資源簡介

高中數學必修 +選修知識點歸納
引言 選修 3—6：三等分角與數域擴充。
系列 4：由 10個專題組成。
選修 4—1：幾何證明選講。
1. 課程內容： 選修 4—2：矩陣與變換。
必修課程 由 5個模塊組成： 選修 4—3：數列與差分。
必修 1：集合、函數概念與基本初等函數（指、 選修 4—4：坐標系與參數方程。
對、冪函數） 選修 4—5：不等式選講。
必修 2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。 選修 4—6：初等數論初步。
必修 3：算法初步、統計、概率。 選修 4—7：優選法與試驗設計初步。
必修 4：基本初等函數（三角函數）、平面向量、 選修 4—8：統籌法與圖論初步。
三角恒等變換。 選修 4—9：風險與決策。
必修 5：解三角形、數列、不等式。 選修 4—10：開關電路與布爾代數。
以上是每一個高中學生所必須學習的。
上述內容覆蓋了高中階段傳統的數學基礎 2．重難點及考點：
知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、 重點：函數，數列，三角函數，平面向量，
函數、數列、不等式、解三角形、立體幾何初 圓錐曲線，立體幾何，導數
步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打 難點：函數、圓錐曲線
好基礎的同時， 進一步強調了這些知識的發生、 高考相關考點：
發展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做 ⑴集合與簡易邏輯 :集合的概念與運算、 簡易邏
過高的要求。 輯、充要條件
此外，基礎內容還增加了向量、算法、概 ⑵函數：映射與函數、函數解析式與定義域、
率、統計等內容。 值域與最值、反函數、三大性質、函
數圖象、指數與指數函數、對數與對
選修課程 有 4個系列： 數函數、函數的應用
系列 1：由 2個模塊組成。 ⑶數列：數列的有關概念、等差數列、等比數
選修 1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 列、數列求和、數列的應用
導數及其應用。 ⑷三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、
選修 1—2：統計案例、推理與證明、數系的擴 和、差、倍、半公式、求值、化
充與復數、框圖 簡、證明、三角函數的圖象與性
系列 2：由 3個模塊組成。 質、三角函數的應用
選修 2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 ⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、
空間向量與立體幾何。 數量積及其應用
選修 2—2：導數及其應用，推理與證明、數系 ⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式
的擴充與復數 的證明、不等式的解法、絕對值不
選修 2—3：計數原理、隨機變量及其分布列， 等式、不等式的應用
統計案例。 ⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位
系列 3：由 6個專題組成。 置關系、線性規劃、圓、
選修 3—1：數學史選講。 直線與圓的位置關系
選修 3—2：信息安全與密碼。 ⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直
選修 3—3：球面上的幾何。 線與圓錐曲線的位置關系、
選修 3—4：對稱與群。 軌跡問題、圓錐曲線的應用
選修 3—5：歐拉公式與閉曲面分類。
- 1 -
⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線 稱 f : A B 為集合 A到集合 B的一個 函數，記
與平面、平面與平面、棱柱、 作： y f x , x A .
棱錐、球、空間向量 2、 一個函數的構成要素為： 定義域、對應關系、值
⑽排列、組合和概率：排列、組合應用題、二 域 .如果兩個函數的定義域相同， 并且對應關系完
項式定理及其應用 全一致，則稱 這兩個函數相等 .
⑾概率與統計：概率、分布列、期望、方差、 §1.2.2、函數的表示法
抽樣、正態分布 1、 函數的三種表示方法： 解析法、圖象法、列表法 .
⑿導數：導數的概念、求導、導數的應用 §1.3.1、單調性與最大（小）值
⒀復數：復數的概念與運算 1、注意函數單調性的證明方法：
1 (1)定義法： 設 x1、x2 [ a,b], x x 那么必修 數學知識點 1 2
f (x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x)在[ a,b] 上是增函數；
第一章：集合與函數概念 f (x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x)在[ a,b]上是減函數 .
§1.1.1、集合 步驟：取值—作差—變形—定號—判斷
1、 把研究的對象統稱為 元素，把一些元素組成的總
格 式：解 ：設 x , x a,b 且 x x ，則 ：
體叫做 集合。集合三要素： 確定性、互異性、無 1 2 1 2
序性 。 f x1 f x2 =
2、 只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個 (2)導數法： 設函數 y f ( x)在某個區間內可導，
集合相等 。 若 f ( x) 0，則 f ( x) 為增函數；
* 若 f (x) 0，則 f (x)為減函數 . 3、 常見集合： 正整數集合 ： N 或 N ，整數集合 ：
§1.3.2、奇偶性
Z ，有理數集合 ： Q，實數集合 ： R .
4、集合的表示方法： 列舉法、描述法 . 1、 一般地，如果對于函數 f x 的定義域內任意一個
§1.1.2、集合間的基本關系
x，都有 f x f x ，那么就稱函數 f x 為
1、 一般地，對于兩個集合 A、B，如果集合 A 中任
意一個元素都是集合 B 中的元素，則稱集合 A 是 偶函數 .偶函數圖象關于 y 軸對稱 .
集合 B 的子集。記作 A B .
2、 如果集合 A B，但存在元素 x B，且 x A， 2、 一般地，如果對于函數 f x 的定義域內任意一個
則稱集合 A 是集合 B 的真子集 .記作： A B.
x，都有 f x f x ，那么就稱函數 f x 為
3、把不含任何元素的集合叫做 空集 .記作： .并規定：
空集合是任何集合的子集 . 奇函數 .奇函數圖象關于原點對稱 .
4 A n A 2n 知識鏈接：函數與導數、 如果集合 中含有 個元素，則集合 有 個子
1、函數 y f ( x)在點 x0處的導數的幾何意義：
集， 2n 1個真子集 .
函數 y f ( x)在點 x0處的導數是曲線 y f (x)在
§1.1.3、集合間的基本運算 P(x0 , f (x0)) 處的切線的斜率 f (x0) ，相應的切線方
1、 一般地，由所有屬于集合 A或集合 B的元素組成
A B . A B . 程是的集合，稱為集合 與 的并集 記作： y y0 f (x0 )(x x0) .
2、 一般地，由屬于集合 A且屬于集合 B的所有元素 2、幾種常見函數的導數
組成的集合，稱為 A與 B的交集 .記作： A B . C '① 0；② ( xn ) ' nx n 1；
3、全集、補集 ？ CU A { x | x U ,且x U }
③ (sin x) ' cos x '； ④ (cos x) sin x；
§1.2.1、函數的概念
1、 設 A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應 (a x ) ' a x⑤ ln a； ⑥ (e
x ) ' e x ；
關系 f ，使對于集合 A中的任意一個數 x，在集
合 B中都有惟一確定的數 f x 和它對應， 那么就 1 1⑦ (log a x)
' '
；⑧ (ln x)
x ln a x
- 2 -
3、導數的運算法則 *
（1） (u v) ' u' v' a 0,m,n N ,m 1 ；.
（2） (uv) ' u 'v uv ' . n 1⑵ a n 0 ；n
u ' u
'v uv ' a
（3） ( ) 2 (v 0) . v v 4、 運算性質：
4、復合函數求導法則 ⑴ a r a s a r s a 0, r, s Q ；
復合函數 y f (g (x))的導數和函數
y f (u), u g ( x)的導數間的關系為 y y r s rsx u ux ， ⑵ a a a 0, r ,s Q ；
即 y對 x的導數等于 y對 u的導數與 u 對 x的導數的
乘積 . ab r⑶ a rb r a 0,b 0, r Q .
解題步驟 :分層—層層求導—作積還原 .
5、函數的極值 §2.1.2、指數函數及其性質
(1) 極值定義： 1 y a x、記住圖象： a 0, a 1
極值是在 x0附近所有的點，都有 f (x)＜ f (x0)，
y
則 f ( x0 )是函數 f (x)的極大值； y=a x
極值是在 x0附近所有的點，都有 f (x)＞ f (x0 )，
則 f ( x0 )是函數 f (x)的極小值 . 01
1
(2) 判別方法：
o x
①如果在 x ' '0附近的左側 f (x) ＞0，右側 f (x) ＜0，
那么 f ( x0 )是極大值； a 1 0 a 1
②如果在 x ' '0附近的左側 f (x) ＜0，右側 f (x) ＞0，
圖
那么 f ( x0 )是極小值 .
象
6、求函數的最值 1 1
-4 -2 0 -4 -2 0
(1) 求 y f (x) 在 (a,b) -1 -1內的極值（極大或者極小值）
(1) 定義域： R
(2) 將 y f (x) 的各極值點與 f (a), f (b)比較，其中 性 （2）值域：（0，+∞）
質 （3）過定點（ 0，1），即 x=0 時， y=1
最大的一個為最大值，最小的一個為極小值。
（4）在 R 上是增函數 （4）在 R上是減函數
注：極值是在局部對函數值進行比較（局部性質） ；
(5) x 0,
x
a 1 (5) 0,0 x 1
最值是在整體區間上對函數值進行比較 (整體性質 )。 ; x a ; x x
x 0, 0 a 1 x 0, a 1
2、性質：
第二章：基本初等函數（Ⅰ）
§2.2.1、對數與對數運算
§2.1.1、指數與指數冪的運算
a xn 1、指數與對數互化式： N x log a N ；1、 一般地，如果 x a，那么 x叫做 a 的 n次方根。
loga N
其中 n 1, n N . 2、對數恒等式： a N .
3、基本性質： log a 1 0， log a a 1 .
2、 當 n n n為奇數時， a a；
n n a n
4、運算性質：當 a 0,a 1,M 0, N 0時：
當 為偶數時， a .
3、 我們規定： ⑴ log a MN log a M log a N ；
n
m m n
⑴ a a
- 3 -
M
⑵ log a log a M log a N ；
N
⑶ log na M n log a M .
第三章：函數的應用
log b
5、換底公式： log a b
c
§3.1.1、方程的根與函數的零點
log c a
1、方程 f x 0有實根
a 0, a 1, c 0,c 1, b 0 .
m m
6、重要公式： log a n b log a b 函數 y f x 的圖象與 x軸有交點n
1 函數 有零點 .
7、倒數關系： log a b a 0, a 1,b 0, b 1 .
y f x
log b a
2、 零點存在性定理：
§2..2.2、對數函數及其性質
如果函數 y f x 在區間 a,b 上的圖象是連續不斷
1、記住圖象： y log a x a 0, a 1
y 的一條曲線，并且有 f a f b 0，那么函數
y=log ax
0o x
1
使得 f c 0，這個 c也就是方程 f x 0的根 .
a>1
2、性質： §3.1.2、用二分法求方程的近似解
a 1 0 a 1 1、掌握二分法 .
§3.2.1、幾類不同增長的函數模型
2.5
2.5
1.5
1.5 §3.2.2、函數模型的應用舉例
圖 1 1 0.5
0.5
-1 0 1 -1 0 1
-0 .5 -0.5 1、解決問題的常規方法：先畫散點圖，再用適當的函
象 -1 -1
-1.5
-1.5
-2
-2 數擬合，最后檢驗 .
-2 .5
-2.5
(1) 定義域：（0，+∞）
性 （2）值域： R 必修 2數學知識點
質 （3）過定點（ 1，0），即 x=1 時， y=0 第一章：空間幾何體
（4）在 （0，+∞）上是增函數 （4）在（ 0， +∞）上是減函數
(5) x 1, log a x 0； (5) x 1, log a x 0； 1、空間幾何體的結構
0 x 1, log a x 0 0 x 1,log a x 0 ⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：
§2.3、冪函數 圓柱、圓錐、圓臺、球。
1、幾種冪函數的圖象： ⑵棱柱： 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且
每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍
成的多面體叫做棱柱。
⑶棱臺： 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與
截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。
2、空間幾何體的三視圖和直觀圖
把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影
的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫
平行投影，平行投影的投影線是平行的。
3、空間幾何體的表面積與體積
- 4 -
⑴判定： 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，
則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行） 。
⑵性質： 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么
它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行） 。
S 2 r l 11、線面垂直：⑴圓柱側面積； 側面
⑴定義： 如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，
那么就說這條直線和這個平面垂直。
⑵判定： 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，
則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直） 。
⑶性質： 垂直于同一個平面的兩條直線平行。
⑵圓錐側面積： S r l 12、面面垂直：側面
⑴定義： 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面
角，就說這兩個平面互相垂直。
⑵判定： 一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個
平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直） 。
⑶性質： 兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的
S r l R l 直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直， 則線面垂直）。⑶圓臺側面積： 側面
⑷體積公式： 第三章：直線與方程
1
V柱體 S h； V錐體 S h； y y
3 1
2 1
、傾斜角與斜率： k tan
x
1 2
x1
V臺體 S上 S上 S下 S下 h
3 2、直線方程：
⑸球的表面積和體積：
⑴點斜式： y y0 k x x0
S 4 R2
4
球 ，V球 R
3 .
