在相同的條件 S 下重復 n 次試驗，觀察某一事件 A 是否出現，稱 n 次試驗中事件 A 出現的次
nA
數 nA 為事件 A 出現的頻數；稱事件 A 出現的比例 fn(A)= n 為事件 A 出現的概率：對于給定的隨機事件 A，如
果隨著試驗次數的增加，事件 A 發生的頻率 fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作 P（A），稱為事件 A 的概
率。
nA
（6）頻率與概率的區別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數 nA 與試驗總次數 n 的比值 n ，它具有
一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數
叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近
似地作為這個事件的概率
3.1.3 概率的基本性質
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若 A∩B 為不可能事件，即 A∩B=ф，那么稱事件 A 與事件 B 互斥；
（3）若 A∩B 為不可能事件，A∪B 為必然事件，那么稱事件 A 與事件 B 互為對立事件；
（4）當事件 A 與 B 互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件 A 與 B 為對立事件，則 A∪B 為必
然事件，所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1—P(B)
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2、概率的基本性質：
1）必然事件概率為 1，不可能事件概率為 0，因此 0≤P(A)≤1；
2）當事件 A 與 B 互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件 A 與 B 為對立事件，則 A∪B 為必然事件，所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件 A 與事件 B 在一次試驗中不會同時發生，其具體包括
三種不同的情形：（1）事件 A 發生且事件 B 不發生；（2）事件 A 不發生且事件 B 發生；（3）事件 A 與事件 B
同時不發生，而對立事件是指事件 A 與事件 B 有且僅有一個發生，其包括兩種情形；（1）事件 A 發生 B 不發生；
（2）事件 B 發生事件 A 不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2 古典概型及隨機數的產生
1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。
（2）古典概型的解題步驟；
①求出總的基本事件數；
A包含的基本事件數
②求出事件 A 所包含的基本事件數，然后利用公式 P（A）= 總的基本事件個數
3.3.1—3.3.2 幾何概型及均勻隨機數的產生
1、基本概念：
（1）幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣
的概率模型為幾何概率模型；
（2）幾何概型的概率公式：
構成事件A的區域長度（面積或體積）
P（A）= 試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體積）；
（2） 幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可
能性相等．
高中數學 必修 4知識點
第一章 三角函數
正角:按逆時針方向旋轉形成的角

1、任意角 負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角
2、角 的頂點與原點重合，角的始邊與 x 軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱 為第幾象限角．
第一象限角的集合為 k 360 k 360 90 ,k
第二象限角的集合為 k 360 90 k 360 180 ,k
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第三象限角的集合為 k 360 180 k 360 270 ,k
第四象限角的集合為 k 360 270 k 360 360 ,k
終邊在 x 軸上的角的集合為 k 180 ,k
終邊在 y 軸上的角的集合為 k 180 90 ,k
終邊在坐標軸上的角的集合為 k 90 ,k
3、與角 終邊相同的角的集合為 k 360 ,k
4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．
l
5、半徑為 r 的圓的圓心角 所對弧的長為 l ，則角 的弧度數的絕對值是 ．
r
180
6、弧度制與角度制的換算公式：2 360 ，1 ，1 57.3 ．
180
7、若扇形的圓心角為 為弧度制 ，半徑為 r ，弧長為 l ，周長為C ，面積為 S ，則 l r ，C 2r l ，
1 1
S lr r2 ． y
2 2
P T
8、設 是一個任意大小的角， 的終邊上任意一點 的坐標是 x, y ，它與原點的距 v
2 2 y x y O M A x
離是 r r x y 0 ，則sin ， cos ， tan x 0 ．
r r x
9、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，
第三象限正切為正，第四象限余弦為正．
10、三角函數線：sin ，cos ， tan ．
1 sin2 cos2 1 sin2 1 cos2 ,cos2 1 sin211 、 角 三 角 函 數 的 基 本 關 系 ： ；
sin sin
2 tan sin tan cos ,cos ．.（3） 倒數關系： tan cot 1
cos tan
12、函數的誘導公式：
1 sin 2k sin ，cos 2k cos ， tan 2k tan k ．
2 sin sin ，cos cos ， tan tan ．
3 sin sin ， cos cos ， tan tan ．
4 sin sin ， cos cos ， tan tan ．
口訣：函數名稱不變，符號看象限．