3 ⑵斜截式： y kx b
第二章：點、直線、平面之間的位置關系
1、公理 1：如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條 y y1 y2 y1
直線在此平面內。 ⑶兩點式：
x x x x
2 1 2 1、公理 2：過不在一條直線上的三點， 有且只有一個平面。
3、公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它 x y
⑷截距式： 1
們有且只有一條過該點的公共直線。 a b
4、公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行 .
⑸一般式： Ax By C 0
5、定理： 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這
兩個角相等或互補。
6、線線位置關系： 平行、相交、異面。 3、對于直線：
7、線面位置關系： 直線在平面內、直線和平面平行、直
l 1 : y k1x b1 , l 2 : y k2 x b2 有：
線和平面相交。
8、面面位置關系： 平行、相交。 k1 k2
9、線面平行： ⑴ l 1 // l 2 ；b b
⑴判定： 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則 1 2
該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行） 。
⑵ l1和 l2相交 k1 k2；
⑵性質： 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一
平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則 k k
線線平行）。 ⑶ l1和 l
1 2
2重合 ；b b
10 1 2、面面平行：
- 5 -
1 d r 相切 0⑷ l 1 l
;
2 k1k 2 .
d r 相交 0 .
4、對于直線：
弦長公式： l 2 r 2 d 2
l1 : A1x B1y C1 0,
有：
l 2 : A2 x B2 y C2 0 1 k
2 ( x 21 x2) 4x1x2
A1B2 Al // l 2
B1 3、兩圓位置關系： d O O
⑴ 1 2 ；
1 2
B1C2 B2C1
⑴外離： d R r ；
⑵ l 1和 l
⑵外切： d R r ；
2相交 A1B2 A2B1；
⑶相交： R r d R r ；
A1 B2 A2B ⑷內切： d R r ；1
⑶ l 1和 l 2重合 ； ⑸內含：B C B C d R r
.
1 2 2 1 3、空間中兩點間距離公式：
⑷ l 1 l 2 A1A2 B1B2 0 . 2 2 2P1P2 x2 x1 y2 y1 z2 z1
5、兩點間距離公式：
2 2
P1 P2 x2 x1 y2 y1 必修 3數學知識點
6、點到直線距離公式： 第一章：算法
Ax By C 1、算法三種語言：
d 0 0 自然語言、流程圖、程序語言；
A2 B 2 2、流程圖中的圖框：
7、兩平行線間的距離公式： 起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等
規范表示方法；
l1： Ax By C1 0與 l2： Ax By C2 0平行，
3、算法的三種基本結構：
C C 當型循環結構
則 d 1 2 順序結構、條件結構、循環結構
A2 B2 直到型循環結構
第四章：圓與方程 ⑴順序結構示意圖：
1、圓的方程：
2 2
⑴標準方程： x a y b r 2
語句 n
其中圓心為 ( a,b)，半徑為 r .
語句 n+1
2 2
⑵一般方程： x y Dx Ey F 0 .
D E 1
其中圓心為 ( , ) r D 2 2，半徑為 E 4F .
2 2 2 （圖 1）
2、直線與圓的位置關系
2 2 2
直線 Ax By C 0與圓 ( x a) ( y b) r ⑵條件結構示意圖：
① IF - THEN - ELSE 格式：
的位置關系有三種 :
d r 相離 0 ;
- 6 -
滿足條件？
否
是
語句 1 語句 2
①輸入語句的一般格式： INPUT “提示內容”；變量
②輸出語句的一般格式： PRINT“提示內容”；表達式
③賦值語句的一般格式：變量＝表達式
（“=”有時也用“←” ）.
④條件語句的一般格式有兩種：
IF—THEN—ELSE 語句的一般格式為：
IF 條件 THEN
語句 1
（圖 2） ELSE
② IF - THEN 格式：
語句 2
（圖 2）
是 END IF
滿足條件？
IF—THEN 語句的一般格式為：
否
語句
IF 條件 THEN
語句
END IF （圖 3）
（圖 3）
⑶循環結構示意圖：
⑤循環語句的一般格式是兩種：
①當型 （WHILE 型）循環結構示意圖：
當型循環（ WHILE）語句的一般格式：
WHILE 條件
循環體 循環體
（圖 4）
WEND
滿足條件？
是
否 直到型循環（ UNTIL）語句的一般格式：
DO
（圖 4）
循環體
②直到型 （UNTIL 型）循環結構示意圖：
LOOP UNTIL 條件
（圖 5）
循環體 ⑹算法案例：
①輾轉相除法— 結果是以相除余數為 0 而得到
否
利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：
滿足條件？ ⅰ）：用較大的數 m除以較小的數 n得到一個商 S0和
是 一個余數 R0；
ⅱ）：若 R0＝0，則 n 為 m，n 的最大公約數；若 R0
≠0，則用除數 n 除以余數 R0得到一個商 S1和一個余
（圖 5） 數 R1；
ⅲ）：若 R1＝0，則 R1為 m，n 的最大公約數； 若 R1≠
4、基本算法語句： 0，則用除數 R0除以余數 R1得到一個商 S2和一個余數
- 7 -
R2； 注：方差與標準差越小，說明樣本數據越穩定。
依次計算直至 Rn＝ 0，此時所得到的 Rn 1即為所求 平均數反映數據總體水平；方差與標準差反映數據的
的最大公約數。 穩定水平。
②更相減損術— 結果是以減數與差相等而得到 ⑶線性回歸方程
利用更相減損術求最大公約數的步驟如下： ①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；
ⅰ）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。 ②制作散點圖，判斷線性相關關系
若是，用 2約簡；若不是，執行第二步。
ⅱ）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與 ③線性回歸方程： y bx a（最小二乘法）
所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直 n
到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的 xi yi nx y
最大公約數。 b i 1n
2 2③進位制 xi nx
十進制數化為 k 進制數— 除 k取余法 i 1
k 進制數化為十進制數 a y bx
第二章：統計
1、抽樣方法： 注意：線性回歸直線經過定點 ( x, y) 。
①簡單隨機抽樣（總體個數較少）
第三章：概率
②系統抽樣（總體個數較多）
③分層抽樣（總體中差異明顯） 1、隨機事件及其概率：
⑴事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母
注意：在 N 個個體的總體中抽取出 n個個體組成樣本，
表示；
每個個體被抽到的機會（概率）均為 n 。
N ⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；
m
2、總體分布的估計： ⑶隨機事件 A 的概率： P(A) ,0 P( A) 1.
n
⑴一表二圖：
2、古典概型：
①頻率分布表——數據詳實
⑴基本事件： 一次試驗中可能出現的每一個基本結果；
②頻率分布直方圖——分布直觀
⑵古典概型的特點：
③頻率分布折線圖——便于觀察總體分布趨勢
①所有的基本事件只有有限個；
注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為 1。
②每個基本事件都是等可能發生。
⑵莖葉圖：
⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事
①莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據
件共有 n 個，事件 A 包含了其中的 m 個基本事件，則
的分布，以及中位數、眾位數等。
m
②個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大 事件 A 發生的概率 P( A) .
n
書寫，相同的數據重復寫。
3、幾何概型：
3、總體特征數的估計：
⑴幾何概型的特點：
⑴平均數： x x1 x2 x3 xn ； ①所有的基本事件是無限個；
n
②每個基本事件都是等可能發生。
取值為 x1 , x2 , , xn的頻率分別為 p1 , p2 , , pn，則其
平均數為 x1 p1 x2 p2 x
d的測度
n pn； ⑵幾何概型概率計算公式： P(A) ；
D的測度
注意：頻率分布表計算平均數要取組中值。
其中測度根據題目確定，一般為線段、角度、面積、
⑵方差與標準差：一組樣本數據 x1 , x2 , , xn
體積等。
n 2
方差： s2 1 (x x) 4、互斥事件：
n i
；
i 1 ⑴不可能同時發生的兩個事件稱為互斥事件；
⑵如果事件 A1, A2 , , An任意兩個都是互斥事件， 則稱
n 2
1 事件 A1 , A2 , , An彼此互斥。
標準差： s (x i x)
n ⑶如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 發生的概率，i 1
等于事件 A，B 發生的概率的和，
- 8 -
即： P(A B) P(A) P(B)
⑷如果事件 A1 , A2 , , An彼此互斥，則有： 5、 特殊角 0°， 30°， 45°， 60°，
P( A1 A2 An ) P(A1 ) P(A2 ) P(An ) 90°， 180°， 270等的三角函數值 .
⑸對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發生，則稱 0 2 3 3 2
這兩個事件為對立事件。 4 2 3 4 26 3
①事件 A的對立事件記作 A
sin
P( A) P( A) 1, P( A) 1 P( A)
cos
②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事
件。 tan
必修 4數學知識點 §1.2.2、同角三角函數的基本關系式
2 2
第一章：三角函數 1、 平方關系 ： sin cos 1.
§1.1.1、任意角 sin
1、 正角、負角、零角、象限角 的概念 . 2、 商數關系 ： tan . cos
2、 與角 終邊相同的角的集合： 3、 倒數關系： tan cot 1
2k ,k Z . §1.3 、三角函數的誘導公式
（概括為 “奇變偶不變，符號看象限” k Z ）
§1.1.2、弧度制 1、 誘導公式一 ：
1、 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1 弧度
sin 2k sin ,
的角 .
cos 2k cos ,（其中： k Z ）
2 l、 .
r tan 2k tan .
3 n R、弧長公式 ： l R . 2、 誘導公式二 ：
180 sin sin ,
4 n R
2 1
、扇形面積公式 ： S lR . cos cos ,
360 2 tan tan .
§1.2.1、任意角的三角函數 3、誘導公式三 ：
1、 設 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點
sin sin ,
P x, y y，那么： sin y, cos x, tan
x cos cos ,
tan tan .
2、 設點 A x , y 為角 終邊上任意一點， 那么：（設
4、誘導公式四 ：
r x2 y2 ） sin sin ,
cos cos ,
sin y x y x，cos ，tan ，cot tan tan .
r r x y
5、誘導公式五 ：
3、 sin ，cos ， tan 在四個象限的符號和三角
函數線的畫法 . y sin cos ,
T 2
P
正弦線： MP; cos sin .
余弦線： OM; O M A x 2
正切線： AT 6、誘導公式六 ：
- 9 -
sin cos ,
2
cos sin . 2、能夠對照圖象講出正弦、余弦函數的相關性質： 定
2 義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、
§1.4.1 、正弦、余弦函數的圖象和性質 奇偶性、單調性、周期性 .
1、記住正弦、余弦函數圖象： 3、會用 五點法作圖 .
y=sinx y y sin x在 x [0, 2 ]上的五個關鍵點為：
-5 - 3 7
2 2 1 2 2 3
-4 -7 -3 -2 -3 - o 2 5 3 4 x （0，0）（， ，1）（， ，0）（， ，-1）（，2 ，0）.
2 2 -1 2 2 2 2
y=cosx y
-5 - 3 7-3 2 - 2
1
2 3 2
-4 -7 -2 -3 o 2 5 4 x
§1.42.3 、正切函2數的圖象-1與性2 質 2
1、記住正切函數的圖象： 2、記住余切函數的圖象：
y y
y=tanx y=cotx
3
- - - o 3 x - - o 3 2 x
2 2 2 2 2 2 2
3、能夠對照圖象講出正切函數的相關性質： 定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性 .