5 sin cos ， cos sin ． 6 sin cos ，cos sin ．
2 2 2 2
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口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．
13、①的圖象上所有點向左（右）平移 個單位長度，得到函數 y sin x 的圖象；再將函數 y sin x
1
的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的 倍（縱坐標不變），得到函數 y sin x 的圖象；再將

函數 y sin x 的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的 倍（橫坐標不變），得到函數
y sin x 的圖象．
1
②數 y sin x 的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的 倍（縱坐標不變），得到函數


y sin x 的圖象；再將函數 y sin x 的圖象上所有點向左（右）平移 個單位長度，得到函數

y s in x 的圖象；再將函數 y sin x 的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的 倍（橫
坐標不變），得到函數 y sin x 的圖象．
14、函數 y sin x 0, 0 的性質：
2 1
①振幅： ；②周期： ；③頻率： f ；④相位： x ；⑤初相： ．
2
函數 y sin x ，當 x x1 時，取得最小值為 ymin ；當 x x2 時，取得最大值為 ymax ，則
1 1
ym a x y m i n ， ymax ymin ， x2 x1 x1 x2 ．
2 2 2
15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：
函
性 數 y sin x y cos x y tan x y=cotx
質
y
y=cotx
圖象
-
- o 3 2 x
2 2 2

定義 x x k ,k x x k ,k
R R 2 2域
值域 1,1 1,1 R R
當
當 x 2k k 時， 既 無 最大值也無最小 既無最大值也無最小
最值
x 2k 值 值
2
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k 時 ， ymax 1 ； 當
x 2k
ymax 1 ； 當
k 時，y 1．
min
x 2k
2
k 時 ，
ymin 1．
周期 2 2
性
奇偶 奇函數 偶函數 奇函數 奇函數
性
在

2k , 2k
2 2


在
在
2k ,2k k

k 上是增函數； k ,k
單調 上 是 增 函 數 ； 在 2 2
性 在
2k ,2k
k 上 是 增 函
3
2k , 2k 2 2 k 上是減函數． 數．
k 上是減函數．
對 稱 中 心 對 稱 中 心
對 稱 中 心 對 稱 中 心
k ,0 k
對稱 k ,0 k k k
2 ,0 k ,0 k
性 對 稱 軸 2 2

x k k 對稱軸 x k k 無對稱軸 無對稱軸
2
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 數量：只有大小，沒有方向的量．
有向線段的三要素：起點、方向、長度． 零向量：長度為0 的向量．
單位向量：長度等于1個單位的向量．
平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．
相等向量：長度相等且方向相同的向量．
17、向量加法運算：
⑴三角形法則的特點：首尾相連．
⑵平行四邊形法則的特點：共起點．
⑶三角形不等式：a b a b a b ．
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⑷運算性質：①交換律：a b b a ；
②結合律： a b c a b c ；③a 0 0 a a ． C
⑸坐標運算：設a x1, y1 ，b x2 , y2 ，則a b x1 x2 , y1 y2 ．
a
18、向量減法運算：
⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量． b

⑵坐標運算：設a x1, y1 ，b x2 , y2 ，則a b x1 x2 , y1 y2 ．
a b C C
設 、 兩點的坐標分別為 x1, y1 ， x2 , y2 ，則 x 1 x2 y, 1 y2 ．
19、向量數乘運算：
⑴實數 與向量a 的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作 a ．
① a a ；
②當 0時， a 的方向與a 的方向相同；當 0 時， a 的方向與a 的方向相反；當 0時， a 0．
⑵運算律：① a a ；② a a a ；③ a b a b ．
⑶坐標運算：設a x, y ，則 a x, y x, y ．
20、向量共線定理：向量a a 0 與b 共線，當且僅當有唯一一個實數 ，使b a ．
設 a x1, y1 ，b x2 , y2 ，其中b 0 ，則當且僅當 x1y2 x2 y1 0時，向量a 、b b 0 共線．
21、平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量 a ，有
且只有一對實數 1、 2 ，使a 1e1 2e2 ．（不共線的向量e1 、 e2 作為這一平面內所有向量的一組基底）
22、分點坐標公式：設點 是線段 1 2 上的一點， 1、 2 的坐標分別是 x1, y1 ， x2 , y2 ，當 1 2 時，
x1 x2 y1 y點 的坐標是 , 2