周期函數定義 ：對于函數 f x ，如果存在一個非零常數 T，使得當 x取定義域內的每一個值時，都有
f x T f x ，那么函數 f x 就叫做周期函數，非零常數 T叫做這個函數的周期 .
圖表歸納：正弦、余弦、正切函數的圖像及其性質
y sin x y cosx y tan x
圖象
定義域 R R { x | x k ,k Z}
2
值域 [-1,1] [-1,1] R
- 10 -
x 2k , k Z時， ymax 1
2 x 2k , k Z時，ymax 1
最值 無
x 2k , k Z時，ymin 1
x 2k , k Z時， ymin 1
2
周期性 T 2 T 2 T
奇偶性 奇 偶 奇
在 [2k ,2 k ]上單調遞增 在 [2 k ,2 k ]上單調遞增
單調性 2 2 在 (k , k )上單調遞增
k Z 在 [2k ,2 k 3 ]上單調遞減 在 [2k ,2k ] 2 2上單調遞減
2 2
對稱軸方程： x k 無對稱軸
對稱性 對稱軸方程： x k
k
k Z 2 對稱中心 (k , 0) 對稱中心 ( , 0)對稱中心 ( k ,0) 2 2
§1.5 、函數 y A sin x 的圖象 y sin x 橫坐標不變 y Asin x
1、對于函數： 縱坐標變為原來的 A 倍
y Asin x B A 0, 0 有：振幅 A，周 縱坐標不變 y Asin x
2
期 T 1
1
，初相 ，相位 x ，頻率 f 橫坐標變為原來的 倍T 2 . | |
2、能夠講出函數 y sin x的圖象與
平移 個單位 y As i n x
y Asin x B的圖象之間的平移伸縮變
（左加右減）
換關系 .
平移 |B| 個單位 y Asin x B
① 先平移后伸縮：
（上加下減）
y sin x 平移 | | 個單位 y s i n x
3、三角函數的周期，對稱軸和對稱中心
（左加右減） 函數 y sin( x )，x∈R及函數 y cos( x )，
橫坐標不變 y As i n x x∈R(A, , 2為常數，且 A≠0)的周期 T ；函
| |
縱坐標變為原來的 A 倍
數 y tan( x ) ， x k , k Z (A, ω , 為
縱坐標不變 y Asin x 2
1 常數，且 A≠0)的周期 T .
橫坐標變為原來的 | |倍 | |
對 于 y As i n ( x 和) y A cos( x ) 來
平移 |B| 個單位 y Asin x B 說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點聯系 .
求函數 y Asin( x ) 圖像的對稱軸與對稱中心，
（上加下減）
只需令 x k (k Z ) 與 x k (k Z )
② 先伸縮后平移： 2
解出 x即可 .余弦函數可與正弦函數類比可得 .
4、由圖像確定三角函數的解析式
- 11 -
y y y y
利用圖像特征： A max min B max min 4 sin 2 1 cos2， . 、 tan
2 2 1 cos2 sin 2
要根據周期來求 , 要用圖像的關鍵點來求 . §3.2 、簡單的三角恒等變換
§1.6 、三角函數模型的簡單應用 1、 注意正切化弦、平方降次 .
1、 要求熟悉課本例題 . 2、輔助角公式
y asin x bcosx a2 b2 sin( x )
第三章、三角恒等變換
§3.1.1 、兩角差的余弦公式 （ 其 中 輔 助 角 所 在 象 限 由 點 ( a,b) 的 象 限 決
記住 15°的三角函數值：
b
sin cos tan 定 , tan ). a
6 2 6 2
12 4 4 2 3 第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景與概念
§3.1.2 、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 1、 了解四種常見向量： 力、位移、速度、加速度 .
1、 sin sin cos cos sin 2、 既有大小又有方向的量叫做 向量 .
§2.1.2、向量的幾何表示
2、 sin sin cos cos sin 1、 帶有方向的線段叫做 有向線段 ，有向線段包含三
個要素：起點、方向、長度 .
3、 cos cos cos sin sin
2、 向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的長度（或稱
4、 cos cos cos sin sin 模），記作 AB ；長度為零的向量叫做 零向量 ；長
5、 tan tan tan . 度等于 1 個單位的向量叫做 單位向量 . 1 tan tan
3、 方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共
6 tan tan tan、 線向量） .規定：零向量與任意向量平行 . 1 tan tan .
§2.1.3 、相等向量與共線向量
§3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 長度相等且方向相同的向量叫做 相等向量 .
1、 sin 2 2sin cos ， §2.2.1 、向量加法運算及其幾何意義
變形： sin cos 12 sin 2 .
1、 三角形加法法則 和平行四邊形加法法則 .
2 2 2、 cos 2 cos sin
2 cos2 1
1 2 sin 2 .
變形如下： 2、 a b ≤ a b .
1 cos2 2cos 2 §2.2.2 、向量減法運算及其幾何意義
升冪公式：
1 cos2 2sin 2 1、 與 a長度相等方向相反的向量叫做 a的相反向量 .
cos2 1 (1 cos2 ) 2、 三角形減法法則 和平行四邊形減法法則 .
降冪公式： 2
sin 2 1 (1 cos 2 )
2
3、 tan2 2 tan .
1 tan2
- 2 -
AB x x y y⑴線段 中點坐標為 1 2 1 2 ，
§2.2.3 ,、向量數乘運算及其幾何意義 2 2
ABC x1 x2 x3 y1 y1 2
y3
、 規定：實數 與向量 a的積是一個向量，這種運 ⑵△ 的重心坐標為 3 , . 3
§2.4.1 、平面向量數量積的物理背景及其含義
算叫做 向量的數乘 .記作： a ，它的長度和方向
1、 a b a b cos .
規定如下：
⑴ a a , 2、 a在 b 方向上的投影為： a cos .
2 2
⑵當 0時 , a 的方向與 a 的方向相同；當 3、 a a .
2
0時 , a 的方向與 a的方向相反 . 4、 a a .
2、 平面向量共線定理 ：向量 a a 0 與 b 共線，當 5、 a b a b 0 .
§2.4.2、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角
且僅當有唯一一個實數 ，使 b a .
1、 設
2.3.1 a x , y ,b x , y ，則：§ 、平面向量基本定理 1 1 2 2
1、 平面向量基本定理 ：如果 e1 ,e2 是同一平面內的兩 ⑴ a b x1x2 y1 y2
2 2
個不共線向量， 那么對于這一平面內任一向量 a， ⑵ a x1 y1
有且只有一對實數 1 , 2，使 a 1 e1 2 e2 . ⑶ a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
§2.3.2 、平面向量的正交分解及坐標表示
⑷ a / /b a b x1 y2 x2 y1 0
1、 a xi y j x, y .
2、 設 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，則：
§2.3.3 、平面向量的坐標運算
2 2
1、 設 a x1, y1 ,b x2 , y2 ，則： AB x2 x1 y2 y1 .
3、 兩向量的夾角公式
⑴ a b x1 x2 , y1 y2 ，
a b x1 xc o s 2
y1 y2
⑵ a b x x , y y 2 2 2 21 2 1 2 ， a b x1 y 1 x 2 y 2
4、點的平移公式
⑶ a x1, y1 ，
平移前的點為 P(x, y)（原坐標），平移后的對應點
⑷ a // b x1 y2 x2 y1 .
為 P (x , y )（新坐標） ，平移向量為 PP (h,k) ，
2、 設 A x1, y1 , B x2 , y2 ，則：
x x h
則
AB x2 x1 , y2 y1 . y y k.
§2.3.4 、平面向量共線的坐標表示
函數 y f ( x)的圖像按向量 a (h, k) 平移后的
1、設 A x1 , y1 ,B x2 , y2 ,C x3 , y3 ，則
圖像的解析式為 y k f ( x h).
- 3 -
§2.5.1 、平面幾何中的向量方法 即：兩直線平行或重合 兩直線的方向向量共線。
§2.5.2 、向量在物理中的應用舉例 ⑵線面平行
①（法一） 設直線 l 的方向向量是 a，平面 的法向
知識鏈接：空間向量
空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得 .
量是 u，則要證明 l∥ ，只需證明 a u ，即 a u 0 .
下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應用進行
總結歸納 . 即：直線與平面平行 直線的方向向量與該平面
1、直線的方向向量和平面的法向量 的法向量垂直且直線在平面外
⑴．直線的方向向量： ②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可
以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線
若 A、B 是直線 l 上的任意兩點， 則 AB為直線 l 的
向量即可 .
⑶面面平行
一個方向向量； 與 AB 平行的任意非零向量也是直線 l
若平面 的法向量為 u，平面 的法向量為 v，要
的方向向量 .
⑵．平面的法向量：
證 ∥ ，只需證 u∥ v，即證 u v .
若向量 n 所在直線垂直于平面 ，則稱這個向量
即：兩平面平行或重合 兩平面的法向量共線。
3、用向量方法判定空間的垂直關系
垂直于平面 ，記作 n ，如果 n ，那么向量 n
⑴線線垂直
叫做平面 的法向量 .
設直線 l1, l2的方向向量分別是 a、b，則要證明
⑶．平面的法向量的求法（待定系數法） ：
①建立適當的坐標系．
l1 l 2，只需證明 a b，即 a b 0 .
②設平面 的法向量為 n ( x, y, z) ．
即：兩直線垂直 兩直線的方向向量垂直。
③求出平面內兩個不共線向量的坐標 ⑵線面垂直
a (a1,a2, a3 ), b (b1,b2,b3)． ①（法一） 設直線 l 的方向向量是 a，平面 的法向
n a 0 量是 u，則要證明 l ，只需證明 a u a u④根據法向量定義建立方程組 . ∥ ，即 .
n b 0
. ②（法二） 設直線 l 的方向向量是 a，平面 內的兩⑤解方程組， 取其中一組解， 即得平面 的法向量
a m 0
（如圖） 個相交向量分別為 m、n，若 ,則 l .
a n 0
即：直線與平面垂直 直線的方向向量與平面的
法向量共線 直線的方向向量與平面內兩條不共線
直線的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面 的法向量為 u ，平面 的法向量為 v，要
2、 用向量方法判定空間中的平行關系
證 ，只需證 u v，即證 u v 0 .
⑴線線平行
即：兩平面垂直 兩平面的法向量垂直。
設直線 l1 ,l2的方向向量分別是 a、b ，則要證明 l1∥ 4、利用向量求空間角
⑴求異面直線所成的角
l2，只需證明 a∥ b ，即 a kb(k R) .
- 4 -
已知 a,b為兩異面直線， A，C與 B，D 分別是 a,b m n
◆如果 是銳角，則 cos cos ，
m n
上的任意兩點， a,b所成的角為 ，
m n
AC BD 即 arccos ；
則 cos . m n
AC BD
m n
⑵求直線和平面所成的角 ◆ 如果 是鈍角，則 cos cos ，
m n
①定義： 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成
的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角
m n
②求法： 設直線 l 的方向向量為 a ，平面 的法向量 即 arccos .
m n
為 u ，直線與平面所成的角為 ， a與 u的夾角為 ，
5、利用法向量求空間距離
⑴點 Q到直線 l 距離
則 為 的余角或 的補角
若 Q為直線 l 外的一點 , P在直線 l 上，a為直線 l 的
的余角 .即有： 方向向量， b = PQ，則點 Q到直線 l 距離為
a u 1 2 2
sin cos . h (| a ||b |) (a b )
a u | a |
⑶求二面角 ⑵點 A 到平面 的距離
①定義： 平面內的一條直線把平面分為兩個部分，
若點 P 為平面 外一點，點 M 為平面 內任一點，
其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發的兩個
半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面 平面 的法向量為 n ，則 P 到平面 的距離就等于
角的棱，每個半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角 l 的棱上 MP 在法向量 n方向上的投影的絕對值 .
任 取 一 點 O， 分 別 在 兩 個 半 平 面 內 作 射 線 即 d MP cos n, MP
AO l , BO l ，則 AOB為二面角 l 的平
n M P
面角 . MP
n MP
如圖：
A B l n MP
O B n
O
②求法：設二面角 l 的兩個A半平 面的法向量 ⑶直線 a與平面 之間的距離
當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平
分 別 為 m、n ， 再設 m、n 的夾 角 為 ， 二 面 角
面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化
為求直線上任一點到平面的距離， 即轉化為點面距離。
l 的平面角為 ，則二面角 為 m、n 的夾角
或其補角 . n MP
即 d .
根據具體圖形確定 是銳角或是鈍角： n
⑷兩平行平面 , 之間的距離
- 5 -
利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平 已知平面 內一個多邊形的面積為 S S原 ，它在
面間的距離轉化為求點面距離。
平面 內的射影圖形的面積為 S S射 ，平面 與平
n MP
即 d . 面 所成的二面角的大小為銳二面角 ，則
n ' S
cos S = 射 .
⑸異面直線間的距離 S S原
9、一個結論
設向量 n 與兩異面直線 a,b都垂直， M a, P b, 長度為 l 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射
影長分別為 l1、 l2、 l3，夾角分別為 1、 2、 3 ,則有
則兩異面直線 a,b間的距離 d 就是 MP 在向量 n方向
l 2 l 2 l 2 l 2 cos2 cos2 cos21 2 3 1 2 3 1
上投影的絕對值。 sin2 1 sin
2
2 sin
2
3 2 .
n MP （立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例） .
即 d .
n
6、三垂線定理及其逆定理
⑴三垂線定理： 在平面內的一條直線，如果它和這個 必修 5 數學知識點
平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂 第一章：解三角形
直
P 1、正弦定理：推理模式： a b c 2R .
PO ,O sin A sin B sin C
PA A a PA O （其中 R為 ABC外接圓的半徑）
a , a OA A a a 2R sin A,b 2Rsin B, c 2Rsin C;
a b c
概括為：垂直于射影就垂直于斜線 . sin A ,sin B ,sin C ;
2R 2R 2R
⑵三垂線定理的逆定理： 在平面內的一條直線，如果 a :b : c sin A :sin B :sin C.
和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的 用途：⑴已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；
射影垂直 ⑵已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它
PO ,O 元素。
推理模式： PA A a AO
a , a AP 2、余弦定理：
2 2 2
. a b c 2bccosA,概括為：垂直于斜線就垂直于射影
b2 a2 c2 2accosB,
7、三余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC.
設 AC是平面 內的任一條直線， AD是 的一條
斜線 AB在 內的射影， 且 BD⊥AD，垂足為 D.設 AB與 b2 c2 a2
(AD) 所成的角為 1， AD與 AC所成的角為 ， AB cos A ,2 2bc
與 AC所成的角為 ．則 cos cos 1 cos 2 . 2
cos B a c
2 b2 ,
B 2ac
a2 b2 c2
cosC .
2ab
A 1
2 D 用途：⑴已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；
C ⑵已知三角形三邊，求其它元素。
8、 面積射影定理 做題中兩個定理經常結合使用 .
- 6 -
3、三角形面積公式： ④若 { an} 、 { bn}是等差數列，則 { kan } 、{ kan pbn}
1 1 1
S ABC absin C bc sin A ac sin B *
2 2 2 ( k、 p是非零常數 )、{ ap nq}( p, q N )、， 也成等
4、三角形內角和定理： 差數列。
在△ ABC中，有 A B C C (A B)
C A B ⑤單調性： an 的公差為 d ，則：
2C 2 2( A B) .
2 2 2 ⅰ） d 0 an 為遞增數列；
5、一個常用結論：
在 ABC中， a b sin A sin B A B; ⅱ） d 0 an 為遞減數列；
sin 2 sin 2 , . ⅲ） d 0若 A B 則A B a或A B 特別注意， n 為常數列；
2 ⑥數列 {
sin A sin B A B an }為等差數列 an pn q（p,q 是常數）在三角函數中， 不成立。
⑦若等差數列 an 的前 n 項和 Sn，則 Sk、 S2k Sk、
第二章：數列
1、數列中 an與 Sn之間的關系： S3k S2k 是等差數列。
3、等比數列
S1 , (n 1)
a ⑴定義：如果一個數列從第 2 項起，每一項與它的前n 注意通項能否合并。Sn Sn 1,(n 2). 一項的比等于同一個常數， 那么這個數列就叫做等
比數列。
2、等差數列：
⑴定義：如果一個數列從第 2 項起，每一項與它的前 2⑵等比中項：若三數 a、G、b成等比數列 G ab,
一項的差等于同一個常數，即 an－ an 1 =d ，（n≥ （ ab同號）。反之不一定成立。
a a qn 1⑶通項公式： n 1 amq
n m
2， n∈N ），
n
那么這個數列就叫做等差數列。 a1 1 q a a q
⑵等差中項：若三數 a、A、b成等差數列 ⑷前 n項和公式： S
1 n
n
1 q 1 q
a b
A ⑸常用性質
2
①若
a a (n 1)d a (n m)d m n p q m,n, p, q N ，則⑶通項公式： n 1 m
am an ap aq；
或 an pn q ( p、q是常數） . k② ak , a k m ,a k 2m , 為等比數列，公比為 q (下標成
⑷前 n項和公式： 等差數列 ,則對應的項成等比數列 )
③數列 an （ 為不等于零的常數） 仍是公比為 q的
n n 1 n a a
Sn na d
1 n
1
2 2 等比數列；正項等比數列 an ；則 lg an 是公差為
⑸常用性質：
lg q的等差數列；
①若 m n p q m,n, p, q N ，則
am an ap aq；
④若 a 2
1
n 是等比數列，則 can ，an ， ，
②下標為等差數列的項 a k , a k m , ak 2 m , ，仍組成 an
等差數列；
a rn (r Z)
2 1 r
是等比數列， 公比依次是 q，q ，，q .
③數列 an b （ ,b為常數）仍為等差數列； q
- 7 -
⑤單調性：
③若 f (n)是關于 n的二次函數，累加后可分組求和 ;
a1 0, q 1或a1 0,0 q 1 an 為遞增數列；
④若 f (n)是關于 n的分式函數，累加后可裂項求和 .
a1 0,0 q 1或a1 0,q 1 an 為遞減數列； 類型Ⅳ 累乘法：
q 1 an 為常數列； a形如 a n 1n 1 an f (n) f (n) 型的遞推數列 （其
an
q 0 an 為擺動數列； an f (n 1)
⑥既是等差數列又是等比數列的數列是常數列。 an 1
⑦若等比數列 a 的前 n項和 S ，則 S 、 S S 、 an n k 2k k n 1 f (n 2)
中 f (n)是關于 n的函數）可構造： an 2
S3k S2k 是等比數列 . ...
4、非等差、等比數列通項公式的求法 a2 f (1)
類型Ⅰ 觀察法：已知數列前若干項， 求該數列 a1
的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從 將上述 n 1個式子兩邊分別相乘，可得：
而根據規律寫出此數列的一個通項。 an f (n 1) f ( n 2) ... f (2) f (1)a1,( n 2)
類型Ⅱ 公式法：若已知數列的前 n項和 Sn與 an
的關系，求數列 a a 有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這n 的通項 n可用公式
種方法求解。
S1 , (n 1)an 構造兩式作差求解。Sn Sn 1,( n 2) 類型Ⅴ 構造數列法：
用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一 ㈠形如 an 1 pa n q （其中 p,q均為常數且 p 0）
分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即 a1和 an 型的遞推式：
合為一個表達，（要先分 n 1和 n 2兩種情況分別進 （1）若 p 1時，數列 { an }為等差數列 ;
行運算，然后驗證能否統一） 。
類型Ⅲ 累加法： （2）若 q 0時，數列 { a n }為等比數列 ;
形如 an 1 an f (n)型的遞推數列 （其中 f (n) 是關
（3）若 p 1且 q 0時，數列 { an }為線性遞推數列，
an an 1 f (n 1) 其通項可通過待定系數法構造等比數列來求 . 方法有
a a f (n 2)
于 n的函數）可 構造： n 1 n 2 如下兩種：
...
法一：設 an 1 p(an ) , 展開移項整理得
a2 a1 f (1)
將上述 n 1個式子兩邊分別相加，可得： an 1 pan ( p 1) , 與題設 an 1 pan q 比較系
an f (n 1) f (n 2) ... f (2) f (1) a1,( n 2) 數（待定系數法）得
①若 f (n)是關于 n 的一次函數， 累加后可轉化為等差 q q q,( p 0) an 1 p(an )
p 1 p 1 p 1
數列求和 ;
② 若 f (n)是關于 n的指數函數，累加后可轉化為等 a q p(a q qn n 1 ) ,即 a 構成
p 1 p 1 n p 1
比數列求和 ;
- 8 -
q 以 p為公比的等比數列p an f (n). ，再利用等比數以 a1 為首項，以 為公比的等比數列 再利用
p 1
列的通項公式求出 an f (n) 的通項整理可得 an .
q
等比數列的通項公式求出 a n 的通項整理可p 1 法二：當 f (n)的公比為 q時，由遞推式得：
得 an . an 1 pan f (n) ——①， an pan 1 f ( n 1)，兩
法二：由 an 1 pan q 得 an pan 1 q(n 2) 兩式 邊同時乘以 q得 anq pqan 1 qf (n 1)——② ，由
an 1 a相減并整理得 n p,即 an 1 an 構成以an an 1 ①②兩式相減得 an 1 an q p(an qan 1)，即
a2 a1為首項，以 p為公比的等比數列 . 求出
an 1 an 的通項再轉化為 類型Ⅲ（累加法） 便可求 an 1 qan p ，在轉化為 類型Ⅴ㈠ 便可求出 an .
出 an .
an qan 1
㈡形如 an 1 pan f ( n) ( p 1)型的遞推式 ： 法三：遞推公式為 a pa q nn 1 n （其中 p，q 均
⑴當 f (n)為一次函數類型（即等差數列）時： n為常數）或 an 1 pan rq （其中 p，q, r 均為常數）
法一：設 an An B p an 1 A(n 1) B ， 時，要先在原遞推公式兩邊同時除以 qn 1，得：
通過待定系數法確定 A、B 的值，轉化成以 a1 A B an 1 p an 1
n 1 n ，引入輔助數列 bn （其中q q q q
為首項， 以 p為公比的等比數列 an An B ，再利
an p 1b ），得： b b 再應用 類型Ⅴ㈠ 的方
用等比數列的通項公式求出 a n n 1 nn An B 的通項整 q n q q
理可得 an .
法解決。
⑶當 f (n)為任意數列時，可用 通法：
法二：當 f (n)的公差為 d 時，由遞推式得：
在 an 1 pan f (n)
n 1
兩邊同時除以 p 可得到
an 1 pan f (n)， an pan 1 f (n 1)兩式相減
an 1 an f (n) an b b b f (n)
得： an 1 an p(an an 1) d ，令 bn an 1 a
，令 n ，則 n 1 n ，
n 得： pn 1 pn pn 1 pn pn 1
bn pb nn 1 d 轉化為 類型Ⅴ㈠ 求出 bn，再用類型Ⅲ 在轉化為 類型Ⅲ（累加法），求出 bn之后得 an p bn .
（累加法） 便可求出 an .
類型Ⅵ 對數變換法：
⑵當 f (n)為指數函數類型（即等比數列）時： 形如 an 1 pa
q ( p 0, an 0) 型的遞推式：
法一：設 an f (n) p an 1 f (n 1) ，通過 在原遞推式 an 1 pa
q
兩邊取對數得
待定系數法確定 的值，轉化成以 a1 f (1)為首項， lg an 1 q lg an lg p，令 bn lg an得：
- 9 -
bn 1 qbn lg p，化歸為 an 1 pan q 型，求出 bn 然后在錯位相減，進而可得到數列 an bn 的前 n 項
b 和 .
之后得 an 10 n.（注意：底數不一定要取 10，可根據
此法是在推導等比數列的前 n項和公式時所用的方
題意選擇）。 法.