．（當 1時，就為中點公式。）
1 1
23、平面向量的數量積：
⑴a b a b cos a 0,b 0,0 180 ．零向量與任一向量的數量積為0 ．
⑵性質：設 a 和b 都是非零向量，則①a b a b 0．②當a 與b 同向時，a b a b ；當a 與b 反向時，
a b a b a a a2
2
； a 或 a a a ．③ a b a b ．
⑶運算律：①a b b a ；② a b a b a b ；③ a b c a c b c ．
⑷坐標運算：設兩個非零向量a x1, y1 ，b x2 , y2 ，則a b x1x2 y1y2 ．
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2
若 a x, y ，則 a x2 y2 2 2，或 a x y ． 設a x1, y1 ，b x2 , y2 ，則a b xx1 2 yy1 2 0．
a b x x y y
設 a 、b 都是非零向量，a x1, y1 ，b x2 , y2 ， 是a 與b 的夾角，則cos
1 2 1 2 ．
a b x2 y2 x2 21 1 2 y2
知識鏈接：空間向量
空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應用進行總結
歸納.
1、直線的方向向量和平面的法向量
⑴．直線的方向向量：
若 A、B 是直線 l 上的任意兩點，則 AB 為直線 l 的一個方向向量；與 AB 平行的任意非零向量也是直線 l 的
方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量n 所在直線垂直于平面 ，則稱這個向量垂直于平面 ，記作n ，如果n ，那么向量n 叫做
平面 的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系數法）：
①建立適當的坐標系．
②設平面 的法向量為n (x, y, z) ．
③求出平面內兩個不共線向量的坐標a (a1,a2 ,a3), b (b1,b2 ,b3)．
n a 0
④根據法向量定義建立方程組 .
n b 0
⑤解方程組，取其中一組解，即得平面 的法向量.
（如圖）
1、 用向量方法判定空間中的平行關系
⑴線線平行
設直線 l1, l2 的方向向量分別是 a、b ，則要證明 l1∥ l2 ，只需證明 a ∥b ，即a kb(k R) .
即：兩直線平行或重合 兩直線的方向向量共線。
⑵線面平行
①（法一）設直線 l 的方向向量是 a ，平面 的法向量是u ，則要證明 l ∥ ，只需證明a u ，即a u 0 .
即：直線與平面平行 直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外
②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即
可.
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⑶面面平行
若平面 的法向量為u ，平面 的法向量為 v ，要證 ∥ ，只需證u ∥ v ，即證u v .
即：兩平面平行或重合 兩平面的法向量共線。
3、用向量方法判定空間的垂直關系
⑴線線垂直
設直線 l1, l2 的方向向量分別是a、b ，則要證明 l1 l2 ，只需證明a b，即a b 0 .
即：兩直線垂直 兩直線的方向向量垂直。
⑵線面垂直
①（法一）設直線 l 的方向向量是 a ，平面 的法向量是u ，則要證明 l ，只需證明a ∥u ，即a u .
a m 0
②（法二）設直線 l 的方向向量是 a ，平面 內的兩個相交向量分別為m、n，若 ,則l .
a n 0
即：直線與平面垂直 直線的方向向量與平面的法向量共線 直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的
方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面 的法向量為u ，平面 的法向量為 v ，要證 ，只需證u v ，即證u v 0 .
即：兩平面垂直 兩平面的法向量垂直。
4、利用向量求空間角
⑴求異面直線所成的角
已知a,b為兩異面直線，A，C 與 B，D 分別是a,b上的任意兩點，a,b所成的角為 ，
AC BD
則cos .
AC BD
⑵求直線和平面所成的角
①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角 新疆王新敞奎屯
②求法：設直線 l 的方向向量為 a ，平面 的法向量為u ，直線與平面所成的角為 ，a 與u 的夾角為 ， 則
為 的余角或 的補角
的余角.即有：
a u
sin cos .
a u
⑶求二面角
①定義：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發的兩個半平面
所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面 新疆王新敞奎屯
二面角的平面角是指在二面角 l 的棱上任取一點 O，分別在兩個半平面內作射線 AO l, BO l ，
則 AOB為二面角 l 的平面角.
如圖：
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A B l
O B
O A
②求法：設二面角 l 的兩個半平面的法向量分別為m、n ，再設m、n 的夾角為 ，二面角 l 的
平面角為 ，則二面角 為m、n 的夾角 或其補角 .
根據具體圖形確定 是銳角或是鈍角：
m n
◆如果 是銳角，則cos cos ，
m n
m n
即 arccos ；
m n
m n
◆ 如果 是鈍角，則cos cos ，
m n
m n
即 arccos .
m n

5、利用法向量求空間距離
⑴點 Q到直線 l 距離
若 Q為直線 l 外的一點, P 在直線 l 上，a 為直線 l 的方向向量，b = PQ，則點 Q到直線 l 距離為
1
h (| a || b |)2 (a b)2
| a |
⑵點 A 到平面 的距離
若點 P 為平面 外一點，點 M 為平面 內任一點，
平面 的法向量為n ，則 P 到平面 的距離就等于MP 在法向量 n 方向上的投影的絕對值.
即 d MP cos n, MP
n M P
MP
n MP
n MP

n
⑶直線 a 與平面 之間的距離
當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直
線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。
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n MP
即d .
n
⑷兩平行平面 , 之間的距離
利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。
n MP
即 d .
n
⑸異面直線間的距離
設向量 n 與兩異面直線 a,b都垂直，M a, P b,則兩異面直線 a,b間的距離 d 就是MP 在向量 n 方向上投
影的絕對值。
n MP
即d .
n
6、三垂線定理及其逆定理
⑴三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直 新疆王新敞奎屯
P
O
A
PO ,O a

推理模式： PA A a PA
a ,a OA
概括為：垂直于射影就垂直于斜線.
⑵三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂
直 新疆王新敞奎屯
PO ,O

推理模式： PA A a AO
a ,a AP
概括為：垂直于斜線就垂直于射影.
7、三余弦定理
設 AC是平面 內的任一條直線，AD是 的一條斜線 AB在 內的射影，且 BD⊥AD，垂足為 D.設 AB與 (AD)
所成的角為 1 ， AD 與 AC所成的角為 2 ， AB與 AC所成的角為 ．則cos cos 1 cos 2 .
B

A 1 2 D
C
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8、 面積射影定理
已知平面 內一個多邊形的面積為 S S原 ，它在平面 內的射影圖形的面積為 S S ，平面 與平面 射
所成的二面角的大小為銳二面角 ，則
S ' S
cos = 射 .
S S原
9、一個結論
長度為 l 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為 l1、l2、l3，夾角分別為 1、 2、 3 ,則有
l2 l21 l
2
2 l
2 cos2 2 2 2 23 1 cos 2 cos 3 1 sin 1 sin 2 sin
2 2. 3
（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.
第三章 三角恒等變換
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ cos cos cos sin sin ；⑵cos cos cos sin sin ；
⑶ sin sin cos cos sin ；⑷sin sin cos cos sin ；
tan tan
⑸ tan （ tan tan tan 1 tan tan ）；
1 tan tan
tan tan
⑹ tan （ tan tan tan 1 tan tan ）．
1 tan tan
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin 2 2sin cos 1 sin 2 sin 2 cos2 2sin cos (sin cos )2⑴ ．
⑵cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
2 2 升冪公式1 cos 2cos ,1 cos 2sin
2 2
2 cos 2 1 2 1 cos 2 降冪公式cos ，sin ．
2 2
26、 萬能公式 :
α α
2 tan 1 tan
2
2 2
sinα ;cosα
2α α
1 tan 1 tan2
2 2
2 tan
tan 2 ．
1 tan2
27、
半角公式 :
α 1 cosα α 1 cosα
cos ;sin
2 2 2 2
α 1 cosα sinα 1 cosα
tan
2 1 cosα 1 cosα 第s -i n43α - 頁 共 102 頁
（后兩個不用判斷符號，更加好用）
28、合一變形 把兩個三角函數的和或差化為“一個三角函數，一個角，一次方”的 y Asin( x ) B 形