類型Ⅶ 倒數變換法： ⑵裂項相消法
形如 an 1 an pan 1an（ p為常數且 p 0 ）的遞推 c一般地，當數列的通項 an
( an b1)(an b2 )
1 1
式：兩邊同除于 an 1an，轉化為 p形式，
an an 1 ( a,b1 ,b2 , c為常數）時，往往可將 an 變成兩項的差，
化歸為 an 1 pa n q 型求出 1 的表達式，再求 a ； 采用裂項相消法求和 . n
an 可用待定系數法進行裂項：
還有形如 a mann 1 的遞推式， 也可采用取倒數方
pan q 設 an ，通分整理后與原式相
an b1 an b2
法轉化成 1 m 1 m 形式，化歸為 an 1 pan q
an 1 q an p
c
型求出 1 的表達式，再求 a . 比較，根據對應項系數相等得 ，從而可得n
a b2 b1n
c c 1 1
= ( ).
類型Ⅷ 形如 an 2 pan 1 qan型的遞推式： (an b1)(an b 2) (b2 b1) an b1 an b 2
用待定系數法，化為特殊數列 { an an 1} 的形式
常見的拆項公式有：
求解。方法為： 設 an 2 kan 1 h(an 1 kan ) ，比較 1 1 1① ；
n(n 1) n n 1
系數得 h k p, hk q，可解得 h、k，于是
1 1 1 1
② ( );
{ an 1 kan} 是公比為 h的等比數列，這樣就化歸為 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
an 1 pan q 型。 1 1③ ( a b );
a b
總之，求數列通項公式可根據數列特點采用以上 a b
不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數列，
C m 1 m④ n Cn 1 C
m
n ;
可用歸納、猜想、證明方法求出數列通項公式 an .
⑤ n n! (n 1)! n!.
5、非等差、等比數列前 n項和公式的求法
⑶分組法求和
⑴錯位相減法 有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，
若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常
①若數列 an 為等差數列，數列 bn 為等比數列， 見的數列，然后分別求和，再將其合并即可 .一般分兩
步：①找通向項公式②由通項公式確定如何分組 .
則數列 an bn 的求和就要采用此法 .
⑷倒序相加法
②將數列 an bn 的每一項分別乘以 bn 的公比，
- 10 -
如果一個數列 an ，與首末兩項等距的兩項之和等于
③（三個正數的算術—幾何平均不等式）
首末兩項之和， 則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式
相加，就得到了一個常數列的和，這種求和方法稱為 a b c 3 abc (a、b、c R )（當且僅當
3
倒序相加法。特征： a1 an a2 an 1 ...
a b c時取到等號） .
⑸記住常見數列的前 n項和：
a2④ b2 c2 ab bc ca a，b R
① 1 2 3 ... n n(n 1) ;
2 （當且僅當 a b c時取到等號） .
② 1 3 5 ... (2n 1) n2 ; a3 b3 c3⑤ 3abc(a 0,b 0,c 0)
2 1③ 1 22 32 ... n2 n(n 1)(2n 1). （當且僅當 a b c時取到等號） .
6 b a
第三章：不等式 ⑥若 ab 0,則 2（當僅當 a=b 時取等號）
a b
§3.1 、不等關系與不等式 b a
1、不等式的基本性質 若 ab 0,則 2（當僅當 a=b 時取等號）
a b b a a b①（對稱性） b b m a n a
⑦ 1
②（傳遞性） a b,b c a c a a m b n b
③（可加性） a b a c b c 其中 (a b 0，m 0，n 0)
（同向可加 性） a b, c d a c b d
規律：小于 1 同加則變大，大于 1同加則變小 .
（異向可減 性） a b, c d a c b d
a b, c 0 ac bc ⑧當a 0時，x a x2 a2④（可積性） x a或x a;
a b, c 0 ac bc
2 2
⑤（同向正數 可乘性） a b 0,c d 0 ac bd x a x a a x a.
（異向正數 可除性） a ba b 0,0 c d
c d ⑨絕對值三角不等式 a b a b a b .
⑥（平方法則） a b 0 a n bn (n N ,且n 1)
⑦（開方法則） a b 0 n a n b(n N ,且n 1) 3、幾個著名不等式
1 1 1 1
⑧（倒數法則） a b 0 ; a b 0 2 2
a b a b 2 a b a b
①平均不等式：
2、幾個重要不等式 a 1 b 1
ab
2 2
① a2 b2 2ab a，b R , （當且僅當 a b時取 a，b R ,（當且僅當 a b時取 " "號） .
a2 b2 （即調和平均 幾何平均 算術平均 平方平均） . " "號） . 變形公式： ab .
2 變形公式：
2
a b a b a
2 b2
②（基本不等式） ab a，b R , ab ;（當
2 2 2
且僅當 a b 2時取到等號） . 2 2 (a b)
a b .
2
a b 2
變形公式： a b 2 ab ab .
2 ②冪平均不等式：
2 2
用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最 a1 a2 ... a
2 1
n (a1 a ... a )
2 .
n 2 n
大），要注意滿足三個條件 “一正、二定、三相等” .
③二維形式的三角不等式：
- 11 -
x 2 y 2 x 2 y 2 (x x ) 2 ( y y ) 2 函數單調性法， 數學歸納法 等 . 1 1 2 2 1 2 1 2 常見不等式的放縮方法：
( x , y , x , y R). 1 2 3 1 21 1 2 2 ①舍去或加上一些項，如 (a ) ( a ) ;
2 4 2
④二維形式的柯西不等式： ②將分子或分母放大（縮小） ，如
(a2 b2)(c2 d 2 ) (ac bd)2 (a,b, c, d R).當且 1 1 , 1 12 ,k k(k 1) k 2 k( k 1)
僅當 ad bc時，等號成立 .
⑤三維形式的柯西不等式：
2 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 ( ) ,
(a1 a2 a3 )(b1 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3) . 2 k k k k k k 1
⑥一般形式的柯西不等式：
1 2
(k N * , k 1)等.
(a 2 a 2 ... a 2 2 2 21 2 n )(b1 b2 ... bn ) k k k 1
2 5、一元二次不等式的解法(a1b1 a2b2 ... anbn) .
2
求一元二次不等式 ax bx c 0(或 0)
⑦向量形式的柯西不等式：
設 , 是兩個向量，則 ,當且僅當 ( a 0, b2 4ac 0)解集的步驟：
一化：化二次項前的系數為正數 .
是零向量，或存在實數 k，使 k 時，等號成
二判：判斷對應方程的根 .
立 . 三求：求對應方程的根 .
⑧排序不等式（排序原理） ： 四畫：畫出對應函數的圖象 .
五解集：根據圖象寫出不等式的解集 .
設 a1 a2 ... an ,b1 b2 ... bn為兩組實
規律：當二次項系數為正時， 小于取中間， 大于取兩邊 .
6、高次不等式的解法： 穿根法 .
數 . c1 , c2 ,..., cn是 b1 ,b2 ,..., bn的任一排列，則
分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿
a1bn a2b ... a b a c a c ... a c
（奇穿偶切 ），結合原式不等號的方向， 寫出不等式的
n 1 n 1 1 1 2 2 n n
解集 .
a 7、分式不等式的解法：先 移項通分 標準化，則1b1 a2b2 ... anbn .（反序和 亂序和 順序和 ）
f ( x)
0 f (x) g (x) 0
當且僅當 a1 a2 ... an或 b1 b2 ... b 時，反序 g(x)n （“ 或 ”時同理）
f ( x) f (x) g (x) 0
和等于順序和 . 0
⑨琴生不等式 : （特例 : 凸函數、凹函數） g(x) g (x) 0
若定義在某區間上的函數 f ( x) 規律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解 . , 對于定義域中任
8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解
意兩點 x1 , x2 (x1 x2 ),有 f (x) 0
⑴ f ( x) a(a 0)
f (x) a2
x x f (x
f ( 1 2 ) 1
) f ( x2 ) x x f ( x或 f ( 1 2 ) 1
) f (x2 ) .
2 2 2 2
則稱 f(x) 為凸（或凹）函數 . f (x) 0
4、不等式證明的幾種常用方法 ⑵ f ( x) a(a 0)
f (x) a2
常用方法有： 比較法（作差，作商法） 、綜合法、
分析法；
其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，
- 12 -
f (x) 0 ④ f ( x) g (x) f ( x) g (x)或f ( x) g (x) (g (x) 0)
f ( x) 0
⑶ f (x) g( x) g(x) 0 或
規律：關鍵是去掉絕對值的符號 .
f (x) [ g(x)]2
g(x) 0
12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：
f ( x) 0 規律：找零點、劃區間、分段討論去絕對值 、每段中
取交集，最后取各段的并集 .
⑷ f (x) g(x) g(x) 0
13、含參數的不等式的解法
f ( x) [ g( x)] 2
解形如 ax2 bx c 0且含參數的不等式時，要
f (x) 0
對參數進行分類討論，分類討論的標準有：
⑸ f (x) g(x) g( x) 0
⑴討論 a與 0 的大小；
f (x) g(x) ⑵討論 與 0的大小；
規律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在 ⑶討論兩根的大小 .
于從“小”的一邊分析求解 . 14、恒成立問題
9、指數不等式的解法：
⑴不等式 ax2 bx c 0的解集是全體實數（或恒成
a 1 , a f ( x) ag ( x)⑴當 時 f ( x) g( x)
立）的條件是：
⑵當 0 a 1時 , a f (x ) a g ( x) f (x) g( x) ①當 a 0時 b 0,c 0;
規律：根據指數函數的性質轉化 . a 0
10、對數不等式的解法 ②當 a 0時
⑴當 a 1時 , 0.
f (x) 0 ⑵不等式 ax2 bx c 0的解集是全體實數（或恒成
loga f (x) loga g(x) g(x) 0 立）的條件是：
f (x) g(x)
①當 a 0時 b 0,c 0;
⑵當 0 a 1時 ,
f (x) 0 a 0
②當 a 0時
loga f (x) loga g(x) g(x) 0 . 0.
f (x) g( x)
⑶ f ( x) a恒成立 f ( x)
. max
a;
規律：根據對數函數的性質轉化
11、含絕對值不等式的解法：
f ( x) a恒成立 f (x) max a;
a (a 0)
⑴定義法： a .
a (a 0) ⑷ f ( x) a恒成立 f ( x)min a;
⑵平方法： f (x) g( x) f 2 (x) g2 (x). f ( x) a 恒成立 f ( x)min a.
⑶同解變形法，其同解定理有： 15、線性規劃問題
⑴二元一次不等式所表示的平面區域的判斷：
① x a a x a(a 0);
法一：取點定域法：
② x a x a或x a(a 0); 由于直線 Ax By C 0的同一側的所有點的
③ f (x) g( x) g(x) f (x) g( x) ( g(x) 0) 坐標代入 Ax By C 后所得的實數的符號相同 .所
以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特
- 13 -
殊點 ( x0, y0 )（如原點），由 Ax0 By0 C 的正負即可 ①若 B 0,則使目標函數 z Ax By所表示直
判斷出 Ax By C 0 ( 線的縱截距最大的角點處， z取得最大值，使直線的或 0) 表示直線哪一側的
縱截距最小的角點處， z取得最小值；
平面區域 .
即：直線定邊界，分清虛實；選點定區域，常選
②若 B 0,則使目標函數 z Ax By 所表示直
原點 .
線的縱截距最大的角點處， z取得最小值，使直線的
法二：根據 Ax By C 0 (或 0)，觀察 B的
縱截距最小的角點處， z取得最大值 .
符號與不等式開口的符號， 若同號， Ax By C 0 (
或 0) 表示直線上方的區域；若異號，則表示直線上 ⑷常見的目標函數的類型：
方的區域 .即：同號上方，異號下方 .
⑵二元一次不等式組所表示的平面區域： ①“截距”型： z Ax By;
不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的
平面區域的公共部分 .
y y b
z Ax By (A, B ②“斜率”型：⑶利用線性規劃求目標函數 為常 z 或 z ;x x a
數）的最值：
2 2 2 2
法一：角點法： ③“距離”型： z x y 或 z x y ;
如果目標函數 z Ax By （ x、y即為公共區域
2 2 2 2
中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都 z ( x a) ( y b) 或 z (x a) (y b) .
在該公共區域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標
代入目標函數，得到一組對應 z值，最大的那個數為 在求該 “三型” 的目標函數的最值時，可結合線
目標函數 z的最大值，最小的那個數為目標函數 z的 性規劃與代數式的 幾何意義 求解，從而使問題簡單化 .
最小值
法二：畫——移——定——求：
第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域； 第二步， 選修數學知識點
作直線 l : Ax By 0 l 專題一：常用邏輯用語0 ，平移直線 0（據可行域，將
1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；
邏輯聯結詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯
直線 l0平行移動）確定最優解；第三步，求出最優解
聯結詞；
( x, y) 簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題 ; ；第四步，將最優解 ( x, y)代入目標函數
復合命題：由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題 .
常用小寫的拉丁字母 p， q， r ， s， 表示命z Ax By即可求出最大值或最小值 .
題 .
2、四種命題及其相互關系
第二步中 最優解的確定方法：
A z z
利用 z的幾何意義： y x , 為直線的
B B B
縱截距 .
- 14 -
⑥若 A B且 B A，則 p是 q的既不充分也不必要
四種命題的真假性之間的關系：
⑴、兩個命題 互為逆否命題 ，它們 有相同的真假性 ； 條件 .
⑵、兩個命題為 互逆命題或互否命題 ，它們的 真假性 4、復合命題
沒有關系． ⑴復合命題有三種形式： p或 q（ p q）； p且 q
3、充分條件、必要條件與充要條件 （ p q）；非 p（ p） .
⑴、一般地，如果已知 p q，那么就說： p是 q的 ⑵復合命題的真假判斷
充分條件， q是 p的必要條件； “ p或 q”形式復合命題的真假判斷方法： 一真必真 ；
若 p q，則 p是 q的充分必要條件， 簡稱充要條件． “ p且 q”形式復合命題的真假判斷方法： 一假必假 ；
⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區分命 “非 p”形式復合命題的真假判斷方法： 真假相對 .
題的條件 p與結論 q之間的關系： 5、全稱量詞與存在量詞
Ⅰ、從邏輯推理關系上看： ⑴全稱量詞與全稱命題
①若 p q，則 p是 q充分條件， q是 p的必要條件； 短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做 全稱
②若 p q，但 q p，則 p是 q充分而不必要條件 ; 量詞，并用符號“ ”表示 .含有全稱量詞的命題，叫
③若 p q，但 q p，則 p是 q必要而不充分條件 ; 做全稱命題 .
⑵存在量詞與特稱命題
④若 p q且 q p，則 p是 q的充要條件；
短語“存在一個” “至少有一個”在邏輯中通常叫做
⑤若 p q且 q p，則 p是 q的既不充分也不必要 存在量詞 ，并用符號“ ”表示 . 含有存在量詞的命題，
條件 . 叫做特稱命題 .
Ⅱ、從集合與集合之間的關系上看： ⑶全稱命題與特稱命題的符號表示及否定
已知 A x x滿足條件 p ， B x x滿足條件 q ： ①全 稱命題 p ： x , p(x) ，它的 否定 p ：
①若 A B , 則 p是 q充分條件； x0 , p(x0).全稱命題的否定是特稱命題．
②若 B A , 則 p是 q必要條件； ②特稱命題 p ： x0 , p( x0),，它的否定 p ：
③若 A B，則 p是 q充分而不必要條件 ; x , p( x).特稱命題的否定是全稱命題 .
④若 B A，則 p是 q必要而不充分條件 ;
⑤若 A B，則 p是 q的充要條件；
專題二：圓錐曲線與方程
1．橢圓
焦點的位置 焦點在 x 軸上 焦點在 y軸上
圖形
x2 y2 y2 x2
標準方程
2 2 1 a b 0 1 a b 0a b a2 b2
第一定義 到兩定點 F1、F2的距離之和等于常數 2 a，即 | MF1 | | MF 2 | 2a（ 2a | F1F2 |）
- 15 -
MF
第二定義 與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數 e，即 e (0 e 1)
d
范圍 a x a且 b y b b x b且 a y a
1 a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a
頂點
1 0, b 、 2 0,b 1 b,0 、 2 b,0
軸長 長軸的長 2a 短軸的長 2b
對稱性 關于 x軸、 y 軸對稱，關于原點中心對稱
焦點 F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c
F F 2 2 2焦距 1 2 2c (c a b )
c c2 a2 b2 b2
離心率 e 2 2 1 2 (0 e 1)a a a a
a2 a2
準線方程 x y
c c
焦半徑 左焦半徑： MF1 a ex0 下焦半徑： MF1 a ey0
M (x0, y0)
右焦半徑： MF2 a ex0 上焦半徑： MF2 a ey0
焦點三角形面積 S b2MF F tan ( F1 2 1MF2 )2
b2
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑： HH
a
2 2 2
（焦點）弦長公式 A( x1, y1 ), B(x2, y2 )， AB 1 k x1 x2 1 k (x1 x2 ) 4x1x2
焦點的位置 焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
圖形
x2 y2 y2 x2
標準方程
2 2 1 a 0, b 0 2 2 1 a 0,b 0a b a b
第一定義 到兩定點 F1、F2 的距離之差的絕對值等于常數 2a，即 | MF1 | | MF2 | 2a（ 0 2a | F1F2 |）
- 2 -
MF
第二定義 與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數 e，即 e (e 1)
d
范圍 x a或 x a， y R y a或 y a， x R
圖形
頂點 1 a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a
2
軸長 y 2 px y
2
實軸2 px x
2 2
的長 2a 虛軸的長2 py2b x 2 py
標準對方稱程性 關于 x軸、 y軸對稱，關于原點中心對稱
p 0 p 0 p 0 p 0
焦點 F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c
定義 與一定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 (定點 F 不在定直線 l 上)
頂點焦距 F1F2 20c,0 (c
2 a2 b2)
c c2離心率 e a
2 b2 1 b
2
(e 1)
a a2 a2 a2
a2 a2
準線方程 x y
c c
b a
漸近線方程 y x y x
a b
左焦：MF1 ex0 a 左焦：MF1 ey0 a
M 在右支 M 在上支
焦半徑 右焦：MF 2 ex0 a 右焦：MF 2 ey0 a
M (x0, y0) 左焦：MF1 ex0 a 左焦：MF1 ey0 a
M 在左支 M 在下支
右焦：MF 2 ex0 a 右焦：MF 2 ey0 a
2
焦點三角形面積 S MF F b cot ( F1MF2 )1 2 2
b2
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑： HH
a
2．雙曲線
3．拋物線
- 3 -
離心率 e 1
對稱軸 x 軸 y 軸
范圍 x 0 x 0 y 0 y 0
p , 0 p , 0 p p焦點 F F F 0, F 0,
2 2 2 2
p p p p
準線方程 x x y y
2 2 2 2
焦半徑
p p p p
M (x y ) MF x0 MF x0 MF y0 MF y00, 0 2 2 2 2
通徑 過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑： HH 2p
焦點弦長
AB x x p
公式 1 2
參數 p的幾
參數 p表示焦點到準線的距離， p越大，開口越闊
何意義
關于拋物線焦點弦的幾個結論：
設 AB為過拋物線 y 2 2 px ( p 0) 焦點的弦， A(x1 , y1)、B(x2, y2)，直線 AB的傾斜角為 ，則
p2
x 2
2 p
⑴ 1x2 , y1 y2 p ; ⑵ AB ;
4 sin 2
⑶ 以 AB為直徑的圓與準線相切；
⑷ 焦點 F 對 A、B在準線上射影的張角為 ；
2
1 1 2
⑸ .
| FA | | FB | P
專題三：定積分 n n b a
1 Ln f ( i ) x f ( i ), ，當 n 時，上、定積分的概念
i 1 i 1 n
如果函數 f (x) 在區間 [ a,b] 上連續，用分點
述和式無限接近某個常數， 這個常數叫做函數 f (x) 在
a x0 x1 xi 1 xi xn b將區間 b
區間 [a,b]上的定積分 . 記作 f (x )dx ，即
a
[ a,b]等分成 n個小區間，在每個小區間 [ xi 1, xi ] 上任
b n b a
f (x)dx lim f ( i ) ，這里， a與 b分別叫
取一點 i (i 1,2, ,
a n
n)，作和式 i 1 n
- 4 -
b c b
做積分下限與積分上限， 區間 [ a,b]叫做積分區間， 函 ⑶ f (x)dx f ( x)dx f (x)dx（其中 a c b) ;
a a c
數 f ( x)叫做被積函數， x叫做積分變量， f ( x)dx 叫 ⑷利用函數的奇偶性求定積分 : 若 f (x) 是 [ a,a] 上
做被積式 . a
的奇函數 ,則 f (x )dx 0 ;若 f ( x)是 [ a,a] 上的 偶
說明： a
（1）定積分的值是一個常數， 可正、可負、可為零； a a
（2）用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；② 函數 , 則 f (x)dx 2 f (x)dx . a 0
近似代替；③求和；④取極限 .
5、定積分的幾何意義
2、微積分基本定理 (牛頓 -萊布尼茲公式 )
b
如果 F (x) f ( x)，且 f (x) [ a,b] 定積分 f (x)dx表示在區間 [a,b]上的曲線在 上可積，則 a
b b
f (x)dx F (x) F (b) F (a) y f ( x)與直線 x a、x b以及 x軸所圍成的平面，
a a
圖形（曲邊梯形）的面積的代數和，即
【 其 中 F (x) 叫 做 f (x) 的 一 個 原 函 數 ， 因 為 b
f (x)dx Sx軸上方－Sx軸下方 .（在 x 軸上方的面積取a
F (x) C F (x) f (x)】 正號 , 在 x 軸下方的面積取負號）
6、求曲邊梯形面積的方法與步驟
3、常用定積分公式
⑴畫出草圖 ，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致
⑴ 0dx c（ c為常數） 圖像；
⑵借助圖形 確定出被積函數，求出交點坐標，確定積
⑵ 1dx x c 分的上、下限；
⑶寫出定積分表達式；
x 1 ⑷求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和 .
⑶ x dx c ( 1)
1 7、定積分的簡單應用
⑴定積分在幾何中的應用：
1
⑷ dx ln x c 幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法 :
x （1） x型區域：
⑸ exdx ex c ① 由 一 條 曲 線 y f (x)(其中 f (x) 0） 與 直 線
x x a, x b(a b)以及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面
x
⑹ a dx a c (a 0, a 1)
ln a 積： S＝ ba f (x)dx（如圖（ 1））；
⑺ sin xdx cosx c
⑻ cosxdx sin x c
⑼ sin axdx 1 cos ax c (a 0)
a
1
⑽ cosaxdx sin ax c (a 0)
a 圖（ 1）
4、定積分的性質 ② 由 一 條 曲 線 y f (x)(其中 f (x) 0） 與 直 線
b b x a, x b(a b) x
⑴ kf (x)dx k f (x)dx 以及 軸所圍成的曲邊梯形的面（k為常數）；
a a b b
積： S＝ f ( x)dx＝－ f ( x)dx（如圖（ 2））；
b b b a a
⑵ f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx；
a a a
- 2 -
圖（ 2）
③由一條曲線 y f ( x) 圖（ 5）
②由一條曲線 y f ( x)(其中 x 0）與直線
c
【當 a x c時， f ( x) 0 f ( x)dx 0; y a, y b(a b)以及 y軸所圍成的曲邊梯形的面
a 積，可由 y f ( x) 先求出 x h( y) ，然后利用
b b b
當 c x b時， f ( x) 0 f ( x)dx 0.】
c S＝ h( y)dy＝－ h( y)dy求出（如圖（ 6））；a a
與直線 x a, x b(a b)以及 x 軸所圍成的曲邊梯形
c b
的面積： S＝ f (x)dx f ( x)dx
a c
c b
＝ f ( x)dx f ( x)dx.（如圖（ 3））；
a c
圖（ 6）
③由兩條曲線 y f ( x)， y g( x) 與直線
y a, y b(a b)所圍成的曲邊梯形的面積，可由
y f ( x)，y g( x)先分別求出 x h1 ( y) ，
b
圖（ 3） x h2 ( y)，然后利用 S＝ | h1( y)－h2 ( y) | dy求出（如a
圖（ 7））；
④由兩條曲線 y f ( x)，y g(x)（ f (x) g( x)) 與
直線 x a, x b(a b) 所圍成的曲邊梯形的面積：
b b b
S f ( x) dx g( x) dx f( x) g( x) d（x.如
a a a
圖（ 4））
圖（ 7）
⑵定積分在物理中的應用：
①變速直線運動的路程
作變速直線運動的物體所經過的路程 S，等于其速
圖（ 4） 度函數 v v(t)(v(t) 0)在時間區間 a, b 上的定積
（2） y型區域：
b
①由一條曲線 y f ( x)(其中 x 0）與直線 分，即 S v(t )dt. .
a
y a, y b(a b)以及 y軸所圍成的曲邊梯形的面積 ,
b ②變力作功
可由 y f ( x)得 x h( y)，然后利用 S＝ h( y)dy求
a 物體在變力 F (x)的作用下做直線運動， 并且物體沿
出（如圖（ 5））；
- 3 -
F (x) x a x b(a b) 論，這種推理稱為演繹推理．著與 相同的方向從 移動到 ，
簡言之， 演繹推理是由一般到特殊的推理 .
b 演繹推理的一般模式——— “三段論”，包括
那么變力 F (x)所作的功 W F(x)dx.
a ⑴大前提 -----已知的一般原理；
專題四：推理與證明 ⑵小前提 -----所研究的特殊情況；
知識結構 ⑶結論 -----據一般原理， 對特殊情況做出的判斷．
用集合的觀點來理解：若集合 M 中的所有元素都
歸納推理
合情推理
具有性質 P , S是 M 的一個子集 ,那么 S中所有元素
推理 類比推理
推 演繹推理 也都具有性質 P.