式。 sin cos 2 2 sin ，其中 tan ．

29、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創設條件，靈活運用三角公式，
掌握運算，化簡的方法和技能．常用的數學思想方法技巧如下：
（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現較多的相異角，可根據角與角之間的和差，倍
半，互補，互余的關系，運用角的變換，溝通條件與結論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：

① 2 是 的二倍；4 是 2 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍；
2 2 4
30o
②15o 45o 30o 60o 45o ；問：sin ；cos ；
2 12 12

③ ( ) ；④ ( ) ；
4 2 4

⑤2 ( ) ( ) ( ) ( )；等等
4 4
（2）函數名稱變換：三角變形中，常常需要變函數名稱為同名函數。如在三角函數中正余弦是基礎，通常化切
為弦，變異名為同名。
（3）常數代換：在三角函數運算，求值，證明中，有時需要將常數轉化為三角函數值，例如常數“1”的代換變
形有：
2 2 o o
1 sin cos tan cot sin90 tan45
（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數較高的三角函數式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪
公式有： ； 。降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式 1 cos 常
用升冪化為有理式，常用升冪公式有： ； ；
（5）公式變形：三角公式是變換的依據，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用。
1 tan 1 tan
如： _______________ ； ______________ ；
1 tan 1 tan
tan tan ____________；1 tan tan ___________；
tan tan ____________ ；1 tan tan ___________ ；
2tan ；1 tan2 ；
tan20o tan40o 3 tan20o tan40o ；
sin cos = ；
asin bcos = ；（其中 tan ；）
1 cos ；1 cos ；
（6）三角函數式的化簡運算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；
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基本規則是：見切化弦，異角化同角，復角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊值與特
殊角的三角函數互化。
如：sin50o (1 3 tan10o ) ；
tan cot 。
高中數學 必修 5知識點
第一章 解三角形
（一）解三角形：
1、正弦定理：在 C 中，a 、b 、c 分別為角 、 、C 的對邊，，則有 a b c 2R
sin sin sinC
( R 為 C 的外接圓的半徑)
2、正弦定理的變形公式：①a 2Rsin ，b 2Rsin ，c 2RsinC ；
a b
② ， csin sin ， sin C ；③a :b :c sin : sin : sinC ；
2R 2R 2R
3、三角形面積公式： 1 1 1S C bcsin absinC acsin ．
2 2 2
2 2 2
2 2 2
4、余弦定理：在 C 中，有a b c 2bccos ，推論： b c acos
2bc
第二章 數列
1、數列中an 與 Sn 之間的關系：
S1 , (n 1)
an 注意通項能否合并。
Sn Sn 1, (n 2).
2、等差數列：

⑴定義：如果一個數列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即an －an 1 =d ，（n≥2，n∈N ），
那么這個數列就叫做等差數列。
a b
⑵等差中項：若三數a、A、b成等差數列 A
2
⑶通項公式：an a1 (n 1)d am (n m)d
或an pn q ( p、q是常數）.
⑷前n 項和公式：
n n 1 n a1 an
Sn na1 d
2 2
⑸常用性質：
①若m n p q m,n, p,q N ，則am an ap aq ；
②下標為等差數列的項 ak ,ak

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