理 M
·a S
與 比較法
證
直接證明 綜合法
明 從推理所得的結論來看， 合情推理的結論不一定正
證明 分析法
確，有待進一步證明；演繹推理在前提和推理形式都
間接證明 反證法
正確的前提下，得到的結論一定正確 .
數學歸納法 5、直接證明與間接證明
⑴綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定
1、歸納推理 理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明
, 的結論成立 . 把從個別事實中推演出一般性結論的推理 稱為歸
納推理 (簡稱歸納 ). 框圖表示：
簡言之 , 歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般 要點： 順推證法；由因導果 .
的推理。 ⑵分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立
的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定
歸納推理的一般步驟：
一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理
通過觀察個別情況發現某些相同的性質；
等）為止 .
從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題
（猜想）； 框圖表示：
證明（視題目要求，可有可無） . 要點： 逆推證法；執果索因 .
2、類比推理 ⑶反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的
由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的 推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明
某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推 了原命題成立 .的證明方法 . 它是一種間接的證明方法 .
理稱為類比推理（簡稱類比） ． 反證法法證明一個命題的一般步驟：
簡言之， 類比推理是由特殊到特殊的推理 . (1) （反設）假設命題的結論不成立；
類比推理的一般步驟： (2) （推理）根據假設進行推理 ,直到導出矛盾為止；
找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； (3) （歸謬）斷言假設不成立；
用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征， (4) （結論）肯定原命題的結論成立 .
從而得出一個猜想； 6、數學歸納法
檢驗猜想。 數學歸納法是 證明關于正整數 n的命題 的一種方法 .
3、合情推理 用數學歸納法證明命題的步驟 ;
1 *（ ）（歸納奠基） 證明當 n取第一個值 n (n
歸納推理和類比推理都是根據已有的事實， 經過觀 0 0
N )
時命題成立；
察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提
（2）（歸納遞推）假設 n k(k n 0 ,k N
* )時命
出猜想的推理 . 題成立，推證當 n k 1時命題也成立 .
歸納推理和類比推理統稱為合情推理，通俗地說， 只要完成了這兩個步驟， 就可以斷定命題對從 n0開
合情推理是指“合乎情理”的推理 . 始的所有正整數 n都成立 .
4、演繹推理 用數學歸納法可以證明許多與自然數有關的數學
從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結 命題，其中包括恒等式、不等式、數列通項公式、幾
- 4 -
何中的計算問題等 . 2
2 1 i 1 i 1 i
(7) 1 i i;(8) i , i, i
專題五：數系的擴充與復數 1 i 1 i 2
1、復數的概念
⑴虛數單位 i ； (9) 1 3i設 是 1的立方虛根，則
2
⑵復數的代數形式 z a bi (a,b R)；
2 3n 1 3 n 2 3n 3
⑶復數的實部、虛部，虛數與純虛數 . 1 0， , , 1
2、復數的分類 6、復數的幾何意義
復數 z a bi a,b R 復平面：用來表示復數的直角坐標系，其中 x軸叫
做復平面的實軸， y軸叫做復平面的虛軸 .
實數 (b 0) 一一對應
復數 z a bi 復平面內的點 Z（ a,b)
純虛數 ( a 0,b 0)
虛數 (b 0)
非純虛數 (a 0,b 0) 一一對應復數 z a bi 平面向量 OZ
3、相關公式
⑴ a bi c di a b,且 c d 專題六：排列組合與二項式定理
1、基本計數原理
⑵ a bi 0 a b 0 ⑴ 分類加法計數原理： (分類相加 )
2 2
⑶ z a bi a b 做一件事情，完成它有 n類辦法，在第一類辦法中有
m1種不同的方法，在第二類辦法中有 m2種不同的方
⑷ z a bi
z z 法 在第 n類辦法中有 m， n種不同的方法 . 那么完成指兩復數實部相同， 虛部互為相反數 （互為共
軛復數） . 這件事情共有 N m1 m2 mn種不同的方法 .
4、復數運算 ⑵ 分步乘法計數原理： (分步相乘 )
a bi c di a c b d i 做一件事情，完成它需要 n個步驟，做第一個步驟有⑴復數加減法： ；
m1種不同的方法，做第二個步驟有 m2種不同的方
⑵復數的乘法：
法 做第 n個步驟有 mn種不同的方法 . 那么完成這
a bi c di ac bd bc ad i； 件事情共有 N m1 m2 mn種不同的方法 .
2、排列與組合
a bi a bi c di ⑴排列定義：一般地，從 n個不同的元素中任取
⑶復數的除法：
c di c di c di m m n 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從
ac bd bc ad i ac bd bc ad n個不同的元素中任取 m個元素的一個排列 .
2 ic d 2 c2 d 2 c2 d 2 ⑵組合定義：一般地，從 n個不同的元素中任取
（類似于無理數除法的 分母有理化 虛數除法的 分 m m n 個元素并成一組， 叫做從 n個不同的元素中
母實數化 ）
任取 m個元素的一個組合 .
5、常見的運算規律
⑶排列數： 從 個不同的元素中任取 m m n 個元素
(1) z z ; (2) z z 2a, z z 2bi; n
的所有排列的個數，叫做從 n個不同的元素中任取 m
2 2
(3) z z z z a2 b2;(4) z z;(5) z z z R
個元素的排列數，記作 Amn .
(6) i 4 n 1 i , i 4n 2 1,i 4n 3 i , i 4n 4 1;
⑷組合數： 從 n個不同的元素中任取 m m n 個元素
- 5 -
的所有組合的個數，叫做從 n個不同的元素中任取 m ⑧相同元素分組可采用隔板法 .
m ⑨分組問題 ：要注意區分是平均分組還是非平均分組，個元素的組合數，記作 Cn . 平均分成 n 組問題別忘除以 n！ .
⑸排列數公式： 3、二項式定理
m ⑴二項展開公式：
① An n n 1 n 2 n m 1
n
a b C 0an C1an 1b C 2an 2b2 C r an r rn n n n b
m n！An ； n
n m ! Cn b
n n N .
n ⑵二項展開式的通項公式：
② An n!，規定 0! 1 .
T C rr 1 n a
n rb r 0 r n,r N, n N . 主要用途
⑹組合數公式：
m n n 1 n 2 n m 1 是求指定的項 .
① C n 或
m! ⑶項的系數與二項式系數
項的系數與二項式系數是不同的兩個概念，但當
m n！C ； 二項式的兩個項的系數都為 1 時，系數就是二項式系n
m! n m ! 數 . 如
在 ( nax b) 的展開式中， 第 r 1項的二項式系數
C m n m 0② n Cn ，規定 Cn 1 .
C r為 n ，第 r 1項的系數為 C
ra n rn b
r 1
；而 ( x )n的
⑺排列與組合的區別： 排列有順序，組合無順序 . x
展開式中的系數等于二項式系數；二項式系數一定為
⑻排列與組合的聯系： Am C m Amn n m ，即排列就是先 正，而項的系數不一定為正 .
n
組合再全排列 . ⑷ 1 x 的展開式：
Amm n n (n 1) (n m 1) n!C (m n) 1 x n C0 xn C1xn 1 C 2xn 2 C nx0n m ，Am m (m 1) 2 1 m! n m !
n n n n
若令 x 1，則有
⑼排列與組合的兩個性質性質
n n 0 1 2 n
Am Am mAm 1 C m C m m 1
1 1 2 C
C n
Cn Cn Cn .
排列 n 1 n n ；組合 n 1 n n .
二項式奇數項系數的和等于二項式偶數項系數
⑽解排列組合問題的方法
0 2 1 3 n 1
①特殊元素、特殊位置優先法 （元素優先法 ：先考慮 的和 .即 C n C n C n C n 2
有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優
⑸二項式系數的性質：
先法 ：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他
（1）對稱性 ：與首末兩端“等距離”的兩個二項
位置） .
m n m
式系數相等，即
②間接法 （對有限制條件的問題，先從總體考慮，再 C n Cn ；
把不符合條件的所有情況去掉） . （2 n 1）增減性與最大值 ：當 r 時，二項式系
③相鄰問題捆綁法 （把相鄰的若干個特殊元素 “捆綁” 2
為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列， C r n 1 r數 n的值逐漸增大， 當 r 時,C n的值逐漸減小，
最后再“松綁” ，將特殊元素在這些位置上全排列） . 2
④不相鄰 (相間 )問題插空法 （某些元素不能相鄰或某 n n且在中間取得最大值。 當 為偶數時，中間一項（第
些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好 2
n
沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素
＋1 項）的二項式系數 C 2n 取得最大值 .當 n 為奇數時，
按要求插入排好的元素之間） .
n 1 n 1
⑤有序問題組合法 . 中間兩項（第 和 ＋ 1 項）的二項式系數
⑥選取問題先選后排法 . 2 2n 1 n 1
⑦至多至少問題間接法 . C 2 C 2n n 相等并同時取最大值 .
- 6 -
⑹系數最大項的求法 特別提醒： “互斥事件”與“對立事件”都是就
Ar Ar 1 兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發生的兩個
設第 r 項的系數 Ar 最大，由不等式組 A A 事件，而對立事件是其中必有一個發生的互斥事件，r r 1
可確定 r . 因此， 對立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定
⑺賦值法 是對立事件 ，也就是說“互斥”是“對立”的必要但
n 2 n 不充分的條件 .
若 (ax b) a0 a1x a2 x ... anx , ⑶相互獨立事件：事件 A（或 B）是否發生對事件 B
n （或 A）發生的概率沒有影響，（ 即其中一個事件是則設 f ( x) ( ax b) . 有：
否發生對另一個事件發生的概率沒有影響 ）.這樣的兩
個事件叫做相互獨立事件 .
① a0 f (0); 當 A、B是相互獨立事件時，那么事件 A B 發生
（即 A、B同時發生） 的概率， 等于事件 A、B分別發
② a0 a1 a2 ... an f (1); 生的概率的積 .即
n P( A B) P( A) P(B) .
③ a0 a1 a2 a3 ... ( 1) an f ( 1); 若 A、B兩事件相互獨立，則 A與 B 、 A與 B、 A
f (1) f ( 1) 與 B 也都是相互獨立的 .
④ a0 a2 a4 a6 ... ;2 ⑷獨立重復試驗
f (1) f ( 1) ①一般地，在相同條件下重復做的 n 次試驗稱為
⑤ a1 a3 a5 a7 ... .2 n次獨立重復試驗 .
②獨立重復試驗的概率公式
專題七：隨機變量及其分布 如果在 1 次試驗中某事件發生的概率是 p，那么
在 n 次獨立重復試驗中這個試驗恰好發生 k 次的概率
知識結構
Pn (k ) C
k p kn ( 1p
n ) kk 0 ,, 1 2n, .
⑸條件概率： 對任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A
發生的條件下事件 B 發生的概率， 叫做條件概率 .記作
P(B|A)，讀作 A 發生的條件下 B 發生的概率 .
P( AB)
公式： P(B A) , P(A) 0.
P(A)
1、基本概念 2、離散型隨機變量
⑴互斥事件：不可能同時發生的兩個事件 . ⑴隨機變量： 如果隨機試驗的結果可以用一個變量
如果事件 A、B、C ，其中任何兩個都是互斥事 來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用
件，則說事件 A、B、C 彼此互斥 . 字母 X ,Y, , 等表示 .
當 A、B是互斥事件時， 那么事件 A B 發生（即
A、B中有一個發生） 的概率， 等于事件 A、B分別發 ⑵離散型隨機變量 :對于隨機變量可能取的值， 可
生的概率的和，即 以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型
隨機變量 .
P( A B) P( A) P.( B ⑶連續型隨機變量 : 對于隨機變量可能取的值，
⑵對立事件： 其中必有一個發生的兩個互斥事件 . 事件 可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續
型隨機變量 .
A的對立事件通常記著 A . ⑷離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯
系 : 離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表
對立事件的概率和等于 1. P(A) 1 P( A) . 示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以
- 7 -
按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可 注：⑴ 二項分布的模型是有放回抽樣；
以一一列出 .
⑵二項分布中的參數是 p,k, n.
若 X 是隨機變量， Y aX b(a,b是常數）則 Y
⑷超幾何分布
也是隨機變量 并且不改變其屬性 （離散型、連續型） . 一般地 , 在含有 M 件次品的 N 件產品中，任取
3、離散型隨機變量的分布列
n件 , 其中恰有 X 件次品數 ,則事件 X k 發生的
⑴概率分布（分布列）
設離散型隨機變量 X 可能取的不同值為 C k C n k
x1, x2， ， x
M N M
i ， ， xn， 概率為 P(X k) n (k 0,1,2, ,m) ,于
X C的每一個值 xi （ i 1,2, , n）的概率 N
P( X xi ) pi ，則稱表 是得到隨機變量 X 的概率分布如下：
X x1 x2 xi xn X 0 1 m
C 0 C n 0 1 n 1 m n mP p1 p2 p i pn M N M CM CP N M
CM CN M
C n

N C
n n
N CN
為隨機變量 X 的概率分布，簡稱 X 的分布列 .
n
性質：① pi 0, i 1,2,...n; ② pi 1. 其中 m min M , n ,
i 1 n≤N,M≤N,n, M,N N
* .
⑵兩點分布 我們稱這樣的隨機變量 X 的分布列為超幾何分布列 ,
如果隨機變量 X 的分布列為 且稱隨機變量 X 服從超幾何分布 .
注 : ⑴超幾何分布的模型是不放回抽樣；
X 0 1
⑵超幾何分布中的參數是 M , N, n.其意義分別是
P p1 p
總體中的個體總數、 N中一類的總數、樣本容量 .
4、離散型隨機變量的均值與方差
則稱 X 服從兩點分布 ，并稱 p P( X 1)為成功概 ⑴離散型隨機變量的均值
率 .
一般地，若離散型隨機變量 X 的分布列為
⑶二項分布
如果在一次試驗中某事件發生的概率是 p，那么在 X x1 x2 x i xn
n 次獨立重復試驗中這個事件恰好發生 k次的概率是
P(X k) C k p kn (1 p)
n k . P p1 p2 p i pn
其中 k 0,1,2,..., n, q 1 p 則稱，于是得到隨機
變量 X 的概率分布如下： E X x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn為離散型
X 0 1 k n
隨機變量 X 的均值或數學期望 （簡稱期望） .它反映了
離散型隨機變量取值的平均水平 .
0 k k n k n n
P C n p
0q n C1 p1n q
n 1 0
Cn p q C n p q
性質：① E(aX b) aE(X ) b.
我們稱這樣的隨機變量 X 服從二項分布 ，記作
②若 X 服從兩點分布，則 E( X ) p.
X ~ B n, p ，并稱 p 為成功概率 .
判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有三點： ③若 X ~ B n, p ，則 E(X ) np.
①對立性： 即一次試驗中事件發生與否二者必居其一；
⑵離散型隨機變量的方差
②重復性： 即試驗是獨立重復地進行了 n次 ;
一般地，若離散型隨機變量 X 的分布列為
③等概率性： 在每次試驗中事件發生的概率均相等 .
- 8 -
n
X x1 x2 xi xn x i x yi y
相關系數： r i 1
P p1 p2 p i p n nn 2 2
x i x y i y
則稱 i 1 i 1
n
n
D( X ) ( xi E(X ))
2 pi 為離散型隨機變量 X 的 xi yi nxy
i 1 i 1
n n
x2 nx 2 y2 ny 2i i
方差， 并稱其算術平方根 D(X ) 為隨機變量 X 的標 i 1 i 1
準差 .它反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動，集 2、獨立性檢驗
中與離散的程度 . 假設有兩個分類變量 X和 Y，它們的值域分另為 {x 1,
x 2}和 {y 1, y 2}，其樣本頻數 2 2 列聯表為：
D( X )越小， X 的穩定性越高，波動越小，取值
y 1 y 2 總計
x 1 a b a+b
越集中； D(X )越大， X 的穩定性越差，波動越大，
x 2 c d c+d
取值越分散 . 總計 a+c b+d a+b+c+d
2 若要推斷的論述為 H1：“X與 Y有關系”，可以利
性質：① D (aX b) a D ( X ).
用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關系，并且能較
X D (X ) p(1 P). 精確地給出這種判斷的可靠程度 . ②若 服從兩點分布， 則
具體的做法是， 由表中的數據算出隨機變量 K 2的
③若 X ~ B n, p ，則 D ( X ) np(1 P).
5 2 n(ad bc)
2
、正態分布 值 K ，其中
正態變量概率密度曲線函數表達式： (a b)(c d )(a c)(b d )
x 2 n a b c d 2為樣本容量， K 的值越大，說明“X
1 2 2f x e , x R，其中 , 是參數， 與 Y有關系”成立的可能性越大 .
2 隨機變量 K 2越大，說明兩個分類變量， 關系越強；
2 反之，越弱。且 0, .記作 N ( , ).如下圖：
K 2 3.841時，X 2與 Y無關； K 3.841時， X
與 Y有 95%可能性有關； K 2 6.635時 X與 Y有 99%
可能性有關 .
專題八：統計案例 專題九：坐標系與參數方程
1、回歸分析 1、平面直角坐標系中的伸縮變換
設點 P(x, y)是平面直角坐標系中的任意一點，在
回歸直線方程 y a bx，
x x, ( 0),
變換 : 的作用下，點 P(x, y)對
n n y y,( 0).
xi x yi y xi yi nx y 應到點 P (x , y ) ，稱 為平面直角坐標系中的 坐標伸
b i 1 i 1
其中 n n2 2 2 縮變換 ，簡稱 伸縮變換 。
xi x xi nx 2、極坐標系的概念
i 1 i 1
在平面內取一個定點
a y bx O
，叫做 極點；自極點 O引
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M ( , )
一條射線 Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、 一個角
度單位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆時針方
向 )，這樣就建立了一個 極坐標系 。
O x
圖 1
點 M 的極坐標： 設 M 是平面內一點，極點 O與
點 M 的距離 | OM |叫做點 M 的極徑 ，記為 ；以極
軸Ox為始邊，射線 OM 為終邊的 xOM 叫做點 M 4、簡單曲線的極坐標方程
的極角 ，記為 。有序數對 ( , )叫做點 M 的極坐標 ， ⑴圓的極坐標方程
記為 M ( , ) . ①以極點為圓心， a為半徑的圓的極坐標方程是
注：
極坐標 ( , )與 ( , 2k )(k Z) 表示同一個 a；（如圖 1）
點。極點 O的坐標為 (0, )( R) .
0 0 ②以 (a,0) (a 0)為圓心， a為半徑的圓的極坐標方若 ,則 ,規定點 ( , )與點 ( , )
關于極點對稱，即 ( , )與 ( , )表示同一點。
程是 2acos ；（如圖 2）
如果規定 0,0 2 ，那么除極點外，平
面內的點可用唯一的極坐標 ( , )表示（即一一對應 ③以 (a, ) (a 0)為圓心， a為半徑的圓的極坐標方
的關系）；同時，極坐標 ( , )表示的點也是唯一確定 2
的。
M
極坐標與直角坐標都是一對有序實數確定平面 M M
a
上一個點，在極坐標系下，一對有序實數 、 對應 a O x
O x O a x
惟一點 P( ， )，但平面內任一個點 P的極坐標不
圖3
惟一．一個點可以有無數個坐標，這些坐標又有規律
圖1 圖2 2acos
可循的， P( ， )（極點除外）的全部坐標為 ( , a 2 a cos
＋ 2k )或（ ， ＋ (2k 1) ），( k Z)．極點的
極徑為 0，而極角任意取．若對 、 的取值范圍加 M O x M
以限制．則除極點外，平面上點的極坐標就惟一了， a M a (a, )
如限定 >0，0≤ ＜ 2 或 <0， ＜ ≤ 等． a
極坐標與直角坐標的不同是，直角坐標系中，點 O x O x
圖5
與坐標是一一對應的，而極坐標系中，點與坐標是一 圖4 圖6
2asin 2asin
多對應的．即一個點的極坐標是不惟一的． 2a cos( )
3、極坐標與直角坐標的互化 程是 2asin ；（如圖 4）
設 M 是平面內任意一點，它的直角坐標是 ( x, y)，
極坐標是 ( , )，從圖中可以得出： ⑵直線的極坐標方程
x cos , y sin ①過極點的直線的極坐標方程是 ( 0)和
2 x2 y2 , tan y ( x 0).
x ( 0) . （如圖 1）
y
②過點 A(a,0)(a 0) ，且垂直于極軸的直線 l 的極坐
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N x M
程，聯系變數 x, y的變數 t叫做參變數 ，簡稱 參數。
標方程是 cos a . 化為直角坐標方程為 x a .
相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方
（如圖 2） 程叫做 普通方程 。
7、常見曲線的參數方程
③過點 A(a, )且平行于極軸的直線 l 的極坐標方程
2 （1）圓 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的參數方程為
是 sin a . 化為直角坐標方程為 y a .（如圖
x a r cos
4） （ 為參數）；y b r sin
x2 y2M（ ， ） M M （2）橢圓
a2 b2
1(a b 0) 的參數方程為
0
O x
O a x a cosa O （ 為參數）；
圖1 y bsin
圖2 圖3
0 a a y2 x2
cos cos 橢圓 1(a b 0)的參數方程為
a2 b2
M（ ， ）
M x bcos
O （ 為參數）；a N (a, )a a y a sin
O M O p
圖4 圖5a 圖6 x2a 3 y
2
sin a （ ）雙曲線 2 2 1(a b 0)的參數方程
sin a bcos( )
5、柱坐標系與球坐標系 x a se c
（ 為參數）；
⑴柱坐標：空間點 P的直角坐標 (x, y, z) 與柱坐標 y b t an
x cos y2 x2
雙曲線 2 1(a b 0)的參數方程( , , z)的變換關系為： y sin . a b2
z z
x bc o t
⑵球坐標系 （ 為參數）；
y a c s c
空間點 P直角坐標 (x, y, z) 與球坐標 (r , , )的變
x2 y2 z2 r 2 2 x 2pt
2
（4）拋物線 y 2 px參數方程 (t 為參
x r sin cos y 2 pt
換關系： .
y r sin sin
t 1z r cos 數， ）；tan
6、參數方程的概念 參數 t的幾何意義： 拋物線上除頂點外的任意一點
在平面直角坐標系中， 如果曲線上任意一

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